高考数学二轮复习解析几何综合问题学案(全国通用)
高考数学二轮总复习 解析几何学案(特长班)
圆锥曲线复习案一、知识梳理1.椭圆的方程与几何性质:2.类比写出双曲线的定义、方程、几何性质。
3. .抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (> p)：二、基础练习：1.已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B两点若1222=+B F A F ，则AB=______________2.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为3.、抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是4.、设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA为5.、若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）6.、双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A.23y x =± B. 49y x=± C. 32y x=± D.94y x=± 7、设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．312D ．24.8已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ）A ．321x x x =+ B ．321y y y =+C ．2312x x x =+ D.2312y y y =+9以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=10.已知直线y=－x+1与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，求此椭圆的离心率三、体验高考1.设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．2.已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．3.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). 21世纪教育网A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =4.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A ）1x = (B)1x =- (C)2x = (D)2x =-5.设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 126.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4 7.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为3-PF = (A)338.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、)3,09.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C ）12 （D ）1210.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -= （C ）22110836x y -= （D ）221279x y -= 11.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
高三数学二轮复习教学案例------解析几何综合题
高三数学二轮复习教学案例------解析几何综合题一、知识点概括：解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。
解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.二、教学过程 考点1 判别式应用例1 已知双曲线122:22=-x y C ，直线l 过点()0,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发，可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y lk k kx y l 2222:'-++=把直线l ’的方程代入双曲线方程，消去y ，令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2的值解得k解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为：212222=+-+-k kx kx ()10<<k ()*于是，问题即可转化为如上关于x 的方程.由于10<<k ，所以kx x x >>+22，从而有.222222k x kx k x kx +++-=-+-于是关于x 的方程()*⇔)1(22222+=+++-k k x kx⇔()⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(222222kx k k kx k k x⇔()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(221222222kx k k kkx k k k x k由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k 的二根同正，故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=∆，就可解得 552=k . 考点2 判别式与韦达定理应用 例2 已知椭圆C:和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案
第3讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为32的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，与坐标轴不平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，其中M 为A 关于y 轴的对称点，N (0，2)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)分别记△PAO ，△PBO 的面积为S 1，S 2，当M ，N ，B 三点共线时，求S 1·S 2的最大值． 解 (1)∵c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2b . 把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入椭圆方程可得1a 2＋34b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则M 为(－x 1，y 1)，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立椭圆方程可得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1，Δ>0，∵M ，N ，B 三点共线， ∴k MN ＝k BN ， 即y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝0， 化简得8k (1－2b )＝0， 解得b ＝22或k ＝0(舍去)． 设A ，B 两点到直线OP 的距离分别为d 1，d 2. 直线OP 的方程为3x －2y ＝0，|OP |＝72， ∴S 1·S 2＝116|(3x 1－2y 1)(3x 2－2y 2)|，化简可得S 1·S 2＝116|(2k －3)2x 1x 2＋2(2k －3)(x 1＋x 2)＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＋3k 4k 2＋1. 又3k 4k 2＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，34， ∴当k ＝－12时，S 1·S 2的最大值为3＋14.思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 相交于点P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k ＋4k2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6. (2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2.由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·(8k ＋4)2k 4－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7. 由S 1S 2＋S 2S 1>174，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0，解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14，由S 1S 2＋S 2S 1<7，得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0，解得7－352<S 1S 2<7＋352，因此7－352<S 1S 2<14.即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．思维升华 (1)动直线过定点问题的两大类型及解法①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2)求解定值问题的两大途径①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 跟踪演练2 已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求抛物线Γ的方程；(2)过点P (12,8)的两条直线l 1，l 2分别交抛物线Γ于点C ，D 和E ，F ，线段CD 和EF 的中点分别为M ，N .如果直线l 1与l 2的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点． (1)解 由题意可设直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0，Δ＝9p 2－4×p 24＝8p 2>0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3p ，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8， ∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)证明 设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β， 由题意知，α，β≠π2.直线l 1的斜率为k ，则k ＝tan α. ∵直线l 1与l 2的倾斜角互余，∴tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝cos αsin α＝1sin αcos α＝1tan α， ∴直线l 2的斜率为1k.∴直线CD 的方程为y －8＝k (x －12)， 即y ＝k (x －12)＋8.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －12)＋8，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y ＋32－48k ＝0， 设C (x C ，y C )，D (x D ，y D )， ∴y C ＋y D ＝4k，∴x C ＋x D ＝24＋4k 2－16k，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12＋2k2－8k ，2k .以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为(12＋2k 2－8k,2k )， ∴k MN ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－k 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ＝11k＋k －4.∴直线MN 的方程为y －2k ＝11k＋k －4[x －(12＋2k 2－8k )]， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＋k －4y ＝x －10， 显然当x ＝10时，y ＝0， 故直线MN 经过定点()10，0. 热点三 探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的上、下焦点分别为F 1，F 2，上焦点F 1到直线4x ＋3y ＋12＝0的距离为3，椭圆C 的离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆E ：y 2a 2＋3x 216b 2＝1，设过点M (0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于A ，B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由已知椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的焦点F 1(0，c )，由F 1到直线4x ＋3y ＋12＝0的距离为3， 得|3c ＋12|5＝3， 又椭圆C 的离心率e ＝12，所以c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，求得a 2＝4，b 2＝3. 椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)存在．理由如下：由(1)得椭圆E ：x 216＋y 24＝1，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1，消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kx －12＝0， Δ＝(8k )2＋4(4k 2＋1)×12＝256k 2＋48>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－124k 2＋1.假设存在点P (0，t )满足条件， 由于PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|， 所以PM 平分∠APB .所以直线PA 与直线PB 的倾斜角互补， 所以k PA ＋k PB ＝0. 即y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(y 1－t )＋x 1(y 2－t )＝0.(*) 将y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1代入(*)式， 整理得2kx 1x 2＋(1－t )(x 1＋x 2)＝0， 所以－2k ·124k 2＋1＋(1－t )×(－8k )4k 2＋1＝0， 整理得3k ＋k (1－t )＝0，即k (4－t )＝0， 因为k ≠0，所以t ＝4.所以存在点P (0,4)，使得PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|. 思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (2，2)，且离心率为22.(1)求a ，b 的值，并写出椭圆C 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，在椭圆C 上有异于A ，B 的动点P ，若直线PA ，PB 与直线l ：x ＝m (m 为常数)分别交于不同的两点M ，N ，则当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？解 (1)由题知，4a 2＋2b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)知，A (－22，0)，B (22，0)， 设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PA ，PB 的方程分别为y ＝k 1(x ＋22)，y ＝k 2(x －22)，∴M (m ，k 1(m ＋22))，N (m ，k 2(m －22))，∴根据射影定理知，以MN 为直径的圆的方程为(x －m )2＋[y －k 1(m ＋22)][y －k 2(m －22)]＝0，即(x －m )2＋y 2－[k 1(m ＋22)＋k 2(m －22)]y ＋k 1k 2·(m 2－8)＝0，设点P (x 0，y 0)，则x 208＋y 204＝1，y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 208，∴k 1k 2＝y 0x 0＋22·y 0x 0－22＝y 20x 20－8＝－12， ∴(x －m )2＋y 2－[k 1(m ＋22)＋k 2(m －22)]y －12(m 2－8)＝0，由y ＝0，得(x －m )2－12(m 2－8)＝0，∴(x －m )2＝12(m 2－8)．当m 2－8<0，即－22<m <22时，方程无实数解，该圆不经过定点．当m 2－8≥0，即m ≥22或m ≤－22时， 解得x ＝m ±22m 2－8， 即定点为⎝⎛⎭⎪⎫m ±22m 2－8，0.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．答案 16解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知，直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4 ＝4(1＋k 2)k2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．2．(2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 所以PM 垂直于y 轴． (2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).所以△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 2＋y 204＝1(－1≤x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]， 所以△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.押题预测已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4.又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，当l ⊥x 轴时，|MQ |＝3，|PN |＝4，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k2，x 1x 4＝1，且Δ＝16k 2＋16>0，所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4 ＝4(1＋k 2)k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k2.若|PN ||MQ |＝2，则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2， 解得k ＝±62. 故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.A 组 专题通关1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y2＝4x 的焦点重合． (1)求椭圆的标准方程；(2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值．解 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1，又因为e ＝c a ＝1a ＝33，所以a ＝3，所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时， 直线BD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，并化简得()3k 2＋2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.Δ＝36k 4－4(3k 2＋2)(3k 2－6)＝48(k 2＋1)>0恒成立． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2，|BD |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝()1＋k 2·[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43()k 2＋13k 2＋2. 由题意知AC 的斜率为－1k，所以|AC |＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13×1k2＋2＝43()k 2＋12k 2＋3. |AC |＋|BD |＝43()k 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫13k 2＋2＋12k 2＋3＝203()k 2＋12()3k 2＋2()2k 2＋3≥203()k 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤()3k 2＋2＋()2k 2＋322＝203()k 2＋1225(k 2＋1)24＝1635. 当且仅当3k 2＋2＝2k 2＋3，即k ＝±1时，上式取等号， 故|AC |＋|BD |的最小值为1635.②当直线BD 的斜率不存在或等于零时，可得|AC |＋|BD |＝1033>1635.综上，|AC |＋|BD |的最小值为1635.2．(2018·诸暨市适应性考试)已知F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1x 2＝－1. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点B 作x 轴的垂线交直线AO (O 为坐标原点)于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 的中点为G . ①求点D 的纵坐标； ②求|GB ||DG |的取值范围．解 (1)设AB ：y ＝kx ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋p 2，即x 2－2pkx －p 2＝0， ∴x 1x 2＝－p 2＝－1，∴p ＝1， ∴抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)①直线OA 的方程为y ＝y 1x 1x ＝x 12x ，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 1x 22，即D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，－12， ∴点D 的纵坐标为－12.②∵k DF ＝－1x 2，∴k AE ＝x 2，即直线AE 的方程为y －y 1＝x 2(x －x 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 2(x －x 1)，y ＝x 22，得x 22－x 2x －y 1－1＝0，∴x E ＝2x 2－x 1，∴G (x 2,2y 2＋y 1＋1)． ∴G ，B ，D 三点共线，∴|GB ||DG |＝y 2＋y 1＋12y 2＋y 1＋32，∵y 1·y 2＝14，∴|DG ||GB |＝2－y 1＋1214y 1＋y 1＋1＝2－y 1y 1＋12＝2－11＋12y 1∈(1,2)，∴|GB ||DG |∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 3．(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)． (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k ，得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解 由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32， 于是|FA →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.4.(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)点P (1,1)为抛物线y 2＝x 上一定点，斜率为－12的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)求弦AB 中点M 的纵坐标；(2)点Q 是线段PB 上任意一点(异于端点)，过Q 作PA 的平行线交抛物线于E ，F 两点，求证：|QE |·|QF |－|QP |·|QB |为定值． (1)解 k AB ＝y A －y B x A －x B ＝1y A ＋y B ＝－12，(*) 所以y A ＋y B ＝－2，y M ＝y A ＋y B2＝－1.(2)证明 设Q (x 0，y 0)，直线EF ：x －x 0＝t 1(y －y 0)， 直线PB ：x －x 0＝t 2(y －y 0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝t 1(y －y 0)，y 2＝x ，得y 2－t 1y ＋t 1y 0－x 0＝0，所以y E ＋y F ＝t 1，y E ·y F ＝t 1y 0－x 0，|QE |·|QF |＝1＋t 21|y E －y 0|·1＋t 21|y F －y 0| ＝(1＋t 21)|y 20－x 0|.同理|QP |·|QB |＝()1＋t 22|y 20－x 0|.由(*)可知，t 1＝1k EF ＝1k PA＝y A ＋y P ，t 2＝1k PB＝y B ＋y P ，所以t 1＋t 2＝(y A ＋y B )＋2y P ＝－2＋2＝0， 即t 1＝－t 2⇒t 21＝t 22，所以|QE |·|QF |＝|QP |·|QB |， 即|QE |·|QF |－|QP |·|QB |＝0为定值．B 组 能力提高5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为点D ，右焦点为F 2(1,0)，延长DF 2交椭圆C 于点E ，且满足|DF 2|＝3|F 2E |. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 2作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线HA ，HB 分别与直线x ＝3交于M ，N 两点，记直线F 2M ，F 2N 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1与k 2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)椭圆C 的上顶点为D ()0，b ，右焦点F 2(1,0)，点E 的坐标为(x ，y )． ∵|DF 2|＝3|F 2E |，可得DF 2→＝3F 2E →， 又DF 2→＝()1，－b ，F 2E →＝()x －1，y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－b3，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫432a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32b 2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， 即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H ()－2，0，M ()3，y M ，N ()3，y N .由题意可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，消去x ，得()m 2＋2y 2＋2my －1＝0， Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)>0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.根据H ，A ，M 三点共线，可得y M 3＋2＝y 1x 1＋2， ∴y M ＝y 1()3＋2x 1＋2.同理可得y N ＝y 2()3＋2x 2＋2，∴M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1()3＋2x 1＋2，⎝⎛⎭⎪⎫3，y 2()3＋2x 2＋2，∴k 1k 2＝y M －03－1·y N －03－1＝14y M y N ＝14·y 1()3＋2x 1＋2·y 2()3＋2x 2＋2 ＝y 1y 2(3＋2)24()my 1＋1＋2()my 2＋1＋2＝y 1y 2(3＋2)24[]m 2y 1y 2＋()1＋2m ()y 1＋y 2＋()1＋22＝－11－62m 2＋24⎣⎢⎡⎦⎥⎤－m 2m 2＋2＋－2()1＋2m 2m 2＋2＋3＋22＝－11－62m 2＋24×6＋42m 2＋2＝42－98.∴k 1与k 2之积为定值，且该定值是42－98.6．已知平面上动点P 到点F ()3，0的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M ()m ，n 是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程，并探究：若M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得()x －32＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32. 整理，得x 24＋y 2＝1，∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2，∵直线与圆有两个不同交点C ，D ， ∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. 又∵m 24＋n 2＝1(m ≠0)，∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4.∵|m |≤2，∴0<m 2≤4， ∴0<1－43m 2＋4≤34.∴|CD |2∈(]0，3，|CD |∈(]0，3，即|CD |的取值范围为(]0，3.②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1. 下面证明：直线mx ＋ny ＝1()n ≠0与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得()m 2＋4n 2x 2－2mx ＋1－n 2＝0，即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16()1－n 2＝4()m 2＋4n 2－4＝0恒成立，从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B＝1()A ·B ≠0恒相切．。
高三数学第二轮复习教案——解析几何
2020年高三数学第二轮复习教案——解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17．9％；近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化二、高考大纲要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形. (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
部编版2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题学案
第3讲 解析几何的综合问题[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．热点一 最值、范围问题例1 (2018·南通模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，右焦点分别为A ，F ，右准线为m ，(1)若直线m 上不存在点Q ，使△AFQ 为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(－2,0)，设B ，M ，N 是椭圆上的三点，且OB →＝35OM →＋45ON →，求以线段MN 的中点为圆心，过A ，F 两点的圆的方程．解 (1)设直线m 与x 轴的交点是R ， 依题意FR ≥FA ，即a 2c －c ≥a ＋c ，a 2c ≥a ＋2c ，a c ≥1＋2c a ，1e≥1＋2e ， 2e 2＋e －1≤0,0<e ≤12.(2)当e ＝12且A (－2,0)时，F (1,0)，故a ＝2，c ＝1,所以b ＝3， 椭圆方程是x 24＋y 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) ，则 x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.由OB →＝35OM →＋45ON →，得 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.因为B 是椭圆C 上一点，所以⎝⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 223＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 213⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 223⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2·35·45⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 23＝1，x 1x 24＋y 1y 23＝0，① 因为圆过A ，F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1＋y 22， 又⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14(y 21＋y 22＋2y 1y 2)＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋2y 1y 2，②由①和②得⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 22 ＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－14(x 1＋x 2)2＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－14＝2116，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±214，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±2142＝5716.思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值．(2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．解 (1)由已知得ca ＝32，3a 2＋14b2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1，椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，Δ＝16(m 2－n 2＋4)＞0，y 1,2＝－2mn ±(2mn )2－4(4＋m 2)(n 2－4)2(4＋m 2)， 所以y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m2，所以x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝(4＋m 2)216＋m2，则S △POQ ＝12·OD ·|y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|，n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝12×16×4＋m2(16＋m 2)2.设t ＝4＋m 2(t ≥4)， 则4＋m 2(16＋m 2)2＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤148，当且仅当t ＝144t，即t ＝12时取等号，此时S △POQ ＝1，所以△POQ 面积的最大值为1. 热点二 定点问题例2 (2018·全国大联考江苏卷)如图，已知A ，B 是椭圆x 24＋y 23＝1的长轴顶点，P ，Q 是椭圆上的两点，且满足k AP ＝2k QB ，其中k AP ，k QB 分别为直线AP ，QB 的斜率．(1)求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上；(2)求证：直线PQ 过定点．证明 (1)根据题意，可设直线AP 的方程为y ＝k AP (x －2)，直线BQ 的方程为y ＝k QB (x ＋2)， 则直线AP 和BQ 的交点R 的横坐标x 0满足x 0＋2x 0－2＝2，即x 0＝6. 因此直线AP 和BQ 的交点R 在定直线x ＝6上. (2)由(1)，可设点R 的坐标为(6，m )，则直线AP 的方程为y ＝m 4(x －2)，直线BQ 的方程为y ＝m8(x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m4(x －2)，x 24＋y23＝1，得(m 2＋12)x 2－4m 2x ＋4(m 2－12)＝0，设P (x P ，y P )，则根据根与系数的关系，得2×x P ＝4(m 2－12)m 2＋12，即x P ＝2(m 2－12)m 2＋12，代入直线AP 的方程得，y P ＝－12mm 2＋12， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(m 2－12)m 2＋12，－12m m 2＋12.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m8(x ＋2)，x 24＋y23＝1，得(m 2＋48)x 2＋4m 2x ＋4(m 2－48)＝0，设Q (x Q ，y Q ), 则－2×x Q ＝4(m 2－48)m 2＋48，即x Q ＝2(48－m 2)m 2＋48，代入直线BQ 的方程得，y Q ＝24mm 2＋48， 故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(48－m 2)m 2＋48，24m m 2＋48， 当2(48－m 2)m 2＋48＝2(m 2－12)m 2＋12，即m 2＝24时， 直线PQ 与x 轴的交点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，当2(48－m 2)m 2＋48≠2(m 2－12)m 2＋12，即m 2≠24时，下面证直线PQ 过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.k PT－k QT＝－12mm2＋12－2(m2－12)m2＋12－23－24mm2＋48－02(48－m2)m2＋48－23＝－9mm2－24－9m24－m2＝0，故直线PQ过定点T⎝⎛⎭⎪⎫23，0.思维升华如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．跟踪演练2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x24＋y2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D⎝⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ＝λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.(1)解设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，x204＋y20＝1，所以k1k2＝y0x0－2·y0x0＋2＝y20x20－4＝1－x204x20－4＝－14.(2)解由题意得直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝k1(x－2)，x2＋y2＝4，得(1＋k21)x2－4k21x＋4(k21－1)＝0，设P(x p，y p)，解得x p＝2(k21－1)1＋k21，y p＝k1(x p－2)＝－4k11＋k21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝k1(x－2)，x24＋y2＝1，得(1＋4k21)x2－16k21x＋4(4k21－1)＝0，设B (x B ，y B )，同理得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，(3)证明 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则k AQ ＝852＋65＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65x 2＋y 2＝4，，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2(16k 21－1)16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2， 故直线AC 必过点Q . 综上可知，直线AC 必过点Q . 热点三 定值问题例3 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E ：x 216＋y 212＝1，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M . (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M 的离心率e ＝12，且长轴的顶点为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l: y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1得，()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.令Δ＝64k 2b 2－4()3＋4k 2()4b 2－12＝0得，b 2＝3＋4k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 216＋y 212＝1，化简得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－48＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1,2＝－8kb ±64k 2b 2－4(3＋4k 2)(4b 2－48)2(3＋4k 2)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2＝－8kb，x 1·x 2＝4b 2－483＋4k 2＝4b 2－48b2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2||x 1－x 2＝121＋k2||b ，而原点O 到直线l 的距离d ＝||b 1＋k2，∴S △ABO ＝12AB ·d ＝6.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2或x ＝－2，则AB ＝6，原点O 到直线l 的距离d ＝2， ∴S △ABO ＝6.综上所述，△ABO 的面积为定值6.思维升华 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．跟踪演练3 (2018·苏锡常镇四市调研)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M (x 1,0)，直线AC 与直线BD 交于点N (x 2，y 2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若CM →＝2MD →，求直线l 的方程； (3)求证：x 1x 2为定值． (1)解 由椭圆的离心率为22，焦点到对应准线的距离为1. 得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 由(1)知C (0,1)，设D (x 0，y 0)， 由CM →＝2MD →，得2y 0＝－1，所以y 0＝－12，代入椭圆方程得x 0＝62或－62， 所以D ⎝⎛⎭⎪⎫62，－12或D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－12，所以k l ＝－12－162－0＝－62或k l ＝－12－1－62－0＝62.所以直线l 的方程为6x －2y ＋2＝0或6x ＋2y －2＝0.(3)证明 设D (x 3，y 3)，由C (0,1)，M (x 1,0)可得直线CM 的方程为y ＝－1x 1x ＋1,联立椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x1x ＋1，x22＋y 2＝1，解得x 3＝4x 1x 21＋2，y 3＝x 21－2x 21＋2.由B (2，0) ，得直线BD 的方程为y ＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x －2)， 因为点N (x 2，y 2)在直线BD 上，所以y 2＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x 2－2)，① 直线AC 的方程为y ＝22x ＋1，因为点N (x 2，y 2)在直线AC 上，所以y 2＝22x 2＋1，② 联立①②得x 2＝2x 1，从而x 1x 2＝2为定值．1．(2017·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)， 因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2， 所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0， 直线l 2的斜率为－x 0－1y 0， 从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得x 0＝477，y 0＝377，由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.2．(2018·苏州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为 2，一条准线方程为x ＝2，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q .(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0，b ，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； (3)若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求OP →·OQ →的最大值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为P (0,1)，F 1(－1,0)， 所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13.设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得D ＝13，E ＝13，F ＝－43.所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0.(3)设P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)． 因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ.所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2()－1－λ－λx 2－λy 22 ＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ＝－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ2λ2－()1＋λ1－3λ2λ－λ ＝74－58⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ，因为λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以λ＋1λ≥2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →的最大值为12.A 组 专题通关1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为______． 答案2－1解析 方法一 由抛物线方程，得焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由椭圆方程，可得上焦点为(0，c )， 故p2＝c ， 将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a.又抛物线通径为2p ， 所以2p ＝2b2a＝4c ，所以b 2＝a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.方法二 如图所示，由抛物线方程以及直线y ＝p2，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.又p2＝c ，即Q (2c ，c )， 代入椭圆方程可得c 2a 2＋4c 2b2＝1，化简可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22，e 2＝3＋22>1(舍去)， 即e ＝3－22＝2－1(负值舍去)．2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)． OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2.又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.3．已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________． 答案105解析 A (－1,0)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为A ′(－2,1)，连结A ′B 交直线l 于点P ，则椭圆C 的长轴长的最小值为A ′B ＝(1＋2)2＋1＝10，所以椭圆C 的离心率的最大值为c a＝1102＝105. 4．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的长轴长是短轴长的________倍．答案 32解析 连结PF 1，OQ ，则PF 1＝2OQ ＝2b ，PF 1⊥PF 2， 由PF 21＋PF 22＝F 1F 22，得(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，解得b a ＝23，故2a 2b ＝32.5．(2018·江苏省扬州树人学校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为22，离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若∠AMN ＝60°，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆C 的短轴长为22，离心率为63， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝22，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)因为A 为椭圆C 的上顶点，所以A (0，2)． 设M (m,0)(m >0)，则k AM ＝－2m.又AM ⊥AN ，所以k AN ＝m2，所以直线AN 的方程为y ＝m2x ＋ 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m2 x ＋2，x 26＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3m 2)x 2＋12mx ＝0，所以x N ＝－12m 3m 2＋2，y N ＝m 2×－12m3m 2＋2＋2，所以AN ＝(x N －0)2＋(y N －2)2＝2＋m 22×12m3m 2＋2， 在Rt △AMN 中，由∠AMN ＝60°，得AN ＝3AM ， 所以2＋m22×12m 3m 2＋2＝3×2＋m 2，解得m ＝63. 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫63，0. 6．已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求m 的取值范围．解 (1)m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标为(－3，0)，(3，0)． (2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，(PA )min ＝22，当x ＝－3时，(PA )max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )，∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m2m 2－1≥m 且m ＞1， 解得1＜m ≤1＋ 2.7．(2018·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3. (2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 20＋y 20＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20(x 20－2)2(4x 20＋y 20)，所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20(x 20－2)(4x 20＋y 20)2. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16(x 20－2)(x 20＋1)2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0， 解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，代入Δ＝48y 20(x 20－2)＞0，满足题意， 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y ＝－5x ＋32，即5x ＋y －32＝0.B 组 能力提高8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)因为椭圆x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1.整理得 b 4－12b 2＋32＝0， 解得b 2＝4或b 2＝8(舍) .所以椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y24＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1,2＝4k 2±16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－8)2(2k 2＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2. 因为(1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝72k 2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1， 所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732. (3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0， 则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而AP →＝(－x 1，－k －y 1)，TB →＝(x 2－1，y 2)． 因为AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25.由(2)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1). 因为x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1，所以－4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750 (舍) .又因为k ＞0，所以k ＝ 2.9.如图，椭圆C ：x2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点分别为A 1，A 2，B 1，B 2，1221A B A B S 四边形＝4，直线y＝x ＋2与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线A 1P 交y 轴于点F ，直线A 1B 1交直线B 2P 于点E ，问直线EF 是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解 (1)因为直线y ＝x ＋2与圆O 相切，由点到直线的距离公式得，|0－0＋2|12＋(－1)2＝22＝b ，即b ＝1.又1221A B A B S 四边形＝4，所以12×2a ×2b ＝4，所以a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，离心率e ＝c a ＝32. (2)由题意知直线B 2P 的斜率存在，设直线B 2P 的斜率为k ，由(1)可知，A 1(－2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)，则直线B 2P 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，其中xB 2＝0，所以x P ＝－8k1＋4k2. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2，易知k ≠0，且k ≠±12.则直线A 1P 的斜率1A P k ＝1－4k21＋4k 2－8k 1＋4k 2＋2＝－2k ＋12(2k －1)，直线A 1P 的方程为y ＝－2k ＋12(2k －1)(x ＋2)，令x ＝0，则y ＝－2k ＋12k －1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ＋12k －1.21 易知直线A 1B 1的方程为x ＋2y ＋2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2＝0，y ＝kx ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－42k ＋1，y ＝－2k －12k ＋1， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42k ＋1，－2k －12k ＋1，所以直线EF 的斜率k 0＝－2k ＋12k －1＋2k －12k ＋142k ＋1＝－2k2k －1，所以直线EF 的方程为y ＝－2k2k －1x －2k ＋12k －1，即2k (x ＋y ＋1)－(y －1)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1， 所以直线EF 过定点(－2,1)．。
(新人教A)高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题的题型与方法(4课时)
高三数学第二轮复习教案 第5讲 解析几何问题的题型与方法（4课时）一、 考试内容 （一）直线和圆的方程直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。
两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。
用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。
曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。
双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。
抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。
二、考试要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、双基透视高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 解析几何教案讲义汇编全集
第1讲 直线与圆[例1] (1)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为( )A.18 B.12 C.14D.2(2)若直线l 1：y ＝kx －k ＋2与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2过定点( ) A.(3，1) B.(3，0) C.(0，1)D.(2，1)[解析] (1)直线l 1，l 2恒过点P (2，4)，直线l 1在y 轴上的截距为4－k ，直线l 2在x 轴上的截距为2k 2＋2，因为0＜k ＜4，所以4－k ＞0，2k 2＋2＞0，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －182＋12716，故当k ＝18时，面积最小.(2)∵y ＝kx －k ＋2＝k (x －1)＋2，∴l 1：y ＝kx －k ＋2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x2＝2，2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，∴直线l 2过定点(3，0).故选B.[答案] (1)A (2)B[解题方略]1.两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.2.轴对称问题的两种类型及求解方法[跟踪训练]1.若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A.423 B.4 2 C.823D.2 2解析：选C 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2.在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B.10C.5D.10解析：选D 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.[例2] (1)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则三角形ABC 外接圆的方程是( )A.x 2＋(y －3)2＝5 B.x 2＋(y ＋3)2＝5 C.(x －3)2＋y 2＝5D.(x ＋3)2＋y 2＝5(2)圆心在直线y ＝－4x 上，并且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________________.[解析] (1)∵AB ―→＝(－4－2a ，a －2)，AC ―→＝(2，0)，∴AB ―→·AC ―→＝－8－4a ＝0，解得a ＝－2.∴A (－4，2)，B (－4，－2)，C (－2，2)，|BC |＝25，又BC 的中点坐标为(－3，0)，∴三角形ABC 外接圆的圆心为(－3，0)，半径为|BC |2＝5，∴三角形ABC 外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.(2)设圆心M 为(x ，－4x )，k MP ＝2－4xx －3，k l ＝－1，所以k MP ·k l ＝－1，所以x ＝1，所以M (1，－4)，所以r ＝|MP |＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝2 2所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. [答案] (1)D (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8[解题方略] 求圆的方程的2种方法[跟踪训练]1.已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0，2)，B (－1，1)两点，且四边形C 1AC 2B 为平行四边形，则圆C 2的方程为( )A.(x －1)2＋y 2＝5 B.(x －1)2＋y 2＝92C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝92解析：选A 法一：(常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，连接AB ，C 1C 2.因为C 1(－2，3)，A (0，2)，B (－1，1)，所以|AC 1|＝|BC 1|＝5，所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形，所以C 1C 2⊥AB 且|AC 2|＝ 5.可得⎩⎪⎨⎪⎧3－b －2－a ×1－2－1－0＝－1，a 2＋（b －2）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，则圆心C 2的坐标为(1，0)或(－2，3)(舍去).因为圆C 2的半径为5，所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形C 1AC 2B 为菱形，则|C 2A |＝|C 1A |＝22＋（2－3）2＝5，即圆C 2的半径为5，排除B 、D ；将点A (0，2)代入选项A 、C ，显然选项A 符合.故选A.2.若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为____________.解析：k PQ ＝3－a －b3－b －a＝1，故直线l 的斜率为－1，由点斜式可知l 的方程为y ＝－x ＋3，圆心(2，3)关于直线y ＝－x ＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：－1 x 2＋(y －1)2＝1考点三直线与圆的位置关系题型一 圆的切线问题[例3] (1)过点P (2，4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A.3x ＋4y －4＝0B.4x －3y ＋4＝0C.x ＝2或4x －3y ＋4＝0D.y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5， 则|OM |≥d ＝5，所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23， 所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46.[答案] (1)C (2)46[变式1] 本例(2)变为：过点A (1，3)，作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为________.解析：由相切可得S 四边形OBAC ＝2S △OBA ，因为△OAB 为直角三角形，且|OA |＝10，|OB |＝2， 所以|AB |＝22，即S △OBA ＝12×22×2＝2，所以S 四边形OBAC ＝2S △OBA ＝4. 答案：4[变式2] 本例(2)变为：设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线l 1，l 2，则l 1与l 2的最大夹角的正切值是________.解析：设一个切点为B ，圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离为d ＝259＋16＝5，则tan ∠OMB ＝|OB ||MB |≤223，所以tan2∠OMB ＝2tan ∠OMB1－tan 2∠OMB＝21tan ∠OMB－tan ∠OMB≤24621.故所求最大夹角的正切值为24621. 答案：24621[解题方略] 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.题型二 圆的弦长问题[例4] 已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.[解] (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ， 解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ， 根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21， 所以S ＝12|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PMQN 面积的最大值为7.[解题方略] 求解圆的弦长的3种方法[跟踪训练]1.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________.解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2，3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝（2k －2）2k 2＋1＋15， 解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋12.(2019·山东枣庄期末改编)若点P (1，1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0中弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为________________，|AB |＝________.解析：圆x 2＋y 2＋6x ＝0的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.又因为点P (1，1)为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P 所在直线的斜率为1－01－3＝－12，故弦AB 所在直线的斜率为2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.圆心(3，0)与点P (1，1)之间的距离d ＝5，圆的半径r ＝3，则|AB |＝2r 2－d 2＝4.答案：2x －y －1＝0 43.已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________.解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可.当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35数学建模——直线与圆最值问题的求解[典例] 已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A.x －y －3＝0或7x －y －15＝0B.x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C.x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D.x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[解析] 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.[答案] D [素养通路]本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题.考查了数学建模这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切D.内切解析：选B 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心是O 1(1，0)，半径是r 1＝1， 圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4， 圆心是O 2(0，2)，半径是r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1＋r 2| 所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率k 1＝tan30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x－2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).4.(2019·江苏徐州期末)若圆(x ＋1)2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0内切，则实数m 的值为( )A.1B.11C.121D.1或121解析：选D 圆(x ＋1)2＋y 2＝m 的圆心坐标为(－1，0)，半径为m ；圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0，即(x －2)2＋(y ＋4)2＝36，故圆心坐标为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得32＋42＝|m －6|，解得m ＝1或m ＝121.故选D.5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A.－2B.－1C.0D.1解析：选C 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.6.(2019·广东省广州市高三测试)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A (－2，0)及点B (2，a )，若直线AB 与圆C 没有公共点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：选C 由点A (－2，0)及点B (2，a )，得k AB ＝a 4，所以直线AB 的方程为y ＝a4(x ＋2)，即ax －4y ＋2a ＝0.因为直线AB 与圆C 没有公共点，所以|2a |a 2＋（－4）2＞1，解得a ＞433或a ＜－433，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞，故选C.二、填空题7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝08.已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2).显然直线x ＝1不满足P (0，4)到直线l 的距离为2.设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝09.(2019·广东六校第一次联考)已知点P (－1，2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________.解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，如图，连接PP ′，P ′Q ，由对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |＝|P ′T |.圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心为A (3，4)，半径r ＝2，连接AP ′，AT ，则|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT |＝r ＝2，所以|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3.答案：4 3 三、解答题10.已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B . (1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，求实数a 的值. 解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程， 消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0， 即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ， 故圆心M (1，0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34，由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞， 所以a ＝34.11.在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 相切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D ，E ，当线段DE 的长度最小时，求直线l 的方程.解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为12，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|－ab |b 2＋a 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，则|DE |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4＋2b 2a 2＋2a2b2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12.已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43， ∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29，∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13. (2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13， 令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)， ∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213， ∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.B 组——大题专攻强化练1.已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍.(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点.当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程.解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求. (2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0).设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t 解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0， 解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3. 2.已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值. 解：(1)由过点A 的圆的切线只有一条，得点A 在圆上，故12＋a 2＝4，解得a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x －3y －4＝0.综上所述，当a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1， 又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝±2，因此a ＝b －1＝－1± 2.3.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， 所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ， 所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.4.在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12. 所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.第2讲 圆锥曲线的方程与性质[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知抛物线y 2＝－45x 的准线l 过双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，且该双曲线的一条渐近线过点P (1，－2)，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1 (2)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 [解析] (1)由题意知，抛物线y 2＝－45x 的准线l ：x ＝5，因为抛物线y 2＝－45x的准线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F ，所以F (5，0)，所以a 2＋b 2＝5，因为该双曲线的一条渐近线过点P (1，－2)，所以－2＝－b a，所以b ＝2a ，可得a ＝1，b ＝2，所以该双曲线的方程为x 2－y 24＝1，故选B.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ， ∴点A 是椭圆的短轴端点，如图.不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2―→＝2F 2B ―→，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.[答案] (1)B (2)B[解题方略] 1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离). 2.圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.(1)定型.就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程. (2)计算.即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0).[跟踪训练]1.(2019·陕西西安八校联考)如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点.点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点且不在x 轴上，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( )A.(10，12)B.(12，14)C.(10，14)D.(9，11)解析：选A 法一：(常规法)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，圆C ：(x －1)2＋y2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5.抛物线W 的准线l ：x ＝－1，焦点为C (1，0).由抛物线的定义可得|QC |＝x 2＋1，则△PQC 的周长为|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x 2＋1＋(x 1－x 2)＋5＝6＋x 1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，（x －1）2＋y 2＝25得A (4，4)，则x 1∈(4，6)，所以6＋x 1∈(10，12)，于是△PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.法二：(临界点法)平移直线PQ ，当点A 在直线PQ 上时，属于临界状态，此时结合|CA |＝5可知△PQC 的周长趋于2×5＝10；当直线PQ 与x 轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1，0)及圆的半径为5，可知△PQC 的周长趋于2×(1＋5)＝12.综上可知，△PQC 的周长的取值范围是(10，12).故选A.2.(2019·江西七校第一次联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.解析：化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝（22）2＋（42）2－162×22×42＝34.答案：343.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为________.解析：由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′(图略)，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，所以∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理得，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝8，由椭圆的定义得，|PF |＋|PF ′|＝2a ＝14，解得a ＝7，a 2＝49，b 2＝a 2－c 2＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.答案：x 249＋y 224＝1考点二圆锥曲线的几何性质[例2] (1)(2019·天津高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5(2)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22[解析] (1)由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±bax ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.故选D.(2)∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1.[答案] (1)D (2)B[解题方略]1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得. (2)用法：①可得b a 或a b的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.[跟踪训练]1.(2019·兰州市诊断考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为( )A.8 2B.4 2C.2 2D.463解析：选B 由题意知2a ＝4，所以a ＝2.因为e ＝ca＝3，所以c ＝23，所以b ＝c 2－a 2＝22，所以2b ＝42，即该双曲线的虚轴长为42，故选B.2.(2019·福建省质量检查)已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±23xC.y ＝±32xD.y ＝±2x解析：选D 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意，得c ＝ 5.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，所以5b b 2＋a2＝2，又c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.3.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去).∴C 的焦点到准线的距离为4.考点三直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例3] (1)已知直线x ＝1过椭圆x 24＋y 2b2＝1的焦点，则直线y ＝kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A.k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 D.k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－22∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞(2)若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A.± 2B.±2C.±1D.± 3[解析] (1)由题意可得4－b 2＝1， 即b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ＝(16k )2－16(3＋4k 2)≤0， 解得－12≤k ≤12.故选A.(2)设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ>0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.[答案] (1)A (2)C[解题方略]1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2.直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例4] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点F 1，F 2间的距离为4，过动点P 的直线PF 1和PF 2与椭圆E 的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，若|AB |＋|CD |＝62，求k 1k 2的值.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，易知c ＝2，所以a ＝22，b ＝c ＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为直线AB 的斜率为k 1，且直线AB 过F 1(－2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝k 1(x ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 28＋y 24＝1消去y 并整理，得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1，所以|AB |＝1＋k 21·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 212k 21＋12－4·8k 21－82k 21＋1 ＝42·k 21＋12k 21＋1.同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1.因为|AB |＋|CD |＝62，所以42·k 21＋12k 21＋1＋42·k 22＋12k 22＋1＝62，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 21＋12k 21＋1＋k 22＋12k 22＋1＝3，去分母得2(k 21＋1)(2k 22＋1)＋2(k 22＋1)(2k 21＋1)＝3(2k 21＋1)(2k 22＋1)， 化简得k 21k 22＝14，即k 1k 2＝±12.[解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求之.[跟踪训练]已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，233在椭圆上，∴23＋43b2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4. ∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB . ∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， ∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方).(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，（－1）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧（m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A.2B.3C.4D.8解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.2.一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1 C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1 解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 224＋y 225＝1B.x 225＋y 224＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：选D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|，所以点M 的轨迹是以点C 1(4，0)和C 2(－4，0)为焦点的椭圆，且2a ＝16，a ＝8，c ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝48，所以点M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.4.(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析：选B 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.故选B.5.(2019·石家庄市模拟(一))已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.14D.32解析：选B ∵FP 的斜率为－bc ，FP ∥l ，∴直线l 的斜率为－b c.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1得y 21b 2－y 22b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－x 22a 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）.∵AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴－b c ＝－2b 2a 2，∴a 2＝2bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率为22，故选B.6.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选A 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0).由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A.二、填空题7.(2019·北京通州区三模改编)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.答案：22558.设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为12的点P 的个数为________.解析：直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，∴交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB |＝5，由△PAB 的面积为12，得点P 到直线AB 的距离为55，而平面上到直线2x ＋y －2＝0的距离为55的点都在直线2x ＋y －1＝0和2x ＋y －3＝0上，而直线2x ＋y －1＝0与椭圆相交，2x ＋y －3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P 有2个.答案：29.已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点.若MF 1―→·MF 2―→<0，则y 0的取值范围是________.解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2―→＝(3－x 0，－y 0).∵MF 1―→·MF 2―→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：－33<y 0<33三、解答题10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积.解：(1)由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425， 所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265.11.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.。
2021-2022年高考数学二轮复习专题1.6平面解析几何教学案
2021年高考数学二轮复习专题1.6平面解析几何教学案【考情动态】（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.xx•浙江理9;xx•浙江文13；理7.6.抛物线(1)掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.（2）会解决直线与抛物线的位置关系的问题。
（3）了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.（4）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。
了解圆锥曲线的简单应用.xx•浙江文22；理15;xx•浙江文22 ;xx•浙江文19；理5；xx•浙江文19；理9;xx•浙江21.7.直线与圆锥曲线（1）会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题。
(2) 了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。
了解圆锥曲线的简单应用.xx•浙江文22；理15,21；xx•浙江文17,22；理21；xx•浙江文19；理19；xx•浙江文19；理19；xx•浙江21.【热点重温】热点一直线与圆【典例1】【xx江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .【答案】【对点训练】平面直在角坐标系xOy中,直线:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心在直线上,若圆C上存在点M,且M在圆D: 上,则圆心C的横坐标的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】点M既在圆C上,又在圆D上,所以圆C和圆D有公共点,圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1,圆D的圆心为(0,-1),半径为2,则圆心距,满足解得0≤a≤,故选B.【典例2】【xx课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .【对点训练】【xx天津，文12】设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .【答案】【解析】【典例3】【改编自浙江卷】若直线与直线互相垂直，则实数= （ ）. A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 【答案】C【解析】，因为直线互相垂直，所以，即，选C.【对点训练】已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“”是“”的（ ）条件.A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分又不必要 【答案】B【解析】 时，可得1212:680,:310,l x l x l l --=-+=， 时，可得 ()()()()422410m m m m -+++-= ，解得 或 ， 是 的充分不必要条件，故选B.【考向预测】直线方程是解析几何的基础,高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程;两条直线平行与垂直的判定;两条直线的交点和距离问题等, 有时与其它知识（如充要条件、导数的几何意义等）相结合，考查直线与方程的应用.一般以选择题、填空题的形式考查.对于圆的考查,主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程;利用圆的性质求动点的轨迹方程;直线与圆,圆与圆的位置关系等问题,其中含参数问题为命题热点.浙江省直线与圆问题一般以直线与圆位置关系为主,难度不大,题型主要是选择题或者填空题;解答题中也有考查直线与圆问题,并且更多的是综合在圆锥曲线中进行,难度较大. 热点二 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质【典例4】【xx 课标3，理5】已知双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【对点训练】已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1【答案】B【解析】由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.【典例5】【xx课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】【对点训练】如图,已知双曲线=1(a>0,b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该双曲线离心率e的取值范围为( )A.[,2+]B.[+1]C.[,2+]D.[+1]【答案】B【解析】在Rt△ABF中,O为AB的中点,又OF=c,∴AB=2c.∴AF=2csin α,BF=2ccos α.∴|BF-AF|=2c|cos α-sin α|.如图,设H为双曲线的左焦点,由对称性可知|BH|=|AF|,则有|BF|-|HB|=|BF|-|AF|=2a,∴2c|cos α-sin α|=2a.∴e=.∵≤α≤,∴≤α+.∴cos.∴e∈[+1].【典例6】【xx课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。
高考数学第二轮解析几何专题复习教学设计(5节课)
专题 解析几何高考解析几何试题有以下几个特点：解析几何通常有1－2小题和1大题，约占24分左右，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，对于不同类型的学校，都要做好该专题的复习，千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况有针对性地进行复习。
从今年各地的试题以及前几年的试题来看，⑴题型稳定：（2）难度下降， 位置不定：（3）与新课程融合，注意主导知识的链接。
题型热点如下：热点1：直线和圆、圆锥曲线的定义、圆锥曲线方程 热点2：最值及离心率范围问题热点3：与圆锥曲线有关的轨迹问题热点4：直线与圆锥曲线的位置关系，该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用代数的手段研究几何问题※热点5：与平面向量、数列、不等式、导数等内容相结合 ，在知识网络的交汇处设计试题教学计划：针对普通类学校在解析几何这部分：关键是抓好基础题（做好选择、填空以及大题的第一问），计划课时4-5节课（在第4节直线和圆锥曲线可能需要用2节课时间）。
如果对于基础好的学生还可以增加一节（第5节圆锥曲线的综合问题，针对高考解答题的第二问进行设计） （补充说明在每节的题目前加※的是较难点的题。
）第1节 直线和圆1、教学目标：直线与圆在高考中题型设置以小题为多，有时穿插在综合型的大题中，着重考查直线与圆、圆与圆的位置关系、会求圆的切线方程，公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题． 2．回顾练习（1）已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．（2）．已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为 ．（3）．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．12．8或18-．3 22(1)(2)4x y -+-= 3．综合例题：（4） 过点的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率____.k =分析：常通过“数”与“形”的结合，充分利用圆的几何性质来简化运算；当直线和圆心与定点的连线垂直时劣弧所对的圆心角最小，圆心(2,0)与定点的连线的斜率k '=2k =（5） 设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =__0__________．分析：利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题． （6） 若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 （ ）（A （B ）10 （C ）9 （D ）5+ 分析：利用参数方程结合三角函数求最值将圆配方得22(1)(2)5x y -++=，令12x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，则255sin()x y θϕ-=++故选 B ．4、总结归纳重点：①直线与圆的位置关系判断；②切线方程；③弦长的求法；④有关的最值问题．难点：①常通过“数”与“形”的结合，充分利用圆的几何性质来简化运算； ②利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题5、巩固练习（7）（08年安徽）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ C ）A ．[B ．(C ．[]33-D ．(33-（8）（080y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ）AB ．C ．-D ．-（9）（08四川）已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______。
2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案
专题三 解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时考查直线与圆(如2016年)，经常与向量结合在一起命题．偶考点 直线的方程、圆的方程第一讲 | 小题考法——解析几何中的基本问题考点(一) 直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．解析：法一：由题意可设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥2 2x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，由y ＝x ＋4x 得y ′＝1－4x 2，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴ P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.答案：42．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．解析：法一：根据圆经过点A (1，3)，B (4，6)，知圆心在线段AB 的垂直平分线上，由点A (1，3)，B (4，6)，知线段AB的垂直平分线方程为x ＋y －7＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r ＝（5－1）2＋（2－3）2＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.法二：因为圆心在直线x －2y －1＝0上，所以圆心坐标可设为(2a ＋1，a )，又圆经过点A (1，3)，B (4，6)，所以圆的半径 r ＝（2a ＋1－1）2＋（a －3）2＝（2a ＋1－4）2＋（a －6）2，解得a ＝2，所以r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.法三：设圆心的坐标为(a ，b )，半径为r (r ＞0)，因为圆心在直线x －2y －1＝0上，且圆经过点A (1，3)，B (4，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b －1＝0，（a －1）2＋（b －3）2＝（a －4）2＋（b －62）＝r 2， 得a ＝5，b ＝2，r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17. 答案：(x －5)2＋(y －2)2＝173．(2019·扬州期末)若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．解析：法一：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠34，求得m ＝2，故两平行直线l 1，l 2间的距离为|8－3|22＋（－4）2＝52. 法二：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠34，求得m ＝2，所以直线l 2：2x －4y ＋3＝0，在l 1：x －2y ＋4＝0上取一点(0，2)，则两平行直线l 1，l 2间的距离就是点(0，2)到直线l 2的距离，即|0－4×2＋3|22＋（－4）2＝52. 答案：52[方法技巧]1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2．圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例] (1)(2018·无锡期末)过圆O ：x 2＋y 2＝16内一点P (－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4，0)，B (0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝12×38×38＝19. (2)法一(几何法)：因为A (－4，0)，B (0，4)，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y＝4，将P (a ，a ＋4)分别代入PC ，PD的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，ax 2＋（a ＋4）y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，4－4y ＝0，所以直线CD 过定点N (－1，1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，因为A 在该圆外，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2.法二(参数法)：同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4y x ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4xy －x，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12(除去原点)，因为A 在该圆外，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. [答案] (1)19 (2)3 2[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)，圆心O ，C 到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则由直线l 与圆O 相交得d 1＝|km |k 2＋1＜1，得m 2＜1＋1k 2.由直线l 被两圆截得的弦长相等得1－d 21＝4－d 22，则d 22－d 21＝3，即（4k －km ）2k 2＋1－k 2m2k 2＋1＝3，化简得m ＝138－38k 2，则m ＜138－38(m 2－1)，即3m 2＋8m －16＜0，所以－4＜m ＜43.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－4，43 2．(2019·南京盐城一模)设M ＝{(x ，y )|3x ＋4y ≥7}，点P ∈M ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)的两条切线PA ，PB (A ，B 均为切点)，若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．解析：由题意知点P 位于直线3x ＋4y －7＝0上或其上方，记圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)的圆心为C ，则C (－1，0)，C 到直线3x ＋4y －7＝0的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2，连接PC ，则PC ≥2.设∠APB ＝θ，则sin θ2＝r PC ，因为θmax ＝π3，所以⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2max ＝r PC min ＝r 2＝12，所以r ＝1.答案：13．(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________．解析：由题意得C 1(－m ，2m ＋3)，C 2(－2，3)．由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即OA ＝OB ，所以△OAB 为等腰三角形，所以线段AB 的垂直平分线经过原点O ，又相交两圆的圆心连线垂直平分公共弦AB ，所以两圆的圆心连线C 1C 2过原点O ，所以OC 1∥OC 2，所以－3m ＝－2(2m ＋3),解得m ＝－6.答案：－64．(2019·常州期末)过原点O 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________．解析：易知A (－1，0)．因为PQ 是圆O 的直径，所以AP ⊥AQ .以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，则AN ⊥NQ ，所以k AN ＝－1k NQ＝－1k PO，又直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，所以k AN k AP ＝1，所以k AP ＝－k PO ，所以∠OAP ＝∠AOP ，所以点P 为OA 的垂直平分线与圆O 的交点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±32，所以直线l 的方程为y ＝±3x .答案：y ＝±3x5．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，则实数a 的值为________．解析：法一：设AB 的中点为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，则由AB ＝211，得CM ＝16－11＝5，即点M 的轨迹为(x 0＋4)2＋(y 0－a )2＝5.又因为PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，所以PM ―→＝12OC ―→，即(x 0－x ，y 0－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，a 2，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －2，y 0＝y ＋a 2，则动点P 的轨迹方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝5，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4－a 222＋（－1）2＝5，解得a ＝2或a ＝－18.法二：由题意，圆心C 到直线AB 的距离d ＝16－11＝5，则AB 中点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋(y －a )2＝5.由PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，得2PM ―→＝OC ―→，所以PM ―→∥OC ―→.如图，连结CM 并延长交l 于点N ，则CN ＝2CM ＝2 5.故问题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ，使得CN ＝25，所以点C 到直线l 的距离为|2×（－4）－a |22＋（－1）2＝25，解得a ＝2或a ＝－18. 答案：2或－18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x2．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为______．解析：由题意，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由双曲线的一条渐近线过点(－3，1)，得－a b ＝－13，可得9a 2＝b 2＝c 2－a 2，得10a 2＝c 2，所以可得该双曲线的离心率e＝c a＝10.答案：103．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. 答案：234.(2019·南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2＝2px (p ＞0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为直线，l ：x ＝－p2，不妨令A 点在第二象限，则直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线y ＝±12x 分别交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 4，则AB＝p2＝6，p ＝2 6.答案：2 6[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长AB ＝2r 2－d 2. (2)代数法设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线方程代入圆方程中，消去y 得关于x 的一元二次方程，求出x 1＋x 2和x 1·x 2，则MN ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2. 3．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r (R >r )的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .4．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(二) 二级结论要用好1．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2.过圆C 外一点P 做圆C 的切线，切点分别为A ，B (求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P ，B ，C ，A 四点共圆，且该圆的直径为PC ； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； (3)cos ∠BCA 2＝sin ∠BPA 2＝r PC；(4)直线AB 的方程可以转化为圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦，且P (x 0，y 0)时，直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是PF 1＝a ＋ex 0，PF 2＝a －ex 0，F 1F 2＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .4．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，PF 1＝ex 0＋a ·PF 2＝ex 0－a ；若P 在左支上，PF 1＝－ex 0－a ，PF 2＝－ex 0＋a .5．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的3个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p .[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________．解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋（5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．(2019·无锡期末)以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．解析：由题可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以p2＝3，p ＝6，所以抛物线的标准方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x4．已知直线l 过点P (1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S△ABC＝12CA ·CB ·sin ∠ACB ＝1，所以12×2×2×sin ∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝15．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________．解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，|MA |＝|MB |sin ∠BAM ＝2sin 30°＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2＝16，解得x ＝1或x＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1，5]．答案：[1，5]6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值为－43.答案：－437．(2019·南京四校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，半径为1的圆M 的圆心M 在线段CD ：y ＝x －4(m ≤x ≤n ，m ＜n )上移动，过圆O 上一点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，且满足∠APB ＝60°，则n －m 的最小值为________．解析：设M (a ，a －4)(m ≤a ≤n )，则圆M 的方程为(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.连接MP ，MB ，则MB ＝1，PB ⊥MB .因为∠APB ＝ 60°，所以∠MPB ＝30°，所以MP ＝2MB ＝2，所以点P 在以M 为圆心，2为半径的圆上，连接OM ，又点P 在圆O 上，所以点P 为圆x 2＋y 2＝1与圆(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM ≤2＋1，即1≤a 2＋（a －4）2≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－8a ＋15≥0，2a 2－8a ＋7≤0，解得2－22≤a ≤2＋22.所以n ≥2＋22，m ≤2－22，所以n －m ≥ 2.答案： 28．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．解析：设点P (x 0，y 0)，则直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1), 在y 轴上的截距为y 0x 0＋1，同理可得直线PB 在y 轴上的截距为－5y 0x 0－5，由直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，得－5y 0x 0－5×y 0x 0＋1＝5，化简，得(x 0－2)2＋y 20＝9(y 0≠0)，所以点P 的轨迹是以C (2，0)为圆心，3为半径的圆(点A (－1，0)，B (5，0)除外)，由题意知点P 的轨迹与圆M 恰有一个公共点，若A ，B 均不在圆M 上，因此圆心距等于半径之和或差，则22＋m 2＝5，解得m ＝±21；或22＋m2＝1，无解．若A 或B 在圆M 上，易得m ＝±3，经检验成立．所以m 的值为±21或± 3.答案：±21或± 39．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，所以圆心C (0，3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a2>2，即3a >2c ，即e ＝c a <32，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．解析：设∠PCA ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC ，AC ∈[3，＋∞)，所以cos θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，2211．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是________． 解析：因为MN 是⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点，所以PC ＝22r ＝1，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.圆心C 到直线l ：x －3y －5＝0的距离为|1－3×2－5|12＋（－3）2＝10.因为直线l 上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，所以AB min＝210＋2.答案：210＋212．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2，0)，C (2，0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 272＝1上，即14x 2－2y 2＝7.又点D 在直线l 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，14x 2－2y 2＝7，得12x 2－8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D －x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝13.法二：由题意可得A (－2，0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，AP ＝2（a ＋2）2，故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a ＋222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋222＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，513．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大，此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ，由条件得12·2c ·2b 2a ＝ab ，即b 2＋c 2＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e ＝22. 答案：2214．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围是[7，13]． 答案：[7，13]B 组——力争难度小题1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：根据题意得，圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C ，使得点C 到直线l 的距离为1，那么圆心O 到直线l 的距离不大于2，即|4a |1＋a2≤2，解得－33≤a ≤33，于是a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 法二：因为△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，所以点C 在以AB 为直径的圆上，记圆心为M ，半径为1，且CM ⊥直线l ，又点C 也在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以C 是两圆的交点，即OM ≤2，所以d OM ＝|4a |1＋a2≤2，解得－33≤a ≤33，于是a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 2．(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a ，0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：2333．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k )2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当|PQ |最小时，k ＝________．解析：由题意得，圆C 1与圆C 2外离，如图．因为PQ 为切线，所以PQ ⊥C 2Q ，由勾股定理，得|PQ |＝|PC 2|2－1，要使|PQ |最小，则需|PC 2|最小．显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的交点时，|PC 2|最小，此时，|PC 2|＝|C 1C 2|－1，所以当|C 1C 2|最小时，|PC 2|就最小，|C 1C 2|＝k 2＋（－k ＋4）2＝2（k －2）2＋8≥22，当k ＝2时，|C 1C 2|取最小值，即|PQ |最小． 答案：24．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4OF ，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知AF ＝y 1＋p 2，BF ＝y 2＋p 2，OF ＝p2，由AF ＋BF ＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4OF ＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝32＝322>2＝r ，所以直线l 与圆C相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π2，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH2＝（22）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14.答案：146．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，满足AF ＝2，已知P 为抛物线准线上任一点，当PA ＋PF 取得最小值时，△PAF 外接圆的半径为________．解析：由抛物线的方程x 2＝4y 可知F (0，1)，设A (x 0，y 0)，又由AF ＝2，根据抛物线的定义可知AF ＝y 0＋p2＝y 0＋1＝2，解得y 0＝1，代入抛物线的方程，可得x 0＝2，即A (2，1)．如图，作抛物线的焦点F (0，1)，关于抛物线准线y ＝－1的对称点F 1(0，－3)，连接AF 1交抛物线的准线y ＝－1于点P ，此时能使得PA ＋PF 取得最小值，此时点P 的坐标为(1，－1)，在△PAF 中，AF ＝2，PF ＝PA ＝5，由余弦定理得cos ∠APF ＝（5）2＋（5）2－222×5×5＝35，则sin ∠APF ＝45.设△PAF 的外接圆半径为R ，由正弦定理得2R ＝AFsin ∠APF ＝52，所以R ＝54，即△PAF 外接圆的半径R ＝54.答案：54第二讲 | 大题考法——直线与圆题型(一) 直线与圆的位置关系主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.[典例感悟][例1] 如图，在Rt △ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，BC 中点为M (2，0)．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt △ABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．[解] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB 垂直，所以直线AC 的斜率为－3.故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)． 点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25. 所以BC 所在直线方程为x ＋7y －2＝0.(2)因为Rt △ABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt △ABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt △ABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝（a ＋2）2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线m 的方程为(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0. 因为公共弦长为4，⊙M 半径为22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2（4－2a ）＋a 2＋b 2－r 2＋4|2（2－a ）2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝ （a ＋2）2＋b 2＝ 4a 2＋4. 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4.[方法技巧]解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．[演练冲关](2019·连云港模拟)已知圆O 1：x 2＋y 2＝25，点P 在圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)上，过点P 作圆O 2的切线交圆O 1于点M ，N 两点，且r ，OM ，MN 成等差数列．(1)求r ；(2)若点P ′的坐标为(－4，3)，与直线MN 平行的直线l 与圆O 2交于A ，B 两点，则使△AOB 的面积为43的直线l 有几条？并说明理由．解：(1)显然圆O 1和圆O 2是圆心在原点的同心圆． 连接OP ，则OP ⊥MN ，OM ＝5，OP ＝r ， 在直角三角形MOP 中，MP ＝52－r 2， 所以MN ＝252－r 2. 由r ，OM ，MN 成等差数列， 得2OM ＝r ＋MN ，即2×5＝r ＋225－r 2，解得r ＝4. (2)因为点P ′的坐标为(－4，3)， 所以k OP ′＝－34，所以直线l 的斜率k ＝43，设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，即4x －3y ＋3b ＝0.设圆心到该直线的距离为d ，则d ＝|3b |5，则AB ＝242－d 2，所以S △AOB ＝12×AB ×d ＝42－d 2×d ＝43，整理得 d 4－16d 2＋48＝0，(d 2－4)(d 2－12)＝0， 解得d ＝2或d ＝2 3 ，因为d ＝|3b |5，从而对应的b 有4个解：b ＝±103或b ＝±1033， 检验知均符合题意，故使△AOB 的面积为43的直线l 有4条.题型(二) 圆中的定点、定值问题主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.[典例感悟][例2] 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．[解] (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t ，0)． 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－95或t ＝－5(舍去)．下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数．设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·（5x ＋17）2·（5x ＋17）＝925.从而PB PA ＝35为常数．法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBPA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)．故存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.[方法技巧]关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．[演练冲关]1．(2019·无锡天一中学模拟)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝OC . ∵OC 2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t ，0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2，1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1， 所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋1，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为(x －m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－12，化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25.题型(三)与直线、圆有关的最值或范围问题主要考查与直线和圆有关的长度、面积的最值或有关参数的取值范围问题.[典例感悟][例3] 已知△ABC 的三个顶点A (－1，0)，B (1，0)，C (3，2)，其外接圆为圆H . (1)若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0. 所以外接圆圆心H (0，3)，半径为12＋32＝10. 圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝（10）2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43. 所以直线l 的方程为y －2＝43(x －3)，即4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )． 因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2＝r 2，（x ＋m －6）2＋（y ＋n －4）2＝4r 2. 因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m ，4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2.又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0，1]成立． 而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，所以r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对任意的m ∈[0，1]成立，即r 2<325.故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.[方法技巧]1．隐形圆问题有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．2．隐形圆的确定方法(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； (2)动点P 对两定点A ，B 张角是90°(k PA ·k PB ＝－1)确定隐形圆； (3)两定点A ，B ，动点P 满足PA ―→·PB ―→＝λ确定隐形圆； (4)两定点A ，B ，动点P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐形圆；(5)两定点A ，B ，动点P 满足PA ＝λPB (λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)； (6)由圆周角的性质确定隐形圆． 3．与圆有关的最值或范围问题的求解策略与圆有关的最值或取值范围问题的求解，要对问题条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，要掌握解决问题常使用的思想方法，如要善于利用数形结合思想，利用几何知识，求最值或范围，要善于利用转化与化归思想将最值或范围转化为函数关系求解．[演练冲关]1．在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，且点B (－1，0)．点D (2，0)为AC 的中点． (1)求点C 的轨迹方程；(2)已知直线l ：x ＋y －4＝0，求边BC 在直线l 上的射影EF 长的最大值． 解：(1)设C (x ，y )， ∵D (2，0)为AC 的中点． ∴A (4－x ，－y )，。
第二轮专题复习 解析几何专题 教案示例 教案
第二轮专题复习解析几何专题本周目标：能灵活应用圆锥曲线定义解决有关问题；能灵活处理直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系的有关问题；掌握处理取值X 围问题的方法。
本周重点：圆锥曲线定义的应用；位置关系问题；取值X 围及最值问题。
本周内容：一、圆锥曲线定义的应用例1．椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离为2，O 为原点，Q 为PF 1的中点，则|OQ|为________。
解：令F 2是此椭圆的另一焦点，则由P 是椭圆192522=+y x 上一点， ∴ |PF 1|+|PF 2|=2×5=10， 又|PF 1|=2，∴|PF 2|=8，如图，在ΔPF 1F 2中，由Q 是PF 1中点，O 是F 1F 2中点知OQ//PF 2且||21||2PF OQ =， ∴ |OQ|=4。
例2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，点P 是以F 1、F 2为直径的圆与椭圆的交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆离心率为_____。
解：如上图，已知实际为椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1。
在ΔPF 1F 2中，有*).........(sin ||sin ||sin ||2121212121PF F F F F PF PF F PF PF ∠=∠=∠∵PF 1⊥PF 2，∴sin ∠F 1PF 2=1, 令此椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则由椭圆第一定义有 |PF 1|+|PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c, ∴由(*)式有**).........(2sin ||sin sin ||||2121211221c PF F F F F PF F PF PF PF =∠=∠+∠+又∵∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴∠PF 1F 2=75°，∠PF 2F 1=15°，∴21575cos 21575sin 2sin sin 00002112-⋅+=∠+∠F PF F PF .2630cos 45sin 200=⋅=∴由(**)式有c a 2262=，∴3662a c ==， 即36=e 。
高考数学二轮复习 第1篇 专题7 解析几何学案-人教版高三全册数学学案
专题七解析几何解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．【典例】 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解题示范] 由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0．设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0❶，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2． 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0． (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0． 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2．所以AR ∥FQ ．(2)解：设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)❷， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|，S △PQF ＝|a －b |2． 由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )❸． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2＝x －1． 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1．❶设线：设出直线l 1，l 2可表示出点A ，B ，P ，Q ，R 的坐标，进而可表示过A ，B 两点的直线方程❷设点：设出直线l 与x 轴交点，可表示出|DF |，进而表示出S △ABF ，根据面积关系，可求得此点坐标❸设点：要求此点的轨迹方程，先设出此点，根据题目条件得出此点坐标的关系式，即轨迹方程解决解析几何问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维，反映在解题上，就是把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．。
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高考冲刺：解析几何综合问题【高考展望】1.坐标法、曲线的方程与方程的曲线是解析几何的学科基础，应在理解的基础上会应用；2.点、直线、圆、圆锥曲线是解析几何重点研究的基本图形，其方程、几何性质是高中解析几何重点研究的内容，也是高考考查的重点；3.几何性质与方程的对应关系是正确理解解析几何问题的关键，也是正确解决解析几何问题的关键；4.数形结合的数学思想方法是解决解析几何的根本方法，是解决解析几何综合问题的基本思路. 【知识升华】知识点一：曲线的方程和方程的曲线的关系一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 知识点二：求曲线的方程1.坐标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2.坐标法求曲线方程的步骤：建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。
解析几何综合问题369357 知识要点】知识点三：有关圆锥曲线综合题类型 (1)求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤： 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。
此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
此处注意n 个未知数，列够n 个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
要点诠释：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法(2)求取值范围或最值①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
②方程与不等式组----n 个未知数，列够n 个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：③利用几何性质求参数范围；④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．知识点四：解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。
因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：(1)不断提高运算和恒等变形能力。
注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略；加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．(2)善于运用平面几何性质来解题问题。
解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要．(3)注意解析法与各种数学方法结合。
当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略． 【典型例题】类型一：解析几何中最值问题例1.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2= )(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=若21<b ,则当b y -=时2AM 最大,即7)33(2=--b ,21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b所求方程为 1422=+y x把12y =-代入，求得M 的坐标是(─3,─21)或(3,─21). 举一反三：【变式1】定长为3的线段AB ，其两端点在抛物线2y x =上移动，设AB 中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时M 点的坐标.【解析一】作准线l :12x =-， 过A 、B 、M 分别作AA l '⊥,BB l '⊥、MM l '⊥,垂足A '、B '、M '，且MM '交y 轴于N ， 连结AF 、BF .111||||(||||)424MN MM AA BB '''=-=+-11115(||||)(||)24244AF BF AB =+-≥-= ∴当线段AB 过焦点F 时，min 5||4MN =，此时54M x =.此时设过焦点F 的直线AB 的方程为1()4y k x =-（0k ≠），则由21()4y k x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得2221(1)0216k k x x -++=21221112||||||322k AB AF BF x x k +=+=++=+= 即2221322k k ++= 解得22k =± ∴221)22M M y x =±-=± 故当52(,42M ±时，点M 到y 轴最短距离为45. 【解析二】设11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)M x y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==)4.........(2)3(..........2)2(..........)1...(. (21)21222121y y y x x x x y x y(1)+(2)得221212y y x x +=+，由(3)有22122y y x += …………(5) (3)2-(5)得2122y y y x =- (6)∵||3AB =，∴221212()()9x x y y -+-= 即22221212()()9y y y y -+-=221212()[()1]9y y y y -++=22121212[()4][()1]9y y y y y y +-++=∴222[(2)4(2)][(2)1]9y y x y --+=∴ 2222294(41)191()14(41)4416()4y y x y y y ++==++-++1544≥=（当且仅当22911416()4y y =++即2y =±时，min 54d =且5(,42M ±）. 例2.(2018 山东高考)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程.(2)设椭圆E ：2222144x y a b+=,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B两点,射线PO 交椭圆E 于点Q. (ⅰ)求||||OQ OP 的值; (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.【思路点拨】(1)由离心率e 和2a=r 1+r 2可求a,b,c.(2)将直线y=kx+m 与椭圆E 和椭圆C 联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆C 上,所以2a=3+1=4,a=2. 又因为椭圆C的离心率为c e a ==,所以222 1.c b a c ==-= 即椭圆C 的方程为2214x y +=.. (2)(ⅰ) 椭圆E ：221164x y +=. 设00(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则220044x y +=.直线OP ：0y y x x =与椭圆E ：221164x y +=联立消y 得22222000222000416(1)16,44y x x x x x x y +===+，所以00(2,2)Q x y --.即0022OQ x OPx -==.(ⅱ) 因为点00(,)P x y 在直线y kx m =+上，所以00y kx m =+，点00(2,2)Q x y --到直线y kx m =+的距离为d ==将y kx m =+与221164x y +=联立消y 得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0∆>可得22416m k <+. ①设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++，所以12x x -=直线y=kx+m 与y 轴交点为(0,m),所以△OAB 面积121||2OABx x S m ∆-===，令2214m t k =+，则OAB S ∆==.将y kx m =+与2214x y +=联立消y 得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0∆≥可得2214m k ≤+. ②由①②可知01t <≤，因此OAB S ∆≤=1t =即2214m k =+时取得最大值），注意到3ABQ OAB S S ∆∆=，所以3ABQ OAB S S ∆∆=≤即ABQ ∆的面积的最大值为举一反三：【变式1】(2018 天津高考)(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F(-c,0),点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2=2b 4错误!未找到引用源。
截得的线段的长为c,|FM|=3错误!未找到引用源。