湖北省高考数学试卷文科答案与解析

2010年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5 分）（2010?湖北）设集合M={1，2, 4，8}，N={x|x 是2 的倍数}，贝U M AN=（）A. {2 , 4} B . {1 , 2, 4} C. {2 , 4, 8} D. {1 , 2, 8}【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，用列举法表示集合N，进而由M，找两者的共同元素，可得答案.【解答】解：根据题意，N={x|x 是2 的倍数}={…，-2, 0, 2, 4, 6, 8,…},故M A N={2 , 4, 8},故选C.【点评】本题考查集合的交集运算，注意N是无限集，其列举法表示时需加省略号，这是易错点.2. （5分）（2010?湖北）函数f （x）= 的最小正周期为（）7T cA . ―― B. n C. 2 n D. 4 n2【考点】三角函数的周期性及其求法.【专题】计算题.【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=-丄，求出它的最小正周期即可.rM【解答】解：函数f （x）=^^in （令-，x E R由T= f | =^^=4 n,故D正确. 2 4 13 I 丄.2故选D .【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力.3. （5分）（2010?湖北）已知函数f （耳），则f[f （丄）］=（c.—4 D.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值.【分析】将函数由内到外依次代入，即可求解【解答】解：根据分段函数可得：叫）豊电十,则斥G））二f （ -2）二2■兮,9 4故选B【点评】求嵌套函数的函数值， 要遵循由内到外去括号的原则，将对应的值依次代入, 求解. 4. （ 5分）（2010?湖北）用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，其中真命题的是 :()①若a // b , b / c , 则 a / c ;②若a 丄b , b 丄c , 则 a 丄c ；③若a / y , b / y , 则 a / b ；④若a 丄y , b ± y , 则 a / b .A .①②B .②③C .①④D .③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】证明题.【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的 性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 【解答】解：根据平行直线的传递性可知 ①正确； 在长方体模型中容易观察出 ②中a 、c 还可以平行或异面； ③ 中a 、b 还可以相交； ④ 是真命题， 故答案应选：C【点评】在判断空间线面的关系， 常常把他们放在空间几何体中来直观的分析， 在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法.5. （ 5分）（2010?湖北）函数尸 --------------- - ---- 的定义域为（）71og 0 5 （4X-3）A .（疔，1）B .庁C . （ 1, +1D .（号，1）U （1, +R ）【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点.【专题】计算题.【分析】由Iog 0.5（4x 「3）> 0且4x -3> 0可解得, q【解答】 解：由题意知Iog 0.5 4x 3 >0且4x -3>0, 由此可解得女二1 ,4故选A .【点评】本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用. 6 【考点】 分步乘法计数原理.【分析】6名同学去听同时进行的 5个课外知识讲座，实际上是有 6个人选择座位，且每人 有5种选择方法，根据分步计数原理得到结果.6 （5分）（2010?湖北）现有6名同学去听同时进行的 5个课外知识讲座，每名同学可自由即可选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（) D . 6 >5 >4 X 3X2【解答】 解：•••每位同学均有5种讲座可选择，•••6位同学共有 5拓X5X5拓＞5=56种，故选A【点评】本题考查分步计数原理，解题的关键是看清题目的实质， 分步乘法计数原理： 首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n 个步骤，这件事才算完成.7. （ 5分）（2010?湖北）已知等比数列｛a n ｝中，各项都是正数，且 a i, £曲，2a 2成等差数 L JA . 1+ 二B . 1 -「C . 3+2 [D . 3- 2.:【考点】等差数列的性质；等比数列的性质. 【专题】计算题.【分析】先根据等差中项的性质可知得2＞（丄打）=a i +2a 2，进而利用通项公式表示出2 32q 2=1+2q ，求得q ，代入-'中即可求得答案.a 7+a 0【解答】解：依题意可得2 七）=a i +2a 2, 即，a 3=a i +2a 2，整理得 q 2=1+2q , 求得q=1 ± /, •••各项都是正数 • q ＞0, q=1+ .彳g9 • --「[「：=3+2 二a 7+a84巧口故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质. 考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解.所以有「「一宀故m=3, 故选：B .【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.9. （ 5分）（2010?湖北）若直线y=x+b 与曲线.，■有公共点，则b 的取值范围是（ ）A. I — 1 +B. [1-刃，3]C. [ - 1, 1+2换]D . [1-2五，3]【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】计算题；压轴题；数形结合.【分析】本题要借助图形来求参数 b 的取值范围，曲线方程可化简为 （x - 2） 2+ （y - 3） 2=4（1号W ）,即表示圆心为（2, 3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数 b 的范围.【解答】解：曲线方程可化简为（x -2） 2+ （y - 3） 2=4 （1今W ）, 即表示圆心为（2, 3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心 （2, 3）到直线y=x+b 距离等于2, 即. 解得 「[或2-「1 - ■:,因为是下半圆故可知丨：.'：（舍），故〔一1 - :■:当直线过（0, 3）时，解得b=3,故1 - 2近＜応3,故选D .【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力. 本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型.10. （5分）（2010?湖北）记实数x1, x2, --x n中的最大数为max{x1, x2, --x n}，最小数为min{x 1, x2, --x n}.已知△ ABC的三边边长为a、b、c （a^b＜）,定义它的倾斜度为t=max{》,b 上，勺?min{^，上，勺,x，则t=1 ”是△ ABC为等边三角形”的（）c a b c aA .充分但不必要的条件B .必要而不充分的条件C.充要条件D .既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.【分析】观察两条件的互推性即可求解.【解答】解：若△ ABC为等边三角形时，即a=b=c,则丁辽;. 一，一则t=1 ；假设△ ABC为等腰三角形，如a=2，b=2, c=3时,则一亍亍min {-a b r9—*二二三b0 *a2 b c8 3此时t=1仍成立，但△ ABC不为等边三角形，所以t=1 ”是△ ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件. 故选B .【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. （5分）（2010?湖北）在（1 - x2）10的展开中，x4的系数为45 .【考点】二项式系数的性质.【专题】计算题.【分析】要得到x4的系数，则取2个1 - x2中的（-x2）相乘，其余选1，根据二项式定理的通项公式即可求出x4的系数.【解答】解：（1-x2）10展开式即是10个（1 - x2）相乘，要得到x4,则取2个1 - x2中的（-x2）相乘，其余选1, 则系数为C102x （- x2）2=45x4，故系数为45.故答案为45.【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及二项式定理的通项公式的应用，属于基础题.12. （5分）（2010?湖北）已知z=2x - y，式中变量x, y满足约束条件｛，则z的最lx<2大值为5 .【考点】简单线性规划.【专题】常规题型；作图题.【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x - y,再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x - y过可行域内的点A时，从而得到z=2x - y的最大值即可.【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x - z,当直线经过A （2,- 1）时，z取到最大值，Z max=5 .故答案为：5.【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题•目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解.13. （5分）（2010?湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为0.9477 （用数字作答）.【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.【专题】概率与统计.【分析】由题意知，本题符合独立重复试验条件，分情况讨论：若共有3人被治愈，若共有4人被治愈，分别代入独立重复试验公式得到结果.最后求和.【解答】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则P仁C43（0.9）3x （1- 0.9）=0.2916;若共有4人被治愈，则P2= （0.9）4=0.6561 ,•••至少有3人被治愈概率P=P1+P2=0.9477 .故答案为：0.9477.【点评】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响.14. （5分）（2010?湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_4cm.【考点】组合几何体的面积、体积问题.【专题】计算题；综合题；压轴题.【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可.【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3冷十厂丁’ ••；：二厂, 3解得r=4.故答案为：4【点评】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题.［2 , 2近)_，直线-^p+y o y=l 与椭圆C的公共点个数 0 .【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】当P 在原点处时(|PF I |+|PF 2|) min =2，当P 在椭圆顶点处时，取到(|PF l |+|PF 2|) max =厶/㊁，故范围为［2.因为(X 0, y 0)在椭圆 专+/二1的内部，则直线一 十y ■坯二1上的点(X , y )均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点.【解答】 解：依题意知，点 P 在椭圆内部且与原点不重合•画出图形，由椭圆方程得 c=1,由数形结合可得，当 P 点在线段F 1F 2上除原点时，(|PF 1|+|PF 2|) min =2, 当 P 在椭圆上时，(|PF 1|+|PF 2|) max =2a=2 .: 故|PF 1|+PF 2|的取值范围为［2, 「).、 / 2 亠因为(x0, y 0)在椭圆L I 的内部， 则直线於呵41上的点(x , y )均在椭圆外，2 u故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0个.答案：［2 ,「.：)，0.5 L4咗 J*S? ■-厂1-A1 1 1 1 i 1jl< 0丿丿% -j --4 --5■【点评】 本题考查椭圆的性质及其应用，画出图形，数形结合事半功倍.三、解答题(共6小题，满分75分)2 -・216. (12分)(2010?湖北)已经函数 f (丈)二“日*门 別门 — g(I )函数f (x )的图象可由函数 g ( x )的图象经过怎样变化得出？(n )求函数h (x ) =f (x ) - g ( x )的最小值，并求使用 h (x )取得最小值的x 的集合. 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数 y=Asin ( «x+ ®的图象变换.【专题】计算题；综合题.15. ( 5分)(2010?湖北)已知椭圆 的两焦点为F l , F 2,点P (x o , y o )满足C : ,则|PF 1|+PF 2|的取值范围为【分析】(I )先利用诱导公式把函数f (x)中余弦函数转化成正弦函数，进而利用图象平移的法则，求得答案. (n )把函数f (x)和g (x)的解析式代入h (x)中，利用两角和公式化简整理，进而根据余弦函数的性质求得函数的最小值以及此时x的集合.【解答】解：(【)f (疋)兮©□或工二*匚口(匪+于)=^s:in.2 (x+号)，所以要得到f (X)的图象只需要把g (x)的图象向左平移一L个单位长度，再将所得的图象4向上平移丄个单位长度即可.4(n) •「’2 2 4 2 4 4当2x+丄=2k n+z ( k €Z)时，h (x)取得最小值rs]h (x)取得最小值时，对应的x的集合为{工|貯k兀十2芦，kE2} •<5【点评】本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用，两角和公式，图象的平移等知识点.角函数中公式多且复杂，平时应注意多积累.17. (12分)(2010?湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克) ，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)(I )在表格中填写相应的频率；分组频率[1.00, 1.05)[1.05, 1.10)[1.10, 1.15)[1.15, 1.20)[1.20, 1.25)[1.25, 1.30](n )估计数据落在(1.15, 1.30)中的概率为多少；(川)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.【考点】频率分布直方图.【专题】计算题.【分析】（1）根据频率分布直方图可知，矩形的高为•，然后利用频率=组距奥•”求Ml 屈出每组的频率，即可填全表格；（2）先求出数据落在[1.15，1.30）中的频率，然后利用样本数据落在[1.15，1.30）中的频率估计总体的概率；（3）根据该水库中鱼的总条数= '进行求解即可.带记号的概率【解答】解：（I ）根据频率分布直方图可知，频率=组距丈」，故可得下表：(H) 0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15, 1.30)中的概率约为0.47.（川）10°二，所以水库中鱼的总条数约为2000条.6 ~'【点评】本题考查频率分布直方图，以及利用样本估计总体等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1,同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.18. （12 分）（2010?湖北）如图，在四面体ABOC 中，OC丄OA, OC 丄OB , / AOB=120 ° 且OA=OB=OC=1（I ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ丄OA，并计算.丄的值；AQ（n ）求二面角O- AC - B的平面角的余弦值.【考点】平面与平面之间的位置关系.【专题】计算题.组距分组频率[1.00 , 1.05) 0.05[1.05 , 1.10) 0.20[1.10 , 1.15) 0.28[1.15 , 1.20) 0.30[1.20 , 1.25) 0.15[1.25, 1.30] 0.02【分析】解法一：(1)要计算•'_：的值，我们可在平面OAB内作ON丄OA交AB于N，连接NC .则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出.AQ 的值.(2)要求二面角O- AC - B的平面角的余弦值，我们可连接PN , PO,根据三垂线定理，易得/ OPN为二面角O - AC - B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O - AC - B的平面角的余弦值. 解法二：取O为坐标原点，分别以OA , OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O - xyz,我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，禾U用向量法进行求解，(1 )由A、Q、B三点共线，我们可设: _ ［，然后根据已知条件，构造关于入的方程，解方程即可得到入的值，即•的值；AlQ(2)要求二面角O - AC - B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O-AC-B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解.【解答】解：法一：(I )在平面OAB内作ON丄OA交AB于N，连接NC.又OA丄OC, ••• OA丄平面ONC•/ NC?平面ONC ,•OA 丄NC .取Q为AN的中点，贝U PQ// NC .•PQ 丄OA在等腰△ AOB 中，/ AOB=120 °•/ OAB= / OBA=3O °在Rt△ AON 中，/ OAN=30 °在厶ONB 中，/ NOB=120 °- 90°=30° = Z NBO ,• NB=ON=AQ ..AB解: ( n )连接PN , PO,由OC丄OA , OC丄OB知：OC丄平面OAB . 又ON?平面OAB ,•OC 丄ON又由ON丄OA, ON丄平面AOC .•OP是NP在平面AOC内的射影.在等腰Rt△ COA中，P为AC的中点，•AC 丄OP根据三垂线定理，知：•AC 丄NP••• / OPN为二面角0 - AC - B的平面角在等腰Rt △ COA 中，OC=OA=1 , • 在Rt △AON中，［厂！_'_|上」I - _ '，解法二：（I）取O为坐标原点，分别以OA , OC所在的直线为x轴，z轴,建立空间直角坐标系O - xyz （如图所示）设两"耳心€（0. 1）），••石二（埠爭，D）• •OQ=QA+AQ=（I，0：0）心（-多萼 C 二（1-讣，爭養,0）• PQ=OQ - 0P二（* -弓入爭丸，_*）■••• 一r—-— 1 3 1•••.. ，•-1即二-・=,一二三所以存在点Q〔丄，包3, 0）使得PQ丄OA且塑二3・2 6 AQ（n ）记平面ABC的法向量为n= （ni, n2, n3）,则由n丄CA , n丄AB ,且CA=⑴0,-1），I】-n3=0得3 衍，故可取& （l s血！1）:_2n2+T n3=0又平面OAC的法向量为I = （0, 1, 0）.——（1,岳D ・（°, I, Q）V3两面角O - AC - B的平面角是锐角，记为0,则在Rt△ AON 中,•••在R t△ PON中,州叮0声+0NRt△ PON 中,V2••• P 为AC 中点，• P (-1110（n ）第5年末的住房面积4 — | 11・1弓3 - —_ =1. 6a- 6b，依题意可知,1 - 1.1面积为【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值; 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19. （12分）（2010?湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a （单位：m2）,其中有部分旧住房需要拆除•当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房, 同时也拆除面积为b （单位：m2）的旧住房.（I ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（n ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）【考点】数列的应用.30%，则每年拆除【专题】应用题.【分析】（1）由题意要知第1年末的住房面积- b,第2年末的住房面积101.6a-6b=1.3a,由此解得每年拆除的旧房逆3-b[1+lo第5年末的住房面积a?(日5-第4年末的住房面积 1110[1册囁宀霁等疇)mn -1-11b =l. Ba - &b1 - 1・ 1依题意可知，1.6a - 6b=1.3a ，解得所以每年拆除的旧房面积为 -【点评】本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.20. (13分)(2010?湖北)已知一条曲线 C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1, 0)的距离 减去它到y 轴距离的差都是1.(I )求曲线C 的方程；(n )是否存在正数 m ,对于过点 M (m , 0)且与曲线C 有两个交点A , B 的任一直线,都有'■ - I '.< 0?若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【考点】抛物线的应用.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(I )设P (x , y )是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可.(n)首先由于过点 M (m , 0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点A 、B ,则设该直线的方程为x=ty+m (包括无斜率的直线)；然后与抛物线方程联立方程组， 进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现 二？1 '・< 0的等价转化；最后通过m 、t 的不等式求出 m 的取值范围.【解答】 解：(I )设P (x , y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x , y )满足:4 (x- 1) 2 + y 2_(x>0)化简得y 2=4x (n )设过点(x > 0).M ( m , 0) (m >0)的直线l 与曲线C 的交点为 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2). 设I 的方程为x=ty+m ，由，Ly -4x得 y 2- 4ty - 4m=0 , △ =16(t 2+m )> 0,第2年末的住房面积("音-b) '■鲁-b 二且'■(昔)2 _b 〔卄音)=1. 21 a - 2. lb (口?(n )第3年末的住房面积【解答】 解：(1)第1年末的住房面积a "yr -b 二 1. la - b (『于是 又冠二(叼-匚门)，FB =(七-1,比)•丽•丽＜q ?(xi -1)(X 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-( x 1+x 2) +1+y 1y 2< 0 ②O ---- 运 ----- +箏］¥2_玄［［y ］+¥2)_2”］『2］斗1＜。