矩阵指数函数-青岛理工大学
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现代控制理论
青岛理工大学自动化工程学院
2014-09-10
第二章 控制系统状态空间表达式的解
本章主要内容：
• 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解
2.1.1 线性定常系统的运动
1）自由运动（零输入响应）：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，
b0
Ab0
(t
t0
)
1 2!
A2b0
(t
t0
)2
L
1 k!
Akb0
(t
t0
)k
L
(I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
) b0
t t0 x(t0 ) b0
x(t) (I A(t
t0)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
)x(t0)
x(t) eA(tt0 )x(t0 )
状态转移矩阵，记为 (t) 。 (t) 是一般的表示形式
2.2 状态转移矩阵
2.2.1、状态转移矩阵的含义
线性定常系统的齐次状态方程的解：
x(t) eA(tt0)x0,t t0,
x(t) eAtx0,t 0.
令：
eAt Φ(t)
e
A
(
t
t
0
)
Φ(t t0 )
则有：
状态转移矩阵
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
（4） Φ&(t) AΦ(t) Φ(t)A Φ(0) A
eAt I At 1 A2t2 L 1 Aktk L
2!
k!
（5）
AB BA e(AB)t eAteBt eBteAt
d eAt A 2 A2t L k Akt k 1 L
dt
2!
k!
=A(I+At L 1 Akt k +L ) k!
x(t2) (t2 t1)x(t1)
x(t2) (t2 t1)(t1 0)x(0)
x(t2) (t2 0)x(0)
(t2 ) (t2 t1)(t1 0)
2.2.2、状态转移矩阵的性质
（1）状态转移矩阵初始条件：
Φ(0) I
也即： (t t) I
意为状态向量从时刻 t 转移到t ，显然保持不变。
eA(tt0 )
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
A矩k (阵t 指t0数)k函L数
结论：考虑齐次状态方程 x(t) Ax(t)，
若初始状态为x(t0 ) x0, 其解为：x(t) eA(tt0)x0,t t0,
若 t0 0, 其解为x(t) eAtx0,t 0.
矩阵指数 eAt 把系统的状态 x(0)转移到 x(t)，也把它称为
（2）组合性： (t)( )=(t )
可视为从 到0 ，再从 0到t 的组合，即：
(t 0)(0 ( )) (t ( )) (t )
（3）可逆性： Φ1(t) Φ(t)
由（1），(t t) I, 由（2），(t)(t) I.
ห้องสมุดไป่ตู้
可依此计算0时刻的状态值
x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
dx ax dx a dt ln x ln x(0) a(t t0 )
dt
x
x(t) ea(tt0 ) x(0)
指数函数：
ea(t t0 )
1 a(t t0 )
1 a2 2!
(t
t0
)2
L
1 ak (t k!
t0 )k
L
x(t)
x(0)
ax(0)(t
t0 )
1 a2 x(0)(t 2!
其解即为自由解。
x(t) |t t0 x(0)
非齐次状态方程：
x Ax Bu , x(t) |tt0 x(t0 )
其解为自由运动和强迫运动之和。
2.1.2、齐次状态方程的解：
状态方程
x(t) Ax(t)
求 x(t) ?
启发：一阶标量微分方程 x&(t) ax(t), x(t0 ) x(0)
比较以上两式系数有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kb k Abk 1
b1 Ab0
b
2
b3
1 132AA2131!bb!A21A23bb00
b k
1 k
Ab1k k!
A1
k
b0
x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L
=(I+At L 1 Akt k +L )A k!
证明：
e(AB)t I (A B)t 1 (A B)2 t 2 1 (A B)3t3
2!
3!
eAt eBt
I At
1 A2t 2 2!
1 A3t 3 3!
L
I
Bt
1 2!
I (A B)t
B
2t 2
1
1 B3t3 3!
L
注1：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数。
注2：状态转移矩阵的物理意义：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地
在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0)
x(t1 )
0
t1
x(t2 )
t t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
x(t1) (t1 0)x(0)
由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
x& Ax , x(t) |t t0 x(0)
2）强迫运动（零初态响应）：线性定常系统在只有输入作用而无初始状态作用
下的运动，称为强迫运动。 u
x
( A, B)
x& Ax Bu , x(t ) |tt0 x(t0 ) 0
齐次状态方程： x& Ax ,
t0 )2
L
1 ak k!
x(0)(t
t0
)k
L
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L 微分方程：
代入微分方程： x&(t) Ax(t) A(b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L ) 对 x(t )求导： x&(t) b1 2b2 (t t0 ) 3b3 (t t0 )2 L kbk (t t0 )k 1 L
(A2 B2 2AB)t
2
2!
1 (A3 3A2B 3AB2 B3 )t3 L 3!
AB BA (A B)2 A2 B2 AB BA A2 B2 2AB
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
青岛理工大学自动化工程学院
2014-09-10
第二章 控制系统状态空间表达式的解
本章主要内容：
• 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解
2.1.1 线性定常系统的运动
1）自由运动（零输入响应）：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，
b0
Ab0
(t
t0
)
1 2!
A2b0
(t
t0
)2
L
1 k!
Akb0
(t
t0
)k
L
(I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
) b0
t t0 x(t0 ) b0
x(t) (I A(t
t0)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
)x(t0)
x(t) eA(tt0 )x(t0 )
状态转移矩阵，记为 (t) 。 (t) 是一般的表示形式
2.2 状态转移矩阵
2.2.1、状态转移矩阵的含义
线性定常系统的齐次状态方程的解：
x(t) eA(tt0)x0,t t0,
x(t) eAtx0,t 0.
令：
eAt Φ(t)
e
A
(
t
t
0
)
Φ(t t0 )
则有：
状态转移矩阵
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
（4） Φ&(t) AΦ(t) Φ(t)A Φ(0) A
eAt I At 1 A2t2 L 1 Aktk L
2!
k!
（5）
AB BA e(AB)t eAteBt eBteAt
d eAt A 2 A2t L k Akt k 1 L
dt
2!
k!
=A(I+At L 1 Akt k +L ) k!
x(t2) (t2 t1)x(t1)
x(t2) (t2 t1)(t1 0)x(0)
x(t2) (t2 0)x(0)
(t2 ) (t2 t1)(t1 0)
2.2.2、状态转移矩阵的性质
（1）状态转移矩阵初始条件：
Φ(0) I
也即： (t t) I
意为状态向量从时刻 t 转移到t ，显然保持不变。
eA(tt0 )
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
A矩k (阵t 指t0数)k函L数
结论：考虑齐次状态方程 x(t) Ax(t)，
若初始状态为x(t0 ) x0, 其解为：x(t) eA(tt0)x0,t t0,
若 t0 0, 其解为x(t) eAtx0,t 0.
矩阵指数 eAt 把系统的状态 x(0)转移到 x(t)，也把它称为
（2）组合性： (t)( )=(t )
可视为从 到0 ，再从 0到t 的组合，即：
(t 0)(0 ( )) (t ( )) (t )
（3）可逆性： Φ1(t) Φ(t)
由（1），(t t) I, 由（2），(t)(t) I.
ห้องสมุดไป่ตู้
可依此计算0时刻的状态值
x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
dx ax dx a dt ln x ln x(0) a(t t0 )
dt
x
x(t) ea(tt0 ) x(0)
指数函数：
ea(t t0 )
1 a(t t0 )
1 a2 2!
(t
t0
)2
L
1 ak (t k!
t0 )k
L
x(t)
x(0)
ax(0)(t
t0 )
1 a2 x(0)(t 2!
其解即为自由解。
x(t) |t t0 x(0)
非齐次状态方程：
x Ax Bu , x(t) |tt0 x(t0 )
其解为自由运动和强迫运动之和。
2.1.2、齐次状态方程的解：
状态方程
x(t) Ax(t)
求 x(t) ?
启发：一阶标量微分方程 x&(t) ax(t), x(t0 ) x(0)
比较以上两式系数有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kb k Abk 1
b1 Ab0
b
2
b3
1 132AA2131!bb!A21A23bb00
b k
1 k
Ab1k k!
A1
k
b0
x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L
=(I+At L 1 Akt k +L )A k!
证明：
e(AB)t I (A B)t 1 (A B)2 t 2 1 (A B)3t3
2!
3!
eAt eBt
I At
1 A2t 2 2!
1 A3t 3 3!
L
I
Bt
1 2!
I (A B)t
B
2t 2
1
1 B3t3 3!
L
注1：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数。
注2：状态转移矩阵的物理意义：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地
在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0)
x(t1 )
0
t1
x(t2 )
t t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
x(t1) (t1 0)x(0)
由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
x& Ax , x(t) |t t0 x(0)
2）强迫运动（零初态响应）：线性定常系统在只有输入作用而无初始状态作用
下的运动，称为强迫运动。 u
x
( A, B)
x& Ax Bu , x(t ) |tt0 x(t0 ) 0
齐次状态方程： x& Ax ,
t0 )2
L
1 ak k!
x(0)(t
t0
)k
L
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L 微分方程：
代入微分方程： x&(t) Ax(t) A(b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L ) 对 x(t )求导： x&(t) b1 2b2 (t t0 ) 3b3 (t t0 )2 L kbk (t t0 )k 1 L
(A2 B2 2AB)t
2
2!
1 (A3 3A2B 3AB2 B3 )t3 L 3!
AB BA (A B)2 A2 B2 AB BA A2 B2 2AB
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2