第5章 数字滤波器基础1
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1-2第5章IIR滤波器结构
5.2.2 直接形式Ⅰ型
N+M级延时单元
实现零点
实现极点
5.2.3 直接形式Ⅱ型
延时单元最少，又称典范结构(Canonic form Network)
直接形式结构的特点：
1) I型需要N+M级延时单元，II型需要N个延时单元。 2) 系数 ak , bk 对滤波器的性能控制作用不明显。
3) 直接形结构对于系数的变化过于敏感，尤其对于有限精 度情况下，会出现不稳定或较大误差。
5.3.5 并联形式
对 H ( Z ) 进行因式分解，表示成 N1 个一阶系统， N 2 个二阶 系统以及延时加权单元并联组合而成。
H ( z)
M N
k 0
Gk z k
N2 Ak 0 k 1k z 1 1 1 2 1 c z 1 z z k 1 k 1 k 1k 2k N1
5.3.4 级联形式
对 H ( Z ) 进行因式分解，表示成一系列二阶因子相乘的形式 。
1 1k z 1 2 k z 2 H ( z ) A A H k ( z ) 1 2 2k z k 1 1k z k
级联结构二阶基本节
级联结构（M=N）
注意以下几点： (1)一般情况下，分式的分子和分母可以由一阶因子和二阶 因子组成，但是为了对该结构进行统一，均采用二阶因子，不 足的可以用零系数补齐。统一用二阶节表示保持了结构上的一 致性，有利于时分多路复用。 (2)为什么二阶因子是最基本的?因为二阶因子是实系数， 而一阶因子通常包含复系数。 (3)级联能够单独调整滤波器的第k个零极点，而不影响其 它零极点的配置，便于调整滤波器的频率响应性能。 (4)对于分式中二阶节的配置有多种，同时若采用有限位字 长，其不同配置所带来的误差也不相同，存在优化问题。
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降 到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响 应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤 波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的 允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻 带的容限。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR） 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点 滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计 数字滤波器 5.6 设计 设计IIR滤波器的频率变换法 滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法 平面变换法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和 型滤波器 型滤波器和IIR型滤波器 型滤波器和 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉 冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤 波器的差分方程为
第五章_FIR 数字滤波器20112
H ( e ) = ∑ h( n)e
jω n=0
N −1
− jnω
= ∑ h( n)e
n =0
N −1 2
− jnω
+
− jnω h ( n ) e ∑ n= N 2
N −1
对上式的第二和式作变量替换（ 对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m) 后得到:
H ( e jω ) = ∑ h( n)e − jnω + ∑ h( N − 1 − n)e − j ( N −1)ω e jnω
N −1 −1 N −1 ω 2 −j 2
∑
n=0
2h(n)sin[(
h(n) 0
N −1 π N −1 2 −1 ω) j( − N −1 = e 2 2 ∑ 2h(n)sin − n ω n=0 2
N −1 2
6
n
10 h(n) 为奇对称， 为奇对称，N 为奇数
=e
令 n' =
N −n 2
N −1 h( n)2 cos[ω ( − n )] ∑ 2 n =0
，则上式为： 则上式为：
N N −1 −j ω 2 2
H (e jω ) = e
∑ 2h(
n =1
N 1 − n)cos[( n − )ω ] 2 2
=e
其中
N N −1 −j ω 2 2
1 jθ ( ω ) ( )cos[( − ) ] = b n n e H r (ω ) ω ∑ 2 n =1
jω
− jnω
=
∑
n=0
h( n)e
− jnω
+
n=
∑
h( n)e − jnω
(完整版)数字信号处理习题集(5-7章)
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题:1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）.解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式,并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj e H 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题:3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H 2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
《数字滤波器概述》PPT课件
8
2、现代滤波器
➢ 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列） 中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出， 那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
➢ 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法， 然后用硬件或软件予以实现。
第一节 数字滤波器概述
一、什么是数字滤波器
顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用； 即DF是由差分方程描述的一类特殊的 离散时间系统。
功能： 把输入序列通过一定的运算变换成输出 序列。不同的运算处理方法决定了滤波 器的实现结构的不同。
1
二、数字滤波器的工作原理
设：x(n)是系统的输入，X(ej)是其傅立叶变换； y(n)是系统的输出，Y(ej)是其傅立叶变换；
13
➢ 滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
➢ 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影 响复杂性，后者影响运算速度。
➢ 有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构 的误差及稳定性不同。
➢ 好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于 模块化实现，便于时分复用。
2、高通滤波器（HPAF/HPDF)
(High pass analog filter / High pass digital filter)
3、带通滤波器（BPAF/BPDF)
(Bandpass analog filter / Bandpass digital filter)
4、带阻滤波器（BSAF/BSDF)
相加
方框图表示法
乘常数
a
延时
z-1
信号流图表示法
2、现代滤波器
➢ 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列） 中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出， 那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
➢ 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法， 然后用硬件或软件予以实现。
第一节 数字滤波器概述
一、什么是数字滤波器
顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用； 即DF是由差分方程描述的一类特殊的 离散时间系统。
功能： 把输入序列通过一定的运算变换成输出 序列。不同的运算处理方法决定了滤波 器的实现结构的不同。
1
二、数字滤波器的工作原理
设：x(n)是系统的输入，X(ej)是其傅立叶变换； y(n)是系统的输出，Y(ej)是其傅立叶变换；
13
➢ 滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
➢ 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影 响复杂性，后者影响运算速度。
➢ 有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构 的误差及稳定性不同。
➢ 好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于 模块化实现，便于时分复用。
2、高通滤波器（HPAF/HPDF)
(High pass analog filter / High pass digital filter)
3、带通滤波器（BPAF/BPDF)
(Bandpass analog filter / Bandpass digital filter)
4、带阻滤波器（BSAF/BSDF)
相加
方框图表示法
乘常数
a
延时
z-1
信号流图表示法
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
24
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
第5章数字滤波器的基本概念
0.5 1
0 0.5
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part
1
0
0Leabharlann 0.511.5
2
/
1.5
Imaginary Part
0.5
1
0
0.5 -0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part
滤除信号中的高频分量
解：
H(z) 1 a z 1 a ? 2 za
1）变模拟信号为数字信号
采样间隔
2
2）滤波器的带宽 T
2max
T
max
200
T
0.015
低频分量对应的数字频率 T 70.015 0.105
高频分量对应的数字频率 T 2000.015 3
选择滤波器带宽
3）滤波器
H N (e j )
1
2
H (e j ) RN (e j )
x(n)
0.4 0.2
0
截断效应
-0.2
-10 0 10 20 30 40 50
通带幅度不再是常数，产生波动
n
频谱泄漏，阻带幅度不再是零 0.4
x(n)
产生过渡带
0.2
0
-0.2 -10 0 10 20 30 40 50 n 9
5.3简单滤波器设计
第5章 数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器
1
5.1 数字滤波器的基本概念（1）
数字滤波器:
输入与输出均为数字信号, 通过一定数值运算 改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分； 或者进行信号检测与参数估计 与模拟滤波不同在于信号的形式与滤波的方法.
数字滤波器的实现方法
数字滤波器的基本结构100页PPT
22
运算结构的重要性：
1）滤波器的基本特性(如有限长冲激 响应与无限长冲激响应)决定了结构上 有不同的特点；
2）不同结构所需的存储单元（复杂性） 及乘法次数（运算速度）不同；
23
运算结构的重要性：
3）不同运算结构的误差、稳定性是不 同的（有限字长情况下）。
4）好的滤波器结构应该易于控制滤波 器性能，适合于模块化实现，便于时 分复用。
k0 N 1
k
a
zk
k
k1
H(z) Y(z) N h(n)zn X(z) n0
10
差分方程分别为：
N
M
IIR系统： y(n ) a ky(n k) b m x(n m )
k 1
m 0
FIR系统：令IIR系统中ak 0则
M
y(n)bmx(nm) m1
可认为： y(n ) h (n )x (n )
16
通、阻带之间为过渡带：s p或 s p
横轴频率（在DF下）为数字域频率，以
2 为周期，并以 为对称点。
相当于模拟频率以抽样率 f s 为周期，fs / 2
为对称点。
17
各型实际滤波器的性能指标描述：
18
19
20
5.2、数字滤波器的结构
M
数 字 系
系统函数
bmzm
H(z)
m0 N
1 akzk
8
2）现代滤波器 从含有噪声的数据记录(又称时间
序列)中估计出信号的某些特征或信号 本身。
包括：维纳滤波器、卡尔曼滤波 器、线性预测、自适应滤波器等。
9
对数字滤波器, 从实现方法上划分,
有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 系统函数
运算结构的重要性：
1）滤波器的基本特性(如有限长冲激 响应与无限长冲激响应)决定了结构上 有不同的特点；
2）不同结构所需的存储单元（复杂性） 及乘法次数（运算速度）不同；
23
运算结构的重要性：
3）不同运算结构的误差、稳定性是不 同的（有限字长情况下）。
4）好的滤波器结构应该易于控制滤波 器性能，适合于模块化实现，便于时 分复用。
k0 N 1
k
a
zk
k
k1
H(z) Y(z) N h(n)zn X(z) n0
10
差分方程分别为：
N
M
IIR系统： y(n ) a ky(n k) b m x(n m )
k 1
m 0
FIR系统：令IIR系统中ak 0则
M
y(n)bmx(nm) m1
可认为： y(n ) h (n )x (n )
16
通、阻带之间为过渡带：s p或 s p
横轴频率（在DF下）为数字域频率，以
2 为周期，并以 为对称点。
相当于模拟频率以抽样率 f s 为周期，fs / 2
为对称点。
17
各型实际滤波器的性能指标描述：
18
19
20
5.2、数字滤波器的结构
M
数 字 系
系统函数
bmzm
H(z)
m0 N
1 akzk
8
2）现代滤波器 从含有噪声的数据记录(又称时间
序列)中估计出信号的某些特征或信号 本身。
包括：维纳滤波器、卡尔曼滤波 器、线性预测、自适应滤波器等。
9
对数字滤波器, 从实现方法上划分,
有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 系统函数
dsp4
1 1k z 1 2 k z 2 H ( z ) A A H k ( z ) 1 2 1 1k z 2 k z k k
其中：
1 11 z 1 21 z 2 H k (z) 1 11 z 1 21 z 2
k b z k
M
1 ak z k
k 1
第 18 页 2014-6-30 00:01
k 0 N
制作：常军
IIR滤波器正准型信号流图
在直接实现II型信号流图中一部分时延单元的输入相同，可 以合并简化。得正准型实现流图。正准型流图是对直接II型的 简化。因为M个时延单元具有相同的输入x’(n) ，所以可以合 并基本时延单元，节省了时延单元。
对 x’(n) 和 y(n) 两式进行Z变换：
X ' ( z ) X ' ( z ) a k z
k 1
N
k
X ( z ) ，Y ( z ) X ' ( z ) bk z k
k 0
M
因此， X ' ( z )
X (z) 1 ak z k
k 1 N
，
Y (z) H (z) X (z)
第9页 2014-6-30 00:01
制作：常军
举例：
已知差分方程如下
y( n) a1 y( n 1) a2 y( n 2) b0 x( n)
x(n)
其计算方框图为：
b0 b0x(n)
Z 1
y(n)
a1 y(n 1)
a1
y( n 1)
a2 y(n 2)
Z 1
a2
数字滤波的定义：对数字信号序列通过一定的算法进行处理， 提取信号中某频率范围内的信号成分的过程称为数字滤波。 一般情况下， 数字滤波器是完成滤波处理的一个线性时不 变系统(LTI)。 数字滤波器的表示：
数字滤波器的基本原理
数字滤波器的基本原理数字滤波器是一种信号处理系统，它能够对数字信号进行频率选择性处理，从而实现信号的去噪、平滑、增强等功能。
数字滤波器广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域，是数字信号处理中的重要组成部分。
一、数字滤波器的分类数字滤波器主要分为两大类：时域滤波器和频域滤波器。
时域滤波器是通过对信号的时域波形进行加权求和得到滤波效果，常见的时域滤波器包括移动平均滤波器、中值滤波器等。
而频域滤波器则是通过对信号进行傅里叶变换，对变换后的频谱进行滤波得到滤波效果，常见的频域滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
二、数字滤波器的基本原理无论是时域滤波器还是频域滤波器，其基本原理都是对信号进行滤波处理。
时域滤波器通过对信号的波形进行加权求和，实现对信号的滤波作用。
而频域滤波器则是通过对信号的频谱进行滤波处理，将不需要的频率成分滤除，从而实现滤波效果。
数字滤波器的设计过程通常包括以下几个步骤：1.确定滤波器类型：根据信号的特点和需要实现的滤波效果，选择合适的滤波器类型，如低通滤波器、高通滤波器等。
2.选择滤波器参数：确定滤波器的相关参数，如截止频率、滤波器阶数等，这些参数会直接影响滤波器的性能和效果。
3.设计滤波器：根据选定的滤波器类型和参数，利用数字滤波器设计方法，设计出满足需求的数字滤波器系统。
4.滤波器实现：将设计好的数字滤波器系统实现为软件或硬件形式，用于对信号进行滤波处理。
5.滤波器性能评估：对设计好的数字滤波器系统进行性能评估，包括滤波效果、运算速度、系统稳定性等指标的评估。
三、数字滤波器的应用数字滤波器在实际应用中具有广泛的用途，常见的应用包括：1.音频处理：数字滤波器用于音频信号的去噪、均衡、混响等处理，提高音频信号的质量和清晰度。
2.图像处理：数字滤波器常用于图像的去噪、锐化、边缘检测等处理，改善图像的质量和清晰度。
3.通信系统：数字滤波器在通信系统中起到滤波、调制解调、信道均衡等作用，确保通信信号的传输质量和稳定性。
第5章-滤波器结构
基本运算单元
加法器 单位延时器 常数乘法器
Z
-1 -1
Z a
a
信号流图——用节点与有向支路描述系统
节点 j a 节点 k
节点——支路的汇合点 输入节点(源节点) 、输出节点(阱节点) 分支节点、加法器 支路——由起始节点到终止节点的一条有向通道 节点值（节点变量）——节点上的物理量，等于该节点 所有输入支路之和。 输入支路的值=支路起点的节点值×支路传输系数
N2 Ak γ0 k γ1k z 1 G0 1 1 2 1 c z 1 z z k 1 k 1 k 1k 2k
G0 H k ( z )
k 1
L
画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联
一阶基本节、二阶基本节
二阶基本节 （二阶节）
γ0 k γ1k z 1 H k ( z) 1 α1k z 1 α2 k z 2
k 0 N
j H ( k ) H ( e ) 2 数字频域——系统数字频响 k
对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如直接计 算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘 等等，不同的计算形式也就表现出不同的计算结构，而不 同的计算结构可能会带来不同的效果，或者是实现简单，
网络结构分类 FIR网络
不存在反馈支路，其单位脉冲响应有限长
y (n ) bi x(n i )
i 0
M
bn , 0 n M h(n ) 0,
IIR网络
存在反馈支路，即信号流图中存在环路，其单位 脉冲 响应无限长
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
1
2
二阶基本节
一阶基本节、二阶基本节
数字信号处理-第五章数字滤波器的基本结构(new)
1 2 ( 1 p z ) ( 1 z z ) 1k k 2k 1 k 1 N1 1 1 2 ( 1 c z ) ( 1 a z a z ) k 1k 2k k 1 k 1 k 1 N2 M1 M2
H ( z) A
将两个一阶因子组合成二阶因子,则
数字信号处理－第五章 数字滤波器络结构及 FIR数字滤波器的基本网络结构
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
滤波器表示方式
（1）系统函数
k b z k M
Y ( z) H ( z) X ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
1 ak z k
k 1
k 0 N
N2 M N Ak Bk (1 g k z 1 ) k G z k 1 1 * 1 1 c z ( 1 d z )( 1 d z ) k 1 k 1 k 0 k k k N1
一般IIR滤波器满足
N1
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应（IIR)滤波器的基本结构）
IIR滤波器有以下几个特点： （1）系统的单位冲激响应 （2）系统函数
h( n)
是无限长的
H ( z)
在有限z平面（
0 z
）上有极点存在
（3）结构上存在输出到输入的反馈，也就是结构是递归的 1、直接Ⅰ型 一个IIR滤波器的有理系统函数为：
x n
3 1.5 -1.5 0.5
z 1 z 1 z 1
-3.5 2.5
y n
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构 级联型：
3z 3 3.5z 2 2.5z 3 3.5z 1 2.5z 2 1 H ( z) 2 2 z z 1 z 0.5 1 z z 1 0.5z 1
H ( z) A
将两个一阶因子组合成二阶因子,则
数字信号处理－第五章 数字滤波器络结构及 FIR数字滤波器的基本网络结构
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
滤波器表示方式
（1）系统函数
k b z k M
Y ( z) H ( z) X ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
1 ak z k
k 1
k 0 N
N2 M N Ak Bk (1 g k z 1 ) k G z k 1 1 * 1 1 c z ( 1 d z )( 1 d z ) k 1 k 1 k 0 k k k N1
一般IIR滤波器满足
N1
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应（IIR)滤波器的基本结构）
IIR滤波器有以下几个特点： （1）系统的单位冲激响应 （2）系统函数
h( n)
是无限长的
H ( z)
在有限z平面（
0 z
）上有极点存在
（3）结构上存在输出到输入的反馈，也就是结构是递归的 1、直接Ⅰ型 一个IIR滤波器的有理系统函数为：
x n
3 1.5 -1.5 0.5
z 1 z 1 z 1
-3.5 2.5
y n
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构 级联型：
3z 3 3.5z 2 2.5z 3 3.5z 1 2.5z 2 1 H ( z) 2 2 z z 1 z 0.5 1 z z 1 0.5z 1
数字信号处理第5章
第5章 数字滤波器的基本结构5.1 学习要求1 掌握IIR 数字滤波器的基本网络结构，包括直接型、级联型和并联型；2 掌握FIR 数字滤波器的基本网络结构，包括直接型、级联型和频率抽样型；3 了解数字信号处理中的量化效应和数字信号处理的实现。
5.2 学习要点5.2.1 数字滤波器的结构特点与表示方法一个数字滤波器可以用系数函数表示为：01()()()1Mkk k N kk k b zY z H z X z a z -=-===-∑∑ (5-1) 直接由此式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为：1()()()N Mk k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑ (5-2)由式(5-2)看出，实现一个数字滤波器需要几种基本的运算单元—加法器、单位延时和常数乘法器。
这些基本的单元可以有两种表示法：方框图法和信号流图法，如图5-1所示。
用方框图表示较明显直观，用流图表示则更加简单方便。
z ⊕aa单位延时乘常数相加方框图表示法信号流图表示法图5-1 基本运算过程的表示5.2.2 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的基本结构无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器有以下几个特点：(1) 系统的单位脉冲响应()h n 是无限长的；(2) 系统函数()H z 在有限z 平面(0z <<∞)上有极点存在； (3) 结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型。
同一种系统函数()H z 的基本网络结构有直接I 型、直接Ⅱ型、级联型和并联型四种。
1直接I 型直接型按式(5-2)差分方程式将输入采样值（序列）)(n x 延迟并乘以系数k b ，将输出采样（序列）)(n y 延迟并乘以系数k a ，再把它们加起来，这种结构称为直接I 型，结构流图如图5-2所示。
由图可看出，总的网络)(z H 由Mkk k b z-=∑和11Nkk k a z-=-∑两部分网络级联组成，第一个网络实现零点，第二个网络实现极点，从图中又可看出，直接I 型结构需要N M +级延时单元。
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1
1 H (e ) 1 e j
j
5
H (e )
j
1
0.56
2
1 2 cos 2
0.8 低通（实线） ＝－0.8 高通（虚线）
实现：
y(n) x(n) y(n 1)
x ( n)
Z 1
y ( n)
1 什么是网络结构 就是系统的实现方法的表达式形式
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去 除的成分，各自占有不同的频带。当x(n） 经过一个线性系统（即滤波器）后即可将 欲去除的成分有效地去除。
|X(ejw)|
无用
|H(ejw)|
|Y(ejw)|
wc
w
wc
wc
w
经典滤波器从功能上分又可分为：
低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass filter 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass filter 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass filter 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop filter
• 滤波器概述 典型模拟滤波器的设计 • 无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计 • 有限冲激响应(FIR)数字滤波器的设计
典型模拟滤波器设计
AF的衰减（衰耗）特性
工作衰耗取决于幅度平方函数或称模方函数 H ()
2
() 10 lg H () dB 20 lg H () dB
每一种又可分为：数字(Digital)和模拟 (Analog)滤波器。
2 分类
模拟滤波器：RC滤波、LC滤波 数字滤波器：是一种计算程序，处理离
散信号。
二
数字滤波器
1）利用通用计算机实现的线性非移变系统的特定软件， 2）特别的专用硬件芯片组成的线性非移变系统， 都可以定义为数字滤波器。 实现数字滤波器时，必须把输入—输出关系转变成计算 机上可执行的算法。算法实际是由一组基本运算单元组
1 H1( z ) 1 0.8 z 1 0.15z 2
H 2 ( z) 1 1 0.3z 1 1 0.5 z 1 1
H3 ( z)
1.5 1 0.3z 1
2.5 1 0.5 z 1
运算结构就是 网络结构
系统的不同运算结构直接影响系统的运算误 差、运算速度，系统设计的软硬件的复杂程 度和成本
差分方程
M N
Y ( z) H ( z) X ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
y ( n)
k 0
bk x(n k ) ak y(n k )
k 1
实现滤波从运算上看,只需三种运算： 加法、单位延迟、乘常数。 因此实现的方法有两种： （1）利用通用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
•节点和支路的数目是有限的
6
x ( n)
b0
5
1
2
y(n) y ( n) 7
Z 1
a1y(n 1) a 2 y(n 2)
a1
a1y(n-1)
3
y (n 1)
a 2 y(n 2)
a2
4
Z 1 y (n 2)
节点：输入节点： x( n，输出节点 ) 支路：支路增益
y (n)，
3.1 滤波器概述 一、滤波器基本原理 1 滤波器：对输入信号起滤波作用。
设x(n)是系统的输入，X (e jw )是其傅氏变换。 y (n)是系统的输出，Y (e )是其傅氏变换。 则：
x(n) h(n) y(n)
jw
则LTI(Linear Time Invariant)系统的输出为：
y ( n)
H(s)
s=0
=
k0
k=1
(p ) k
N
=1
p k c e
得到
j ( 2 k 1 N )
2N
解出 k0= (pk) =( )N ， c
k=1
N
H(s)=
k=1
(sp ) k
k=1 N
(p ) k
=
N k=1
N
(c)N
(sp ) k
(1) s
N
2 2N
(1)c
2N
1 e
j ( 2 k 1)
, k为整数
j ( 2 k 1 N ) 2N
pk
1
N
c e
其中，k 0,1, 2 N 1
极点分布图
jIms
S平面
3
jIms
4
S平面
8
Res
Res
N=3
N=4
由巴特沃思圆上的2N个极点，得到H(s)H(s)的表示 H(s)H(s) =
例1：已知一个数字滤波器的传输函数
0.51Z 1 H ( z) 1 2 1 0.42Z 0.04Z
则其相应的差分方程为：
y(n) 0.51x(n 1) 0.42 y(n 1) 0.04 y(n 2)
实现上式的运算：移位、乘、加。
系统函数和差分方程的关系(求解差分方程)
Y(z) H(z)= = X(z)
1+ akzk
k=1
k=0 N
bkzk
4 频域的离散傅里叶变换
y(n)=IDFT[Y(k)]= IDFT[X(k)H(k)]
式中H(k)是系统的频域采样函数 。 不同的算法就有不同的表示方法，但都要用到基本运 算单元。
最常用描述离散系统的数学形式是给定系统函数 H(z) 例如以下系统函数
模方函数：
1 H () , 2 2N 1 ( ) c
2
N 1,2,
这里取半功率点为截频，则 H () 1 / 2 () 10 lg H () 10 lg 2 3dB
2
2
c 随着阶次N的增加，通带越平坦，越接近理想的特性， ，逼近矩形。
1 1 1 2 则 H () 2 2N 2 1 1 ( )
一、数字滤波器的结构表示法
1、流图（框图法） 框图法简明且直观，其三种基本运算
单位延时:
乘常数:
x(n)
y (n）
z-1
x(n 1)
a a y ( n)
相加:
x ( n)
y(n 1) x(n)
y(n 1)
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
N阶常系数线性差分方程的一般形式为
a
k 0
N
k
y (n k ) bk x(n k )
k 0
M
若系统起始状态为零，直接对上式两端取Z变换， 利用Z
变换的线性特性和移位特性可得
k k a z Y ( z ) b z k k X ( z) k 0 k 0
k b z k k a z k k 0 k 0 N M
m
h(n m) x(m) F 1[ X (e jw ) H (e jw )]
输入序列的频谱X (e jw )经过滤波器 (其系统性能用H (e jw )表示）后变成X (e jw ) H (e jw ) 选取H (e jw ), 使滤波器输出X (e jw ) H (e jw )符合我们的要求， 这就是数字滤波器的工作原理。
2
频率远离 c ，在高频范围内，频率每增加 一倍，衰耗增加6NdB。
2N () 10 lg H () 10 lg( ) 20 N lg dB c c
2
1 H () 2N 1 ( ) c
2
1
( 2N ) c
当 c时，（） 0； 当 2c时， () 20 N lg 2 6 NdB
N
巴特沃斯滤波器幅度特性
H ( j )
1 1＋ 2 1 1＋ 2
2
1
0
c s
1
c 1
N 1,2,
H (0) 2 1 2 对不同的N，总存在 H ( c ) 1 / 2，幅度随 H ( ) 2 0 着 的升高单调下降。
第5章 数字滤波器基础
主要内容
滤波器基础 • 典型模拟滤波器的设计 • 无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计 • 有限冲激响应(FIR)数字滤波器的设计
滤波器，是对输入信号起到滤波的作用。
提取有用信号，抑制不需要的干扰； 经典滤波 把信号分成不同的频率分量；
现代滤波： 信号检测及信号估计。
成的。
一般输入x(n)与输出y(n)可以有几种表示方法： 1、差分方程 2、时域 3、复频域
y(n)= br x(nk) aky(nk)
k=0 k=1
M
N
y(n)=x(n) h(n) 其中 h(n)=T[(n)] y(n)= Z1[Y(z )] =Z1[X(z)H(z)]
M
式中H (z)是系统的系统函数 ，且
设计过程
按给定指标确定N
c，通带最大衰耗 p r ，阻带最小衰耗 r
1 2 p 10 lg 10 lg( 1 ) 2 1 1 1 2 r 10 lg 10 lg 10 lg( 1 ) 2 1 2 r 2 N 1 ( ) c
x(n) b0 y(n) b0x(n)
Z 1
a1
a1 y(n 1)
y(n 1)
Z 1
a2 y(n 2)
a2
y(n 2)
2、信号流图法 单位延时：