数学排列组合常见题型及解法

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排列组合经典题型及解法

排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。

下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。

2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。

3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。

4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。

5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。

以上是一些常见的排列组合题型及其解法。

在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。

排列组合的21种经典题型及解法

排列组合的21种经典题型及解法1. 单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。

2. 多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。

3. 判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。

4. 填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。

5. 问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。

6. 排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。

7. 计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。

8. 简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。

9. 完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

10. 阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。

11. 词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。

排列组合难题二十一种方法(含答案详解)

排列组合难题二十一种方法解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,. 先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法443解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢高考数学中有一部分知识叫做排列组合概率及统计学，大概占17分左右，但是这部分知识又不是很难，所以这17分一分都不能丢！类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。

类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。

审题时一定要注意关键字眼。

类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。

“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。

类型四、定序问题倍缩空位插入策略顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。

类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

排列组合专题各方法题型及其答案

排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。

数学排列组合常见题型及解法

6.多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。
例5. 9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。
7.至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例7亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 =252（种）
【华图解析】直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。
小球数/小盒数全错位排列
1 0
2 1（即2、1）
3 2（即3、1、2和2、3、1）
4 9
5 44
6 265
当小球数/小盒数为1～3时，比较简单，而当为4～6时，略显复杂，考生们只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。

高中排列组合基础题 (含答案)

排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2种方法.则共有5254A A ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共1545A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A ）210个（B ）300个（C ）464个（D ）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A ，画韦恩图如图，阴影部分即UBA ，从图中看出()()card card UBA B AB =-.又A BB ，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知()1444card A A B =.()card A B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知()1333card A A AB =，所以()14134433card A A A A UB A =-＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

(完整版)排列组合知识点总结典型例题及解析

排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。

二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。

1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。

排列组合题型总结

排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。

在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。

1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。

解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。

公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。

2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。

解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。

公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。

3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。

解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。

公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。

4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。

解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。

公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合专题各方法题型及其答案

二．例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种?六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种?十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。

排列组合的常见题型及其解法

摆列组合的常有题型及其解法（有分析答案）公式 P是指摆列，从 N 个元素取 R个进行摆列。

公式 C是指组合，从 N个元素取 R个，不进行摆列。

N-元素的总个数R参加选择的元素个数！-阶乘，如9！＝ 9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数 r个，表达式应当为 n*（ n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从 n 到（ n-r+1) 个数为 n－（ n-r+1) ＝r一. 特别元素（地点）用优先法把有限制条件的元素（地点）称为特别元素（地点），关于这种问题一般采纳特别元素（地点）优先安排的方法。

例 1. 6 人站成一横排，此中甲不站左端也不站右端，有多少种不一样站法？剖析：解有限制条件的元素（地点）这种问题常采纳特别元素（地点）优先安排的方法。

元素剖析法因为甲不可以站左右两头，故第一步先让甲排在左右两头之间的任一地点上，有第二步再让其余的 5 人站在其余 5 个地点上，有120 种站法，故站法共有：4 种站法；480（种）二. 相邻问题用捆绑法关于要求某几个元素一定排在一同的问题，可用“捆绑法”：马上这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其余元素进行摆列，而后相邻元素内部再进行摆列。

例 2. 5 个男生和 3 个女生排成一排， 3 个女生一定排在一同，有多少种不一样排法？解：把 3 个女生视为一个元素，与 5 个男生进行摆列，共有6x5x4x3x2 种，而后女生内部再进行摆列，有 6 种，所以排法共有：4320（种）。

三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，能够先将其余元素排好，而后再将不相邻的元素插入已排好的元素地点之间和两头的空中。

例 3. 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余 4 人排成一排，有4x3x2x1 种，再往 4 人之间及两头的乙、丙插入，有5x4x3 种，所以排法共有：1440 （种）5 个空位中让甲、四. 定序问题用除法关于在摆列中，当某些元素序次一准时，可用此法。

排列组合常见题型及解题策略(详解)

排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】：间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

排列组合的常见题型及其解法

排列组合的常见题型及其解法李锋排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。

复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。

一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。

三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

与排列组合有关的常见题型及其解法

与与与与与与与与与与与与与与与与排列组合是数学中常见的一种概念，在计算机科学、统计学、概率论等领域也有广泛的应用。

常见的题型包括：
1.组合问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有方案数。

解法：C(n,m)=n!/m!(n-m)!
2.排列问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有排列数。

解法：A(n,m)=n!/(n-m)!
3.组合排列问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品，且有序排列的所有方案数。

解法：H(n,m)=n!/(n-
m)!m!
4.组合数反推：已知组合数 C(n,m)，求出 n 和 m
的值。

解法：通过枚举法进行求解。

5.组合问题中的变化：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有方案数，其中有 k
个物品是必选的。

解法：C(n-k,m-k)
6.排列问题中的变化：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有排列数，其中有 k
个物品是必选的。

解法：A(n-k,m-k)
7.带有限制条件的组合问题：求出从总共 n 个物品中。

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。

n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。

微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析(11大题型)-【高频考点解密】2024年高考数学二轮卷

微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）题型一：特殊元素与特殊位置优待法解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

【精选例题】【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【例2】7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672B．864C．936D．1056【例3】将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．2．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有种．3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．4124．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有种.题型二：分类讨论思想解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算【精选例题】【例1】（2023全国卷乙卷真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20【例2】（2023全国卷甲卷真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【例3】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（）A．60B．40C．30D．80【题型专练】1.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A．20种B．16种C．12种D．8种2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．题型三：插空法（不相邻问题）解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b 两段，使得长线段a 与原线段a b +的比等于短线段b 与长线段a 的比，即()::a a b b a +=，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A ．180B ．210C ．240D ．360【例2】把5件不同产品A ，B ，C ，D ，E 摆成一排，则（） A ．A 与B 相邻有48种摆法B ．A 与C 相邻有48种摆法C ．A ，B 相邻又A ，C 相邻，有12种摆法D ．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24种摆法【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A ．12B ．48C ．72D ．96【题型专练】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（）A ．120种B ．32种C ．24种D ．16种2．某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为 .（用数字作答）3．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答）题型四：捆绑法（相邻问题）解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。

2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)

排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。

排列组合常见题型及解答

排列组合常见题型一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果A,B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把A,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】：间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法数是52 563600A A【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（数字作答）【解析】：111789A A A=504【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A＝3600【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

排列组合总结(含答案)

1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数；解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。