解排列组合问题的十八种常用策略.
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。
排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
数学精华课件：解排列组合问题的十六种常用策略ppt
九.元素相同问题隔板策略 十.正难则反总体淘汰策略
三.不相邻问题插空策略
十一.平均分组问题除法策略
四.定序问题空位插入策略
十二. 合理分类与分步策略
五.重排问题求幂策略 六.多排问题直排策略 七.排列组合混合问题先选后排策略 八.小集团问题先整体后局部策略W
唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌为标准进行分类. 只会唱歌
的5人中没有人选上唱歌共有__C_32_C
2 3
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌
_C__15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌有_C_52_C_52种，由分类计数原理
共有__C_32_C_32 _+__C_15_C_13_C_24_+_C__52C__52 ___种。
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 要求同某时几对个相元邻素元必素须内排部在进一行起自的排问。题,可以用
甲乙 丙丁
捆为绑一由种法个分不来元步同解素计的决,再数排问与原法题其理.即它可将元得需素共要一有相起A 5邻作5 A 22的排A 22元列=素,4同8合0时并
要注意合并元素内部也必须排列.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
解排列组合问题的十七种常用策略
解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。
根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求,应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位,从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合;然后排首位,从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合;最后排中间三个数,从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =.变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =.二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位,共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种?分析：相离问题即不相邻问题。
分两步.第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列,第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位)共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =.变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
数学：解排列组合应用题的21种策略
解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、48D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、1解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、种C 、25D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、1D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个， 1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
解排列组合问题的十七种常用策略
原理共有___C__32C_32_+__C__15C__13C__24 +__C_52_C_52__种。
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法
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六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有_A_44__
种排法即（5-1)！
一般B地,n个不同元素作圆形排 列C ,共有(A n-1A)!种B 排C 法D.如E 果A
从作Dn圆个形不排E同列元共素有中取出m1mA个nm 元素
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
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七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以
把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有_A_42__种,再排后4个位置上的
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题置最排先分常,排以析用末免法也位不和是共合元最有要素基_求C_分本31_的析的元法方素是法占解,了若决这以排两元列个素组位分合置析问为 主,然需后先排安首排位特共殊有元_素C_41_,再处理其它元素.若以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同有足C个时31_特AC_约还4341_殊AC束要43位41 条 兼=置2件顾8的8A，其43要往它求往条,是件再C31
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？前 排后 排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
[超全]排列组合二十种经典解法!
![[超全]排列组合二十种经典解法!](https://img.taocdn.com/s3/m/5d226672336c1eb91a375d84.png)
超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A131由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.&练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略…3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法,练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法|六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略 "7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法前 排后 排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是】八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种￥九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个、练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略2、7 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习、10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7 个车间实习, 共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8 名乘客人, 他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、8 人围桌而坐, 共有多少种坐法一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)! 种排法. 如果从n 个不同元素中取出m个元素作1圆形排列共有1An mn练习、 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略7、8 人排成前后两排, 每排 4 人, 其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习、有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球, 装入 4 个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.练习、一个班有 6 名战士, 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副班长有且只有 1 人参加, 则不同的选法有种九. 小集团问题先整体后局部策略9、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 少个练习、１. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , ４幅油画 , ５幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5 男生和５女生站成一排照像 ,男生相邻 ,女生也相邻的排法有 种十. 元素相同问题隔板策略10、有 10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案将 n 个相同的元素分成 m 份（n ，m 为正整数） , 每份至少一个元素 ,可以用 m-1块隔板， 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 C n m 11练习题：1． 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法2 . x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数十一 .正难则反总体淘汰策略11、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 取法有多少种有些排列组合问题 , 正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简捷 , 可以先求1, ５在两个奇数之间 , 这样的五位数有多这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数 , 不同的练习、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略12、 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法练习题：1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法2、10 名学生分成3组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_____十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目有多少选派方法解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做练习：1、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有2、3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘1人,他们任选2只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯, 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒练习、某排共有10个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种十五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收练习1、同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种2、给图中区域涂色,要求相邻区域不同色, 现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有种十六. 分解与合成策略16、30030 能被多少个不同的偶数整除练习: 正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到十七.化归策略17、25 人排成5×5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，练习、某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A 走到的最短路径有多少种十八.数字排序问题查字典策略18、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。
排列组合方法归纳大全
排列组合方法归纳大全解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1。
认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序）还是组合（无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。
4。
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一。
特殊元素和特殊位置优先策略例1。
由0，1,2,3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2。
7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法。
练习题：某人射击8枪,命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三。
不相邻问题插空策略例3。
一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四。
定序问题倍缩空位插入策略例4。
7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五。
重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为2。
某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七。
多排问题直排策略例7。
8人排成前后两排，每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排，共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位,后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八。
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中数学同步讲义(新教材)：排列组合18种常考考法归类 (教师版)
环排问题 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形
线排法
多排问题 单排法 小集团题 先整体后 局部法 两类元素 的排列， 组合选位 法 分组与分 配问题
展成直线，一般地，n 个不同元素圆形排列，共有（n 1)!种排法。如果从 n 个不同元素中取出 m
个元素进行圆形排列，共有问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。
将 m 个元素 a，n 个元素 b 进行全排列，我们可以从 m＋n 个位置中选择 m 个位置安置元素 a，
剩下的
n
个位置安排元素
b，其方法数有
优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主， 需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理 其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同 时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元 素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑 其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多 个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较 为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问 题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将 m＋n 个元素排成一列，
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法 先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有k k A 种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共11n k k n k k A A -+-+·种． 例1.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b a ,必须相邻且b 在a 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把b a ,视为一人，且b 固定在a 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有22A 种排法；女生内部的排法有33A 种，男生内部的排法有44A 种．故合题意的排法有234234288A A A =··种． 2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻()k n k -≤，有多少种排法 先把()n k -个元素排成一排，然后把k 个元素插入(1)n k -+个空隙中，共有排法1k n k A -+种． 例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种解：先把科学家作排列，共有55A 种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有56A 种排法，故符合条件的站法共有555686400A A =·种站法． 例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法 n 个不同元素排列成一排，共有n n A 种排法；k 个不同元素排列成一排共有k k A 种不同排法．于是，k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的k kA 分之一．故符合条件的排列共n n k k A A 种． 例5.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b 必须站在a 的右边（b a ,可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：b 在a 的右边与b 在a 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 例6. A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，要求A 在B 的前面且D 在E 的前面，有多少种不同的排法解：5个不同元素排列一列，共有55A 种排法． A ，B 两个元素的排列数为22A ；D ，E 两个元素的排列数为22A ． 因此，符合条件的排列法为55222230A A A =·种． 4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。
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练习题
某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ 120
十三. 合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解： 10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 以只会唱歌的5人是否 3人为全能演员。 只会唱 选上唱歌人员为标准进行研究. CC 的5人中没有人选上唱歌人员共有____ 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人 1 1 2 C 5C 3C 4 种,只会唱的5人中只有2人 员________ 选上唱歌人员有C ____ C 种，由分类计数 1 1 2 原理共有______________________ C C + C 5C 3C 4 + C C 种。
A 种排法 . 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 51 4 所以从A到B共有 C(51)(81) C11 条不同的路径.
4 7 A4 A7
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
小结
排列常见题型及策略ຫໍສະໝຸດ 一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 1 C 3 先排末位共有 ___ 题最常用也是最基本的方法 ,若以元素分析为 1 C 然后排首位共有 ___ 4,再处理其它元素.若以 主,需先安排特殊元素 3 1 1 最后排其它位置共有 ___ 3 位置分析为主 ,需先满足特殊位置的要求 ,再 A4 A4 C4 C3 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 1 1 A3 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则 34 不同的选法共有_______ 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
十四.实际操作穷举策略 例14.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法 2 C5 种 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____ 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应， 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 装法 3 4 5
十二.构造模型策略
例12. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入 3 个不亮的灯 3 C5 种 有________ 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果
练习题 1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 1 域不同色,现有4种可选颜色,则 4 3 2 72 种 不同的着色方法有____ 5
十一.平均分组问题除法策略 例11. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？ 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 2 2 2 该分法记为(AB,CD,EF),则 C 6C 4C 2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3种取法 ,而 这些分法仅是 (AB,CD,EF)一种分法 ,故共 平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一 3 2 2 2 n A C 3 种分法。 6C 4C 2 有 种情况,所以分组后要一定要除以 A n (n为均 分的组数)避免重复计数。
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 6
7
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 m
2.基本方法
⑺消序法(留空法)
解: 如图所示
变式：如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B A ④顺序一定的排列， 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格:
练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？ 4
C
9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
十.正难则反总体淘汰策略
我们班里有53位同学,从中任抽5人,正班长、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 反面,再从整体中淘汰.
一般地 B ,n个不同元素作圆形排 A B C D E C ,共有(n-1)! 列 种排法.如果 A 从 n 个不同元素中取出 m 个元素 D m E 1 A 作圆形排列共有 m n
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 2 A4 种,再排后4个位置上的 个特殊元素有____ 1 特殊元素有_____ 5个位置 A4 种,其余的5人在 2 1 5 5 A4 A4 A5 上任意排列有____ 种. A5 种,则共有_________
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑 , 再分段研究 . 前排 后排
八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 有C __ 5 种方法.再把5个元素(包含一个复合 4 元素)装入4个不同的盒内有_____ 种方法. A4
相 独 独 独 相 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（ 30 ）
四.定序问题空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 解 : 空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 （ 4 的四人就坐共有 A7 种方法，其余的三个 4 位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 A7 种 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数 ,则共有不同排法种数 7 A7 是： A3
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的 解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学 习中的难点，通过我们平时做的练习题，不 难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易 挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难 以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练 掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同 的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的 问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为 后续学习打下坚实的基础。
九.元素相同问题隔板策略 例9.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 C9 m份（ 共有___________ 种分法。 将n个相同的元素分成 n，m为正整数）, 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数 二 三 四 五 六 七 m 1 一 为 C n 1 班 班 班 班 班 班 班
练习题 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（ 42 ） 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 （ ） 7
六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A 4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！
2 4 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 5 A4
C
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 192 参加,则不同的选法有________ 种