高中数学-《直线与圆锥曲线》测试题
直线与圆锥曲线测试题(含答案)
直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点； 结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围． 结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=． 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。
直线与圆锥曲线测试题
直线与圆锥曲线测试题一 选择题（本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1 直线 l 1: y=x+1, l2: y=x+2 与椭圆 C: 3x 2 +6y 2=8 的地点关系是A l 1, l 2与 C 均订交B l 1 与C 相切， l 2 与 C 订交C l 1 与 C 订交， l 2 与 C 相切D l , l 2与均相离12 （原创题）直线 y =x +1 被椭圆 x 2 +2y 2 =4 所截的弦的中点 M,则 M 与原点连线的斜率等于 （ ）A 2B1C 2D32323 过椭圆 x 2+2y 2=4 的左焦点作倾斜角为的弦 AB ，则弦 AB 的长为61637D7ABC771664已知椭圆 x 2y 21( a b 0) 的左焦点为 F ，右极点为 A ，点 B 在椭圆上，且BF a 2 b 2uuur uuurx 轴，直线 AB 交 y轴于点 P ．若 AP 2PB ，则椭圆的离心率是（ ）A.3 B.2 C. 1 D.122325 若直线 y=-x+m 与曲线 y5 1 x 2 只有一个公共点，则 m 的取值范围是 ( )4（A ） - 2≤m ＜ 2（ B ） -2 5 ≤m ≤2 5（C ） - 2≤m ＜ 2 或 m=5（ D ） -2 5 ≤m ＜ 2 5 或 m=56过点 P(3,2) 和抛物线 yx 2 3x 2 只有一个公共点的直线有（）条 .A ．4B ．3C ．2D ．17 （改编题）过原点的直线 l 与曲线 C:x 2y 2 1 订交 , 若直线 l 被曲线 C 所截得的线段3长不大于6 , 则直线 l 的倾斜角的最大值是 ( )5B C2 D.3A23468若椭圆 x2y 21 (ab0) 和圆 x2y2(bc)2 ,(c 为椭圆的半焦距 ), 有四个a 2b 2e 的取值范围是 2不一样的交点, 则椭圆的离心率()A( 5,3) B ( 2 , 5)C (2 ,3) D(0,5 )55555 559椭圆 4x 2 9 y 2 144 内有一点 P （ 3， 2）过点 P 的弦恰巧以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ． 3x 2 y 12 0B ． 2x 3y 12 0C ．4x9 y1440D．9x 4 y144010经过椭圆x2y2 1 的一个焦点作倾斜角为45 的直线 l ,交椭圆于A、B两点.设 O 为2uuur uuur).坐标原点，则 OA OB 等于(A.3B.1C. 1 或3D.133311 （改编题）已知椭圆x2y2（ a >b>0）与双曲线2y2有公共的焦C1 : a2b21C2: x41点， C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆订交于A, B 两点，若 C1恰巧将线段AB 三均分，则（）（ A）长轴长26（ B）长轴长 213（ C）短轴长2（ D）短轴长2 212（改编题）已知两点 M（ 1，5），N（－ 4，-5），给出以下曲线方程：①4x+2y - 1=0 ②x2+y2=3 44③ x2y2 =1④x2y2 =1.在曲线上存在点P 知足 |MP|=|NP| 的全部曲线方程是（）22A. ①③B.②④C.①②③D.②③④二填空题（共 4 小题，每题 3 分共 12 分，把答案填在相应的地点上）x2213 （改编题）已知 F1为椭圆 C：2＋ y ＝1的左焦点，直线l ：y＝x－1与椭圆 C交于 A、B两点，那么 | F1A| ＋ | F1B| 的值为 ________．14如图，已知抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点 F 恰巧是椭圆x2y2 1 (a>b>0)的右焦点，且a2b2两曲线的公共点连线AB过 F，则椭圆的离心率是 ____________.15已知抛物线y=-x 2+3 上存在对于直线x+y=0对称的相异两点A,B ，则 |AB|等于___________x 2y2uuur uuuur16 设F1, F2分别为椭圆1的左、右焦点，点A, B 在椭圆上，若F A5F B;则312点 A的坐标是.三解答题（本大题五个小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（原创题）（本小题 10 分）当过点（ 0,2x2y2的直线和椭圆1①有两个公共点②有32一个公共点③没有公共点时，求k的取值范围18（本小题 10 分）已知椭圆x2y21，过点 P（ 2， 1）引一弦，使弦在这点被均分，164求此弦所在直线l 的方程.19（原创题）（本小题 10分）已知平面上任意一点 M（ x,y ）满足方程( x3)2y 2(x3)2y24（ 1）判断点 P 的轨迹，并说明原由；（ 2）设过 (0 ， -2)的直线 l 与上述曲线交于C、 D 两点，且以 CD为直径的圆过原点求直线 l 的方程．20（本小题10 分）已知动点P 与平面上两定点A( 2,0), B(2,0) 连线的斜率的积为定1值.2（Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程 C.（Ⅱ）设直线 l : y kx 1 与曲线C交于M、N两点，当|MN|=4 2时，求直线 l 的方程.321（本小题 12 分）已知椭圆 C : x2y2 1(a b 0)过点 (1,3)，且离心率 e1.a 2b 222（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线 l : y kx m(k 0) 与椭圆交于不一样的两点M 、 N ，且线段 MN 的垂直均分线过定点 G ( 1,0) ，求k的取值范围. 8【挑战能力】1 （改编题）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ， B 两点，|AB|=12 ， P 为 C 的准线上的一点，则△ ABP 的面积为 ( )A18B24C 36D 48★2 （改编题）设双曲线 x2y 2 1(a0, b 0) 的右极点为 A ， P 为双曲线上的一个a 2b 2动点（不是极点），从点 A 引双曲线的两条渐近线的平行线， 与直线 OP 分别交于 Q, R 两点，此中 O 为坐标原点，则 |OP|2 与|OQ| | OR |的大小关系为（）A ．|OP |2 |OQ | |OR|B．|OP|2 |OQ| |OR|C ．|OP |2 |OQ| |OR |D．不确立★3椭圆x2y 2 1 a ＞ b ＞ 0 与直线 x y 1交于 P 、 Q 两点，且 OPOQ ，其a 2b 2中 O 为坐标原点 .（1）求11a 2b 2的值；（ 2）若椭圆的离心率e 知足3≤ e ≤2，求椭圆长轴的取值范围32直线与圆锥曲线测试题答案一选择题（本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1 【答案】 C【分析】因为yx 1，得 9x212x 20 0 ，所以 l 1 与 C 订交；3x 26 y28yx 2，得 9x 224x 160 ， l 2 与 C 相切因为6 y 2 83x 2 2 【答案】 B【分析】由y x1， 得 3x 24x 2 0 x 1x 24,中点坐标x 22y 243xx 1 x 22, y0 x 01 1 ，所以 kOM 1 ，答案为 B233 23 【答案】【解析】 AB 的直线方程为y3( x2) ，联立方程y3x 6，得x2 2 y247x212 2x 8 0 x1x212 2, x1 x28，所以77AB(x1x2 )2( y1y2 )2 1 3 x1x2 2( x x )2 4x x12122(122)232771674 【答案】 D【分析】：对于椭圆，因为5【答案】 D．uuur uuur1 AP2PB，则 OA 2OF , a2c, e2【分析】将曲线方程化为x 2y 2201 (y≥0)．5则该曲线表示椭圆x 2y21 位于x轴的上半部分．205将方程 y=-x+m 与x 2y 2201 联立得：55x 22-8mx+4m-20=0.令 =64m2-20 （ 4m2-20 ）=0,解得 m=±5，于是得如下图直线l 1：y=-x+5．又可求得直线l 2：y=-x-2 5 ，l3：y=-x+2 5 .依题意，直线y=-x+m 应介于直线l 2与 l 3之间或就为直线l 1，∴-2 5 ≤m＜2 5 或m=5.6【答案】 D【 解 析 】： 抛 物 线 y x 2 3x 2如 图 ， 点 P （ 3 ， 2 ） 在 抛 物 线 的 内 部 ，依据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线 y x 2 3x2 只有一个公共点的直线有一条 .应选择 D7 【答案】 D【分析】设直线 l 的方程为 ykx ，由x 2y 21得 (3k 2 1)x 23 3 0 ，所以弦长等y kx于 k 2 1 x 1x 2k 2 112 16, k 2 1 ，即 tan1或 tan1，3k 2所以3，所以答案为 D.4 48 【答案 :】 A【分析】由题意，圆的半径应知足：bb253c a , 变形两边平方 . ，得 e (, )9 【答案】 B【分析】设直线与椭圆的交点坐标为A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ， 代 入 椭 圆 方 程4x29 y2144 ，4x 1 2 9y 1 21444x 222，9y 2 144得 4( x 12 x 22 ) 9( y 1 2 y 22 ) 0 4( x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) 9( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 04 2 3 9 2 2k AB0 k AB2 , 所以直线的方程 y 2 2( x3)33即 2x 3y 12 010 【答案】 Bl 的方程为 y x 1 , 则 A(0,1) , B(4, uuur uuur0 1,应选【分析】不如设直线1),∴OA OB333B.11 【答案】 C.【分析】由双曲线x 2y 2＝ 1 知渐近线方程为 y 2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦4点，∴椭圆方程可化为 b 2 x 2＋ b2 5 y2＝ b 2 5 b 2，联立直线 y2x 与椭圆方程消 y 得， x2b2 5 b 2，又∵ C1将线段AB三均分，5b220∴ 1 222b2 5 b22a212 5b 220，解之得 b. ，所以短轴长为3212 【答案】 D【分析】：P知足 |MP|=|NP| 即 P是 MN的中垂线上的点， P点存在即中垂线与曲线有交点 .MN 的中垂线方程为2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点P 知足 |MP|=|NP| ，直线 4x+2y-1=0与 2x+y+3=0 平行，故清除A、 C，2x y 30又由x 2y2△ =0，有独一交点 P 知足 |MP|=|NP| ，应选 D.12二填空题（共 4 小题，每题 3 分共 12 分，把答案填在相应的地点上）8 213 【答案】：3【分析】：设点 A( x1， y1)， B( x2， y2)，则由x2＋ y2＝1消去2＝0，解得＝ 0，4(0，－1)、2y整理得 3 －4x x12＝，易得点x x3A y＝ x－1(4，1)．又点1(－1,0)，所以|1| ＋ | 1 |＝12＋－1 2 ＋B33F F A F B72＋ f(128 233)＝3 .14【答案】： 2 -1【分析】由题意可知， AB即是抛物线的通径， |AB|=2p ，∴A( p,p)，又p=c，∴A(c,2c), 22将 A 点代入椭圆方程中得c24c 22222242 221，∴4a c =b (a-c)=b，∴b =2ac，a b而2ac=a 22222，解得 e= 2 -1(e=-2-1舍去). -c，即 c +2ac-a=0，∴e+2e-1=015 【答案】 3 2【分析】 . 设 AB 直线的方程为y=x+b ，与 y=-x 2+3 联立，得 x2+x+b-3=0.∴Δ =1-4(b-3)>0,x 1+x 2=-1,x 1 x 2 =b-3.∴AB 的中点 C （- 1,b-1）在 x+y=0 上，即 -1+b-122=0, 解得 b=1 切合>0,22∴弦长 |AB|=1 1g 1 4 （ 2）32.16 【答案】 (0,1)或（ 0， -1 ）【分析】设直线 F 1 A 的反向延伸线与椭圆交于点B ，又∵F A5F B ，由椭圆的对称12性可得 F 1 A 5B F 1 ，设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，63 2， F 1B'6 3 2又∵F 1Ax 12 x 2，3326x 13 2 6x 2 3232 32x 1 25(2 x 2 )解之得 x 10 ，∴点 A 的坐标为 (0,1)或（ 0， -1 ）.三 解答题（本大题五个小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【分析】：⑴当直线的斜率不存在时，明显直线与曲线有两个公共点，所以设直线方程为 y kx 2 ，y kx 2 ，得 2x23(kx 2)26，即 (23k 2 ) x 212kx 6 0由3y 2 2x 26144k 2 24(2 3k 2 ) 72k 2 48① 当72k 2 480 ，即 k6,或 k6 时，直线和曲线有两个公共点；33②当72k 2480 ，即 k6, 或 k6 时，直线和曲线有一个公共点；33③当72k 2 48 0 ，即6 k6 时，直线和曲线没有公共点 .3318 【分析】解法一 设所求直线的方程为 y-1=k(x-2) ，代入椭圆方程并整理，得(4 k 2 1)x 2 8(2k 2 k ) x 4(2k 1)2 16直 与 的交点A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ， x 1x 2 8(2 k 2 k )4k 24(2 k 21因 P 弦 AB 的中点，所以 2x 1 x 2k)，解得 k 1x+2y-4=02 4k 2 12所以所求直 的方程解法 2： 直 与 的交点A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ) 因 P 弦 AB 的中点，所以 x 1 x 2 4, y 1 y 22又因 A,B 在 上，所以x 12 4y 1216x 22 4y 2216两式相减，得 ( x 12 x 22 ) 4( y 12y 22 ) 0 即 (x 1x 2 ) 4( y 1y 2 ) y 1y 2 0,x 1 x 2所以y1y 2(x 1 x 2 ) 1即 k AB1x 1x 24( y 1 y 2 )22所以所求直 的方程y 11(x2) 即 x+2y-4=0.219 【分析】 ：（ 1 ）方程(x3)2 y 2( x3) 2 y 24 表示 M （ x,y ）到两定点( 3,0)( 3,0) 的距离之和4. 依据 的定 ，可知 点M的 迹 ，此中a2， c3 ， ba 2 c 2 1 ．所以 点 M 的 迹方程x 2y 2 1．4（ 2）当直 l的斜率不存在 ，不 足 意．当直 l 的斜率存在 ， 直l 的方程 ykx 2 ， C (x 1 , y 1 ) ， D (x 2 , y 2 ) ，uuur uuur∵ OC OD 0 ，∴ x 1x 2 y 1 y 2 0 ． ∵ y 1 kx 1 2 ， y 2 kx 2 2，∴ y 1 y 2k 2 x 1 x 2 2k ( x 1 x 2 ) 4 ．∴ (1 k 2 )x 1x 22k (x 1 x 2 ) 4 0 ．⋯ ①x 2 y 21, 得 14k 2 x216kx 12 0 ． x 116 k 2由方程4 x 2，y kx 2.1 4kx 1 x 212 2 ，代入①，得 1 k21 12 22k 16k 2 4 0 ．1 4k4k1 4k即 k 2 4 ，解得， k2 或 k2 ．所以，直 l 的方程是 y2x 2 或 y2x 2 ．yy1x 2y21.【分析】：（Ⅰ） 点P( x, y)， 依 意有20 x2 x 22，整理得 2x 2 y 21(x2).因为x2，所以求得的曲C 的方程2x 2 21,y224k2消去 得 2k ) x4kx 0.y : (1( x 1 , x 2（Ⅱ）由y kx1.解得 x 1=0, x 2= 1 2k 2 分 M ，|MN |1 k2 | x 1 x 2 |1 k2 | 4k |42,1.N 的横坐 ）由1 2k2 3解得 : k所以直 l 的方程 x －y +1=0或x +y － 1=01，b 2 1 3 23a 221【分析】：（Ⅰ） Q 离心率 ea 21，即 4b（ 1）；244又 点 (1,3) ，19 1，（ 1）式代入上式，解得 a 24 ， b 23 ， 方程2a 24b 2x 2 y 241.3（Ⅱ） M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) ，弦 MN 的中点 A (x 0 , y 0 )ykx m得： (3 4k 2 ) x28mkx 4m2120 ，由2 4 y 23x 12Q 直 l : ykx m(k 0) 与 交于不一样的两点，64m 2k 2 4(3 4k 2 )(4m 212) 0 ，即 m 2 4k 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1）由 达定理得：x 1x 28mk2 , x 1 x 24m 2 122 ，3 4k3 4kx 04mk , y 0 kx 0 m4mk 2 m3 3m ， 3 4k 23 4k 24k 23m 24m直 AG 的斜率 ： K AG3 4k 2，4mk 132mk34k23 4k 2 8由直 AG 和直 MN 垂直可得：24m4k 2gk1 ，即 m3 4k 2，代入（ 1）32mk38k式，可得 ( 3 4k2)24k23 ，即 k21 ， k5或 k5 .8k201010【挑战能力】1 【答案】 C【分析】 . 设抛物线方程为 y 2=2px ，则点 C （ p ，0），在方程中，令 x= p，则 y=±6，即2236=p 2，得 p=6, ∴y 2=12x ，∴点 P 到直线 AB 的距离为 p=6，∴S △ABP = 1|AB| ·6=36.2 【答案】 C 2【分析】取特别点b 2) ，则直线 OP 的方程为 y b 2P(c,x ，又直线 AQ 的方程为aacyb( x a) ， 直 线 AR 的 方 程 为 yb( x a) ， 解 得 Q, R 的 坐 标 为aa(ac, b 2 ) ，( ac , b 2 ) ，易得 |OP |2 |OQ | | OR | ．（若设随意点也可得此结果） 3c b c b c b c b【分析】：设 P( x 1 , y 1 ), P(x 2 , y 2 ) ，由 OP ⊥ OQx1x2+ y1y2= 0y 1 1 x 1 , y 2 1 x 2 , 代入上式得： 2x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 1 0 ① 又将 y1 x 代入x 2 y 21(a 2 2 ) x 2 2a 2x a 22) 0 ，0, x 1x 22a 22 ,a 2b 2b(1 ba 2 ba 2 (1b 2 )x 1 x 2代入①化简得11 2 .a 2b 2a 2b 2a 2 (2)e 2c 21 b 21 1 b 21 1 b22, 又由（ 1）知 b 2a 2a 2 3a 2 2 2 a 232a 2 11 1 1 25 a 23 5 a6，∴长轴 2 a ∈ [5,6 ].2 2a 23422 2。
高考数学试题含答案解析——直线与圆锥曲线
第7课时直线与圆锥曲线1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程f(x,y)=0.由消元,如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.a.Δ0时,直线与圆锥曲线相交于不同两点;b.Δ0时,直线与圆锥曲线相切于一点;c.Δ0时,直线与圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 或|P1P2|= .(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两个焦半径之和,往往比用弦长公式简捷.3.圆锥曲线的中点弦问题直线与椭圆和双曲线相交时,必有两个公共点;直线与抛物线相交时,则可能出现两种情况:一是有两个公共点;二是直线与抛物线的对称轴平行时,虽然是相交,但此时却只有一个公共点.考向一直线与圆锥曲线的位置关系【审题视点】本题考查求直线与圆锥曲线是否有交点.【方法总结】求直线与圆锥曲线的交点时,注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决.在解题时,应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况.考向二圆锥曲线中的相交弦问题【审题视点】本题考查直线与圆锥曲线的相交问题.【方法总结】1.当直线与圆锥曲线相交时,涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题,解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,设而不求,利用根与系数的关系解决问题.2.要灵活应用弦长公式和点差法.考向三圆锥曲线中的定值或定点问题例3(2013·安徽模拟)已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C.证明:(1)△ABC是直角三角形;(2)直线BC过定点,并求出定点坐标.【审题视点】本题考查圆锥曲线中的定点问题.【方法总结】1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.考向四圆锥曲线中的最值或范围问题【审题视点】本题考查圆锥曲线中的最值问题.【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值.提醒:求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论,如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.参考答案与解析。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
高二数学 专题 直线与圆锥曲线的综合问题(强化训练)(解析版)
专题直线与圆锥曲线的综合问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.【详解】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部，因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．2．若直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)(1,5)⋃D ．[1,5)(5,)+∞ 【答案】D【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.【详解】直线1y kx =+恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即220115m+≤，解得m 1≥，又5m ≠.故选：D3．直线340x y -=与双曲线221916y x -=的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断【详解】方法一：联立直线340x y -=与双曲线221916y x -=的方程，221916340y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得221691916y y -=，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由220916y x -=，得340x y ±=，所以双曲线的渐近线方程为340x y ±=，因为直线340x y -=是双曲线221916y x -=的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A4．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线y =与C 无公共点”的e 的一个值为.【答案】2（注：区间(]1,2内任何一个值）【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为b y x a=±，离心率1e >，若满足直线y =与C无公共点，则需222231312b c a e e a a -≤≤⇒-≤⇒<≤，故答案为：25．直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则实数k =．【答案】1±【分析】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，对二次系数是否为0分类讨论可得.【详解】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，整理得()221220k x kx -+-=，当210k -≠时，由()22Δ4810k k =+-=得k =又注意到直线1y kx =-恒过点()0,1-，且渐近线的斜率为1±时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：1±6．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，则实数a 的值为.【答案】0或1-或45-【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.【详解】当0a =时，曲线2y ax =为直线0y =，显然直线1y x =-与0y =有唯一公共点(1,0)，因此0a =；当0a ≠时，由2(1)1y a x y ax=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：22(1)(32)10a x a x +-++=，当1a =-时，1,1x y =-=-，直线1y =-与曲线2y x =-有唯一公共点(1,1)--，因此1a =-；当0a ≠且1a ≠-时，222(32)4(1)540a a a a ∆=+-+=+=，则45a =-，此时直线115y x =-与曲线245y x =-相切，有唯一公共点，因此45a =-，所以实数a 的值为0或1-或45-.故答案为：0或1-或45-7．如图，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案】(1)2525m -<<(2)125m =，225m =-(3)25m <-，或25m >【分析】（1）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据0∆>求解即可.（2）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据Δ0=求解即可.（3）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据Δ0<求解即可.【详解】（1）由方程组22450,1259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222582250x mx m ++-=，()()2222644252253625m m m ∆=-⨯⨯-=⨯-．由0∆>，得2525m -<<．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点．（2）由Δ0=，得125m =，225m =-．此时方程①有两个相等的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．（3）由Δ0<，得25m <-，或25m >．此时方程①没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二弦长问题8．已知椭圆的长轴长为2a，焦点是()1F、)2F，点1F到直线2x=2F且倾斜角为45︒的直线l与椭圆交于,A B两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的长．【答案】(1)221 4x y+=(2)8 5 .【分析】（1）根据题意及椭圆方程,,a b c的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【详解】（1）由已知可得c=2⎛=⎝，解得24a=，则222431b a c=-=-=，所以椭圆方程：2214x y+=.（2）由已知可得直线l斜率1k=，方程为y x=联立2214y xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2580x-+=，设()11,A x y，()22,B x y，则12x x+1285x x=，则85 AB===，所以线段AB的长为85.9．直线y kx b=+与椭圆2214x y+=交于,A B两点，记AOB的面积为S.(1)当0k=，12b<<S的取值范围；(2)当43AB =，223S =时，求直线AB 的方程.【答案】(1)S ⎤∈⎥⎝⎦(2)y =或y =y =y =【分析】（1）联立方程求出,A B 坐标，表示出S 并求取值范围即可；（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.【详解】（1）设点()1,A x b ，()2,B x b ，由2214x y y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得1,2x =±，所以12AB x x =-=所以122S b =⨯==因为12b <<21344b <<，故当212b =时，max 1S =，所以S ⎤∈⎥⎝⎦.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kbx b +++-=，()22Δ16140k b =+->，122814kb x x k +=-+，()21224114b x x k -=+，所以12AB x x =-，又点O 到直线AB的距离d =，由43AB =，3S =，得d =所以()2221b k =+，43AB =所以22k =，即k =b =所以直线AB 的方程为y =y =y =-或y =-10．已知双曲线C 经过点(2,P ，且其两条渐近线相互垂直．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()0,2Q的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、，若OEF 的面积为O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】(1)22122x y -=(2)2y =+或2y =+【分析】（1）根据题意可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为22x y λ-=，把点(2,P 代入双曲线方程，可得双曲线方程；（2）可设直线l 的方程为()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =+，代入双曲线C 的方程并整理，根据直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、，进而可得k 的范围，根据韦达定理可求得1212,x x x x +，进而表示出EF 和原点O 到直线l 的距离根据OEF 的面积求得k ，进而可得直线方程．【详解】（1）因为双曲线C 的两条渐近线相互垂直，可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为22x y λ-=，代入(2,P ，可得422λ=-=，所以双曲线C 的方程为222x y -=，即22122x y -=.（2）由题意可知：直线l 的斜率存在，设()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =+，联立方程2222y kx x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得()221460k x kx ---=，可得()22210Δ162410k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，解得203k ≤<且21k ≠，则12122246,11k x x x x k k +==---，可得=EF 且O 到直线:20l kx y -+=的距离d =由题意可得：1122==⋅=△OEF S d E F解得22k =或21k =-（舍去），即k =所以直线l 的方程为2y =+或2y =+.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>2．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线:3l y kx =+与双曲线交于,M N 两点，若MN =k 的值．【答案】(1)22143x y -=(2)k =1k =±【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线,,a b c 关系可求得,a b ，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得k 的值.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为b y x a=±，设焦点坐标为(),0c ±，∴焦点到渐近线的距离d b ==又离心率c e a ==2222334b c a a ∴=-==，解得：24a =，∴双曲线C 的方程为：22143x y -=.（2）由223143y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()223424480k x kx ---=，则()22340Δ481240k k ⎧-≠⎪⎨=->⎪⎩，解得：23k <且234k ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则1222434k x x k +=-，1224834x x k =--，MN ∴=即()()()222213434k k k +-=-，解得：23365k =或21k =，均满足23k <且234k≠，65k ∴=±或1k =±.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为6.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为π4的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)22136x y -=(2)【分析】（1）由题意可知得26c =，且b =，再结合222b c a =-求出,,a c b ，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线l 的方程为3y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.【详解】（1）由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为6.得26c=，且b ，又222239c a b a =+==，解得23,3c a ==,所以222936b c a =-=-=，所以双曲线方程为22136x y -=.（2）由（1）可知双曲线C 的右焦点F 为(3,0)，所以直线l 的方程为3y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由221363x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得26150x x +-=，所以1212615x x x x +=-⎧⎨=-⎩，所以8AB =13．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+.(1)若直线l 与抛物线C 只有一个公共点，求k 的值；(2)过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ,B 两点，求OAB 的面积．【答案】(1)0k =或1k =(2)【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当0k =或0k ≠，即可求解；（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及1212OAB S OF y y =- 即可求解.【详解】（1）依题意，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2114y ky =+，即：2440ky y -+=，①当0k =时，有：440y -+=，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，要使得直线l 与抛物线C 只有一个公共点，则方程2440ky y -+=只有一个解，所以()24440k ∆=--⨯=，解得：1k =；综上所述，当0k =或1k =时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点．（2）由于抛物线C ：24y x =的焦点F 的坐标为()1,0，所以过点F 且斜率为1的直线方程为：1y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2440y y --=，则由韦达定理得：124y y +=，124y y =-，所以12y y -=所以1211122OAB S OF y y =-=⨯⨯= 题型三中点弦问题14．直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，线段AB 中点的纵坐标为1，O 为坐标原点，则O 到直线AB 的距离为（）ABC D ．25【答案】A【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB 中点的纵坐标得出AB k ，再结合焦点F 的坐标得出直线AB 的方程，由点到直线距离公式计算即可．【详解】由抛物线24y x =得焦点(1,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+，因为线段AB 中点的纵坐标为1，即122y y +=，所以12122y y x x --=，即2AB k =，所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，显然此时直线与抛物线有两交点，所以O 到直线AB的距离d ==故选：A ．15．设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,4D ．()1,3【答案】C【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、C ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =+，联立方程22974419y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x --=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故C 正确；对于选项D ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故D 错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到9AB k k ⋅=，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.16．（多选）已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B ．椭圆C的离心率为3C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为3c e a ==，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()222121224F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长为(P 是E 上一点.(1)求E 的方程；(2)若,A B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，求AB 的值.【答案】(1)221123x y +=【分析】（1）利用椭圆长轴长以及椭圆上的点坐标即可求得E 的方程为221123x y +=；（2）设出,A B 两点坐标，利用点差法求出直线AB 的斜率为1k =，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可求出5AB =.【详解】（1）由题可知2a =，将(P 代入椭圆方程可得22421a b +=，联立解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故E 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222211231123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得222212120123x x y y --+=，即()121212124y y x x x x y y -+=--+.因为线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以可得直线AB 的斜率为()1212121214y y x xk x x y y -+==-=-+，即直线AB 的方程为2y x =+.联立方程组2221123y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得251640x x ++=，则12165x x +=-，1245x x =，所以4225AB ==.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214xy +=，直线l ：y x t =+（t 为实数且0t ≠）与椭圆C交于A ，B 两点.(1)若直线l 过椭圆的右焦点，求OAB 的面积；(2)线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率.【答案】(1)5(2)14-【分析】（1）根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得出弦中点坐标，即可得出直线斜率.【详解】（1）由2214x y +=可知，2223c a b =-=，所以椭圆的右焦点为)，所以0t =，即t =，即直线l 方程为y x =由2214y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得2580x -+=，设1122(,),(,)A x y B xy ，则125x x +=，1285x x ⋅=，所以||AB =O 到直线l的距离d ==故112||22255OAB S d AB ==⨯△.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 由2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2258440x tx t ++-=，当22(8)80(1)0t t ∆=-->，即t <<0t ≠时，1285t x x +=-，212445t x x -⋅=，所以1212225t y y x x t +=++=，故1212004,2525x x y y t t x y ++==-==，即4,55t t M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0015445OMt y k t x ===--,即直线OM 的斜率为14-.19．已知抛物线2:6C y x =，过()3,2P 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且PA PB =，则直线l 的方程为.【答案】3250x y --=【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为()3,2P 在抛物线C 内部，又PA PB =，所以P 是AB 的中点.设()()1122,,,A x y B x y ，所以1222y y +=，即124y y +=，又()()1122,,,A x y B x y 在抛物线C 上，所以221122,66y x y x ==，两式作差，得()1212126y y y y x x -+=-，所以121232y y x x -=-，所以直线l 的方程为()3232y x -=-，即3250x y --=.故答案为：3250x y --=20．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率为2的直线l 与E 的一条渐近线垂直，且交E 于A ，B 两点，214AF AF -=.(1)求E 的方程；(2)设点P 为线段AB 的中点，求直线OP 的方程.【答案】(1)2214x y -=(2)18y x=【分析】（1）根据双曲线中212AF AF a -=，求得2a =，再由双曲线的渐近线方程及斜率，求出1b =，即可得到E 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，可表示出直线AB 和直线OP 的斜率，再用点差法求出直线OP 的斜率，即可得到直线OP 的方程.【详解】（1）因为在双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>中，214AF AF -=，所以24a =，即2a =.双曲线E ：22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为斜率为2的直线l 与E 的一条渐近线垂直，所以12b a =，所以1b =所以E 的方程为2214x y -=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则212112AB y y k x x -==-.线段AB 的中点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，则2121OP y y k x x +=+，又点A ，B 在双曲线E 上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，②－①得，()()()()21212121220x x x x y y y y a b -+-+-=，两边同时除以()()2121x x x x -+并整理，得22OP AB b k k a⋅=.又2AB k =，2a =，1b =，所以18OP k =.所以直线OP 的方程为：18y x =.题型四定点问题21．椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，左､右顶点分别为,A B ，点P 在Γ上.已知1APF △APB △与12F PF △的面积之比为2:1.(1)求Γ的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交Γ于,M N 两点，,M N 与A 不重合，直线AM 与AN 的斜率之积为328-.证明：l 过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)过定点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据几何关系得到点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，1AF P △面积最大，结合APB △与12F PF △面积之比，得到方程组，求出2,a b ==（2）方法一：设MN 的方程()0y kx m k =+≠，代入22143x y +=，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出2m k =或32k m =-，检验后得到32km =-符合要求，并求出所过定点；方法二：设直线MN 的方程为()21m x ny ++=，椭圆方程变形得到()223(2)12240x x y +-++=，联立得到2412312022y y n m x x ⎛⎫-⋅+-= ⎪++⎝⎭，若()(),2C x y x ≠-是MN 上的点，则AC 斜率为2y k x =+，得到24123120k nk m -+-=，故3124AM AN m k k -⋅=，求出27m =，求出定点坐标.【详解】（1）当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，1AF P △的面积最大，此时()1122APF S a c b =-= ，又12:2:22:1APB F PF S S a c == ，故()2222b a c a c a b c ⎧-=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,a b ==，∴曲线Γ的方程为22143x y +=.（2）方法一：设直线MN 的方程为()0y kx m k =+≠，代入22143x y +=得()2223484120k xkmx m +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，()()2222644344120k m k m ∆=-+->得22430k m -+>，则21212228412,3434km m x x x x k k --+==++，()22121222121212312322241616428AM ANy y y y m k k k x x x x x x k km m -⋅=⋅===-+++++-+，即()()22622320k km m k m k m +-=-+=，解得2m k =或32k m =-.当2m k =时，此时224330k m -+=>，直线():2MN y k x =+过定点A ，而,M N 与A 不重合，不合题意.当32k m =-时，此时222743304k m k -+=+>，此时直线3:2MN y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过定点3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足要求.方法二：由题意，直线MN 不经过点()2,0A -，设直线MN 的方程为()21m x ny ++=①.由方程22143x y +=得()22[22]143x y +-+=.()223(2)12240x x y ∴+-++=②.由①②得()()223(2)122240x x m x ny y ⎡⎤+-++++=⎣⎦，2412312022y y n m x x ⎛⎫∴-⋅+-= ⎪++⎝⎭.若()(),2C x y x ≠-是MN 上的点，则AC 斜率为2yk x =+，24123120k nk m ∴-+-=，,AM AN ∴的斜率3124AM AN m k k -⋅=，即3123428m -=-，解得27m =.MN ∴的方程为()2217x ny ++=，即2730x ny +-=，故过定点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．已知()0,1P为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上一点，长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析，定点为()2,1-【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【详解】（1）长轴长为2a =，故a ()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；（2）直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.23．已知圆22:(1)8E x y ++=，(1,0)F 为圆E 内一个定点，P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 交EP 于点Q ，当点P 在圆E 上运动时.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)已知圆O ：2223x y +=在C 的内部，,A B 是C 上不同的两点，且直线AB 与圆O 相切.求证：以AB 为直径的圆过定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k 与m 的关系，当直线斜率不存在时，以AB 为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以AB 为直径的圆过原点即可.【详解】（1）因为点Q 是线段FP 的垂直平分线上的一点所以QF QP=因为2QE QF QE QP EF +=+=>=所以点Q 的轨迹C 是以E ，F 为焦点的椭圆其中a 1c =，2221b ac =-=所以点Q 的轨迹C 的方程为：2212x y +=（2）（i ）当直线AB 垂直于x轴时，不妨设A ⎝⎭，B ⎝⎭，此时0OA OB ⋅= ，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .（ii ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线AB 与圆O 相切，所以点O 到直线AB的距离为d ==，即223220m k --=.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=，所以122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以()()()()221212*********OA OB x x y y x x k x m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++ ，()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22222122(4)2121k m km km m k k +-+-++=+222322021m k k --==+所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .综上所述，以AB 为直径的圆过定点O .24．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上．(1)点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；(2)点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】(1)12;(2)证明见解析.【分析】（1）代入点(2,1)A ，得22a =，从而得双曲线方程及1A ，2A 的坐标，设P 点坐标为(),x y ，则12PA PA k k =P 在双曲线C 上，即可得答案；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及12AM AN k k ⋅=，得()4210m k m +-=，舍去210k m +-=，从而得0m =，直线MN 过定点()0,0O ，ADO △为直角三角形，D ∠为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【详解】（1）解：因为点()2,1A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，所以双曲线22:12x C y -=，则())12,A A ．设P 点坐标为(),x y ，则12PA PA k k ==，所以12222PA PA y k k x ⋅=-．因为点P 在曲线C 上，所以2212x y =-，所以122211222PA PA x k k x -⋅==-，所以12PA PA k k ⋅的值为12．（2）证明：依题意，直线MN 的斜率存在，故设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，显然2120-≠k ，否则不可能有两个交点，()()()22222(4)412228120km k m m k ∆=----=+->，由韦达定理得2121222422,1212km m x x x x k k --+==--，因为直线,AM AN 的斜率之积为12，所以()()()()121212121111122222y y y y x x x x ----⋅==----，所以()()()()121222211x x y y --=--，即()()()()121222211x x kx m kx m --=+-+-，所以有()()()221212212122(1)40k x x k m x x m ⎡⎤-+-+++--=⎣⎦，将韦达定理代入化简得()4210m k m +-=，而当210k m +-=，此时直线l 为()1221y kx k k x =+-=-+，易知l 恒过定点()2,1A ，故舍去，所以0m =，此时满足Δ0>且直线MN 过定点()0,0O ，（如图所示）又因为,AD MN D ⊥为垂足，所以ADO △为直角三角形，D ∠为直角，所以当点Q 为斜边AO 的中点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，DQ 为定值522AO =．综上所述，存在定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，使得DQ ．25．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF -=，且双曲线焦距为4．(1)求双曲线C 的方程；(2)如果Q 为双曲线C 右支上的动点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得222QF M QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2213y x -=(2)存在，坐标为()1,0-【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；（2）在x 轴负半轴上假设存在点M 满足题意，当2QF 垂直于x 轴时，易得()1,0M -，当2QF 不垂直于x 轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得()1,0M -.【详解】（1）因为点P 在双曲线上，所以由双曲线的定义可得1223PF PF a b -==①，又双曲线焦距即24c =，且222+=a b c ③，①②③联立解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）假设存在点()(),00M t t <满足题设条件，由题目可知()22,0F ，设()()000,1Q x y x ≥为双曲线C 右支上一点，当02x =时，03y =，因为22290QF M QMF ∠=∠=︒，所以245QMF ∠=︒，于是23MF QF ==，所以1t =-，即()1,0M -，当02x ≠时，2020tan 2QF y QF M k x ∠=-=--，020tan QM y QMF k x t∠==-，因为222QF M QMF ∠=∠，所以0002000221y y x t x y x t ⨯--=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭，将220033=-y x 代入并整理得()22200002424223x t x t x tx t -++-=--++，所以242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-，即()1,0M -，综上，满足条件的点M 存在，其坐标为()1,0M -.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.26．在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点()2,4.(1)求C 的方程；(2)若C 关于x 轴对称，焦点为F ，过点()4,2且与x 轴不垂直的直线l 交C 于M ，N 两点，直线MF 交C 于另一点A ，直线NF 交C 于另一点B ，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)28y x =或2x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解p ，（2）利用抛物线方程分别可设,,,A B M N 的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程，结合直线经过的点，即可代入化简求解.【详解】（1）若C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为22y px =，将点()2,4代入，得244p =，解得4p =，故C 的方程为28y x =；若C 的焦点在y 轴上，设抛物线C 的方程为22x py =，将点()2,4代入，得228p =，解得12p =，故C 的方程为2x y =；综上所述：C 的方程为28y x =或2x y =.（2）由（1）知抛物线C 的方程为28y x =，则其焦点()2,0F ，若直线l 不过点()2,0F，如图，设211,8y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,8y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知：直线MN 的斜率存在且不为0，则直线MN 的斜率12221212888MN y y k y y y y -==+-，所以直线MN 的方程为2111288y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()121280x y y y y y -++=，同理直线AM ，BN 的方程分别为()131380x y y y y y -++=，()242480x y y y y y -++=由直线MN 过定点()4,2，可得()1212232y y y y +-=，由直线AM ，BN 过焦点()2,0F ，可得132416y y y y ==-，对于直线AB 的方程为()343480x y y y y y -++=，由132416y y y y ==-，得1212161625680x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得()12122320y y x y y y +++=，又因为()1212232y y y y +-=，所以()()123210x y y y y +++=，令010x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线AB 恒过定点()1,1-若直线l 过点()2,0F ，直线AB 即为直线MN ，其方程为()200242y x --=--，即2y x =-，显然直线l 过点()1,1-；综上所述：直线AB 过定点()1,1-.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 27．已知过点(2,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)E y px p =>交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作直线MN y ⊥轴，垂足为N ，且PM PN ⊥.(1)求抛物线E 的方程；(2)若C 为E 上异于点,A B 的任意一点，且直线,AC BC 与直线2x =-交于点,D R ，证明：以DR 为直径的圆过定点.【答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 坐标，结合PM PN ⊥，可求得p 的值，得解.（2）设出点C 坐标，由点斜式方程求出直线AC 的方程，令2x =-，求出点D 坐标，同理求出点R 坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，利用0DT RT ⋅=，可求出定点坐标.【详解】（1）由题意，可设直线l 的方程为2x my =+，将2x my =+代入22y px =，消去x 得2240y pmy p --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122y y pm +=，124y y p =-，M 是线段AB 的中点，21212(42)22M x x m y y x pm +++∴===+，122M y y y pm +==，即2(2,)M pm pm +，又MN y ⊥轴，∴垂足N 的坐标为(0,)pm ，则2(,)PM pm pm = ，(2,)PN pm =- ，PM PN ⊥ ，22220PM PN pm p m ∴⋅=-+= 对任意的R m ∈恒成立，220p p ∴-+=，又0p >，解得2p =，故抛物线E 的方程为24y x =.（2）设2(,)4t C t ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，由（1）可知，124y y m +=，128y y =-，则12211444AC y t k y t y t -==+-，直线AC 的方程为214()4t y t x y t -=-+，令2x =-，则211184(24ty t y t y t y t-=+--=++，118(2,ty D y t -∴-+，同理228(2,)ty R y t--+，由抛物线的对称性可知，若以线段DR 为直径的圆过定点，则定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，则118(2,ty DT a y t -=+-+ ，228(2,)ty RT a y t -=+-+ ，且0DT RT ⋅= ，2121288(2)0ty ty a y t y t--∴++⋅=++，22212121222121212888()6483264(2)8()48ty ty t y y t y y t mt a y t y t y y t y y t t mt ---++--+∴+=-=-=-=++++++-，2a ∴=或2a =--，∴以DR为直径的圆过定点2,0)和(2,0)-.题型五定值问题28．已知A ，B 为椭圆222:1y E x a+=的左、右顶点，过其焦点(0,1)F 的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，并与x轴交于点P (异于A ，B )，直线AC ，BD 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅为定值.【答案】证明见解析【分析】直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程进行联立得()222210k x kx ++-=，根据韦达定理找到()11,C x y ，()22,D x y 坐标之间的关系，由所证明得式子知，需表示出P ，Q 两点的坐标，其中P 点坐标，由直线CD 方程可直接表示出，即1,0P k骣琪-琪桫，Q 点坐标需联立直线AC 与直线BD 的方程，求出Q x 然后求出向量的数量积即可.【详解】由题知211a -=，即22a =，则22:12y E x +=，所以()1,0A -，()10B ,,当直线CD 斜率不存在时，直线AC 与直线BD 平行，无交点，不满足题意；所以直线CD 斜率存在，设直线CD 的斜率为k ，因为直线CD 过椭圆焦点，且与x 轴有交点，所以0k ≠，则直线CD 的方程为1y kx =+，()0k ≠，设()11,C x y ，()22,D x y ，(),Q Q Q x y，如图所示：则1,0P k 骣琪-琪桫，直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222210k x kx ++-=，且()()222242880k k k D =+´+=+>，12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以12x x -==()121212241122y y kx kx k x x k +=+++=++=+，联立()()11221111y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得：122121122112Q x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()()()12212112212114112x kx x kx k x x x kx x kx k ++++-=+-+++()()121221122242kx x x x k x x x x k +++-=-++22222221222k k k k k k k ---=k ==-，所以(),Q Q k y -，因为1,0P k骣琪-琪桫，所以1OP OQ ⋅= ，即：OP OQ ⋅为定值.29．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>C 经过点12p ⎫⎪⎭．(1)求椭圆的标准方程C ；(2)若直线y kx m =+与轨迹C 交于M N ，两点，O 为坐标原点，直线OM ON ，的斜率之积等于14-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得MN ，再表示出O 点到直线MN 的距离d ，由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意得222223114c a a b a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2241a b ==，，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122，，，M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440kxkmx m +++-=，所以()()222264414440k m k m ∆=-+->，即2241k m +>，则21212228441414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ONk k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：()2222222148144444k m k m k m m +-++=---，整理得()22241*m k =+，又MN ==而O点到直线MN 的距离d =所以12OMNS d MN == 把()*代入，则1OMN S == ，可得OMN S △是定值1．30．已知椭圆C ：22221x y a b+=过点()2,1A --，且2a b =．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()4,0B -的直线l 交C 于点M ，N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ．求证：PBBQ为定值．【答案】(1)22182x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由点在椭圆上及2a b =，代入椭圆求得22b =，即可得椭圆方程；（2）令:(4)l y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立椭圆，应用韦达定理得22121222328(81),1414k k x x x x k k -+=-=++且1122k -<<，点斜式写出直线,MA NA 的方程求出P ，Q 的纵坐标，再由||P Q PB y BQ y =及韦达公式代入化简即可证.【详解】（1）由题设22241124b b b +=⇒=，则2248a b ==，故椭圆C 的方程为22182x y +=，（2）由题设，直线l 的斜率一定存在，令:(4)l y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立椭圆，整理得2222(14)326480k x k x k +++-=，且422102432(14)(81)0k k k ∆=-+->，所以21114022k k ->⇒-<<，且22121222328(81),1414k k x x x x k k -+=-=++，由题意，直线,MA NA 的斜率必存在，则111:12)2y MA y x x ++=++，令4x =-，则1111124(12)8422P x y k x k y x x +++++=-=-++；同理221:1(2)2y NA y x x ++=++，令4x =-，则22(12)842Q k x k y x +++=-+；所以1221[(12)84](|(|||2)[12)84](2)P Q P k B x k x k x k x B y Qy +++++++==+12211212428|48|2x x x x x x x x =++++++将韦达公式代入整理得PB BQ 222222222832212||83x k x k x k x k ++---==，为定值.31．已知F 为抛物线C 的焦点，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点D 在C 上，使得ABD △的重心G 在x 轴的正半轴上，直线AD ，BD 分别交x 轴于Q ，P 两点.O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，4AB =.(1)求C 的标准方程.(2)记P ，G ，Q 的横坐标分别为P x ，G x ，Q x ，判断223P Q G x x x +-是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)1-【分析】（1）先判断焦点在x 轴，再根据抛物线的定义，结合4AB =即可.（2）设直线AB ：12x ky =+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)G P Q A x y B x y D x y G x P x Q x ，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意P x ，G x ，Q x 用12,y y 表示，计算即可.【详解】（1）依题ABD △的重心G 在x 轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为：22(0)y px p =>，当AB OF ⊥时，2A B p x x ==，则2422A B p pAB x x p =+++==，则抛物线方程为：24y x =.（2）依题知直线AB 的倾斜角不为0，则设直线AB ：12x ky =+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)G P Q A x y B x y D x y G x P x Q x ，由2124x ky y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2420y kx --=，。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案
圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A. B. C. 2 D.1-4．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 35．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8.若抛物线)0(22≠=a ax y 的焦点与双曲线1322=-y x 的左焦点重合，则a 的值为 A ．2-B ．2C ．4-D ．49.已知点F 、A 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点、右顶点，点(0,)B b 满足0FB AB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线的离心率为A B C ．D 10．方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B二、填空1191697=-有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .12． 若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点（4，0）和（0，2），则该椭圆的离心率等于 。
高中数学一轮复习 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系 试题
第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。
随堂演练稳固x -y -1=0与抛物线2y ax =相切,那么a 等于( ) A.12 B.13 C.14 D.4【答案】C【解析】由210x y y ax ⎧⎪⎨⎪⎩--=,= 消去y 得210ax x -+=,所以0140a a ≠,⎧⎨-=,⎩ 解得14a =.22134yx -=,过点M (m △AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点),那么实数m 的取值范围是( )A.(-B.(0)(0-⋃,C.()-∞,-⋃+∞D.(-⋃【答案】D【解析】依题意可得((A m B m ,,,-,∴2(21)(3m OA m OB m =,-,=,-.∵△AOB 是锐角三角形,必有AOB ∠是锐角,即OA 与OB 0OA OB ⋅>,得224403m m -+>,∴m -<<但根据双曲线的范围知,应有m<m>故m 的取值范围是(-⋃.P 为双曲线22115y x -=右支上一点,M 、N 分别是圆2(4)x +24y +=和22(4)1x y -+=上的点,那么|PM |-|PN |的最大值为 .【答案】5【解析】两圆的圆心(-4,0)和(4,0)(记为1F 和2)F 恰为双曲线22115y x -=的两焦点. 当|PM |最大,|PN |最小时,|PM |-|PN |最大,|PM |最大值为P 到圆心1F 的间隔 |1PF |与圆1F 半径之和,同样|PN |=最小|2PF |-1,从而(|PM |-|PN |max )=|1PF |+2-(|2PF |-1)=|1PF |-|2PF |+3=2a +3=5.l 与双曲线22143y x -=有两个交点,那么直线l 的斜率的取值范围是 .【答案】( 【解析】设l :y =kx ,代入22143y x -=中, 得2221143k x x -=, 即221()1043k x --=, 由0∆>知k <<. 5.双曲线方程:2213y x -=,那么以A(2,1)为中点的弦所在直线l 的方程是 . 【答案】6x -y -11=0【解析】设l 与双曲线交于11()P x y ,和22()Q x y ,, 那么221122221313y x y x ⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=.⎪⎩①② ②-①,得212121211()()()()03x x x x y y y y +--+-=,而121242x x y y +=,+=,∴212124()()03x x y y ---=. ∴21216y y x x -=,-即6l k =. ∵点A(2,1)在双曲线的内部,∴直线l 的方程为y -1=6(x -2),即6x -y -11=0.课后作业夯基根底稳固1.AB 为过椭圆22221y x a b+=中心的弦,F (c ,0)为该椭圆的焦点,那么△FAB 的最大面积为( ) A.2bB.abC.acD.bc【答案】D 【解析】设A 、B 两点的坐标为11()x y ,、11()x y -,-,那么12FAB S =|OF ||12y |=c |1y |bc ≤. 224x y -=上任一点M 作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N ,O 是坐标原点,那么△OMN 的面积是( )D.不确定 【答案】A【解析】过双曲线上任一点00()M x y ,作渐近线y x =±的垂线,垂足分别为N ,N ′.|MN |⋅|MN ′|==42=2,故1OMN S =.221x y -=的左焦点为F ,点P 为其左支下半支上任意一点(异于顶点),那么直线PF 的斜率的变化范围是( )A.(0)-∞,B.(1),+∞C.(0)(1)-∞,⋃,+∞D.(1)(1)-∞,-⋃,+∞【答案】C【解析】数形结合法,与渐近线斜率比拟.可得答案为C.4.抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,而且被直线2x -y +1=0所截得的弦长等于15,那么抛物线的方程是( )A.212y x =-或者24y x =B.24y x =-或者212y x =C.210y x =-或者24y x =D.26y x =-或者210y x =【答案】B【解析】设所求抛物线为2(y ax a =∈R 且0)a ≠,由2210y ax x y ⎧=,⎨-+=,⎩得220y ay a -+=.假设弦两端点纵坐标分别为1y 和2y ,那么|12y y -|2182a a =-于是弦长2584a a -15=,解得a =12或者a =-4. 12(20)(20)F F -,,,的椭圆与直线l :x +y -9=0有公一共点,那么椭圆长轴长的最小值是( )A.170 70 D.852【答案】A【解析】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(y x a b a b +=>>0),且c =2,那么224b a =-. 将椭圆方程与直线方程联立,得22221490y x a a x y ⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y ,整理得22224(24)18850a x a x a a --+-=.因为直线l 与椭圆有公一共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a ---≥,整理得422933400a a -+≥. 解得2852a ≥,或者24(a ≤舍去),∴2170a ≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P 为椭圆与直线l 的公一共点,那么|1PF |+|2PF |=2a ,所以问题转化为当P 在l 上运动时,求|1PF |+|2PF |的最小值.作2F 关于l 的对称点2F ′00()x y ,,那么00(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7).所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F ′|22(92)7170=++=,17022143yx +=,假设在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y =4x +m 对称,那么实数m 的取值范围是( ) A.21322(1313 B.213213()1313C.2132()D.2323(【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y AB ,,,,的中点为M (x ,y ),由题意知211212211224AB y y k x x x y y y x x -==-,+=,+=,-213x +21412y = ①22223412x y ,+= ②.①②两式相减得223(x -222121)4()0x y y +-=,即12123()y y x x +=+,即y =3x ,与y =4x +m 联立得x =-m ,y =-3m ,而M (x ,y )在椭圆的内部,那么229143m m +<,即m <<x >1时,直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方,那么a 的取值范围是 .【答案】(4)-∞,【解析】由题意联立 2y x y ax a ⎧=,⎨=-,⎩ 整理可得20x ax a -+=,由240a a ∆=-=,解得a =0或者a =4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当(4)1a x ∈-∞,,>时直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方.l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12P P 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,那么12k k 的值等于 . 【答案】12- 【解析】设111222()()P x y P x y ,,,, 那么1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-. 9.有公一共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的交点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.假设|1PF |=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),那么该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】12()35,【解析】设它们的焦距为2c ,那么|2PF |=|12F F |=2c ,双曲线的离心率121025c c e c c ==,--由(12)5c c ∈,-得51023c <<. 所以椭圆的离心率2212()102535c c e c c ==∈,++. 22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B 两点,A,B 在xABCD 的面积为122,那么p= .【答案】2【解析】抛物线的焦点为(0)2p ,,设11()A x y ,22()B x y ,,,直线AB 的方程为2p y x -=,即y =x +2p .联立 222p y x x py ⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩ 消去y ,得2220x px p --=. ∴12(12)(12)x p x p =,=.∴12122322p p y y x x p p p +=+++=+=,|CD |=|1x -2x |22=. 由1(2ABCD S =梯形|AD |+|BC |1)32CD p ⋅=⨯⨯22=2, 解得24p =,∴2p =±.∵p>0,∴p=2.11.点A(0,2)和抛物线C:26y x =,求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程. 【解】设直线l 的方程为y =kx +2,这个方程与抛物线C 的方程联立,得方程组226y kx y x =+,⎧⎨=.⎩当k =0时,由方程组得2643x x =,=,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(2)3,. 当0k ≠时,由方程组消去x ,得方程26120ky y -+=.(*)关于y 的二次方程(*)的判别式3648k ∆=-.由∆=0,得34k =,可知此时直线ll 的方程为3x -4y +8=0. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 就是y 轴,其方程为x =0.所以,直线l 的方程为3x -4y +8=0,或者x =0.12.椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,. (1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |.【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1.又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,,那么RT 03()4y PQ =,,2121()x x y y =-,-, RT PQ ⋅210213()()4x x y y y =-+-. 又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得 1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=,因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=, 所以120123()()04x x y y y -+-=, 即RT PQ ⋅=0,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.1C :22221(y x a b a b+=>>0)的右顶点为A(1,0),过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆1C 的方程. (2)设点P 在抛物线2C :2(y x h =+h ∈R )上2C ,在点P 处的切线与1C 交于点M ,N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值. 【解】(1)由题意,得121b b a=,⎧⎪⎨⋅=,⎪⎩ 从而21a b =,⎧⎨=.⎩因此,所求的椭圆方程为2214y x +=. (2)设11()M x y ,,2(N x ,22)()y P t t h ,,+,那么抛物线2C 在点P 处的切线斜率为y ′|2x t t ==,直线MN 的方程为y =2t x -2t h +.将上式代入椭圆1C 的方程中,得2224(2)40x tx t h +-+-=,即222224(1)4()()t x t t h x t h +--+--4=0. ①因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点,所以①式中的 422116[2(2)4]0t h t h ∆=-++-+>. ②设线段MN 的中点的横坐标是3x ,那么21232()22(1)x x t t h x t +-==+. 设线段PA 的中点的横坐标是4x ,那么412t x +=. 由题意,得34x x =,即2(1)t h t +++1=0. ③由③式中的22(1)40h ∆=+-≥,得1h ≥,或者3h ≤-. 当3h ≤-时,h 22040h +<,-<,那么不等式②不成立,所以1h ≥.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.所以,h 的最小值为1.拓展延伸14.(2021三校联考)椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点间隔 之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N .(1)求椭圆E 的方程;(2)求1l 的斜率k 的取值范围;(3)求OM ON ⋅的取值范围.【解】(1)设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0), 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+. 由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=.根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >. 同理得2211()44k k ->,<, ∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,. (3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,, 那么1221634kx x k +=-,+∴12028234x x k x k+==-,+ 0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k -,,++ 同理得2218()6()1134()34()k N k k--,,+-+-即2286()4433k N k k,++.∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k ≤+<. ∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
(完整版)数学高职高考专题复习__直线、圆锥曲线问题
高考直线、圆锥曲线问题专题复习一、直线基础题1、已知直线L 与直线2x -5y -1=0平行，则L 的斜率为 ( ) A.52 B.52- C.25 D.25- 2、平行直线2x+3y-6=0和4x+6y-7=0之间的距离等于 ( ) A.1313 B.26135 C.13132 D.26133、已知点A （1，3）和B （-5，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.3x +y+4=0 B.x -3y+8=0 C.x+3y -4=0 D.3x -y+8=04、 过点（-3，1）且与直线3x -y -3=0垂直的直线方程是 ( ) A.x +3y=0 B.3x +y=0 C.x -3y +6=0 D.3x -y -6=05、已知M （3，-1），N （-3，5），则线段MN 的垂直平分线方程为 ( )A.x -y -2=0B.x +y -2=0C.3x -2y +3=0D.x -y +2=06、如果点(4，a)到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是区间 ( ) A.[2，12] B.[1，12] C. [0，10] D. [-1，9]7、实数a=0是直线ax -2y -1=0与2ax -2y -3=0平行的 ( ) A.充分而非必要的条件 B.充分且必要的条件C.必要而非充分的条件D.既非必要又非充分的条件 8、已知P ，M 和N 三点共线，且点M 分有向线段所成的比为2，那么点N 分有向线段所成的比为 ( ) A.31-B.-3C.31D.3 9、已知A （-2，1）,B （2，5），则线段AB 的垂直平分线的方程是_________.10、在x 轴上截距为3且垂直于直线x+2y=0的直线方程为___ _______________.二、圆锥曲线基础题11、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点到准线的距离是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.6 12、已知椭圆上一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为 A.5 B.10 C.5 D.52 ( )13、椭圆9x 2+16y 2=144的焦距为 ( ) A.10 B.5 C.72 D.1414、已知双曲线上有一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离差是2，则双曲线方程为 ( )A.1322=-y x B.1322-=-y x C.1322-=-y x D.1322=-y x 15、P 为椭圆25X 2+9Y 2=225上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，则| PF 1 |+| PF 2|的值为A.6B.5C.10D.3 (01年成人) ( )16、过双曲线193622=-y x 的左焦点F 1的直线与这双曲线交于A ，B 两点，且|AB|=3.F 2是右焦点，则|AF 2|+|BF 2|的值是 ( ) A.21 B.30 C.15 D.27 17、平面上到两定点F 1（-7，0），F 2（7，0）距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为 ( )A.11610022=-y x B.14910022=-y x C.1242522=+y x D.1242522=-y x 18、抛物线x y 82=的准线方程是 ( ) A.x =﹣4 B.x =﹣2 C.=y ﹣4 D.=y ﹣219、椭圆15922=+y x 的焦距等于 ( ) A.6 B.214 C.4 D.1420、长为2的线段MN 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动,则线段MN 的中点的轨迹方程是 ( )A.222=+y xB.422=+y x C.222=+y x D.122=+y x21、记双曲线15422=-y x 的右焦点为F,右准线为l .若双曲线上的点P 到l 的距离为35,则=PF ( )A.25 B.35 C.27D.10922、若抛物线px y 22=上到焦点距离为3的点之横坐标为2,则P= ( ) A.4 B.3 C.2D.123、设P 是双曲线191622=-y x 上一点，已知P 到双曲线的一个焦点的距离等于10，则P 到另一个焦点的距离是 ( )A.2B.18C.20D.2或18 24、中心在坐标原点,焦点在x 轴，且离心率为22、焦距为1的椭圆方程是 ( ) A.14222=+y xB.14222=+y x C.12422=+y xD.12422=+y x 25、方程0)()(22=-+-b y a x 的图形是 ( ) A.一个圆 B.两条直线 C.两条射线 D.一个点26、方程0)2)(1(2=+-y x 的图形是 ( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一条抛物线 D.直线或抛物线27、如果圆x 2+y 2= r 2 (r>0) 与圆x 2+y 2-24x -10y +165=0相交，那么r 的取值范围是区间 A.（5，9） B.（6，10） C.（10，12） D.（11，15）( ) 28、椭圆21222=+y x 的准线方程是 ( ) A.x=±1 B. y=±1 C. y=±2 D. x=±2 29、焦点在x 轴上，以直线x y 3=与x y 3-=为渐近线的双曲线的离心率为 ( )A.4B.2C.2D.0.530、焦距为2，离心率为33的椭圆，它的两条准线的距离为 ( ) A.6 B.8 C.34 D.3331、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是区间( ) A.（0，+∞） B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）32、如果方程192222=-+-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么实数a 的取值范围是区间 ( )A.（-3，2）B.（-3，3）C.（-3，+∞）D.（-∞，2）33、已知椭圆2222b x a y +=1(a ＞b ＞0)的离心率为53，两焦点的距离为3，则a+b=_______.三、直线、圆锥曲线综合题35、过圆x 2+y 2=25上一点P （3，4）并与该圆相切的直线方程是 ( ) A.3x －4y=0 B.3x+4y=0 C. 3x －4y －25=0 D.3x +4y －25=0 36、圆x 2+y 2-10y=0的圆心到直线3x +4y -5=0的距离等于 ( )A.53 B.3 C.75D.15 37、如果直线4x -3y+5=0与圆x 2+y 2-4x -2y+m=0相离，那么m 的取值范围是区间( )A.（0，5）B.（1，5）C.（2，6）D.（-1，4）38、直线012=++y x 被圆9)1()2(22=-+-y x 所截得的线段长等于 . 39、（8分）设双曲线x 2－y 2=1上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离等于2，其中a>b,求a,b.40、（10分）已知椭圆1222=+y x ,过点P （1，0）作直线L,使得L 与该椭圆交于A 、B 两点，L 与y 轴交于Q 点，P 、Q 在线段AB 上,且︱AQ ︱=︱BP ︱，求L 的方程.41、(8分) 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -4y+12=0，求圆的过点P(2,0)的切线方程.42、(10分) 已知抛物线以原点为顶点，x 轴为对称轴，开口向左，且焦点与顶点的距离为p.在此抛物线上取A 、B 、C 、D 四点，分别记M 和N 为AB 和CD 的中点，如果AB ⊥CD ，求点M 和点N 的纵坐标的乘积.43、(10分) 已知斜率为a ，在y 轴上的截距为2的直线与椭圆132222=+ay a x 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.44、(8分) 已知直线在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为1，又抛物线y=x 2+bx+c的顶点坐标为（2，-8），求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和.45、(10分) 设F 1和F 2分别是椭圆1422=+y x 的左焦点和右焦点，A 是该椭圆与y 轴负半轴的交点.在椭圆上求点P 使得| PF 1 |，| PA |，| PF 2 |成等差数列.46、(11分) 已知椭圆12222=+by a x 和点P （a ，0）.设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，使得P 为其一个顶点，求该正三角形的边长.47、(11分) 设椭圆)0(16222φλλ=+y x 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两点，使得OP 所在直线的斜率为1，OP ⊥OQ ，若△POQ 的面积恰为λ423，求该椭圆的焦距.48、(12分) 已知正方形ABCD 对角的两个顶点A,C 都在抛物线x y 42=上,另外两个顶点B,D 在直线942=-y x 上,求正方形的中心N 的坐标和正方形的面积.49、( 12分) 已知直线b x y +=2与椭圆18222=+y x 相交于不同的两点..、B A 定点P的坐标为(1,2).求b 值,使PAB ∆的面积最大,并求这个最大值.50、给出定点P （2，2）和Q （-2，0），动点M 满足：直线PM 的斜率与QM 的斜率的比值等于2.求动点M 的轨迹方程. 51、经过点P （2，0）且与定圆0422=++x y x 相切的圆的圆心轨迹如何？52、已知椭圆的焦点是F 1（0，50-）和F 2（0，50），且直线y=3x -2被它截得的线段的中点之横坐标为21，求这个椭圆的方程.53、给定抛物线y 2=8x 和定点P （3，2）.在抛物线上求点M ，使M 到P 的距离与到抛物线焦点的距离之和最小，并求这个最小值.附：参考答案 1-8 ABAAD CBA 9.x+y -3=0 10.2x -y -6=0 11-32.BDCAC DDBCDACDAD ADBBA DA 33.29 35-37 DBB 38.4 39.43,45-==b a 40.2222,2222+-=-=x y x y 41.3x -4y -6=0或x=2 42.-4p 243.a ＞1或a＜-1 44.35 45.)31,324(,)31,324(),1,0(--- 46.222334b a ab + 47.4 48.N （25，-1），24549.当b=±22时，面积有最大值250．xy+2x -6y+4=0（x ≠±2） 51.双曲线1322=-y x 52.1752522=+y x 53.)2,21(M ，5。
2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例1.【2018年全国高考课标3第16题】已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________． 解法一：点评：由题先设出直线方程，与抛物线方程联立，再借助条件90AMB =︒∠，化为向量语言转换为关于k 方程，进行求解。
解题以方程思想为指针，设而不求为桥梁，最终建立k 方程，完成求解。
解法二：同上，由90AMB =︒∠，则1MA MB k k ?-可得；2121211144011MA MBy y k k k k x x --??-?+=++ 2k \=.点评：将条件90AMB =︒∠，解读为1MA MBk k ?-，进行求解。
解法三：如图所示，点评：数形结合，将90∠的条件化为圆，运用圆的切线性质而简化运算。
AMB=︒二．方法总结,胸有成竹直线与圆锥曲线一直以来是我们高考关注的一个热点话题，主要涉及到圆锥曲线的方程和几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。
综合考查学生的数学思想、数学方法与数学能力。
1. 直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题求解的基本思路：由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。
这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，运用圆锥曲线的定义与平面几何的知识，化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；另外采取“设而不求”法，“点差法”与弦长公式及韦达定理，减少变量，建立方程去解决； 2. 基本知识与基本方法（1）．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．（2）．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．（3）．弦长公式1212||||AB x x y y =-=-． （4）．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）三.精选试题，能力升级1．【2018河南省焦作市高三联考】已知抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且32MO MF ==（O 为坐标原点），则MOF ∆的面积为（ ）A.2B. 12C. 14D.【答案】A2.【2018年全国高考课标1第11题】已知双曲线 22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 若OMN ∆为直角三角形，则MN =A.B. 3C.D. 4 【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F ，从而得到030FON ∠=， 所以直线MN 的倾斜角为060或0120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为060，可以得出直线MN 的方程为2)y x -，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得3(,22M N -B. 3．【2018湖南省长沙市高三联考】抛物线C ： 22(0)x py p =>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ，若OM N ∆的面积为12，则AF 的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A4．【2018山东省潍坊市二模】直线()2(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ， B 两点， F 为C 的焦点，若sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是（ ）A.3 B. 3C. 1D. 【答案】B【解析】分别过A ， B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ， N ，则AF AM =，BF BN =. 设直线()2(0)y k x k =+>与x 轴交于点P ，则()2,0P -.5．【2018衡水金卷】已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线l 分别交抛物线于点,A B ， 过点,A B 分别作抛物线的切线12,l l ，两切线12,l l 交于点M ，若过点M 且与y 轴垂直的直线恰为圆221x y +=的一条切线，则p 的值为（ ） A.14 B. 12C. 2D. 4 【答案】C【解析】由题可知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F 0,,2p ⎛⎫⎪⎝⎭且过焦点F 的直线斜率存在， 所以可设直线:2p l y kx =+，联立方程组222{ ,20,22py kx x kpx p x py =+∴--==设()11,A x y ，()22,,B x y 则21212,2.x x p x x kp =-+=又由22x py =得2,,2x xy y p p =∴='所以过A 点的切线方程为()22111111111:,2x x x x x l y y x x y y x x p p p p p-=-∴=+-=-. 同理可知过点B 的切线方程为2222:,2x x l y x p p =-联立方程组211122122222{ ,{ ,222x x x x y x x p px x p x x y y x p p p +=-=∴==-=-因此点12,,22x x p M +⎛⎫-⎪⎝⎭过点M 与y 轴垂直的直线为(0)2p y p =->，而圆221x y +=与y 轴负半轴交于点（0，-1），所以1, 2.2pp -=-∴=故选C. 点评：本题的思路比较自然，只要循序渐进，一步一步转化就可以了. 主要是计算有点复杂，在求出过点A 的切线方程2111:2x x l y x p p =-后，不必再重新求过点B 的切线方程，只要利用对称性同理求出2222:2x x l y x p p=-可以提高解题效率.6.【2017高考新课标I 】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】解法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-。
江苏省—高三数学专题练习及答案 ：直线与圆锥曲线1
直线与圆锥曲线（1）1.斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为2. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝3. （上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有 条4. （山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为5. (全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 6. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是7.（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为8. （福建卷）已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是9. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=10.已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.11..正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________.12.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.13.已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.14.已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6). (1)求双曲线方程.(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论.15.已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.(1)求双曲线C 的方程.(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标.16.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程.直线与圆锥曲线(一)1.5104 2.41 3.两条 4.25 6. 1 7. 90º 8.279.2310.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④ 11.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长.答案：18或5012.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2).即⇒+=--21212116y y x x y yk AB =8.故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=013.解：(1)设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0 ∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p . (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p ,则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p . ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p时，S 有最大值为2p 2.14.解：(1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1. (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心G 的坐标为(2，2）假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).则有 34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ，∴k l =34 ∴l 的方程为y =34(x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0. ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在. 15.解：(1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2). ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.(2)设直线l ：y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2. ②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0,由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0.可得m 2+2k 2=2③ ②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =10.故B (22,10). 16.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.。
直线与圆锥曲线含答案
【例1】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过)20F22m ，得22m =又因为 1.m >所以m =故直线l的方程为10.x -= ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点， 由2AG GO = ，2BH HO = ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，直线与圆锥曲线.测试题由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴10x -=；⑵(12)，．【例2】 已知椭圆C 的焦点是(10,F -，(20,F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武一模【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆∵24,a c =∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，AB =若1122PAB S AB d ∆==∴d =∵原点O 到直线:220l x y ++==>∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解 由0∆=解得n =此时，l '与l< ∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214y x λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例3】 已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB 数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =， 又因为点()11A x y ，在椭圆C 上， 所以221114y x +=，即219116x +=，解得1x = 则点A的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，或32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，， 当AB 的方程为0x =时，4AB = 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=， 所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k+=+++=+， 因为AB =216813k -<<， 所以258k <<．因为OA OB OP λ+=，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB += ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+， 因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则()22λ∈-．综上，实数λ的取值范围为()22-．【答案】⑴直线l 的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵实数λ的取值范围为()22-．【例4】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+ ，()222,AQ x y =+． 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例5】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线:l y kx =+C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅= ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为2214xy +=． ⑵将y kx =C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得12x x +=122414x x k =+ ②又(()2121212122y y kx kx k x x x x ⋅=+=++ ③若0OP OQ ⋅=，得12120x x y y +=将②、③代入上式，解得k =． 又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将k =代入（*）式知符合题意．【答案】⑴2214x y +=；⑵k =．【例6】 已知抛物线22(0)y p x p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+= _______． 【考点】直线与抛物线 【难度】4星【题型】填空 【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，， 直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得MP MQ =，从而222221111122p p p MP MQ+=+= ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得： 222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ +=+-+-+22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++， 代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ． 综上知，222111p MP MQ+= ． 【答案】21p ；【例7】 已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅= ，求BDK △的内切圆M 的方程 ．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，全国高考【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x ==所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵由①知：21212(1)(1)42x x my my m +=--=-，1212(1)(1)1x x my my =--=因为11(1)FA x y =-，，22(1)FB x y =- ，， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=-+=-+++=-故28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为：3430x y ++=，3430x y -+=又由①知：21y y += 故直线BD的斜率：214y y =- 因而直线BD的方程为：330x -=，330x -=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)M t ，(11)t -<<，(0)M t ，到t 及BD 的距离分别为315t +，314t +．由313|1|54t t ++=，解得19t =，或9t =（舍去）， 故圆M 的半径3|1|253t r +== 所以圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x == 所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的，A B 两点． ⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；⑵如果4OA OB ⋅=-证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】无【解析】⑴由题意：抛物线焦点为(10)，设:1l x ty =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty --=， 设11()，A x y ，22()，B x y 则124y y t +=，124y y =-，212122212121212(1)(1)()1OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-⑵设:l x ty b =+代入抛物线24y x =消去x ，得2440y ty b --=，设11()，A x y ，22()，B x y ，则124y y t +=，124y y b =-． 2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++∵22224444bt bt b b b b =-++-=-．令244b b -=-，2440b b -+=∴，2b =∴，∴直线l 过定点(20)，． 【答案】⑴3OA OB ⋅=-⑵直线l 过定点(20)，．。
专题9.6 直线与圆锥曲线(练)(解析版)
专题9.6 直线与圆锥曲线1．（四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为， 设，所以，解得，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C ．2.（2019·湖南高三月考（理））抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（ ）A.51π- B.51π+ C.()252π-D.()252π+【答案】A 【解析】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=-⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=-以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ-==答案选A3.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 A.B.C.2D.【答案】D 【解析】 抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴.故选D.4.(浙江省金华十校2019届高考模拟)已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．3-D ．3-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3， 又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =，1220x x ⇒+=…① 联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴36k =-. 故选：C ．5.（2019·四川石室中学高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l：0x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【答案】67【解析】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒所以2y =-代入直线1l：0m =⇒=所以直线1l为：0x y --=由22004x y y y y x ⎧--=⎪⇒---=⎨⎪=⎩所以12y y =-，所以12y y -==152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：676.（2019·安徽高三开学考试（理））已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.7．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（文））已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【解析】（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a=，所以b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =--设()()1122,,,A x y B x y联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k+-⋅==+所以12AB x =-==8.（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程. 【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c 2b =，又由222a b c =+，消去b 得222)a c=+，解得12c a =， 所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-， 因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.9. （2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值． 【答案】（1）22y x =．（2）【解析】（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫⎪⎝⎭∴122p =，1p =， ∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x=+⎧⎨=⎩ 消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-， ∴21211PQ y y =+-()221212114y y y y =+⋅+-()()221124226=+⋅-⋅-=．∴线段PQ 的值为26．10.（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点.过A 的直线l 交抛物线()220x py p =>于B ，C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线m 交椭圆于M ，N 两点.求p 的值，使得BMN ∆的面积最大. 【答案】（1）证明见解析；（2）914. 【解析】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,24t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：222224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：24t p =，∴42142C p p y p -==为定值. （2）∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=，∵直线l的斜率()11322kt t--==，直线m斜率3kt'=-，∴直线m的方程：1322t y xt⎛⎫-=--⎪⎝⎭，即32y xt=-+，不妨记3mt=-，则l'：2y mx=+，代入椭圆方程整理得：()2221860m x mx+++=，设()11,M x y，()22,N x y，则122821mx xm+=-+，122621x xm=+，22212223122121mMN m x x mm-=+-=++，A∴到MN的距离21dm=+，所以12AMNS MN d∆=⋅⋅22233221mm-=+2232323244242323mm=≤=-+-.取等号时，222323mm-=-，得272m=，所以229187tm==，29414tp==.1．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线21:4C y x=的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C 上，且2AF=，点P是抛物线C的准线上的一动点，则PA PO+的最小值为（）.A13B．13C．313D．6【答案】A【解析】抛物线的准线方程为1y=-，||2AF=，A∴到准线的距离为2，故A点纵坐标为1，把1y=代入抛物线方程可得2x=±．不妨设A在第一象限，则(2,1)A，点O 关于准线1y =-的对称点为(0,2)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+故||||PA PO +的最小值为22||2313AM =+=． 故选：A ．2．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A 5B 10C 25D 210【答案】A 【解析】椭圆C 以A ，B 为焦点，即1c =，221b a =-，故可设椭圆方程为222211x y a a +=-(a >1)，联立方程2222113x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知∆=36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，即42650a a -+≥ 得25a ≥或21a ≤（舍去），解得a 5所以155c e a a ==≤， 所以e 5. 故选：A.3.（2019·山西高三月考（理））已知双曲线C ：()22210x y a a-=>与l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若512PA PB =，则a =______. 【答案】1713【解析】由于双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，故方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，有两组不同的实数解，消去y 并整理可得：2222(1)220a x a x a -+-= 所以实数a 应满足：24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎨+->⎩ ，解得：02a <<且1a ≠ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系可得：212221222121a x x a a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩① 根据题意可知(0,1)P ，由512PA PB =，可得11225(,1)(,1)12x y x y -=-，从而得到12512x x = ② 由①②解得：1713a =±，又 02a <<且1a ≠，所以1713a =故答案为17134.（2019·浙江高三学业考试）如图，(1,0)M ，P ，Q 是椭圆2214x y +=上的两点（点Q 在第一象限），且直线PM ，QM 的斜率互为相反数．若2PM QM =，则直线QM 的斜率为__________．15【解析】延长PM ，交椭圆于点N ，由椭圆的对称性和直线PM ，QM 的斜率互为相反数可知：||||QM MN =，如下图所示：设直线PM 的斜率为k ，所以直线PM 的方程为：(1)(0)y k x k =-<，与椭圆方程联立得：22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得，2212430yy k k ⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 设()()1122,,,P x y N x y ，根据根与系数关系可得：122214ky y k -+=+，12||2,2||PM y y QM =∴=-，1222214ky y y k -∴+=-=+，所以222222,11414k y x k k =∴=+++，把22221,1414k N kk ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程中得，2222221441414k k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得25515,1212k k =∴== 所以直线QM 的斜率为156k -=. 5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______. 【答案】1x =- 2 【解析】易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)F ，∴准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，则11132pAF x x =+=+=，12x =，作AC x ⊥轴于点C ，如图， 则(2,0)C ，1FC =，∴223122AC =-=， ∴直线l 的斜率为22tan 221k AFC =∠==． 故答案为：1x =-；22．6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】2 92【解析】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()()22221212129114412AB m y y m y y y y m =+-=++-=+=. 故答案为：2；92. 7.（2019·浙江高三月考）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE λEQ =，BF μFQ =，线段QD 与EF 交于点P.（1）当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.【答案】（1）432y x +=-或432y x -=-.（2）1:3. 【解析】（1）过抛物线上点A 的切线斜率为122x y x ='==，切线AB 的方程为21y x =-， 则B ，D 的坐标分别为(0,1)-，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 是线段AB 的中点.设(,)P x y ，()200,Q x x ，()11,E x y ，()22,F x y ，显然P 是ABQ △的重心.由重心坐标公式得2001,33x x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2200133x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则013x +=，故3323,66P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或3323,66P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭因为EF AB ∥，所以2EF k =，所以直线EF 的方程为4326y x +=-或4326y x -=-. （2）由解（1）知，AB 的方程为21y x =-，(0,1)B -，1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，D 是线段AB 的中点 令||||QD m QP =，1||1||QA t QE λ==+，2||1||QB t QF μ==+， 因为QD 为ABC △的中线，所以22OAB OAD GBD S S S ==△△△而12||||1||||QEF QABSQE QF S QA QB t t =⋅=△△， 1212111322222QEFQEP QFPQEP QFP QABQADQADQBDS S S S S S S S S t m t m t t m+⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭△△△△△△△△△ 所以1212132t t t t m =，即32m =，所以P 是QAB 的重心，:1:3PAB QAB S S =△△.8．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）11121【解析】 （1）解法1：CD AB ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=，则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+，故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩，将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-.故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<. 解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D CCD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-，设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线， MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-.AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125kx =-，222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =.∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 9．（2019·全国高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）若ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程；（2）试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）240x y --=或240x y +-=；（2）点F 在以线段AB 为直径的圆内． 【解析】（1）由题意知焦点F 的坐标为(1,0)．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为2x my =+．联立方程24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理得2480y my --=，可得124y y m +=，128y y =-，则2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-===由ABF ∆的面积为3，可得3=，解得12m =±，故直线l 的方程为240x y --=或240x y +-=．（2）由（1）知221212416y y x x ==，21212()444x x m y y m -=++=+．又由11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-，可得1212122212(1)(1)()1FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++-,224(44)81470m m =-+-+=--<．故AFB ∠为钝角，点F 在以线段AB 为直径的圆内．10.（2019·浙江温州中学高三月考）已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ 的面积等于20y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）0222y =±. 【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ， 则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++= 同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ 的距离200|2|42y y d -+=2042=由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y =-++则||2||PQ a b =-=22002()444a b ab y y +-=-1||2APQS PQ d ∆∴==2200004814462242y y y y -+⋅-⋅= 令2004y y t -=，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：0222y =±1.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．2.（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______. 【答案】15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==3.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x yC mm+=<<15，A，B分别为C的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22231111055125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555522⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+ 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52. 4．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.5．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.6．（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±. 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.。
高考数学直线与圆锥曲线复习试题份
高考数学直线与圆锥曲线复习试题(三)份高考数学直线与圆锥曲线复习试题 11.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A.4B.3C.4D.8答案：C命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积.解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程y=(__1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A的坐标为(3，2)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF=|AK|·d=4.2.已知双曲线C的.右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.__2=1B.-y2=1C.-=1D.-=1答案：D解题思路：设双曲线C的方程为-=1(a0，b0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，4=a2+b2.又圆F：(__2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x 相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=，a2=b2=2，故双曲线C的方程为-=1.3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案：C命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.解题思路：依题意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故双曲线方程是-=1，该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x，故选C.4.如图所示，F1，F2是双曲线-=1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.+1B.+1C. D.答案：B命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力.解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，因此该双曲线的离心率e===+1，故选B.5.设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|+|=||，则的值为()A. B.2C. D.1答案：A解题思路：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设mn.由|+|=||知，F1PF2=90°，则m2+n2=4c2，e1=，e2=，+==2，=.高考数学直线与圆锥曲线复习试题 2首先，要知错就改。
数学一轮复习高考大题专项五直线与圆锥曲线理
高考大题专项（五）直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2020山东泰安一模,21）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点。
当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4√2,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为43。
（1）求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点，满足MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点M恰好在圆O：x2+y2=49上，求实数m的取值范围.2.(2020新高考全国2，21）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b〉0)过点M(2,3），点A为其左顶点,且AM的斜率为12。
(1）求C的方程；(2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.3.已知抛物线C:y2=2px(p〉0）上一点P(x0,2)到焦点F的距离｜PF|=2x0。
（1）求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M：(x—3)2+y2=r2(0<r≤√2)的两条切线PA,PB，切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A，B,线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围。
4.(2020江苏，18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E：x24+y23 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B。
（1)求△AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，（3)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2.若S2=3S1，求点M的坐标.5.（2020山东高考预测卷）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点M（a,2√5)在抛物线C上。
（1）若｜MF｜=6,求抛物线的标准方程；（2）若直线x+y=t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为（1,0)，且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于√2,求p的取值范围。
高二数学课时作业4.1《直线与圆锥曲线的交点》
AB 10 ，AB 的中点横坐标为 4，则 p
．
四．解答题
11.已知 F 为抛物线 E： y2＝2 p（x p 0）的焦点，以 F 为圆心作半径为 R 的圆Γ，圆Γ与 x 轴
的负半轴交于点 A，与抛物线 E 分别交于点 B、C，若△ABC 为直角三角形． (1)求半径 R 的值； (2)判断直线 AB 与抛物线 E 的位置关系，并给出证明．
高二数学课时作业§ 4.1《直线与圆锥曲线的交点》
一．单选题
1.已知抛物线 C : y2 4x ，经过点 P 的任意一条直线与 C 均有公共点，则点 P 的
B． (1, 3)
C． (3, 4)
D． (2, 2)
2.已知椭圆 x2 y2 1过点 P(2,1) 作弦且弦被 P 平分，则此弦所在的直线方程为（ ） 16 4
7.若直线 x a 与双曲线 x2 y2 1 仅有一个交点，则 a 的值可以是（
）
4
A．4
B．2
C．1
D． 2
8.以 x 轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与 x 轴垂直的弦）长为 8，若抛物线的顶点在
坐标原点，则其方程为（ ）
A． y2 8x
B． y2 8x
C． y2 16x
D． y2 16x
高二数学课时作业 第 1 页
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12.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 E : x2 y2 1 内一点 P(1,1) 的一条直线与椭 43
uuur uuur 圆交于点 A,C ，且 AP PC ，其中 为常数．
(1)求椭圆 E 的离心率； (2)当点 C 恰为椭圆的右顶点时，试确定对应 的值； (3)当 1时，求直线 AC 的斜率．
{高中试卷}高一数学直线与圆锥曲线练习题2[仅供参考]
![{高中试卷}高一数学直线与圆锥曲线练习题2[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/6a49e55183d049649a665829.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：《圆锥曲线》测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m=的焦点坐标为（ ） .A ．1,0m ⎛⎫⎪⎝⎭４ B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ,04m ⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）.A ．14-B ．4-C ．4D ．144、椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为72x =-，则这个椭圆的方程是（ ）.Ａ．222(1)21213x y -+=Ｂ．222(1)21213x y ++= Ｃ．22(1)15x y ++=Ｄ．22(1)15x y -+=5、设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）. A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要6、P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）.A. 6B.7C.8D.97、过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（ ）.A. 1B.2C.3D.4 8、设直线=1:2l y x ，直线2l 经过点(2,1)，抛物线C:=24y x ，已知1l 、2l 与C 共有三个交点，则满足条件的直线2l 的条数为（ ）.A. 1B.2C.3D.49、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）. A.直线 B. 抛物线 C.双曲线 D. 圆10、以过椭圆+=>>22221(0)x y a b a b的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的 位置关系是（ C ）.A. 相交B.相切C. 相离D.不能确定11、过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ).3D.212、若抛物线21y ax =-上总存在两点关于直线0=+y x 对称，则实数a 的取值范围是（ ）.1.(,)4A +∞3.(,)4B +∞1.(0,)4C 13.(,)44DBA 1C 1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13、已知双曲线的渐近线方程为y=±34x ，则此双曲线的离心率为________. 14、长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线)20(22p a p px y >>=且上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是.15、12F , F 是椭圆22221x y a b+=的两个焦点，点P 是椭圆上任意一点，从1F 引∠12F PF 的外角平分线的垂线，交2F P 的延长线于M ，则点M 的轨迹是.16、已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ）. Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且 |P F 1|=34,|P F 2|=314， P F 1⊥PF 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程. 18、 (本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案是：如图，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：若航天器在x 轴上方，则在观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 19、 (本小题满分12分)已知两定点())12,F F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点.如果AB =，求直线AB 的方程。
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高中数学-《直线与圆锥曲线》测试题
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若AB ＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为________．
2．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24
＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当t 变化时，AB 的最大值是________． 3．(2011·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．
4．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1右焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为______．
5．(2011·山东改编)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是________．
6．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，OP ＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为____________．
7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12
，则椭圆离心率的取值范围是__________． 8．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29
＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
9．椭圆C ：x 216＋y 29
＝1及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R )的位置关系是________． 10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积为________．
11．如图，过抛物线y ＝14
x 2的焦点的直线交抛物线与圆x 2＋(y －1)2＝1于A 、B 、C 、D 四点，则AB ·CD ＝______.
12．连结双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2b 2－x 2
a 2＝1(其中a >
b >0)的四个顶点的四边形面积为S 1，连结四个焦点的四边形的面积为S 2，则当S 1S 2的值为最大时，双曲线y 2b 2－x 2
a 2＝1的离心率为________． 二、解答题
13．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m ，0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率
之积为－1m 2. (1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m ＝2时，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？
14.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14
x 2的焦点，离心率等于255
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，
MB →＝λ2BF →，求证λ1＋λ2为定值．
15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63
，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l ：y ＝kx －2与椭圆C 交于A ，B 两点，点P (0,1)，且P A ＝PB ，求直线l 的方程． 答 案
1.12
2.4105
3.2 5
4. 2 5．(2，＋∞) 6.2x ±y ＝0
7．(12，23) 8.x 24－y 23
＝1 9．相交 10．6 3 11．1 12. 2
13．解 (1)设S (x ，y )，
则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m
. 由题意得y 2x 2－m 2＝－1m 2， 即x 2m 2＋y 2＝1(x ≠±m )． ∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.
(2)当m ＝2时，曲线C 的方程为x 22
＋y 2＝1(x ≠±2)． 由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y 得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0. ①令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3，∵t >0，∴t ＝3.
此时直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．
②令Δ>0且直线2x －y ＋t ＝0恰好过点(－2，0)时，t ＝2 2.
此时直线与曲线C 有且只有一个公共点．
综上所述，当t ＝3或22时，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．
14．(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)， 则由题意知b ＝1，∴a 2－b 2a 2＝255
. 即1－1a 2＝255
.∴a 2＝5. ∴椭圆C 的方程为x 25
＋y 2＝1. (2)方法一 设A 、B 、M 点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．
易知F 点的坐标为(2,0)．
∵MA →＝λ1AF →，
∴(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，
∴x 1＝2λ11＋λ1，y 1＝y 01＋λ1
. 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得
15⎝⎛⎭⎫2λ11＋λ12＋⎝⎛⎭
⎫y 01＋λ12＝1. 去分母整理得λ21＋10λ1＋5－5y 20＝0.
同理，由MB →＝λ2BF →可得λ22＋10λ2＋5－5y 20＝0， ∴λ1，λ2是方程x 2＋10x ＋5－5y 20＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－10.
故λ1＋λ2为定值．
方法二 设A 、B 、M 点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．
又易知F 点的坐标为(2,0)．
显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －2)．
将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.
∴x 1＋x 2＝20k 2
1＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2
. 又∵MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，
将各点坐标代入得λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2
. ∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2
＝2(x 1＋x 2)－2x 1x 24－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2
＝…＝－10. 故λ1＋λ2为定值．
15．解 (1)由已知2a ＝6，c a ＝63
， 解得a ＝3，c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3，
故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
3
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则AB 的中点为E ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋3y 2＝9，y ＝kx －2，得(1＋3k 2)x 2－12kx ＋3＝0， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，x 1x 2＝31＋3k 2. ∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝144k 2－12(1＋3k 2)>0，
解得k 2>19
. 而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝k ·12k 1＋3k 2－4＝－41＋3k 2
， ∴E 点坐标为⎝⎛⎭
⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2. ∵P A ＝PB ，∴PE ⊥AB ，k PE ·k AB ＝－1.
∴－21＋3k 2－16k 1＋3k 2
·k ＝－1.解得k ＝±1，满足k 2>19
， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y ＋2＝0.。