概率论与数理统计课后习题答案

习题解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}

{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数

之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω；

{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；

{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ；

Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；

{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A

3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下

事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；

（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；

（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；

（9）C B A ++

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A ,

313221A A A A A A ++.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：

C B A ++，C AB +，AC B -.

解：如图：

BC

A C

B

C AB A B BC

A C

B A

C AB AC B C C AB C AB C B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A +=+=++=-+=+++++++=++;

;

6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。

解：不一定成立。例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ， 那么，C B C A +=+，但B A ≠。

7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。

解：不一定成立。 例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ， 那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。

8. 设3

1)(=

A P ，21)(=

B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：

（1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）8

1)(=AB P .

解：

（1）2

1)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）6

1)()()()(=

-=-=A P B P A B P A B P ； （3）8

3

8121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

9. 已知41)()()(===C P B P A P ，16

1)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件

C B A ,,全不发生的概率。

C

B A C

B A C

B A ABC

BC

A C

AB C

B A Ω

A

B

C

C

B A

解：()

)(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++=

=[]

)()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-8

3

016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-=

10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相

同”； =G

“颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。

解：

271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯=

==C P B P A P ；27

8

333222)()(=

⨯⨯⨯⨯==E P D P ； 91271271271)(=++=F P ；9

2

333!3)(=⨯⨯=G P ；

98

911)(1)(=-=-=F P H P .

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

（1）0588.03

100

12

298==C C C P ； （2）0594.03

100

198

2229812=+=C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿3次：

（1）0576.0310098232=⨯⨯=

P ； （2）0588.01009813

3

=-=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次：

（1）0588.0398

9910097

982=⨯⨯⨯⨯⨯=

P ；

（2）0594.098

9910096

97981=⨯⨯⨯⨯-

=P 12. 从9,,2,1,0Λ中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：

{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。

解：

15

7

)(310381==C C A P ；