函数的极值及求法 最值
函数的极值与最值点的求解
函数的极值与最值点的求解函数的极值与最值点的求解在数学中是一个重要的课题。
它涉及到了对函数在给定区间内的最大值和最小值进行确定的问题。
本文将介绍函数的极大值、极小值以及最值点的概念，并讨论一些常用的求解方法。
一、函数的极值与最值点的定义在讨论函数的极值与最值点之前，我们先来定义一下这两个概念。
1. 极大值和极小值设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，若存在x0∈(a,b)，使得当x∈(a,b)，且x≠x0时，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在开区间(a,b)上的极大值；若存在x0∈(a,b)，使得当x∈(a,b)，且x≠x0时，有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在开区间(a,b)上的极小值。
2. 最值点函数f(x)在区间[a,b]上的最大值点，称为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值点；函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点，称为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点。
二、求解函数的极值与最值点的方法在求解函数的极值与最值点时，常用的方法包括导数法和边界法。
1. 导数法导数法是求解函数极值与最值点最常用的方法之一。
其具体步骤如下：（1）求函数f(x)的导数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求出所有解x0；（3）将x0代入函数f(x)，计算得到函数值f(x0)；（4）将x0及对应的函数值f(x0)进行比较，确定极大值或极小值。
2. 边界法边界法主要用于求解定义域为有限闭区间[a,b]上的函数极值与最值点。
其具体步骤如下：（1）计算函数f(x)在内部点的导数；（2）计算函数f(x)在边界点的函数值；（3）将内部点的导数和边界点的函数值进行比较，确定极大值或极小值。
三、举例说明为了更好地理解函数的极值与最值点的求解方法，我们来看几个实例。
例1：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值与最值点。
首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x+2=0。
函数的极值与最值点的求解
函数的极值与最值点的求解函数的极值与最值点是数学中的重要概念，对于函数的分析与应用具有重要的指导意义。
本文将介绍如何求解函数的极值与最值点。
一、极值与最值点的定义对于函数$f(x)$而言，如果存在$x=a$，使得在$a$点的某个去心邻域内，对于任意的$x$值，都满足$f(x)\leq f(a)$或$f(x)\geq f(a)$，则称$f(a)$为函数$f(x)$在$x=a$处的极值。
特别地，当$x=a$处存在极值点，且$f(x)$在其余区间内没有极值点时，称$a$为函数$f(x)$的最值点。
二、求解极值要求解函数的极值，一般可以通过以下步骤进行：1. 求解导数为零的点极值点处的导数为零。
因此，首先可以通过求解函数的导数，找出导数为零的点。
这些点有可能是极值点，但不一定是最值点。
2. 判断导数为零的点对于导数为零的点$x=a$，可以通过二阶导数的符号判断其性质。
如果二阶导数大于零，即$f''(a)>0$，则点$a$为函数的极小值点；如果二阶导数小于零，即$f''(a)<0$，则点$a$为函数的极大值点；如果二阶导数等于零，无法判断，需要进一步分析。
3. 分析边界情况除了导数为零的点外，函数的极值还可能出现在区间的边界上，即$x$的取值范围的两个端点。
需要将这些点与导数为零的点进行比较，找出函数的真正的极值点。
4. 综合判断将前面得到的导数为零的点和边界点综合起来，即可得到函数的所有极值点。
进一步比较这些点的函数值，即可找出函数的极小值和极大值。
三、求解最值点要求解函数的最值点，一般可以通过以下步骤进行：1. 求解函数在定义域内的全局极值根据前面提到的求解极值的方法，先求解函数在定义域内的极大值和极小值，并找出这些极值点。
2. 判断函数在定义域外的趋势对于定义域外的点$x=a$，可以通过观察函数在$a$点附近的趋势，判断$a$是否为最值点。
如果函数在$a$点附近逐渐趋向于正无穷或负无穷，即$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$或$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$，则$a$为函数的最大值或最小值点。
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
函数的极值与最大、最小值
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节 函数的极值与最大、最小值
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一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极值与最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的极值函数的极值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的极值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域首先，我们需要确定函数的定义域，即函数所能取值的范围。
函数的定义域可以通过对函数进行分析、画图或进行其他方法来确定。
2. 求函数的导数求出函数的导数后，我们可以通过导数的性质来确定函数的极值点。
导数为0的点可能是函数的极值点，但并不确定它们是否为极值点，还需要进一步的分析。
3. 确定极值点经过分析导数为0的点，我们可以通过二阶导数的符号判断这些点是否为函数的极值点。
若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。
若二阶导数不存在，则需要通过其他方法进行分析。
二、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的最值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域与寻找函数的极值相同，首先我们需要确定函数的定义域。
2. 分析函数的边界点在定义域的边界上求函数的值，将这些点与极值点进行比较，即可求得函数的最值。
需要注意的是，在闭区间上求最值时，要将区间的两个端点也考虑进去。
3. 比较函数的极值以及边界值对于函数的极值点和边界点所对应的函数值，进行比较，找出其中的最大值和最小值即可得到函数的最值。
三、总结与应用函数的极值和最值的求解方法是数学中重要的内容，对于优化问题、最优化问题等有着广泛的应用。
在实际问题中，可以将函数的极值与最值的求解应用到经济学、物理学、工程学等多个领域中。
需要注意的是，函数的极值与最值可能有多个，所以在求解的过程中需要综合考虑多个情况，并进行分析和比较。
同时，在实际问题中，由于函数形式的多样性，有时可能需要借助数值方法或计算机仿真等手段来求解函数的极值与最值。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
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y
y
a
x
o
0
b
x
a
b
x0 o x
例 求函数 f(x)(x23)ex 在区间[－3，3]上的 最大值与最小值
解: f x e xx 2 2 x 3 exx3 x 1
令 fx0 ,求得在[－3，3]上的驻点
x1 3 x2 1
由于f36e 3
6 e3
,
f1 2e, f3 6e 3
显然：fx x 2 3 e x 在 区 3 ,3 上的最间 大值为
O a x0
y=f(x) x1 x2 x3 x4 x5 b x
注意: (1)函数的极值f(x0)是一个局部性概念,它只描述 函数在某点x0近旁的变化状态.
(2)函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小 值,其中有的极大值可能比极小值还小.(如图)
二、函数极值的判别法
定理(极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导,且在
x0处取得极值那么必定有 f(x0)0.
注意1: 可导函数的极值点
驻点
如：y x3, yx00, x0是驻但 点x0不 是 极 值. 点
注意2: 连续函数f(x)的可能极值点只
能是其驻点 (不可导点)
y
o
x
极值的判定法则Ⅰ
设f(x)在点x 0连续,在点 x 0的某一空心邻域内可导,当 x由小增大经过 x 0时,如果
由于 f(1)60 ,所以 f(1)2 为极小值.
说明：对极值判定法则Ⅰ、法则Ⅱ的选用一般遵从：如
果 f易x 求,用法则Ⅱ简单些,但法则Ⅰ对驻点处极值的
判定不会有失效的情形,具有通用性,只不过有时的变号 不易分析而已,当然,也可将法则Ⅰ、法则Ⅱ并用.
求极值的步骤:
(1)求定义域，求f导 (x数 ); (2)求驻点f， (x) 即 0的 方 ;不 根 程 可 . 导点 (3)检查 f(x)在驻点左右,判 的断 正极 负 ; 值 号点
(1)当f(x0)0时函， 数f (x)在x0处取得极小值； (2)当f(x0)0时函， 数f (x)在x0处取得极大值；
注意：当 fx0时0 ,法则Ⅱ失效,用法则Ⅰ判定
例4 求函数 f(x)x33x 的极值 解：f(x)3x233(x1)x (1) f(x)6x
令 f(x)0 ,得 x1
由于 f(1)60,所以 f(1)2为极大值；
解 函数的定义域为 ，（）
5
f(x)(2x3
2
5x3)
1
0x32
1
0x13
1（ 0 x
1）.
3
3
33 x
函数的极值可疑 x点0及 为x1.列表讨论
x (,0) 0 （0，1） 1
f(x) 不存在
0
(1,)
f (x)
极大值
极小值
极 大f(值 0)0 极小f(1 值 )3
极值的判定法则Ⅱ 设函数f (x)在x0处具有二阶导且 数f， (x0)0, f(x0)0，
(1) f(x)由正变负,那么 x 0是极大值点;
(2) f(x)由负变正,那么 x 0是极小值点;
(3) f(x)不变号,那么 x 0不是极值点.
y
y
y
o x0
xo
x0
x o x0
x
左正右负极大 左负右正极小 左右同号无极值
例1 求 f x xx213的极值
解：函数定义域为 ,
fx x 2 3 x 2 2 x 3 2 x 1 x x 23 3 x 2 1
第四节 函数的极值及求法
• 内容提要 极大值和极小值
• 教学要求 1.理解函数极值的概念； 2.掌握求函数的极大值和极小值方法
观察下列图形
y
yf(x)
a o x1
x2
y
x4
b x 5 x 6
x
y
o
x0
x
o
x0
x
一.函数的极值
定义 设 函 数f ( x )在 区 间(a, b)内 有 定 义, x0是
f36e3 ,最小值为 f12e
实际问题(请看教材81~83页的例子)求最值的步骤. (1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有 点唯 ，一 则驻 该点的函 值即为所求的最 小（ ）或 值最 ．
作业:P71页.2 3
函数的最大值与最小值可统称为函数的最值,最值与 极值区别在于：极值是反映函数值局部性质的概念,最 值是反映函数值的整体性质的概念.
闭区间上连续函数的最值的求法
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较 大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是 最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最 值.(最大值或最小值),如图
令 fx0，得驻点 x13,x21列表,
x ,3 －3
f (x) －
0
3,1 1
＋
0
1,
－
f (x)
↘
极小 ↗
极大
↘
显然有极小值 f 3 1
6
,极大值
f 1 1
2
例2 求函数 fx six 1 n co x 在 s 0 区 ,2 内的间 极值
解：fx cx o 1 c sx o s s2 ix n 1 cx o 2 c sx o 1 s
(或 (3)检f查 (x)在驻点处 ,不值 可的 导正 .点 ) 负 不
(4)பைடு நூலகம்求极值.
小结
1. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
2. 函数的极值必在驻点或尖点(不可导点)取得.
法则Ⅰ; 判别法
法则Ⅱ;
(注意使用条件)
第五节 函数的最大值与最小值
由闭区间上连续函数的性质可知：闭区间[a,b]上 的连续函数f(x)一定存在着最大值和最小值.显然,函 数在闭区间[a,b]上最大值和最小值只能在区间(a,b) 内的极值点和区间端点处达到.因此,可直接求出一切 可能的极值点(包括驻点和不可导点)和端点处的函数 值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最 小值.
令 fx0 , 解之得在(0，2π)内的三个根
x13,
x2,
5
x33
x
f x f x
0 , 3
＋
↗
3
, 3
0－
极大 ↘
, 5
3
0－
无↘
5 5 ,2 3 3
0＋
极小 ↗
∴极小值 f5 3 3 ,极大值 f 3 3
3 4
3 4
例3 求函 f(x数 )(2x5)3 x2的极 . 值
(a, b)内 的 一 个 点,
如
果
存
在
着
点x
的
0
一
个
邻
域,
对
于
这
邻
域
内
的
任 何 点x,除 了 点x0外, f ( x ) f ( x0 )均 成 立, 就 称
f ( x0 )是 函 数f ( x )的 一 个 极 大 值;
如
果
存
在
着
点x
的
0
一
个
邻
域,
对
于
这
邻
域
内
的
任 何 点x,除 了 点x0外, f ( x ) f ( x0 )均 成 立, 就 称
f ( x0 )是 函 数f ( x )的 一 个 极 小 值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极 值的点x 称0为极值点.
f(x0),f(x2),f(x4)均y
是f(x)的极大, 值 f(x1),f(x3),f(x5)均
是f(x)的极小, 值
显然 ,极小f值 (x5)大于
极大f值 (x2);