函数的极值及求法最值

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函数的极值与最值点的求解

函数的极值与最值点的求解函数的极值与最值点的求解在数学中是一个重要的课题。

它涉及到了对函数在给定区间内的最大值和最小值进行确定的问题。

本文将介绍函数的极大值、极小值以及最值点的概念，并讨论一些常用的求解方法。

一、函数的极值与最值点的定义在讨论函数的极值与最值点之前，我们先来定义一下这两个概念。

1. 极大值和极小值设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，若存在x0∈(a,b)，使得当x∈(a,b)，且x≠x0时，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在开区间(a,b)上的极大值；若存在x0∈(a,b)，使得当x∈(a,b)，且x≠x0时，有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在开区间(a,b)上的极小值。

2. 最值点函数f(x)在区间[a,b]上的最大值点，称为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值点；函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点，称为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点。

二、求解函数的极值与最值点的方法在求解函数的极值与最值点时，常用的方法包括导数法和边界法。

1. 导数法导数法是求解函数极值与最值点最常用的方法之一。

其具体步骤如下：（1）求函数f(x)的导数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求出所有解x0；（3）将x0代入函数f(x)，计算得到函数值f(x0)；（4）将x0及对应的函数值f(x0)进行比较，确定极大值或极小值。

2. 边界法边界法主要用于求解定义域为有限闭区间[a,b]上的函数极值与最值点。

其具体步骤如下：（1）计算函数f(x)在内部点的导数；（2）计算函数f(x)在边界点的函数值；（3）将内部点的导数和边界点的函数值进行比较，确定极大值或极小值。

三、举例说明为了更好地理解函数的极值与最值点的求解方法，我们来看几个实例。

例1：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值与最值点。

首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x+2=0。

函数的极值与最值点的求解

函数的极值与最值点的求解函数的极值与最值点是数学中的重要概念，对于函数的分析与应用具有重要的指导意义。

本文将介绍如何求解函数的极值与最值点。

一、极值与最值点的定义对于函数$f(x)$而言，如果存在$x=a$，使得在$a$点的某个去心邻域内，对于任意的$x$值，都满足$f(x)\leq f(a)$或$f(x)\geq f(a)$，则称$f(a)$为函数$f(x)$在$x=a$处的极值。

特别地，当$x=a$处存在极值点，且$f(x)$在其余区间内没有极值点时，称$a$为函数$f(x)$的最值点。

二、求解极值要求解函数的极值，一般可以通过以下步骤进行：1. 求解导数为零的点极值点处的导数为零。

因此，首先可以通过求解函数的导数，找出导数为零的点。

这些点有可能是极值点，但不一定是最值点。

2. 判断导数为零的点对于导数为零的点$x=a$，可以通过二阶导数的符号判断其性质。

如果二阶导数大于零，即$f''(a)>0$，则点$a$为函数的极小值点；如果二阶导数小于零，即$f''(a)<0$，则点$a$为函数的极大值点；如果二阶导数等于零，无法判断，需要进一步分析。

3. 分析边界情况除了导数为零的点外，函数的极值还可能出现在区间的边界上，即$x$的取值范围的两个端点。

需要将这些点与导数为零的点进行比较，找出函数的真正的极值点。

4. 综合判断将前面得到的导数为零的点和边界点综合起来，即可得到函数的所有极值点。

进一步比较这些点的函数值，即可找出函数的极小值和极大值。

三、求解最值点要求解函数的最值点，一般可以通过以下步骤进行：1. 求解函数在定义域内的全局极值根据前面提到的求解极值的方法，先求解函数在定义域内的极大值和极小值，并找出这些极值点。

2. 判断函数在定义域外的趋势对于定义域外的点$x=a$，可以通过观察函数在$a$点附近的趋势，判断$a$是否为最值点。

如果函数在$a$点附近逐渐趋向于正无穷或负无穷，即$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$或$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$，则$a$为函数的最大值或最小值点。

函数的极值与最值问题

函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。

本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。

一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。

而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。

二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。

驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。

2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。

3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。

同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。

4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。

确保所比较的点处于函数的定义域内。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。

以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。

例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。

在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。

比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。

此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。

在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。

结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。

通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。

本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。

函数的极值与最大值最小值

极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.

函数的极值和最值

函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。

本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。

极值分为两种情况：局部极值和全局极值。

1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。

设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。

其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。

2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。

设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。

其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。

二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。

首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。

这些点就是可能的极值点。

接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。

当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。

2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。

首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。

然后，通过比较函数值得出极值。

例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。

三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。

例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。

2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。

函数的极值与最大、最小值

极大值点与极小值点统称为极值点.
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节函数的极值与最大、最小值
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一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍函数的极值与最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、函数的极值函数的极值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。

寻找函数的极值可以通过以下步骤进行。

1. 确定函数的定义域首先，我们需要确定函数的定义域，即函数所能取值的范围。

函数的定义域可以通过对函数进行分析、画图或进行其他方法来确定。

2. 求函数的导数求出函数的导数后，我们可以通过导数的性质来确定函数的极值点。

导数为0的点可能是函数的极值点，但并不确定它们是否为极值点，还需要进一步的分析。

3. 确定极值点经过分析导数为0的点，我们可以通过二阶导数的符号判断这些点是否为函数的极值点。

若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。

若二阶导数不存在，则需要通过其他方法进行分析。

二、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。

寻找函数的最值可以通过以下步骤进行。

1. 确定函数的定义域与寻找函数的极值相同，首先我们需要确定函数的定义域。

2. 分析函数的边界点在定义域的边界上求函数的值，将这些点与极值点进行比较，即可求得函数的最值。

需要注意的是，在闭区间上求最值时，要将区间的两个端点也考虑进去。

3. 比较函数的极值以及边界值对于函数的极值点和边界点所对应的函数值，进行比较，找出其中的最大值和最小值即可得到函数的最值。

三、总结与应用函数的极值和最值的求解方法是数学中重要的内容，对于优化问题、最优化问题等有着广泛的应用。

在实际问题中，可以将函数的极值与最值的求解应用到经济学、物理学、工程学等多个领域中。

需要注意的是，函数的极值与最值可能有多个，所以在求解的过程中需要综合考虑多个情况，并进行分析和比较。

同时，在实际问题中，由于函数形式的多样性，有时可能需要借助数值方法或计算机仿真等手段来求解函数的极值与最值。

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。

极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。

本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。

一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。

对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。

具体步骤如下：1. 求取函数的导数。

根据函数的表达式，求取其一阶导数。

对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。

2. 解方程求取导数为零的点。

导数为零的点对应着函数的极值点。

将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。

3. 判断极值类型。

在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。

若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。

二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。

当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。

具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。

根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。

2. 计算函数在端点处的取值。

将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。

3. 比较函数取值找到最值。

对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。

三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。

该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。

将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。

2. 求取拉格朗日函数的偏导数。

对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。

3. 解方程求取极值点。

将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。

4. 判断极值类型。

§4[1].3.2函数的极值及其求法

的极大(小)点。(证明从略)
[ 注：（1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出，问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为常数），
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值；（3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。例如：
（3）称为可能极值点。导数不存在的点驻点

高等数学第三章第5节函数的极值与最值

极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0

x

x0
o
x
(是极值点情形)
7
y

y

o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在.
y
y

函数的极值与最值求解的方法和步骤

函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。

通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。

本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。

对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。

如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。

二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。

具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。

2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。

通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。

3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。

当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。

具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法函数的极值和最值是数学中一个重要的概念，它们在各个领域的应用中都具有重要的作用。

在本文中，我们将介绍一些常见的函数极值和最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、极值的定义和求解方法极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。

对于一个单变量函数，要求其极值，可以通过以下步骤进行：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。

导数就是函数在某一点上的斜率，它可以告诉我们函数的变化趋势。

通过求导，我们可以找到函数的驻点，也就是导数为零的点。

2. 驻点分析：找到导数为零的点后，我们需要对这些点进行分析。

根据驻点的情况，可以得到以下几种可能性：a. 极大值：如果驻点的二阶导数为负，那么这个点就是函数的极大值点。

b. 极小值：如果驻点的二阶导数为正，那么这个点就是函数的极小值点。

c. 无法判断：如果驻点的二阶导数为零或不存在，那么可能是函数的拐点，此时无法确定其极值。

通过上述步骤，我们可以求得函数在给定区间内的极值点和极值值。

二、最值的定义和求解方法最值是函数在整个定义域上的最大值或最小值。

对于一个单变量函数，要求其最值，可以通过以下步骤进行：1. 确定定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，也就是函数在哪些区间上有意义。

2. 端点分析：在定义域的首尾，通常会有一些特殊点，如开区间的端点或无穷大。

我们需要对这些点进行分析，看是否有可能成为最值点。

3. 内部分析：在定义域的内部，我们可以借助极值的求解方法来找到函数的最值点。

通过上述步骤，我们可以求得函数的最值点和最值值。

三、扩展部分：多变量函数的极值与最值除了单变量函数外，我们还经常遇到多变量函数的极值和最值的求解问题。

对于一个多变量函数，要求其极值和最值，可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：首先，我们需要对函数进行偏导数的计算。

偏导数是指在求导时将其他变量视为常数，只对某一个变量进行求导。

2. 驻点分析：找到偏导数为零的点，即驻点。

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中常见的概念，它们在解决实际问题和优化计算等方面起着重要的作用。

本文将介绍函数的极值与最值的求解方法。

一、函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。

要求函数的极值，首先需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。

然后，通过判断驻点的二阶导数来确定驻点是极大值还是极小值。

1. 寻找驻点对于给定的函数f(x)，我们首先需要求导数f'(x)，然后找到导数为零或不存在的点。

这些点就是函数的驻点。

2. 判断驻点的性质驻点的性质可以通过二阶导数f''(x)来判断。

若f''(x)>0，则该驻点为极小值；若f''(x)<0，则该驻点为极大值；若f''(x)=0，则无法判断。

二、函数的最值函数的最值包括最大值和最小值。

要求函数的最值，可以通过以下方法进行求解。

1. 首先，找到函数的定义域。

在定义域内，求出函数的一阶导数f'(x)。

2. 确定导数的零点和边界点。

将导数f'(x)置为零，求解方程f'(x)=0，得到导数的零点。

同时，找到定义域的边界点。

3. 将零点和边界点代入原函数f(x)。

计算这些点对应的函数值，比较大小，即可得到函数的最值。

三、实例分析下面通过一个实例来说明函数的极值与最值的求解方法。

例：求函数f(x)=x^3-3x的极值与最值。

1. 寻找驻点求导得到f'(x)=3x^2-3。

令f'(x)=0，解得x=±1。

所以驻点为x=-1和x=1。

2. 判断驻点的性质求二阶导数f''(x)=6x。

将驻点代入得到f''(-1)=-6<0和f''(1)=6>0。

所以驻点x=-1为极大值点，驻点x=1为极小值点。

3. 求最值由于函数定义域为全体实数，不存在边界点。

代入驻点和边界点得到f(-1)=2和f(1)=-2。

求极值与最值的方法

求极值与最值的方法求极值和最值是数学中常见的问题。

当我们面临一个函数或一组数据时，我们希望能够找到它们的最大或最小值，这对于解决各种实际问题非常重要。

在本文中，我们将讨论一些常见的方法来求解极值和最值问题。

一、函数的极值求解方法：1.导数法：对于可导的函数，导数可以告诉我们函数在特定点的变化趋势。

函数在极值点的导数为零，所以我们可以通过求解导数为零的方程来找到极值点。

对于一元函数，我们只需求得导数，并求解方程f'(x)=0即可。

对于多元函数，我们需要求偏导数，并解方程组∂f/∂x=0和∂f/∂y=0等。

2.二阶导数法：通过求得函数的二阶导数，我们可以判断函数在其中一点的曲率和凸凹性质。

如果函数在其中一点的二阶导数大于零，则函数在该点上是凸函数，即函数取得极小值。

反之，如果二阶导数小于零，则函数在该点上是凹函数，即函数取得极大值。

二、数据的最值求解方法：1.遍历法：对于一组有限的数据，我们可以通过遍历整个数据集来找到最大或最小值。

这种方法适用于数据量较小的情况，但若数据量很大时，计算量会非常庞大。

2.排序法：我们可以对数据进行排序，然后找出最大或最小的元素。

对于较大的数据集，排序的时间复杂度可能很高，但一旦排好序，最值就可以很快被找出。

3.分治法：对于一个大规模的数据集，可以将其分成若干部分，然后递归地求解各个部分的最值，最后再从这些最值中选取最大或最小的元素。

这种方法适用于大规模数据集，可以大大降低计算复杂度。

4.动态规划法：对于具有重叠子问题特征的问题，我们可以使用动态规划的方法来求解最值。

通过定义状态、状态转移方程和初始条件等，我们可以使用动态规划算法逐步递推得到最值。

虽然这些方法在解决极值和最值问题时都有自己的优势和适用范围，但在具体问题中选择何种方法求解，需要根据问题的性质和数据的特点来确定。

对于函数的极值问题，导数法和二阶导数法是最常用的求解方法；对于数据的最值问题，遍历法和排序法适用于小数据量，而分治法和动态规划法适用于大数据量。

极值与最值的求解方法

极值与最值的求解方法极值和最值是数学中一种重要的求解方法，用于寻找函数在特定区间上的最大值和最小值。

在实际问题中，我们常常需要找到某一函数的最优解，从而得到最优的方案或结果。

本文将介绍极值和最值的概念，以及常见的求解方法。

一、极值与最值的概念极值是指函数在某一点或某一区间内取得的最大值或最小值。

根据函数在极值点的导数性质，可以将极值分为两类：局部极值和全局极值。

1. 局部极值：局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

在数学上，局部极值点的判断依据是函数在该点的导数为零或不存在。

如果导数为零，该点可能是极大值点、极小值点或拐点。

如果导数不存在，该点可能是间断点。

2. 全局极值：全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。

全局极值点的判断需要考虑函数在定义域端点处的取值情况，并比较区间内各个局部极值点的函数值。

二、求解极值与最值的方法在求解极值与最值的过程中，我们常用的方法有以下几种：极值定理法、导数法、区间划分法和图像法。

1. 极值定理法：极值定理是数学中的一个重要定理，用于判断函数的极值点。

根据这个定理，如果函数在某一区间上连续，并且在区间的内部有导数，则函数在该区间内必定存在极值点。

通过对函数进行区间划分并计算函数值，可以找到局部极大值点和极小值点。

2. 导数法：导数是函数在某一点的变化率，通过计算函数的导数可以判断函数在极值点的增减性。

当函数在某一点导数为零或导数存在突变时，该点有可能是局部极值点。

通过求解函数导数为零的方程，可以得到可能的极值点，进而通过对函数值的比较得出最终的极值。

3. 区间划分法：区间划分法适用于函数在闭区间上求解最大值和最小值的情况。

通过将区间分为若干个子区间，并计算函数在每个子区间的值，然后比较这些值，即可找到全局最值所对应的点。

4. 图像法：图像法是通过绘制函数的图像来观察函数在特定区间上的变化趋势，从而估计函数的极值位置。

通过观察函数图像的特点，可以找到局部极大值点和极小值点的位置。

函数的极值与最值的判定和求解方法

函数的极值与最值的判定和求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。

极值和最值是函数在某个特定区间内的最大值和最小值。

这些值对于我们理解函数的性质和应用非常重要。

本文将介绍函数的极值与最值的判定和求解方法。

一、极值的定义和判定首先，我们来了解极值的定义。

对于函数f(x)，如果在某个点x0处，存在一个邻域，使得对于该邻域内的任意x值，都有f(x0)≥f(x)（或f(x0)≤f(x)），那么我们称f(x0)是函数f(x)的极大值（或极小值）。

那么如何判定函数的极值呢？一种常用的方法是利用函数的导数。

对于可导函数f(x)，其极值点必然是导数为0的点或导数不存在的点。

因此，我们可以通过求解导数为0的方程或找出导数不存在的点来判定函数的极值。

二、最值的定义和判定接下来，我们来了解最值的定义。

对于函数f(x)，如果在某个区间[a, b]内，对于该区间内的任意x值，都有f(x)≥f(a)（或f(x)≤f(a)），那么我们称f(a)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值（或最小值）。

如何判定函数的最值呢？一种常用的方法是利用函数的一阶导数和二阶导数。

我们可以通过求解导数为0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。

同时，我们还需要比较函数在区间端点处的取值，以确定最值的存在性。

三、求解极值和最值的方法1. 利用导数求解极值和最值对于可导函数f(x)，我们可以通过以下步骤求解极值和最值：（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）解方程f'(x) = 0，得到函数的驻点；（3）通过二阶导数f''(x)的符号来判断驻点是极大值还是极小值；（4）比较函数在区间端点处的取值，确定最值的存在性。

2. 利用函数的性质求解极值和最值除了利用导数的方法外，我们还可以利用函数的性质来求解极值和最值。

例如，对于一些特殊函数，我们可以通过观察函数的图像和性质来确定极值和最值的位置。

函数的极值与最值的求解

函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要求解函数的极值和最值。

函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

本文将介绍如何求解函数的极值和最值的方法。

一、函数的极值求解方法1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常用方法。

根据函数的极值定义，极值点处函数的导数为零或不存在。

因此，我们可以通过以下步骤求解函数的极值：1）求函数的导数；2）令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标；3）将极值点的横坐标代入原函数，求得纵坐标。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 2x - 2；2）令导数等于零：2x - 2 = 0，解得x = 1；3）将x = 1代入原函数：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0，得到极小值0。

2. 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数可以更方便地求解函数的极值。

根据函数的极值定义，当函数的一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数取得极小值；当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数取得极大值。

例如，对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9；2）求二阶导数：f''(x) = 6x - 12；3）令一阶导数等于零，解方程得到极值点的横坐标：3x^2 - 12x +9 = 0，解得x = 1；4）将x = 1代入二阶导数：f''(1) = 6 - 12 = -6，表明函数在x = 1处取得极大值。

二、函数的最值求解方法函数的最值即为整个定义域内的最大值或最小值。

求解函数最值的方法有以下几种：1. 导数法和求解极值类似，我们可以通过求解函数在定义域内的导数来找到函数的最值。

例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = -2x + 4；2）令导数等于零，解方程得到最值点的横坐标：-2x + 4 = 0，解得x = 2；3）将x = 2代入原函数：f(2) = -(2^2) + 4(2) - 3 = 1，得到函数的最大值1。

函数的极值及求法 最值

函数的极值与最值点的求解

函数的极值与最值点的求解

函数的极值与最值问题

函数的极值与最大值最小值

函数的极值和最值

函数的极值与最大、最小值

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法

§4[1].3.2函数的极值及其求法

高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值

函数的极值与最值求解的方法和步骤

函数的极值与最值的求解方法

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求极值与最值的方法

极值与最值的求解方法

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