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计算机中的数制

在数字计算机中，每个数字和字符都是由一系列的电脉冲信号表示的。在计算机中电路有脉

冲时表示“ 1 ”，否则表示“0”。因此，可以用一连串的“0 ”、“ 1 ”代码来表示数字和

字符，这样表示的数据容易移动和存储。

一、数制

1.基本概念

表示数的方法称为数制。通常人们习惯以十进制来计量事物，但在生活中也使用其他的数字

系统。例如：月与年使用12 进制来计算。

十进制是我们最熟悉的进制，以十进制为例介绍数制的相关概念。

(1)数码：十进制有 0~9 十个数字符号组成， 0~9 这些数字符号称为“数码”。

(2)基数：全部数码的个数称“基数”，十进制的基数为10 。

(3)计数原则：“逢十进一”。即用“逢基数进位”的原则计数，称为进位计数制。

(4)位权：数码所处位置的计数单位为位权，位权的大小以基数为底。例如，十进制的个位

的位权是 100 ，十位上的位权为101 ，百位上的位权为102 ，以此类推。而在小数点后第1位上的位权为10-1 。由此可见，各位上的位权值是基数10 的若干次幂。

例如，十进制数234.13用位权表示为：

常用计数制的基数、位权和数字符号如表 1 所示。

表 1 常用数制的基数、位权和数字符号

数制十进制二进制八进制十六进制

基数102816

位权10i2i8i16i

数字符号 0~90,10~70~9,A,B,C,D,E,F

2.计算机常用数制

计算机能够直接识别的只有二进制数。这意味着它处理的数字、字符、图形、图像、声音等

信息，都是以 1 和 0 组成的二进制数的某种编码。

在计算机中采用二进制数是因为：

·二进制数易于表示。二进制数只用0 和 1 两个不同的数码，所以具有两个稳定状态的元件均可用来表示二进制数。如开关的通、断；电路电平的高、低等。

·二进制数运算规则简单。简单的运算规则，会使运算器的运算控制容易实现。

·二进制数适于逻辑运算。二进制数中只有 1 和 0 ，可代表逻辑代数中的真和假。

由于二进制在表达数字时，位数太长，不易识别，书写麻烦。因此，在编写计算机程序时，

经常应用到八进制、十进制、十六进制，其目的是简化二进制的表示。

(1)常用数制的表示方法

常用数制的表示方法如表 2 所示。

表 2 常用数制的表示方法

十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制

000081000 108

111191001 119

21022101010 12A

31133111011 13B

410044121100 14C

510155131101 15D

611066141110 16E

711177151111 17F

(2)书写规则

为了区别各种数制，在数字后面加写相应的英文字母标识或在括号外加数字下标。表示方法如表 3 所示。

其中在括号外加数字下标的方法更直观。一般约定十进制数的后缀或下标可以省略。

表 3 常用数制的书写规则

数制字母字母示例数字下示例

二制 B101B(101)2

八制 O267O(267)8

十制 D123D(123)10

十六制 H103H(103)16

二、数制

1.r 制十制

基数 r 的数字，只要将各位数字与它的相乘，然后按照逢十位的算法求和，即可将其成十制数。

方法：按位展开并求和。（ai 第 i 位上的数， r 基数）

(a n⋯ a 1a0.a-1⋯a -m )r=a n×r n + ⋯+a 1×r1 +a 0×r 0+a -1×r -1 + ⋯+a -m×r-m

【例 1 】 (11011.1011)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3+1×2-4

=16+8+2+1+0.5+0.125+0.0625

=(27.6875)10

【例 2 】 (576.5)8 =5×82+7×81+6×80+5×8-1

=320+56+6+0.625

=(382.625)10

【例 3 】 (1B2A.5)16=1×163+11×162+2×161+10×160+5×16-1

=4096+2816+32+10+0.31

=(6954.31)10

2.十进制转换为r 进制

将十进制数转换为r 进制数，可将整数部分与小数部分分别转换，然后相加。方法：整数部分：整数除以r ，取余数，余数倒排序。

小数部分：小数乘以r，取整数，整数正排序。

【例 4 】将十进制数62.75 转换为二进制数（小数部分保留 3 位）。

求整数部分：

(62)10 ＝ (111110)2

求小数部分：

【例 5 】将十进制数62 转换为八进制数。

【例 6 】将十进制数62 转换为十六进制数。