数学物理方法傅里叶变换法

解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k )
此常微分方程的初始问题的解为 U (t, k ) (k )e 进行傅里叶逆变换可得：
k 2a 2t
u ( x, t ) F [U (t , k )] (k )e
1

2
例4 限定源扩散 在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可 以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已 有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入 硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 u | ( x 0) ( x 0) 0 t 0
ik
e
k 2 a 2t k 2 a 2
进行傅里叶逆变换
1 u ( x, t ) 2 u ( x, t )
t
t f ( , )e k 2 a 2 (t ) e ik dd eikxdk 0

交换积分次序可得：
t
3 2 1
x
明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 求解三维无界空间中的波动问题
utt a 2 3u 0 u |t 0 (r ),U t |t 0 (r )
15
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题 U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k ),U |t 0 (k )
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
utt a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x) 解： 应用傅里叶变换，即用 e ikx / 2 同乘方程和定解条件
k 2 a 2t ikx
e dk e dk
6
1 2
[




( )e
ik
d ]e
k 2 a 2t ikx
交换积分次序
积分公式： e

1 u ( x, t ) 2
2 k 2



( )[ e


k 2 a 2t ik ( x )
12
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令
u( x, t ) N0 w( x, t )
则化为关于w的定解问题:
wt a 2 wxx 0 w | x 0 u | x 0 N 0 0 w | u | N N t 0 0 0 t 0
积分变换法
积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，
方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微
方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，
同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数
法或者傅里叶级数发往往不能。 本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。
1
傅里叶变换
（1）导数定理 （2）积分定理
例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
ut a 2u xx f ( x, t )( x ) u |t 0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2 a 2U F (t ; k ) U |t 0 0
8
用
e
k 2 a 2t
2
d
高斯函数
11
u ( x, t ) 右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中 1 硅 片 2
的分布情况,曲线1对应于较早的时刻
表 2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓 面
3
O 度趋于均匀,曲线下的面积为 0 即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,
x
即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.
e
dk ]d
e dk ( / a)e
k
2 / 4 2



e
2
2 2
k k
dk e e e
2
4
2



2
e
2 ( k
2
2)
2
dk
2e 2e 2
4
2


2 ( k
2
2)
0
dk
2
4 2
2 2
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 wt a 2 wxx 0 N 0 ( x 0) w |t 0 N ( x 0) 0 引用例2结果可得
w( x, t ) N 0

0
1 2a t
e
Leabharlann Baidu

( x ) 2 4 a 2t
d N 0
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由 于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 是半无界空间x>0中的定解问题
ut a 2u xx 0 u | x 0 N 0 u | 0 t 0
x / 2a t
e
z2
dz dz
N0



x / 2a t
e
z2
dz


x / 2a t
e
z2
被积函数是偶函数,故
w( x, t ) N 0
记做erfx,则w可写为:
2


x / 2a t
0
e
z2
dz
误差函数
x w( x, t ) N 0 erf ( ) 2a t
所求的解如下:
14
记做erfcx,则有
x u( x, t ) N0 w( x, t ) N0 1 erf ( ) 2a t t
硅 片 表 面
O
x u( x, t ) N0erfc 2a
余误差函数
u ( x, t )
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中 分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 例6 泊松公式
16

1 1 (r )[ 2 4a 4 1 1 (r )[ 2 4a t 4
1 ikat (e e ikat )eik( r r ) dk1dk2 dk3 ]dV ik 1 ikat ikat ik( r r ) (e e )e dk1dk2 dk3 ]dV ik
F()
Fe

i x 0
f x F( 0 )

（6）卷积性定理
Ff1 x f2 x 2F1 F2 ,
3
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：
5
1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 达朗贝尔公式 x at 2 2a
例2 求解无限长细杆的热传导问题
ut a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x)
0

1 2a t
e

( x ) 2 4 a 2t
d
13
第一个积分中令 z ( x ) / 2a t , dz d / 2a t
第二个积分中令 z ( x) / 2a t , dz d / 2a t
则有 w( x, t )
N0

N0

x / 2a t
U (t, k ) A(k )eikat B(k )eikat
代入初始条件可得：A(k ) (k )
1 1 1 (k ) 2 2a ik 1 1 1 B(k ) (k ) (k ) 2 2a ik
1 1 1 ikat 故 U (t , k ) (k )e (k )e ikat 2 2a ik 1 1 1 ikat ( k )e (k )e ikat 2 2a ik
0

1 k 2 a 2 (t ) ik ( x ) f ( , ) e e dk dd 2
9
并利用积分公式可得最后的结果为：
( x ) t 1 4 a 2 ( t ) dd u( x, t ) f ( , ) e 0 2a (t )
0是单位面积硅片
表层原有杂质总量.
10
解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 0 ( x 0) ( x 0) u |t 0 0 ( x 0) ( x 0)
0
d
2

2
e
2
4 2


0
e
x2
dx
2
4 2

e
4 2
e 2

7
令 a t , i( x ) 利用上述公式可得
( x ) 1 4 a 2t u ( x, t ) ( ) e 2a t
2
d
Ff t i Ff t iF()
F
1 t t dt f i
Ff t
2
（3）相似性定理
Ff(ax )
1 F( ) a a
（4）延迟性定理
Ff x x 0 e
（5）位移性定理
i x 0
同乘方程各项，可得：
d k 2 a 2t k 2 a 2t U (t , k )e F (t ; k )e dt
对t积分一次，并考虑零初始值可得：


U (t; k ) e
k 2 a 2t t
F ( ; k )e
0
t
k 2 a 2
d e dd

0


f ( , )e
这个方程的解为
1 1 1 ikat ikat U (t , k ) (k )( e e ) (k )( eikat e ikat ) 2 2a ik
再进行傅里叶逆变换
1 ikat U (r , t ) [ (k ) (e e ikat ) 2 1 1 ikat (k ) (e e ikat )]eikr dk1dk2 dk3 2a ik 1 a ikat ikat ik ( r r ) ( r )[ ( e e ) e dk1dk2 dk3 ]dV 2 4a 4
2 u a u xx 0 则 t u |t 0 2 0 ( x)(- x )
u |t 0 20 ( x)
引用例2结果可得
( x ) 1 2 u ( x, t ) 2 0 ( ) e 4a t 2a t 0 2 x 2 / 4 a 2t e 2a t
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
4
定解问题变换成： U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k ),U |t 0 (k )
其中 (k )，(k ) 分别是 ( x), ( x) 的傅里叶变换，这样原来 的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
1 1 1 ikat ikat ik ( r r ) ( r )[ ( e e ) e dk1dk2 dk3 ]dV 2 4a 4 ik
利用5.3例1的结果
1 U (r , t ) (r) 4a t 1 ik ( r r ) (r at)e dk1dk2 dk3 dV r 1 (r ) 4a