实验任务书(随机)

随机过程的模拟与特征估计

一、实验目的

了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB 软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。

二、实验原理

（1）高斯白噪声的产生

提示：利用MA TLAB 函数randn 产生

（2）自相关函数的估计

||10

1ˆ()()()||N m x n R m x n m x n N m --==+-∑ 提示：MA TLAB 自带的函数为xcorr

（3）功率谱的估计

先估计自相关函数ˆ()x

R m ，再利用维纳－辛钦定理，功率谱为自相关函数的傅立叶变换：1(1)()()N jm x x m N G R m e ωω+-=--=

∑

提示：MA TLAB 自带的函数为pyulear

（4）均值的估计

1

11ˆ()N x n m x n N -==∑

提示：MA TLAB 自带的函数为mean

（5）方差的估计

12

211ˆˆ[()]N x x

n x n m N σ-==-∑

提示：MA TLAB 自带的函数为var

(6) AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱

对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+ 自相关函数22()1m X a R m a σ=-，0m ≥

功率谱为2

2()(1)X j G ae ωσω-=-

(7) ARMA(N,N)模型的理论自相关函数和理论功率谱

对于ARMA(N,N)模型12()(1)(2)()()N X n a X n a X n a X n N W n =-+-++-+ 功率谱为221

1()N j k k k X N

j k k

k b e G a e

ωωωσ-=-==∑∑ 三、实验内容（带*为选作）

1. 相关高斯随机序列的产生

按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+，其中()w n 为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。

（1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形；

（2）估计x(n)的均值和方差；

（3）估计x(n)的自相关函数。

2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别

设信号为12()sin(2)2cos(2)()x n f n f n w n ππ=++，1,2,,n N = ，其中()w n 为正态白噪声，方差为2

σ。

（1）假定21σ=，针对10.05f =,20.08f =和10.05f =, 20.20f =两种情况，使用周期图periodogram()的方法估计功率谱。

（2）假定10.05f =,20.08f =，针对21σ=和2

4σ=两种情况，用周期图periodogram()的方法估计功率谱

*(3) 假定10.05f =,20.08f =,24σ=, 分别用pyulear()、periodogram() 和pburg()估计功率谱。

3. 理论值与估计值的对比分析

设有AR(1)模型，

()0.8(1)()X n X n W n =--+，

W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。

●用MA TLAB模拟产生X(n)的500个样本，并估计它的均值和方差；

●画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱；

●估计X(n)的自相关函数和功率谱。

四、预习思考题

（1）按照公式

1

22

1

1

ˆ[()]

N

x x

n

x n m

N

σ

-

=

=-

∑对方差的估计是有偏估计还是无偏估计？为什

么？

（2）函数rand和randn的区别？

（3）rand(10) ，rand(10,1)，rand(1,10)，rand(10,10)产生的随机数序列的形式如何？即它们到底是列向量，行向量，标量，还是矩阵？

（4）如何产生均值为m，方差为2

σ的高斯白噪声序列？

（5）subplot，plot和stem等3个函数在MATLAB绘图中非常有用，请务必掌握。五、实验思考题

（1）自相关函数R(m)最大值应该在n=0，用MATLAB估计得到的结果与理论的结果相同吗？为什么？

（2）随机序列的功率谱是以2π为周期的周期函数，功率谱的周期性在MA TLAB估计得到的结果中是如何体现的？

六、实验要求

（1）一人一组完成实验，切勿抄袭；

（2）用MATLAB完成所有要求的实验内容；

（3）撰写详细的实验报告，实验报告中应该包括以下內容：

●实验内容和原理的简单阐述，分析；

●得到的实验结果图形及简要分析，比较；

●对“实验思考题”的详细分析和回答；

●自己的实验心得（评判实验报告水平高低的重要因素）。