专题一幂的运算的应用
幂的运算专题
第一讲幂的运算【基本公式】a m ·a n =a m+na 0=1(a≠0)(a m )n =am na -P=p a1(a ≠0,p ≠0)(ab)n =a n bna m ÷a n =a m –n【易错点剖析】:1.注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘(除)、幂(积)的乘方等运算,法则仍然适用。
如:234a a a a ⋅⋅⋅=423()ab ⎡⎤=⎣⎦4()xyz -=2.注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数,可取一个或几个具体的数;也可取单独一个字母或一个单项式或多项式。
如:()()()x y x y x y m n n m +÷+÷+++32222=3.注意法则的可逆性逆向应用运算法则,由结论推出条件,或将某些指数进行分解。
如:已知10m =4,10n =5,求103m +2n 的值.4.注意法则应用的灵活性在运用法则时,要仔细观察题目的特点,采取恰当、巧妙的解法,使解题过程简便。
如:125256255÷⨯÷nm=5.注意符号使用的准确性如:判断下列等式是否成立:①(-x )2=-x 2,②(-x 3)=-(-x )3,③(x -y )2=(y -x )2,④(x -y )3=(y -x )3,⑤x -a -b =x -(a +b ),⑥x +a -b =x -(b -a ).6、最后结果中幂的形式应是最简的.①幂的指数、底数都应是最简的;②底数中系数不能为负;③幂的底数是积的形式时,要再用一次积的乘方.【题型精讲】例1.计算:(1)a 3·a 2·a=________;(2)(-a)4·(-a)3·(-a)=________;(3)(a 2)3=______;(4)(a 3)2=______;(5)[(-5)2]3=______;(6)[(-5)3]2=_____;(7)(-2a )3=______;(8)-(4ab 3)2=_________;(9)(x n+1y n-1)2=________;(10)(-1.3×102)2=_________.(11)(-19)1998·91999=______;(12)()()-⋅-a b ab 23223=________例2.已知2x +5y -3=0,求y x 324∙的值.练一练如果a-4=-3b,求a 3×b27的值已知310=m ,.210=n 求12310-+-n m 的值.例3.已知4×23m ·44m =29,求m 的值.练一练已知723921=-+n n ,求n 的值.若10252x =,求101x +的值例4.若23,63==n m ,求n m 323-的值。
幂的运算在生活中的作用
幂的运算在生活中的作用
幂的运算在生活中有很多实际的作用,以下是一些例子:
- 计算面积和体积:在计算矩形的面积和立方体的体积时,会用到幂的运算。
- 处理数据的增长和衰减:在金融领域,计算利息、复利和通货膨胀等问题时,幂的运算可以帮助我们理解资金的增长或衰减模式。
- 理解指数增长和指数衰减:例如,在人口增长、细菌繁殖或放射性物质衰减等情况下,幂的运算可以描述数量随时间的变化。
- 模拟复杂现象:在科学和工程中,幂函数可以用来建模各种自然和技术现象,如地震的强度、电磁波的传播等。
- 图像处理和数据压缩:在计算机科学中,幂的运算常用于图像处理和数据压缩算法,以减少数据量并提高存储和传输效率。
- 衡量经济指标:如计算国内生产总值(GDP)的增长率,或者通货膨胀率的计算,都可能涉及到幂的运算。
- 预测未来趋势:通过分析历史数据和建立数学模型,可以使用幂函数来预测某些事物的发展趋势,例如市场需求的增长或技术进步的速度。
这些只是幂的运算在生活中的一些常见应用,实际上还有许多其他领域和问题也会用到幂的运算。
了解和掌握幂的运算可以帮助我们更好地理解和解决现实生活中的各种数学和实际问题。
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版)25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.【要点提示】(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即mnpm n pa a a a++⋅⋅=(,,m n p 都是正整数).(3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅(,m n 都是正整数).【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.【要点提示】(1)公式的推广:(())=m n pmnpa a (0≠a ,,,m n p 均为正整数)(2)逆用公式:()()nmmnm n a aa ==,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.【要点提示】(1)公式的推广:()=⋅⋅nnnnabc a b c(n 为正整数).(2)逆用公式:()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项(1)底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式.(2)同底数幂的乘法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.(3)幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加.(4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.(5)灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.(6)带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................4;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................7;【题型4】幂的混合运算.........................................................9;【题型5】幂的运算的应用.......................................................11;【题型6】直通中考.............................................................13;【题型7】拓展与延伸...........................................................14.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】(23-24七年级上·河南周口·期中)在学习第一章有理数时,类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法,在第二章整式的加减时,类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减,那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究.(1)探究根据乘方的意义填空,观察计算结果,你能发现什么规律①53( )222⨯=,②42( )a a a ⋅=,③( )555m n ⨯=,(2)规律( )m n a a a ⋅=(,m n 都是正整数).即__________________________.(文字表达)(3)应用①计算31m m a a +⋅;②把(2)x y +看成一个整体,计算23(2)(2)x y x y +⋅+.【答案】(1)①8;②6;③;m n +(2);m n +同底数幂相乘,底数不变,指数相加(3)①41m a +;②5(2)x y +【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键;(1)(2)(3)根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加解答即可;解:(1)①853(35)2222+⨯==,②642(4+2)a a a a ⋅==,③555m n m n +⨯=,故答案为:8;6;;m n +(2)m n m n a a a +⋅=,即同底数幂相乘,底数不变,指数相加;故答案为:;m n +同底数幂相乘,底数不变,指数相加;(3)①1314m m m a a a ++⋅=;②253.(2)(2)(2)x y x y x y +=+⋅+【变式1】(23-24七年级下·全国·单元测试)计算3()()x y y x -⋅-=()A .4()x y -B .4()x y --C .4)y x -(D .4()x y +【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则,把()x y -看作一个整体,利用同底数幂的乘法法则即可求解.解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则.解:334()()()()()x y y x x y x y x y -⋅-=--⋅-=--,故选:B .【变式2】(23-24七年级下·全国·单元测试)已知1222162x x ⋅⋅=,则x =.【答案】4【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算,根据同底数幂相乘,底数不变指数相加,将1222162x x ⋅⋅=变形为:241222x +=,从而得出2412x +=,再求出x 的值即可.解:42421622222x x x x x +⋅=⋅⋅⋅=,∵1222162x x ⋅⋅=,∴241222x +=,∴2412x +=,解得:4x =.故答案为:4.【例2】(2024七年级下·全国·专题练习)(1)已知23x =,求32x +的值;(2)若21464a +=,求a 的值.【答案】(1)24;(2)1a =【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算,熟记运算法则是解本题的关键;(1)由33222x x +=⨯,再代入数据计算即可;(2)由21344a +=,再建立方程求解即可.解:(1)∵23x =,∴332238242x x +=⨯=⨯=;(2)∵21464a +=,∴21344a +=,∴213a +=,解得1a =.【变式1】(23-24七年级下·江苏淮安·期中)已知23x =,26y =,则2x y +的值是()A .12B .18C .36D .54【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用,根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解,解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则.解:由8232261x y x y +=⨯=⨯=,故选:B .【变式2】(2024七年级上·上海·专题练习)已知4222112x x +-⋅=,则x 的值为.【答案】3【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式,熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键.解:∵4222112x x +-⋅=,∴()13221112x +⨯-=,故142162x +==,解得:3x =故答案为:3.【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】(21-22七年级上·上海·期末)计算:()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦.【答案】12x 【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法,再合并同类项即可.解:()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦121212x x x =-++12x =.【点拨】本题考查了整式的运算法则,解题的关键是熟记幂的乘方,同底数幂的乘法,合并同类项的知识.【变式1】(2022·江苏镇江·中考真题)下列运算中,结果正确的是()A .224325a a a +=B .3332a a a -=C .235a a a ⋅=D .()325a a =【答案】C【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘法法则,幂的乘方法则逐项计算即可判断选择.解:222325a a a +=,故A 计算错误,不符合题意;3332a a a -=-,故B 计算错误,不符合题意;235a a a ⋅=,故C 计算正确,符合题意;()326a a =,故D 计算错误,不符合题意.故选C .【点拨】本题考查合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方.熟练掌握各运算法则是解题关键.【变式2】.若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y .【答案】8【分析】根据已知条件可得2+5=3x y ,根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法进行计算即可求解.解:∵25 3 0x y +-=∴2+5=3x y ,∴432⋅=x y 2525322228x y x y +⨯===,故答案为:8.【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法,熟练掌握幂的运算法则是解题的关键.【例4】(2023八年级上·全国·专题练习)(1)若23m n a a ==,,求32m n a +的值;(2)若2639273x x ⨯⨯=,求x 的值.【答案】(1)72;(2)5【分析】(1)利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形,再利用整体代入计算即可;(2)把2639273x x ⨯⨯=变形为1232633x x ++=,得到关于x 的方程,解方程即可得到答案;熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则,并利用整体思想是解题的关键.解:(1)∵23m n a a ==,,∴32m na +32m na a =⋅()()32m na a =⋅3223=⨯89=⨯72=;(2)2639273x x ⨯⨯=,23263333x x=⨯⨯()(),23263333x x ⨯=⨯,1232633x x ++=,12326x x ++=,5x =.【变式1】已知553a =,444b =,335c =,则a 、b 、c 的大小关系为()A .c a b <<B .c b a<<C .a b c<<D .a c b<<【答案】A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂,通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系.解:∵a =(35)11=24311,b =(44)11=25611,c =(53)11=12511,又∵125243256<<,∴c a b <<.故选:A .【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算,解答本题关键是掌握幂的乘方法则,把各数的指数变成相同.【变式2】(23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习)已知433,33a b ==,则239a b ⨯=.【答案】16【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案.解:∵433,33a b==,∴()()()()222222243933333163a b a ba b ⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为:16.【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.【题型3】积的乘方运算及逆运算25.【例5】(22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)(1)()34222x x x ⋅-;(2)()()23332232x y x y +-【答案】(1)6x ;(2)66x y 【分析】(1)根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算,再合并同类项即可;(2)根据积的乘方计算法则去括号,再合并同类项即可.解:(1)()34222x x x ⋅-662x x =-6x =;(2)()()23332232x y x y +-666698x y x y =-66x y =.【点拨】此题考查了整式的计算,正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键.【变式1】(2022·广东深圳·中考真题)下列运算正确的是()A .268a a a ⋅=B .()3326a a -=C .()22a b a b+=+D .235a b ab+=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则,积的乘方运算法则,单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可.解:A 、268a a a ⋅=,计算正确,故此选项符合题意;B 、33(2)8a a -=-,原计算错误,故此选项不符合题意;C 、2()22a b a b +=+,原计算错误,故此选项不符合题意;D 、23a b +,不是同类项不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意.故选:A .【点拨】本题考查了同底数幂的乘法,合并同类项以及幂的乘方与积的乘方,熟记幂的运算法则是解答本题的关键.【变式2】(20-21七年级下·江苏扬州·期末)已知am =10,bm =2,则(ab )m =.【答案】20【分析】根据积的乘方计算法则解答.解:∵am =10,bm =2,∴(ab )m =10220m m a b ⋅=⨯=,故答案为:20.【点拨】此题考查积的乘方计算法则:积的乘方等于积中每个因式分别乘方,再把结果相乘,熟记法则是解题的关键.【例6】(2023九年级·全国·专题练习)用简便方法计算:(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)()201720180.1258⨯-.【答案】(1)1-;(2)8-.【分析】(1)原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可;(2)先将20188-变形为201788-⨯,再逆用积的乘方运算法则进行计算即可.解:(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8585715()()()(4)547=-⨯⨯⨯-8855751(4)574⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦58751(4)574⎛⎫⎡⎤=-⨯⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(1)=⨯-1=-;(2)()201720180.1258⨯-()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭20171888⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭18=-⨯8=-.【点拨】本题主要考查了积的乘方的逆运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.【变式1】(22-23七年级下·河北沧州·期中)若n 为正整数.且24n a =,则()()223224nn a a -的值为()A .4B .16C .64D .192【答案】D【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可.解:()()2232642444nnn na a a a -=-()()322232444444nna a =-=⨯-⨯()32444448192=⨯-=⨯=,故选D .【点拨】此题考查了幂的有关运算,解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则.同底数幂相乘(除),底数不变,指数相加(减);幂的乘方,底数不变,指数相乘;积的乘方,把每个因式分别乘方.【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=,则x =.【答案】8.【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算,把等式变形,根据指数相同求解即可.解:2232336x x x ++-⋅=,根据积的乘方和幂的乘方,等式可变形为:223(23)(6)x x +-⨯=,即22666x x +-=,226x x +=-,解得,8x =故答案为:8.【点拨】本题考查了幂的运算的逆运算,解题关键是把等式恰当变形,依据底数相同,指数也相同列方程.【题型4】幂的混合运算【例7】(21-22八年级上·全国·课后作业)计算:(1)()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ;(2)()()()22112()3------n n n nx x x x x .【答案】(1)8425a b ;(2)31n x -.【分析】(1)先计算幂的乘方,再计算同底数幂,最后合并同类项即可;(3)先计算幂的乘方,再计算同底数幂,最后合并同类项即可.解:(1)()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ,=62484916a a b a b ⋅⋅+,=8484916a b a b +,=8425a b ;(2)()()()22112()3------n n n nx x x x x ,=()()21212()3n n n n xx x x x -----,=()2112123n n n n x x -+++--+,=313123n n x x ---+,=31n x -.【点拨】本题考查整式的幂指数运算,掌握幂的乘方,同底数幂的乘法,合并同类项是解题关键.【变式1】(20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习)下列各式计算正确的是()A .-3xy ·(-2xy )2=12x 3y 3B .4x 2·(-2x 3)2=16x 12C .(-a 2)·a 3=a 6D .2a 2b ·(-ab )2=2a 4b 3【答案】D【分析】根据幂的运算法则逐一计算,可得结果.解:A 、()2333212xy xy x y -⋅--=,故选项错误;B 、()22384216x x x ⋅-=,故选项错误;C 、()236a a a -⋅=-,故选项错误;D 、()224322a b ab a b ⋅-=,故选项正确;故选D .【点拨】本题考查了幂的混合运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.【变式2】已知2,3x x a t ==,则24x =.(用含,a t 的代数式表示)【答案】3a t解:∵2x =a ,3x =t ,∴24x =(23×3)x =23x ×3x =(2x )3×3x =a 3t .故答案为a 3t .【题型5】幂的运算的应用【例8】(23-24八年级上·山西长治·阶段练习)我们知道,一般的数学公式、法则、定义可以正向运用,也可以逆向运用.对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ,()()n m mn m n a a a ==,()mm m a b ab =;(m ,n 为正整数).请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题:(1)已知552a =,443b =,334c =,请把a ,b ,c 用“<”连接起来:;(2)若2a x =,3b x =,求32a b x +的值;(3)计算:2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭.【答案】(1)a c b <<;(2)72;(3)8.【分析】(1)根据逆用幂的乘方,化成指数相同的幂,再比较大小;(2)根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解;(3)根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方,化成指数相同的幂,再计算即可求解;本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则,掌握法则的逆用是解题的关键.(1)解:∵()11555112232a ===,()11444113381b ===,()11333114464c ===.又∵326481<<,∴a c b <<,故答案为:a c b <<;(2)解:32a bx +32a b x x =⋅,()()32a b x x =⋅,∵2a x =,3b x =,∴原式3223=⋅,89=⨯,72=;(3)解:2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭()200210110031222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,4001003031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭,400403122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,40040031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭,40031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭,402312=⨯,8=.【变式1】(21-22八年级上·河南三门峡·期末)下列运算中,错误的个数是()(1)224a a a +=;(2)236a a a ⋅=;(3)2n n n a a a ⋅=;(4)()448a a a --⋅=A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则,合并同类项的法则对各式进行运算,即可得出结果.解:(1)22242a a a a ≠+=,故(1)错误;(2)2356a a a a ⋅≠=,故(2)错误;(3)22n n n n a a a a ⋅≠=,故(3)错误;(4)()4488a a a a ---⋅≠=,故(4)错误,综上所述,错误的个数为4个,故选:D .【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识,解题的关键是对相应的运算法【变式2】(20-21九年级下·湖南永州·期中)将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折,记第1次对折后得到的图形面积为S 1,第2次对折后得到的图形面积为S 2,…,第n 次对折后得到的图形面积为S n ,请根据图2化简,12320202021S S S S S +++++= .【答案】202111()2-【分析】先具体计算出S 1,S 2,S 3,S 4的值,得出面积规律,表示S 2021,再设12320202021S S S S S S =+++++ ①,两边都乘以12,得到42320212022111111((()()+()222222S =++++ ②,利用①−②,求解S ,从而可得答案.解:∵42320211234202111111111,(,(),(),(242821622S S S S S ======== 设S =42320211234202111111()()((22222S S S S S +++++=+++++ ①12320202021111111222222S S S S S S ∴=+++++ 4232021202211111(()()()+()22222=++++ ②①-②得,2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为:202111()2-.【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究,有理数的乘方运算的灵活应用,同底数幂的乘法与除法的应用,方程思想的应用,正方形的性质,掌握以上知识是解题的关键.第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】(2024·河北·中考真题)若a ,b 是正整数,且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘,则a 与b 的关系正确的是()A .38a b +=B .38a b =C .83a b +=D .38a b=+【分析】本题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方的运算的应用,熟练掌握知识点是解题的关键.由题意得:()8822a b ⨯=,利用同底数幂的乘法,幂的乘方化简即可.解:由题意得:()8822a b ⨯=,∴38222a b ⨯=,∴38a b +=,故选:A .【例10】(2024·山东烟台·中考真题)下列运算结果为6a 的是()A .23a a ⋅B .122a a ÷C .33a a +D .()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法,同底数幂的除法,合并同类项,幂的乘方,解题的关键是熟练掌握以上运算法则;根据同底数幂的乘法同底数幂的除法,合并同类项,幂的乘方,运算法则计算即可解:A .23235a a a a +⋅==,故选项不符合题意;B .12212210a a a a -÷==,故选项不符合题意;C .3332a a a +=,故选项不符合题意;D .()32236a a a ⨯==,故选项符合题意;故选:D .【题型7】拓展延伸【例11】(2024·河北·中考真题)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示13223⨯,运算结果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是()A .“20”左边的数是16B .“20”右边的“□”表示5C .运算结果小于6000D .运算结果可以表示为41001025a +【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算,整式的乘法运算,理解题意,正确的逻辑推理时解决本题的关键.设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +,则20,5,2,mz nz ny nx a ====,即4=m n ,可确定1,2n y ==时,则4,5,m z x a ===,由题意可判断A 、B 选项,根据题意可得运算结果可以表示为:()1000411002541001025a a a +++=+,故可判断C 、D 选项.解:设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n+如图:则由题意得:20,5,2,mz nz ny nx a ====,∴4mz nz=,即4=m n ,∴当2,1n y ==时, 2.5z =不是正整数,不符合题意,故舍;当1,2n y ==时,则4,5,m z x a ===,如图:,∴A 、“20”左边的数是248⨯=,故本选项不符合题意;B 、“20”右边的“□”表示4,故本选项不符合题意;∴a 上面的数应为4a ,如图:∴运算结果可以表示为:()1000411002541001025a a a +++=+,∴D 选项符合题意,当2a =时,计算的结果大于6000,故C 选项不符合题意,故选:D .【例12】(19-20七年级下·江苏南京·期中)观察等式(2a ﹣1)a +2=1,其中a 的取值可能是()A .﹣2B .1或﹣2C .0或1D .1或﹣2或0【答案】D 【分析】存在3种情况:一种是指数为0,底数不为0;第二种是底数为1,指数为任意值;第三种是底数为-1,指数为偶数,分别求解可得.解:情况一:指数为0,底数不为0即:a +2=0,2a -1≠0解得:a =-2情况二:底数为1,指数为任意值即:2a -1=1解得:a =1情况三:底数为-1,指数为偶数即:2a -1=-1,解得a =0代入a +2=2,为偶数,成立故答案为:D【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点,本题底数为-1的情况容易遗漏,需要关注.。
七年级数学幂的运算讲解与例题
8.1 幂的运算1.了解幂的运算性质,会利用幂的运算性质进行计算.2.通过幂的运算性质的形成和应用,养成观察、归纳、猜想、论证的能力,提高计算和口算的能力.3.了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律,体验和学习研究问题的方法,培养思维严谨性,做到步步有据,正确熟练,养成良好的学习习惯.1.同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义,是指底数相同的幂.如32与35,(-5)2与(-5)6,(a+b)4与(a+b)3等表示的都是同底数的幂.(2)幂的运算性质1同底数幂相乘,底数不变,指数相加.用字母可以表示为:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时,也具有这一性质,如:a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p是正整数).(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时,应注意以下几点:①幂的底数a可以是任意的有理数,也可以是单项式或多项式;底数是和、差或其他形式的幂相乘,应把这些和或差看作一个“整体”.②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式,若底数不同,则不能使用;注意:-a n 与(-a)n不是同底数的幂,不能直接用性质.③不要忽视指数是1的因数或因式.【例1-1】(1)计算x3·x2的结果是______;(2)a4·(-a3)·(-a)3=__________.解析:(1)题中的底数都是x,是两个同底数幂相乘的运算式子,只需运用同底数幂相乘的性质进行运算,即x3·x2=x3+2=x5;(2)应先把底数分别是a,-a的幂化成同底数的幂,才能应用同底数幂的乘法性质,原式=a4·(-a3)·(-a3)=a4·a3·a3=a4+3+3=a10.答案:(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论.例如同底数幂的乘法,条件是底数相同,且运算是乘法运算,结论是底数不变,指数相加.【例1-2】计算:(1)(x+y)2·(x+y)3;(2)(a-2b)2·(2b-a)3.分析:(1)把(x+y)看作底数,可根据同底数幂的乘法性质来解;(2)题中(a-2b)2可转化为(2b-a)2,或者把(2b-a)3转化为-(a-2b)3,就是两个同底数的幂相乘了.解:(1)原式=(x+y)2+3=(x+y)5;(2)方法一:原式=(2b -a )2·(2b -a )3=(2b -a )5;方法二:原式=(a -2b )2·[-(a -2b )3]=-(a -2b )5.本题应用了整体的数学思想,把(x +y )和(a -2b )看作一个整体,(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的,因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数. 2.幂的乘方(1)幂的乘方的意义:幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如(a 5)3是指三个a 5相乘,读作“a 的五次幂的三次方”,即有(a 5)3=a 5·a 5·a 5=a 5+5+5=a 5×3;(a m )n 表示n 个a m 相乘,读作“a 的m 次幂的n 次方”,即有(a m )n =m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个=m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个=a mn(m ,n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方,底数不变,指数相乘.用字母可以表示为:(a m )n =a mn(m ,n 都是正整数).这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算,即底数不变,指数相乘. (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为: [(a m )n ]p =a mnp(m ,n ,p 均为正整数).(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘,而am n 表示m n 个a 相乘,例如:(52)3=52×3=56,523=58.因此,(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( ).A .x 5B .x 6C .x 8D .x 9(2)计算3(a 3)3+2(a 4)2·a =__________.解析:(1)根据性质,底数不变,指数相乘,结果应选B ;(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算,再合并同类项得到结果.3(a 3)3+2(a 4)2·a =3a 3×3+2a 4×2·a =3a 9+2a 8·a =3a 9+2a 9=5a 9.答案:(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”,同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”.如(a 4)2=a 4+2=a 6与(a 2)3=a 23=a 8都是错误的.3.积的乘方(1)积的乘方的意义:积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如(2ab )3,(ab )n等.(2ab )3=(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)=(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) =23a 3b 3.(ab )n =n ab ab ab ()()()L 1442443个=n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个=a n b n(n 为正整数).(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积.也就是说,先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.用字母可以表示为:(ab )n =a n b n(n 是正整数). (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质,如(abc )n =a n b n c n(n 是正整数).【例3】计算:(1)(-2x )3;(2)(-xy )2;(3)(xy 2)3·(-x 2y )2;(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12ab 2c 34.分析:(1)要注意-2x 含有-2,x 两个因数;(2)-xy 含有三个因数:-1,x ,y ;(3)把xy 2看作x 与y 2的积,把-x 2y 看作-1,x 2,y 的积;(4)-12ab 2c 3含有四个因数-12,a ,b 2,c 3,先运用积的乘方性质计算,再运用幂的乘方性质计算.解:(1)(-2x )3=(-2)3·x 3=-8x 3;(2)(-xy )2=(-1)2·x 2·y 2=x 2y 2;(3)(xy 2)3·(-x 2y )2=x 3(y 2)3·(-1)2·(x 2)2y 2=x 3y 6·x 4y 2=x 7y 8;(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12ab 2c 34=⎝ ⎛⎭⎪⎫-124a 4(b 2)4(c 3)4=116a 4b 8c 12.(1)在计算时,把x 2与y 2分别看成一个数,便于运用积的乘方的运算性质进行计算,这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法,它可以把复杂问题简单化,它是数学的常用方法.(2)此类题考查积的乘方运算,计算时应特别注意底数含有的因式,每个因式都分别乘方,不要漏掉,尤其要注意系数及系数的符号,对系数是-1的不可忽略.负数的奇次方是一个负数,负数的偶次方是一个正数.4.同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除,底数不变,指数相减.用字母可以表示为:a m ÷a n =a m -n(a ≠0,m ,n 都是正整数,且m >n ).这个性质成立的条件是:同底数幂相除,结论是:底数不变,指数相减.和同底数幂的乘法类似,被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同,商也是一个幂,其底数与被除式和除式的底数相同,商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差.因为零不能作除数,所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时,该性质仍然成立,例如a m ÷a n ÷a p =a m -n -p(a ≠0,m ,n ,p 为正整数,m >n +p ).【例4】计算:(1)(-a )6÷(-a )3;(2)(a +1)4÷(a +1)2;(3)(-x )7÷(-x 3)÷(-x )2. 分析:利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数.(1)中的底数是-a ,(2)中的底数是(a +1),(3)中的底数可以是-x ,也可以是x .解:(1)(-a )6÷(-a )3=(-a )6-3=(-a )3=-a 3;(2)(a +1)4÷(a +1)2=(a +1)4-2=(a +1)2; (3)方法1:(-x )7÷(-x 3)÷(-x )2=(-x )7÷(-x )3÷(-x )2=(-x )7-3-2=(-x )2=x 2. 方法2:(-x )7÷(-x 3)÷(-x )2=(-x 7)÷(-x 3)÷x 2=x 7-3-2=x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同,若不相同则不能运用该性质,指数相减是指被除式的指数减去除式的指数;幂的前三个运算性质中字母a ,b 可以表示任何实数,也可以表示单项式和多项式;第四个性质即同底数幂的除法性质中,字母a 只表示不为零的实数,或表示其值不为零的单项式和多项式.注意指数是“1”的情况,如a 5÷a =a 5-1,而不是a 5-0.5.零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂:任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为:a 0=1(a ≠0).a 0=1的前提是a ≠0,如(x -2)0=1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂:任何一个不等于零的数的-p (p 是正整数)次幂,等于这个数的p 次幂的倒数.用字母可以表示为:a -p=1ap (a ≠0,p 是正整数).a -p =1ap 的条件是a ≠0,p 为正整数,而0-2等是无意义的.当a >0时,a p 的值一定为正;当a <0时,a -p 的值视p 的奇偶性而定,如(-2)-3=-18,(-3)-2=19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后,正整数指数幂的运算性质,就可以推广到整数指数幂了,于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂,即a m ÷a n =a m -n(a ≠0,m ,n 都是整数).如a ÷a 2=a 1-2=a -1=1a;正整数指数幂的某些运算,在负整数指数幂中也能适用.如a -2·a -3=a-2-3=a -5等.【例5】计算:(1)1.6×10-4;(2)(-3)-3;(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-53-2;(4)(π-3.14)0;(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130+⎝ ⎛⎭⎪⎫-13-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-1.分析:此题是负整数指数幂和零指数幂的计算,可根据a -p=1ap (p 是正整数,a ≠0)和a 0=1(a ≠0)计算.其中(1)题应先求出10-4的值,再运用乘法性质求出结果.解:(1)1.6×10-4=1.6×1104=1.6×0.000 1=0.000 16.(2)(-3)-3=1-33=-127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-53-2=⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=925. (4)因为π=3.141 592 6…, 所以π-3.14≠0.故(π-3.14)0=1.(5)原式=1+1⎝ ⎛⎭⎪⎫-132+1⎝ ⎛⎭⎪⎫-231=1+9-32=812.只要底数不为零,而指数是零,不管底数多么复杂,其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时,它等于底数倒数的正整数次幂,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b -p =⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6.用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10-n的形式,其中1≤a <10,n 是正整数,n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零),这种记数方法也是科学记数法.(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步:①确定a,1≤a <10,它是将原数小数点向右移动后的结果;②确定n ,n 是正整数,它等于原数化为a 后小数点移动的位数.(3)利用科学记数法表示数,不仅简便,而且更便于比较数的大小,如:2.57×10-5显然大于2.57×10-8,前者是后者的103倍.【例6-1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延,我们应通过注意个人卫生加强防范.研究表明,甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ,用科学记数法表示这个数是( ).A .0.156×10-5B .0.156×105C.1.56×10-6 D.1.56×106解析:本题考查科学记数法,将一个数用科学记数法表示为±a×10-n(1≤a<10)的形式,其中a是正整数数位只有一位的数,所以A、B不正确,n是正整数,n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零),所以n=6,即0.000 001 56=1.56×10-6.故选C.答案:Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10-n时,小数点移动的位数.如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时,a为1.56,即将原数的小数点向右移动了6位,所以n的值是6.【例6-2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10-3 g/cm3,1.24×10-3用小数表示为( ).A.0.000 124 B.0.012 4C.-0.001 24 D.0.001 24解析:因为a=1.24,n=3,因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零),即1.24×10-3=0.001 24.答案:D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数,也可利用负整数指数幂算出10-3的值,再与1.24相乘得到原数.7.幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础,也是整式乘(除)法的主要依据.进行幂的运算,关键是熟练掌握幂的四个运算性质,深刻理解每个性质的意义,避免互相混淆.幂的混合运算顺序是先乘方,再乘除,最后再加减,有括号的先算括号里面的.因此,运算时,应先细心观察,合理制定运算顺序,先算什么,后算什么,做到心中有数.(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆,从而导致错误.如:①a3·a2=a6;②(a3)2=a5.解题时应首先分清是哪种运算:若是同底数幂相乘,应将指数相加;若是幂的乘方,应将指数相乘.正解:①a3·a2=a5;②(a3)2=a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆,从而导致错误.如:①a3·a3=2a3;②a3+a3=a6.①是同底数幂相乘,应底数不变,指数相加;②是合并同类项,应系数相加作系数,字母和字母的指数不变.正解:①a3·a3=a6;②a3+a3=2a3.【例7-1】下列运算正确的是( ).A.a4+a5=a9B.a3·a3·a3=3a3C.2a4·3a5=6a9D.(-a3)4=a7解析:对于A,两者不是同类项,不能合并;对于B,结果应为a9;对于C,结果是正确的;对于D,(-a3)4=a3×4=a12.故选C.答案:C【例7-2】计算:(-2x2y)3+8(x2)2·(-x)2·(-y)6÷y3.分析:按照运算顺序,先利用积的乘方化简,即(-2x2y)3=-8(x2)3·y3,8(x2)2·(-x)2·(-y)6=8x4·x2·y6,再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果,最后合并同类项.解:(-2x2y)3+8(x2)2·(-x)2·(-y)6÷y3=-8(x2)3·y3+8x4·x2·y6÷y3=-8x6y3+8x6y3=0.8.幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练,但有时有些问题需要逆用幂的运算性质,可以使问题化难为易、求解更加简单.(1)逆用同底数幂的乘法性质:a m +n =a m ·a n (m ,n 为正整数).如25=23×22=2×24.当遇到幂的指数是和的形式时,为了计算的需要,往往逆用同底数幂的乘法性质,将幂转化成几个同底数幂的乘法.但是一定要注意,转化后指数的和应等于原指数.(2)逆用幂的乘方性质:a mn =(a m )n =(a n )m (m ,n 均为正整数).逆用幂的乘方性质的方法是:幂的底数不变,将幂的指数分解成两个因数的乘积,再转化成幂的乘方的形式.如x 6=(x 2)3=(x 3)2,至于选择哪一个变形结果,要具体问题具体分析.(3)逆用积的乘方性质: a n b n =(ab )n (n 为正整数).当遇到指数相差不大,且指数比较大时,可以考虑逆用积的乘方性质解题.注意,必须是同指数的幂才能逆用性质,逆用时一定要注意:底数相乘,指数不变.(4)逆用同底数幂的除法性质: a m -n =a m ÷a n (a ≠0,m ,n 为整数).当遇到幂的指数是差的形式时,为了计算的需要,往往逆用同底数幂的除法性质,将幂转化成几个同底数幂的除法.但是一定要注意,转化后指数的差应等于原指数.【例8-1】(1)已知3a =2,3b =6,则33a -2b的值为__________;(2)若m p =15,m 2q =7,m r =-75,则m 3p +4q -2r的值为__________.解析:(1)因为3a =2,3b=6,所以33a -2b =33a ÷32b =(3a )3÷(3b )2=23÷62=29.(2)m 3p +4q -2r =(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫-752=15.答案:(1)29 (2)15【例8-2】(1)计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024;(2)已知10x =2,10y =3,求103x +2y的值.分析:(1)本题的指数较大,按常规方法计算很难,观察式子特点发现:4 024是2 012的两倍,可逆用幂的乘方性质,把24 024化为(22)2 012,这样再与22 012逆用积的乘方性质,此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数,但指数不相同,因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质,简化计算;(2)可逆用幂的乘方,把103x +2y化为条件中的形式.解:(1)原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)=⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) =⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 =⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) =⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) =8.(2)因为103x =(10x )3=23=8,102y =(10y )2=32=9,所以103x +2y =103x ·102y=8×9=72. 9.利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中,经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题.对于一些幂的指数较小的问题,可以直接计算出幂进行比较;但当幂的指数较大时,若通过先计算出幂再比较大小,就会很繁琐甚至不可能.这时可利用幂的运算性质比较幂的大小.比较幂的大小,一般有以下几种方法:(1)指数比较法:利用乘方,将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数,然后根据指数的大小关系确定出幂的大小.(2)底数比较法:利用乘方,将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数,然后根据底数的大小关系确定出幂的大小.(3)作商比较法:当a >0,b >0时,利用“若a b >1,则a >b ;若a b =1,则a =b ;若a b<1,则a <b ”比较.有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外,还应注意策略,如利用特殊值法、放缩法等.【例9】(1)已知a =8131,b =2741,c =961,则a ,b ,c 的大小关系是( ). A .a >b >c B .a >c >b C .a <b <c D .b >c >a(2)350,440,530的大小关系是( ).A .350<440<530B .530<350<440C .530<440<350D .440<530<350(3)已知P =999999,Q =119990,那么P ,Q 的大小关系是( ).A .P >QB .P =QC .P <QD .无法比较解析:(1)因为a =8131=(34)31=3124,b =2741=(33)41=3123,c =961=(32)61=3122,又124>123>122,所以3124>3123>3122,即a >b >c .故选A .(2)因为350=(35)10=24310,440=(44)10=25610,530=(53)10=12510,而125<243<256,所以12510<24310<25610,即530<350<440.故选B .(3)因为P Q =999999×990119=9×119999×990119=99×119999×990119=1,所以P =Q .故选B . 答案:(1)A (2)B (3)B10.幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题,所以要熟练掌握好幂的运算性质,能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题.解决此类问题时,必须认真审题,根据题意列出相关的算式,进而利用幂的运算性质进行运算或化简,特别地,当计算的结果是比较大的数时,一般要写成科学记数法的形式.【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ,则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少?分析:要计算卫星运行3×102s 所走的路程,根据路程等于时间乘以速度可解决问题.本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题.解:因为7.9×103×3×102=(7.9×3)×(103×102)=23.7×105=2.37×106,所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m . 11.幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论,需要经过推断、补充并加以总结.它不像传统的解答题或证明题,在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论;或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.规律探索题是指在一定条件下,需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目,要解答此类问题,首先要仔细阅读,弄清题意,并从阅读过程中找出其规律,然后进一步利用规律进行计算.【例11】(1)观察下列各式:由22×52=4×25=100,(2×5)2=102=100,可得22×52=(2×5)2;由23×53=8×125=1 000,(2×5)3=103=1 000,可得23×53=(2×5)3;….请你再写出两个类似的式子,你从中发现了什么规律?(2)x2表示两个x相乘,(x2)3表示3个__________相乘,因此(x2)3=__________,由此类推得(x m)n=__________.利用你发现的规律计算:①(x3)15;②(x3)6;③[(2a-b)3]8.解:(1)如:34×54=(3×5)4,45×55=(4×5)5,等等.规律:a n·b n=(ab)n,即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂.(2)x2x2×3=x6x mn①(x3)15=x45;②(x3)6=x18;③[(2a-b)3]8=(2a-b)24.。
专题14.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题14.1 幂的运算【八大题型】【人教版】【题型1 幂的基本运算】 (1)【题型2 幂的运算法则逆用(比较大小)】 (2)【题型3 幂的运算法则逆用(求代数式的值)】 (2)【题型4 幂的运算法则逆用(整体代入)】 (2)【题型5 幂的运算法则逆用(求参)】 (3)【题型6 幂的运算法则逆用(代数式的表示)】 (3)【题型7 幂的运算法则(混合运算)】 (3)【题型8 幂的运算法则(新定义问题)】 (4)【题型1 幂的基本运算】【例1】(2022•谷城县二模)下列各选项中计算正确的是( )A .m 2n ﹣n =n 2B .2(﹣ab 2)3=﹣2a 3b 6C .(﹣m )2m 4=m 8D .x 6y x 2=x 3y 【变式1-1】(2022秋•南陵县期末)(512)2005×(225)2004=( ) A .1 B .512 C .225 D .(512)2003 【变式1-2】(2022秋•孝南区月考)计算x 5m +3n +1÷(x n )2•(﹣x m )2的结果是( )A .﹣x 7m +n +1B .x 7m +n +1C .x 7m ﹣n +1D .x 3m +n +1【变式1-3】(2022秋•温江区校级期末)下列等式中正确的个数是( )①a5+a5=a10;②(﹣a)6•(﹣a)3•a=a10;③﹣a4•(﹣a)5=a20;④25+25=26.A.0个B.1个C.2个D.3个【题型2 幂的运算法则逆用(比较大小)】【例2】(2022春•宣城期末)已知a=8131,b=2741,c=961,则a、b、c的大小关系是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b【变式2-1】(2022春•晋州市期中)阅读:已知正整数a,b,c,若对于同底数,不同指数的两个幂a b和a c(a≠1),当b>c时,则有a b>a c;若对于同指数,不同底数的两个幂a b和c b,当a>c时,则有a b>c b,根据上述材料,回答下列问题.(1)比较大小:520420,9612741;(填“>”“<”或“=”)(2)比较233与322的大小;(3)比较312×510与310×512的大小.[注(2),(3)写出比较的具体过程]【变式2-2】(2022秋•滨城区月考)已知a=3231,b=1641,c=821,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>b C.a<b<c D.b>a>c【变式2-3】(2022春•泰兴市校级月考)若a=2555,b=3444,c=4333,d=5222,试比较a、b、c、d的大小.(写出过程)【题型3 幂的运算法则逆用(求代数式的值)】【例3】(2022春•巨野县期中)已知:52n=a,9n=b,则154n=.【变式3-1】(2022秋•西青区期末)若2x=a,16y=b,则22x+4y的值为.【变式3-2】(2022春•萧山区期中)若x m=5,x n=14,则x2m﹣n=()A.52B.40C.254D.100【变式3-3】(2022春•高新区校级月考)已知32m=a,27n=b.求:(1)34m的值;(2)33n的值;(3)34m﹣6n的值.【题型4 幂的运算法则逆用(整体代入)】【例4】(2022•铁岭模拟)若a+3b﹣2=0,则3a•27b=.【变式4-1】(2022秋•淇滨区校级月考)当3m+2n﹣3=0时,则8m•4n=8.【变式4-2】(2022春•东台市期中)已知a﹣2b﹣3c=2,则2a÷4b×(18)c的值是.【变式4-3】(2022春•昌平区期末)若5x﹣2y﹣2=0,则105x÷102y=.【题型5 幂的运算法则逆用(求参)】【例5】(2022秋•西城区校级期中)若a5•(a y)3=a17,则y=,若3×9m×27m=311,则m的值为.【变式5-1】(2022春•建湖县期中)规定a*b=2a×2b,例如:1*2=21×22=23=8,若2*(x+1)=64,则x的值为.【变式5-2】(2022秋•卫辉市期末)已知2m=4n﹣1,27n=3m﹣1,则n﹣m=.【变式5-3】(2022春•兴化市期中)若(2m)2•23n=84,其中m、n都是自然数,则符合条件m、n的值有____组.【题型6 幂的运算法则逆用(代数式的表示)】【例6】(2022秋•崇川区校级期中)若a 2m+3y=a m+1x=1.(1)请用含x的代数式表示y;(2)如果x=4,求此时y的值.【变式6-1】(2022•高新区校级三模)已知m=89,n=98,试用含m,n的式子表示7272.【变式6-2】(2022•高新区校级三模)(1)若x=2m+1,y=3+4m,用x的代数式表示y.(2)若x=2m+1,y=3+4m,用x的代数式表示y.【变式6-3】(2022春•新泰市期末)若a m=a n(a>0,a≠1,m、n都是正整数),则m=n,利用上面结论解决下面的问题:(1)如果2x•23=32,求x的值;(2)如果2÷8x•16x=25,求x的值;(3)若x=5m﹣2,y=3﹣25m,用含x的代数式表示y.【题型7 幂的运算法则(混合运算)】【例7】(2022春•沭阳县校级月考)计算:(1)(﹣a)2•a3(2)(﹣8)2013•(18)2014(3)x n•x n+1+x2n•x(n是正整数)( 4 )(a2•a3)4.【变式7-1】(2022秋•道外区校级月考)计算:(1)y 3•y 2•y(2)(x 3)4•x 2(3)( a 4•a 2)3•(﹣a )5(4)(﹣3a 2)3﹣a •a 5+(4a 3)2.【变式7-2】(2022春•太仓市期中)用简便方法计算下列各题(1)(45)2015×(﹣1.25)2016.(2)(318)12×(825)11×(﹣2)3. 【变式7-3】(2022春•漳浦县期中)计算(1)(m ﹣n )2•(n ﹣m )3•(n ﹣m )4(2)(b 2n )3(b 3)4n ÷(b 5)n +1(3)(a 2)3﹣a 3•a 3+(2a 3)2;(4)(﹣4a m +1)3÷[2(2a m )2•a ].【题型8 幂的运算法则(新定义问题)】【例8】(2022春•大竹县校级期中)我们知道,同底数幂的乘法法则为a m •a n =a m +n (其中a ≠0,m 、n 为正整数),类似地我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算:h (m +n )=h (m )•h (n );比如h(2)=3,则h (4)=h (2+2)=3×3=9,若h (2)=k (k ≠0),那么h (2n )•h (2022)的结果是( )A .2k +2021B .2k +2022C .k n +1010D .2022k【变式8-1】(2022•兰山区二模)一般的,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N .例如:由于23=8,所以3是以2为底8的对数,记作log 28=3;由于a 1=a ,所以1是以a 为底a 的对数,记作log a a =1.对数作为一种运算,有如下的运算性质:如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么(1)log a (M •N )=log a M +log a N ;(2)log a M N =log a M ﹣log a N ;(3)log a M n =n log a M .根据上面的运算性质,计算log 2(23×8)﹣log 2165−log 210的结果是 .【变式8-2】(2022春•泰兴市期中)规定两数a ,b 之间的一种运算,记作a ※b :如果a c =b ,那么a ※b =c .例如:因为32=9,所以3※9=2(1)根据上述规定,填空:2※16= , ※136=−2,(2)小明在研究这种运算时发现一个现象:3n ※4n =3※4,小明给出了如下的证明:设3n※4n=x,则(3n)x=4n,即(3x)n=4n所以3x=4,即3※4=x,所以3n※4n=3※4.请你尝试运用这种方法解决下列问题:①证明:6※7+6※9=6※63;②猜想:(x﹣1)n※(y+1)n+(x﹣1)n※(y﹣2)n=※(结果化成最简形式).【变式8-3】(2022秋•南宁期末)规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b),如果a c=b,那么(a,b)=c.我们叫(a,b)为“雅对”.例如:∵23=8,∴(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义证明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明如下:设(3,3)=m,(3,5)=n,则3m=3,3n=5.∴3m•3n=3m+n=3×5=15.∴(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).(1)根据上述规定,填空:(2,4)=;(5,25)=;(3,27)=.(2)计算:(5,2)+(5,7)=,并说明理由.(3)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求证:a+b=c.。
幂的运算例题精讲
幂的运算例题精讲【知识方法归纳】注意:零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则(重点) 同底数幂的乘法法则:+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即mnpm n pa a a a++⋅⋅=(,,m n p 都是正整数).(3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅(,m n 都是正整数).【典型例题】例1:计算.(1)234444⨯⨯; (2)3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅;(3)11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+例2:辨析:下列运算是否正确?不正确的,请改为正确的答案。
(1)x 3·x 5= x 15( ) ; (2) b 7+ b 7=b 14( ) ;(3)a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6( ) ;(5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ; (6)(- a- b)4=(a- b)4( )练习计算(1)5323(3)(3)⋅-⋅-; (2)221()()p p p x x x +⋅-⋅-(p 为正整数); (3)232(2)(2)n ⨯-⋅-(n 为正整数).1.计算(-2)2007+(-2)2008的结果是( ) A .22015B .22007C .-2D .-220082.当a<0,n 为正整数时,(-a )5·(-a )2n的值为( )A .正数 B .负数 C .非正数 D .非负数 3.(一题多解题)计算:(a -b )2m -1·(b -a )2m ·(a -b )2m+1,其中m 为正整数.知识点2 逆用同底数幂的法则 逆用法则为:n m nm a a a ∙=+(m 、n 都是正整数)【典型例题】 例(1)如果21+x =16,求x 的值 (2)如果a m =3, a n =5, 求anm + 的值。
(完整版)幂的运算总结及方法归纳.docx
(完整版)幂的运算总结及方法归纳.docx幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题:●在运用 a m ? a n a m n( m 、 n 为正整数), a m a n a m n (a 0, m 、 n 为正整数且 m > n ), (a m ) n a mn( m 、 n 为正整数), (ab) n a n b n( n 为正整数), a 01(a 0) ,a n1( a 0 ,n为正整数)时,要特别注意各式子成a n立的条件。
◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母,它还可以表示一个单项式,甚至还可以表示一个多项式。
换句话说,将底数看作是一个“整体”即可。
◆注意上述各式的逆向应用。
如计算0.252004 4 2005,可先逆用同底数幂的乘法法则将42005 写成42004 4 ,再逆用积的乘方法则计算0.25 200442004(0.25 4) 2004120041,由此不难得到结果为1。
◆通过对式子的变形,进一步领会转化的数学思想方法。
如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算,同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算,幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。
◆在经历上述各个式子的推导过程中,进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律” 这一重要的数学研究的方法,学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。
一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘,底数不变,指数相加.公式表示为:a m a n a m n m、n为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即a m a n a p a m m p (m、 n、 p为正整数 )注意点:(1)同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数 .(2)在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法则进行计算 .例题:例 1:计算列下列各题(1)a3 a4;( 2) b b2b324;( 3)cc c简单练习:一、选择题1.下列计算正确的是 ( )A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.3m+2m=5mD.a2+a2=2a42.下列计算错误的是 ( )A.5 x2- x2=4x2B.am+am=2amC.3m+2m=5mD. x·x2m-1=x 2m3.下列四个算式中①a333②x336325·a=2a+x =x③b·b·b=b④p2+p2+p2=3p2正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列各题中,计算结果写成底数为10 的幂的形式,其中正确的是 ()A.100 × 102=103B.1000× 1010=103C.100 × 103=105D.100×1000=104二、填空题1.a4·a4=_______;a4+a4=_______。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法);2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式. (2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=(,,m n p 都是正整数).(3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅(,m n 都是正整数).【知识拓展1】计算:(1)234444⨯⨯; (2)3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅;(3)11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+.【即学即练1】计算:(1)5323(3)(3)⋅-⋅-; (2)221()()ppp x x x +⋅-⋅-(p 为正整数);知识精讲目标导航(3)232(2)(2)n⨯-⋅-(n 为正整数).【即学即练2】计算:(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+; (2)23(2)(2)x y y x -⋅- .【知识拓展2】已知2220x +=,求2x 的值.知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.要点诠释:(1)公式的推广:(())=m n pmnpa a (0≠a ,,,m n p 均为正整数)(2)逆用公式: ()()nmmnm n a aa ==,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题.【知识拓展1】计算:(1)2()m a ; (2)34[()]m -; (3)32()m a-.【即学即练1】计算:(1)23[()]a b --; (2)32235()()2y y y y +-;(3)22412()()m m x x -+⋅; (4)3234()()x x ⋅.【知识拓展2】已知25mx =,求6155m x -的值.【即学即练1】已知2a x =,3b x =.求32a bx +的值.【即学即练2】已知84=m ,85=n ,求328+m n的值.【即学即练3】已知435,25ab m n ==,请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=,求n 的值;【即学即练5】已知322,3m m a b ==,则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅= .知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.要点诠释:(1)公式的推广:()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).(2)逆用公式:()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确,指出错误并说明原因:(1)22()ab ab =; (2)333(4)64ab a b =; (3)326(3)9x x -=-.【即学即练1】计算:(1)24(2)xy - (2)24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( ). ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算:1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除,底数不变,指数相减,即mnm na a a-÷=(a ≠0,m n 、都是正整数,并且m n >)要点诠释:(1)同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.(2)被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0不能作除式. (3)当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质. (4)底数可以是一个数,也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =(a ≠0)要点诠释:底数a 不能为0,00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算:(1)83x x ÷; (2)3()a a -÷; (3)52(2)(2)xy xy ÷; (4)531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【即学即练1】计算下列各题:(1)5()()x y x y -÷- (2)125(52)(25)a b b a -÷-(3)6462(310)(310)⨯÷⨯ (4)3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =,34n =,求129m n+-的值.【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯,求m 的值.1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 , a 是正整数,求a 的值.2.已知n 为正整数,化简: (-x 2 )n+ (-x n )2.3.已知: 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ,试求 x 的值.能力拓展4.已知35m =,45381m n -=,求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值.5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求2x y z y +-的值.6.已知()231x x +-=,求整数x .题组A 基础过关练一、单选题1.(2022·全国·七年级)化简1x y +-()的结果是( )A .11x y --+B .1xy C .11x y+D .1x y+ 2.(2022·全国·七年级)计算52x x ÷结果正确的是( ). A .3B .3xC .10xD .25x3.(2021·甘肃白银·七年级期末)花粉的质量很小,一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ,那么0.000036mg 用科学记数法表示为( ) A .53.610mg -⨯ B .63.610mg -⨯C .73.610mg -⨯D .83.610mg -⨯二、填空题4.(2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末)若am =10,an =6,则am +n =_____.分层提分5.(2022·全国·七年级)计算34x x x ⋅+的结果等于________. 6.(2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末)22013•(12)2012=_____. 7.(2021·上海虹口·七年级期末)计算:23(3)a =_______.8.(2022·全国·七年级)若0(3)1x -=,则x 的取值范围是________. 9.(2022·全国·七年级)计算:0113()22-⨯+-=______.三、解答题10.(2022·全国·七年级)计算:(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+; (2)23(2)(2)x y y x -⋅- .11.(2018·全国·七年级课时练习)1千克镭完全蜕变后,放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量,据估计地壳里含1×1010千克镭,试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量?12.(2020·浙江杭州·模拟预测)计算题(结果用幂的形式表示):(1)2322⨯ (2)()32x (3)()()322533-⋅13.(2021·上海普陀·七年级期末)计算:2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.题组B 能力提升练1.(2022·全国·七年级)计算:(1)234444⨯⨯; (2)3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅;(3)11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+.2.(2021·上海市民办新竹园中学七年级期中)计算:121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3.(2022·全国·七年级)规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作23,读作“2的3次商”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)4,读作“﹣3的4次商”,一般地,把n aa a a a÷÷÷÷个(a ≠0)记作an ,读作“a 的n 次商”.【初步探究】(1)直接写出计算结果:23= ,(﹣3)4= ; (2)关于除方,下列说法错误的是 ;A .任何非零数的2次商都等于1;B .对于任何正整数n ,(﹣1)n =﹣1;C .34=43;D .负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数.【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?例如:2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.(3)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式.(﹣3)4= ;517⎛⎫⎪⎝⎭= .(4)想一想:将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 . (5)算一算:2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= .4.(2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习)已知10×102=1000=103, 102×102=10000=104, 102×103=100000=105.(1)猜想106×104= ,10m ×10n = .(m ,n 均为正整数) (2)运用上述猜想计算下列式子:①(1.5×104)×(1.2×105); ②(﹣6.4×103)×(2×106).5.(2022·全国·七年级)阅读,学习和解题. (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法,然后完成下题: 比较34040,43030,52020的大小. (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法,然后完成下题:已知am =2,an =3,求a 2m +3n 的值.(3)计算:(-16)505×(-0.5)2021.题组C 培优拔尖练一、单选题1.(2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中)计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为( ) A .25033333⋅⋅⋅个 B .26033333⋅⋅⋅个 C .27033333⋅⋅⋅个 D .28033333⋅⋅⋅个2.(2022·全国·七年级)观察等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2;…已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199,2200,若2100=S ,用含S 的式子表示这组数据的和是( ) A .2S 2﹣SB .2S 2+SC .2S 2﹣2SD .2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3.(2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中)已知整数a b c d 、、、满足a b c d <<<且234510000a b c d =,则432a b c d +++的值为_____.4.(2021·北京八十中七年级期中)已知一列数:-2,4,-8,16,-32,64,-128,……,将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵,其中,4在第一个拐弯处,-8在第二个拐弯处,-32在第三个拐弯处,-128在第四个拐弯处,……,则第六个拐弯处的数是________,第一百个拐弯处的数是___________.三、解答题5.(2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习)已知(﹣13xyz )2M =13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ,自然数x ,z 满足123x z -⋅=72,且x =z ,求M 的值.6.(2021·全国·七年级专题练习)阅读以下材料:对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J .Napier ,1550年-1617年),纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler ,1707年-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若(0,1)x a N a a =≠>,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =.比如指数式4216=可以转化为24log 16=,对数式52log 25=可以转化为2525=.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠>>>.理由如下:设a log M m =,a log N n =,所以m M a =,n N a =,所以m n m n MN a a a +==,由对数的定义得a log ()m n M N +=+,又因为a log log a m n M N +=+,所以log ()log log a a a MN M N =+.解决以下问题: (1)将指数35125=转化为对数式: .(2)仿照上面的材料,试证明:log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠>>> (3)拓展运用:计算333log 2log 18-log 4+= .7.(2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习)(1)填空:21﹣20=______=2(_____)22﹣21=_____=2(______)23﹣22=______=2(______)…(2)探索(1)中式子的规律,试写出第n 个等式,并说明第n 个等式成立; (3)计算20+21+22+ (22019)8.(2021·全国·七年级专题练习)观察下面三行单项式:x ,22x ,34x ,48x ,516x ,632x ,⋯;①2x -,24x ,38x -,416x ,532x -,664x ,⋯;②22x ,33x -,45x ,59x -,617x ,733x -,⋯;③根据你发现的规律,解答下列问题:(1)第①行的第8个单项式为_______;(2)第②行的第9个单项式为_______;第③行的第10个单项式为_______; (3)取每行的第9个单项式,令这三个单项式的和为A .当12x =时,求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.9.(2021·全国·七年级课时练习)探究:22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( ),24﹣23= =2( ),……(1)请仔细观察,写出第4个等式;(2)请你找规律,写出第n 个等式;(3)计算:21+22+23+…+22019﹣22020.10.(2021·江苏连云港·七年级期中)阅读下列材料:小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值,采用以下方法:设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得,2022221S S S -==-.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)220222++⋅⋅⋅+=______;(2)求2501111222+++⋅⋅⋅++=______; (3)求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和;(请写出计算过程)(4)求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和(其中0a ≠且1a ≠).(请写出计算过程)。
专题1.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
关系是�
�(填“<”或“>”).
【答案】<
【详解】解:参照题目中比较大小的方法可知,
【变式
1-2】(2023
春·上海杨浦·七年级统考期中)用简便方法计算:−
35
×
(
−
2 3
)5
×
(
−
5)6
【答案】500000
【分析】根据积的乘方即可求出答案.
【详解】原式=
35
×
(
2 3
)5
×
56
=
(3
×
2 3
5
)
×
56
= 25 × 55 × 5
=
(2
×
5
5)
×
5
= 5 × 105
= 500000
【点睛】本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 【例 1】(2023 春·河北保定·七年级校联考期末)用简便方法计算:
第1页 共 24页
(1) 4 2019 ×
5
−1.25 2020;
(2) −9 3 ×
−2 3×
3
1 3
3.
【答案】(1)54
(2)8
【分析】(1)先将小数化为分数,再根据同底数幂的运算法则进行计算即可;
专题 1.1 幂的运算【八大题型】
【北师大版】
【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 ...........................................................................................................1 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 ...............................................................................................................4 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 ...................................................................................................................6 【题型 4 利用幂的运算法则整体代入求值】 .........................................................................................................10 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 .............................................................................................................12 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 .............................................................................................................14 【题型 7 幂的混合运算】 ......................................................................................................................................... 17 【题型 8 新定义下的幂的运算】 ............................................................................................................................. 19
幂的运算-ppt课件
(2)系数应连同它的符号一起乘方,尤其是当系数是-1时,不
可忽略.
感悟新知
知3-练
例 5 计算:
(1)(x·y3)2; (2)(-3×102)3;
(3) -
2;
(4)(-a2b3)3.
解题秘方:运用积的乘方、幂的乘方的运算法则
进行计算.
感悟新知
知3-练
最后结果要符合科
学记数法的要求
(2)(-3×102)3=(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107;
解:(1)(x·y3)2=x2·(y3)2=x2y6;
(3) -
12
a ;
2=
-
· () 2 =
2
2
=
·(a6)2 =
系数乘方时,要带前面的符号,特
a4n-a6n用a2n表示,再把a2n=3 整体代入求值.
解:a4n-a6n=(a2n)2-(a2n)3=32-33=9-27=-18.
感悟新知
知2-练
4-1.已知10m=3,10n=2,求下列各式的值:
(1)103m;
解:103m=(10m)3=33=27;
(2)102n;
102n=(10n)2=22=4;
感悟新知
知3-练
6-1. [中考·淄博] 计算(-2a3b)2-3a6b2的结果是( C )
A.-7a6b2
B. -5a6b2
C. a6b2
D. 7a6b2
感悟新知
知3-练
6-2. 计算:
(1)(-2anb3n)2+(a2b6)n;
幂的运算例题精讲
幂的运算例题 ..精讲【知识方法归纳】知识要点同底数幂相乘幂的乘方积的乘方同底数幂的除法方法归纳主要内容a m a n a mn (m 、n 是正整数);(a m )n a mn (m 、n 是正整数)(ab)n a n bn(n 是正整数)a m n (m 、n 是正整数, m >n) a n友情提示a 可以多项式(a m )n (a n )ma mn(a n )n(ab)na m a n a mn注意各运算的意义,合理选用公式注意:零指数幂的意义“任何 不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1”和负指数幂的意义 “任何不等于 0 的数的负次幂等于它正次幂的倒数”知识点 1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则(重点) 同底数幂的乘法法则:a m a n a m n (其中m, n 都是正整数).即同 底数幂相乘,底数不变,指数相加 .要点诠释: (1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式 .(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即 a m a n a pa m n p (m, n, p 都是正整数) .(3) 逆用公式: 把一个幂分解成两个或多 个同底数幂的积, 其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即 a mna m a n( m, n 都是正整数) .【典型例题】例 1:计算.(1) 42 43 44 ; (2)2a 3 a 4 a 5 a 2 2a 6 a ;ma(3)(x y)n(x y)n1(x y)m1(x y)2n1(x y)m1例 2:辨析:下列运算是否正确?不正确的,请改为正确的答案。
(1)x3·x5=x15();(2)b7+b7=b14();(3)a5- a2=a3 ( ) (4) 2x3+ x3=2x6 ( ) ;(5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ; (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( ). 下载可编辑 ...练习计算(1)35(3)3(3)2;(2)x p(x)2p(x)2p1(p为正整数);(3)32(2)2n(2)(n为正整数).1.计算(-2)2007+ (-2)2008 的结果是() A.22015 B.22007C.-2 D.-220082.当 a<0,n 为正整数时,(-a) 5 ·(-a)2n 的值为()A.正数B.负数 C.非正数 D.非负数3.(一题多解题)计算:(a-b)2m-1·(b-a)2m·(a-b)2m+1,其中m为正整数.知识点 2 逆用同底数幂的法则逆用法则为:a m n a m •a n (m、n 都是正整数)【典型例题】例(1)如果 2 x 1 =16,求x 的值(2)如果 a m =3, a n =5,求a m n 的值。
幂的运算方法技巧归类
3
四、求未知幂的值 求条件幂值问题的基本思路是将所求幂值转化为已知幂值来表示, 进而求值. 7.已知n是正整数,且x3n=2,求(3x3n)3+(-2x2n)3的值. 解:原式=33×(x3n)3+(-2)3×(x3n)2=27×8+(-8)×4=184
1 333 1 222 (2)( ) 与( ) . 2 3
解:216<312
1 333 1 222 解:( ) >( ) 2 3
类型二:化不同底数的幂为同底数的幂,只比较指数大小即可. 4.已知a=37,b=273,c=812,试比较a,b,c的大小.
解:∵a=37,b=273=(33)3=39,c=(81)2=(34)2=38,7<8<9,
三、幂的个位数字的确定
确定幂的个位数字,可先计算出幂的指数为1,2,3,4…的值,观 察个位数字的规律,然后利用它们的规律确定幂的个位数字. 6.求32017的个位数字. 解:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,它们的个 位数字按3,9,7,1的规律依次循环出现,要求32017的个位数字, 只要将2017除以4即可,2017=4×504+1,所以32017的个位数字是
解:原式=0
2.设n为正整数,且x2n=7,求(x3n)2-4(x2)2n的值.
解:原式=x6n-4x4n=(x2n)3-4(x2n)2=73-4×72=72· (7-4)
=147
二、比较幂的大小 类型一:化不同指数的幂为同指数的幂,只比较底数即可. 3.比较下列各数的大小. (1)2 与 3
16 12;
∴a<c<b
5.比较218×310与210×315的大小.
解:观察式子知 218>210 ,310<315 , 再比较就困难了 , 于是需逆用同 底数幂的乘法将其转化为底数相同的幂 ,然后再比较简单的幂的大 小 , 结合性质有 218×310 = 210×28×310 , 210×315 = 210×310×35 , 此 时 , 只 比 较 28 与 35 的 大 小 即 可 . 通 过 计 算 得 出 28>35 , 于 是 得 出 218×310>210×315
人教版八年级数学上册第十四章专题训练(含答案)
人教版八年级数学上册第十四章专题训练专题一幂的运算性质的应用类型1 直接利用幂的运算性质进行计算1.计算:(1) ____________.(2) ____________.(3) __________.(4) __________.(5) __________.(6) _________.(7) __________.(8) _________.(9) __________.__________.2.计算:类型2 逆用幂的运算性质3.已知.求:的值的值的值4.计算:5.已知(,b都是正整数),用含m,n或p的式子表示下列各式:.专题二整式的化简与求值类型1 整式的化简1.计算:2.计算:类型2 整式的化简求值3.先化简,再求值:(3),其中满足专题三完全平方公式的变形教材母题:(教材P112习题T7)已知,求的值.【变式1】若,则=()A.2B.1C.-2D.-1【变式2】已知实数满足,则=()A.1B.-C.D.【变式3】已知,则_________.【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题:利用完全平方公式,通过配方可对进行适当的变形,如或. (1)若,则的值为_________.(2)已知,求的值.针对训练1.已知都是正数,,则()A.-3B.3C. 3D.92.已知.(1)求的值. (2)若,求的值.3.已知,求的值.4.(1)请同学们观察用硬纸片拼成的图形(如图),根据图形的面积关系,写出一个代数恒等式:(2)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:①若m+n=8,mn=12,求m-n的值:②已知,请利用上述等式求mn.参考答案专题一 1.2.解:(1)原式=2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)原式=3.4.解:原式=-85.解:..专题二1. 解:(1)原式=(2)原式=(3)原式.2. 解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=.3.解:(1)原式=.当时,原式=24. (2)原式=-2,当时,原式=.(3)原式=6,当时,原式=-6.(4)原式=,原式=-30.专题三 教材母题解:即【变式1】B. 【变式2】C 【变式3】25 【变式4】解:(1).针对训练 1. B 2. 解:(1)..3.解:.4.解:(2)①m-n=4或-4.②mn= 1.。
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专题一(2)——幂的运算应用及整式运算一、幂的运算法则逆用应用逆用幂的运算法则可得a n+m =a n •a m ,a nm =(a m )n ,a n b n =(ab)n ,a m−n =a m ÷a n (a ≠0)。
在具体的题目中,根据题目的特点,合理选用上述公式,则可使题目由难化易,由繁化简。
应用一、比较大小(一)转化为同底数的幂这种方法适用于底数可以转化为同一个数的幂的大小比较,如果底数相同,那么指数越大幂越大。
(底数和指数都是正整数,且底数必须大于1)例1、比较410与87的大小(提示:根据公式a nm =(a m )n 及题目两个底数都可以转化为同底数2,从而将题目转化成(22)10和(23)7进而可以进行大小比较)练习:比较下列一组数8131,2741,961的大小。
(分析:先对这三个数变形,都化成底数是3的幂的形式,再比较大小.)(二)转化成同指数的幂此种方法主要是逆用幂的乘方的运算公式a nm =(a m )n ,将各式变形成指数相同的乘方的形式,如果指数相同,底数越大的幂越大(指数和底数都是正整数)。
例2、已知a=355, b=444, c=533,比较a, b, c 的大小。
(提示:注意到三个指数都是11的倍数,从而利用幂的乘方的运算公式a nm =(a m )n 转化成(35)11 、(44)11和 (53)11,进而根据底数的大小比较三个数的大小。
)练习:比较550与2425的大小。
(分析:先把两个数变形成指数是25的幂的形式,再比较大小。
)应用二、化简求值例1、若(a n b m b )3=a 9b 15,求2m+n 的值.(分析:根据(a n b m b )3=a 9b 15,比较相同字母的指数可知,3n=9,3m+3=15,先求m 、n ,再求2m+n 的值.)例2、若x m+2n =16,x n =2,求x m+n 的值.(分析:由题意m+n=(m+2n)-n ,则根据同底数幂的除法,底数不变指数相减得出x m+2n ÷x n =x m+n =16÷2=8.)例3、已知:2x=4y+1,27y=3x﹣1,求x﹣y的值.(分析:先都转化为同指数的幂,根据指数相等列出方程,解方程求出x、y的值,然后代入x﹣y计算即可.)例4、已知2x+5y=3,求4x•32y的值.(分析:根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算计算,本题考查了同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘的性质,整体代入求解也比较关键.)二、整式的乘法知识点一、单项式与单相式的乘法乘法法则:单项式与单相式的相乘,把它们的系数相同字母的幂分别相乘,其余连同它的指数不变,作为积的因式。
用字母表示:ax•by=abxy,其中a、b是系数,x、y是单项式。
注意点:1)积的系数等于各个因式的系数的积,通常是先确定符号,再计算其绝对值;2)相同字母相乘是同底数幂的乘法运算;3)只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式,注意不要遗漏;4)单项式乘单项式的结果仍是单项式,并且其法则同样适用于三个及三个以上单项式相乘。
例1、计算:(1)(-a m b2)•(-3a3b n c)=(2)(-3xy)•(-2x)•(−xy2)2=例2、计算(3x2y)(− 43x4y)的结果是()A、53x6y2B、−4x8y C、−4x6y2D、x6y2例3、−47x2yz • 47xy2z•(− 4916xyz2)知识点二、单项式与多项式乘法乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
用字母表示:m(a+b+c)=ma+mb+mc,其中m代表单项式,(a+b+c)表示多项式。
注意点:1)单项式乘以多项式实质就是根据乘法分配律,将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式;2)单项式与多项式相乘的结果仍是多项式,积的项数与原多项式相同;3)注意各项的符号,计算前先确定积的符号。
例1、计算:(–5a5)•(–2a3+3a2−4a)(提示:计算时,注意各项的符号,先确定符号,再计算。
)例2、计算:(-3x2y)(-2xy+3yz-1)例3、计算:(6xy2-4x2y)·3xy例4、计算:x n+1(x n-x n-1+x)知识点三、多项式与多项式的乘法乘法法则:多项式乘多项式,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式,再把所得的积相加。
字母表示:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(m,n,a,b都是单项式)注意点:1)计算时,一定要按顺序进行,不然容易出现漏项;2)两个多项式相乘,结果仍是多项式,若结果中有同类项,要合并同类项,使结果最简。
例1、计算(1)(x-a)(x2+ax+a2)(2)(x+y)(x2−xy−1)(提示:计算多项式乘多项式时要做到不漏项,能合并同类项的一定要合并)例2、化简:5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)例3、计算:(2a2-1)(a-4)(a2+3)(2a-5)例4、计算:2[(x+2)(x+1)-3]+(x-1)(x-2)-3x(x+3)知识点四、整式乘法的应用应用1、化简求值例1、求值8x2–2(x+4)(2x–1)–3x(43x–5),其中x=–2021.(分析:这种题目给出未知数的值的题型,应先尽可能的将题目化简,再代入数值进行计算。
)例2、化简求值:(−13 xy)2•[xy(2x−y)−2x(xy−y2)],其中x=−32,y=2 。
例3、已知x+5y=7,求–x2−5xy−30y的值。
(分析提示:当条件给出的是一个代数式的值,且未知数的具体值不好求出时,可以把这个代数式看成整体化简求值,这就是所谓的“整体代入法”。
)例4、试说明整式(2x+3)(6x+2)–6x (2x+13)+8(7x+2)的值与x 的取值无关。
(分析提示:欲说明代数式的值与该字母的取值无关,则只需将该代数式化简后,不含字母项即可)应用2、利用整式乘法解方程对于含有整式乘法的方程,其解方程时,想根据整式乘法运算的法则将等式两边分别计算整理(若有同类项,要合并同类项),再解方程。
例1、解方程:(x+3)(x −4)=x 2−16 .(分析:利用整式的乘法先去括号再合并同类项,移项时注意符号变化。
)例2、解方程:3x (x+2)−2(x 2+5)=(x −2)(x+3)例3、在x 2+ax +b 与2x 2 −3x −1的积中,x 3项的系数为−5,x 2项的系数为−6,求a,b 的值。
应用3、用于说明整除解整除类问题,首先利用整式的乘法对所给的式子进行化简变形,然后从中找出被整除的因数即可.例1、试说明对于任意自然数n ,n(n+7)-(n-3)(n-2)能被6整除。
三、直击中考1、若,求: M -N 的值是( )A .正数B .负数C .非负数D .可正可负四、典型题练习1、计算下列各式结果等于45x 的是( )A 、225x x ⋅B 、225x x + C、x x +35 D、x x 354+2、下列计算错误的是( )A .(x+1)(x+4)=x 2+5x+4;B .(m-2)(m+3)=m 2+m-6;C .(y+4)(y-5)=y 2+9y-20;D .(x-3)(x-6)=x 2-9x+18.3.下列计算正确的是( )A .(6xy 2-4x 2y)·3xy=18xy 2-12x 2y ;B .(-x)(2x+x 2-1)=-x 3-2x 2+1;C .(-3x 2y)(-2xy+3yz-1)=6x 3y 2-9x 2y 2z 2-3x 2y ;4、当()mn m n b 6-=- 成立,则( )A 、m 、n 必须同时为正奇数。
B 、m 、n 必须同时为正偶数。
C 、m 为奇数。
D 、m 为偶数。
5、计算2120+(-2)121所得的正确结果是( )A 、2120 B、-2120 C、-2 D、26、()()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅ac abc c 241223 7、5x(x 2+2x+1)-(2x+3)(x-5)=8、化简各式 (1)()()y x y x 2332-+ (2)(3m-n)(m-2n)(3)(-4x -y )(-5x +2y ) (4)(x +2)(x +3)-(x +6)(x -1)(5)(-5x n+1y)·(-2x) (6)x n+1(x n -x n-1+x )(7)(m-n)(m 5+m 4n+m 3n 2+m 2n 3+mn 4+n 5) (8)(2a 2-1)(a-4)(a 2+3)(2a-5)(9)(5a 3+2a-a 2-3)(2-a+4a 2) (10)(3x 4-2x 2+x-3)(4x 3-x 2+5)9、先化简y n (y n +9y-12)-3(3y n+1-4y n ),再求其值,其中y=-3,n=2.10、先化简(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x 2-7x+13),再求其值,其中x=31211、已知(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≡(x 2-3x)2+a(x 2-3x)+b ,求a ,b 的值.12、多项式x4+mx2+3x+4中含有一个因式x2-x+4,试求m的值,并求另一个因式.13、比较2100与375的大小。
14、求证:对于任意自然数n,n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除.15、证明(a-1)(a2-3)+a2(a+1)-2(a3-2a-4)-a的值与a无关。