广东工业大学管理运筹学 第5章 单纯形法

由于在这个基本解中s1=－100，s3=－150，不满足该线性规划s1≥0，
s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是 可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解
是否满足非负的条件。我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行
解，并把这样的基叫做可行基。
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运
a
j 1
n
ij
x j bi
(i 1, 2, , m )
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考虑标准形式的线性规划问题： Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 . 2 + … + a2n xn = b2 x . . am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x1 , x2 , … , xn ≥ 0
基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
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§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ
j
一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
x2+s2=400，
x2=250， 求出基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。因为此解满足非负 条件，是基本可行解，故s3可以确定为出基变量。 能否在求出基本解以前来确定出基变量呢？ 以下就来看在找出了初始基本可行解和确定了入基变量之后，怎么样的 基变量可以确定为出基变量呢？或者说出基变量要具有什么条件呢？
x= .
.
x1 x2
C= .
.
c1 c2
B= .
.
b1 b2
A= .
.
a11 a12..a1n a21 a22..a2n
. . . .
xn
cn
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bn
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am1 am2..amn
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这里，矩阵A表示为： A = ( p1 ，p2 ，…，pn ) ， 其中 pj = ( a1j ，a2j ， … ，amj )T Rm。若找到一个可行基，无防设 B = ( p1 ，p2 ，…，pm ) ，则m个基变 量为 x1 , x2 , …, xm ，n-m 个非基变量 为 xm+1 ，xm+2 ，…，xn 。通过运算，所 有的基变量都可以用非基变量来表示：
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2.旋转 (从一个基可行解转换为相邻的可行解)
若基可行解不是最优解，则需要转到一个相邻的基 可行解，并使得目标函数值增加。 所谓相邻的基可行解是指两个基可行解只有一个基 变量不同而其它的基变量都相同。 要从一个基可行解转到与它相邻的基可行解，意味 着需要将一个非基变量变成基变量，而且将一个原 来的基变量变为非基变量，前者称为换入变量，后 者称为换出变量。
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§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
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§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理 对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解， j 如果所有检验数 ≤0，则这个基本可行解是最优解。下面 我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式 z z0 j x j
(2-2)
其中 j=cj-（c1a’1j + c2a’2j + … + cm a’mj） 我们把由非基变量表示的目标函数形式称为基 B相 应的目标函数典式。
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初始基可行解
通常都是从一种特殊的基可行解出发求解LP 问题，这一特殊的基可行解称为初始基可行解。 初始基可行解对应的基，也称初始可行基，它 具有特定的形式，它是单位矩阵或者由单位矩 阵经过交换列以后得到的矩阵。相应的基变量 称为初始基变量，它是一组变量，具有特点： 共有m个变量，恰好每个约束方程包含一个变 量，且该变量的系数为1。
1 1 B3 1 0 1 0 0 为A的一个基，令这个基的 0 1
非基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
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§1 单纯形法的基本思路和原理
x2+s1≤300， x2=400，
x2+s3=250.
求解得到此线性规划的一个基本解： x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150
从最优解判别定理知道，当某个σ j＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基
变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σ j＞0，则为了使目标函数
增加得更大些，一般选其中的σ j最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ 2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
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§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一
的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。 在此例中我们不妨找到了
x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250.
在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中x2的为正的系数除 对应的常量，得
b1 300 300, a12 1
b2 400 400, a22 1
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以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变
量xi的检验数记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标
函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知
b3 250 250. a32 1
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§1 单纯形法的基本思路和原理
其中
b3 T 的值最小，所以可以知道在原基变量中系数向量为 e3 0, 0,1 a32
的基变量s3为出基变量，这样可知x2，s1，s2为基变量，x1，s3为非基变量。 令非基变量为零，得 x2+s1=300, x2+s2=400, x2=250. 求解得到新的基本可行解x1=0,x2=250,s1=50,s2=150. 这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25000。 显然比初始基本可行解x1=0,x2=0,s1=300,s3=250时的目标函数值为0要好 得多。 下面我们再进行检验其最优性，如果不是最优解还要继续进行基变 换，直至找到最优解，或者能够判断出线性规划无最优解为止。
解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
通过第二章例1的求解来介绍单纯形法: 在加上松弛变量之后我们可得到标准型如下：
目标函数： max 50x1+100x2
约束条件：x1+x2+s1≤300， 2x1+x2+s2≤400，
x2+s3≤250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
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x1=b’1-（a’1m+1xm+1+a’1m+2xm+2+…+a’1nxn） x2=b’2-（a’2m+1xm+1+a’2m+2xm+2+…+a’2nxn）
.` . .
xm=b’m-（a’mm+1xm+1+a’mm+2xm+2+…+a’mnxn） （2-1）
把它们代入目标函数，得 z = z’+m+1xm+1+m+2xm+2+…+nxn
矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向
量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
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§1 单纯形法的基本思路和原理
基本概念。
基： 已知A是约束条件的m×n系数矩阵，其秩为m。若B是A中m×m阶非 奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B是线性规划问题中的一个基。 基向量：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。 非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。 基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。