第五节反常积分

0 1 x 2
02 2
arx c1 s0应 in 理 lim 解 arc 1 为 s ) ia nr (0 c. sin
0
0
y
y 1 1 x2
(0, 1)
1
o 1 1 x
反常积分 1 1 dx 在几何上表示由曲线 y 1 ，
0 1 x2
1 x2
x 轴，y 轴及直线 x 1所围成的开口曲边梯形的面积.
0
(11x2)2dx
2
0
sec2 sec4
t t
dt
2 co2stdt
.
0
4
通 过 换 元 把 反 常 积 分 化 为 常 义 积 分 .
收 敛 的 反 常 积 分 的 计 算 有 与 定 积 分 完 全 类 似 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 .
5.2 无界函数的积分
定义 5.2 设函数 f 定义在区间 (a,b] 上， f 在 a 附近无界，并对
ln(ba)lim ln . 0
故
b dx a (x a)p
当
p 1时收敛；当
p 1时发散.
5.3 无穷区间上积分的审敛准则
例 6．计算 1 1 dx . 0 1 x2
解：∵ lim 1 ， x1 是瑕点. x1 1 x 2
∴ 1
1
1
dx lim
1 dx
0 1 x2
0 0 1 x 2
lim arcxs1i nlim [arc1s) i0 n]a(rcsin1.
0
0 0
2
简 :1 解 1 d x arx c 1 0 si n 0.
xc
a
c
收敛，则称这两个反常积分之和为 f ( x) 在区间[a,b]上
的反常积分，记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
c
b
a f ( x)dx a f (x)dx c f (x)dx
⑥
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散.
上述三种无界函数的反常积分，又称为瑕积分.其中函数
的无穷间断点称为瑕点.
第五节反常积分
注意
只有当③式右端两个积分都收敛时，
f ( x)dx 才收敛，否则就发散.
试问:“因s为 ixn 是奇,(函 , 数 ) 是对,称区
所 以 sinxdx0.”这一说法是否正确 ?
由 于 sixd n xlim bsixd n xlim(1cobs),
0
b 0
敛，此时，称该极限为无界函数 f 在 (a,b] 上的积分的值；若极
限不存在，则称该积分发散.收敛与发散统称为敛散性。
类似， 设函数 f ( x)C[a,b) ，且 lim f ( x) ， 取 0 ，
xb
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间[a,b) 0 a
aar li c x m a t a r应 cnx ta 0 a 理 n x bl li 解 m m a a r r为 cc xx t tb a 0 xl an im n a rc x.tan
lim (0ara c) tla im (narb c0 )tan
a
b
0()0.
22
b
此 极 限 .故 不 f存 (x)dx 在 是 发 的 ,上 散面 说.法
例 2．计算反常积分
1
1 x
2
dx
.
简 解 ：a l: i m 解 1 1 a 0 11 x1 x 21 2 dx d x2 x d x a 0b l1 ir 1m xx 20 b c d 1 x 1 x t2 2 d 0a x ( 1 n 12 x) 2 dx .
例 7.讨论
1 1
1 x2
dx
的敛散性.
解：∵ lim
x0
1 x2
，∴
x 0
是瑕点.
为此要 01x 考 12dx与 察0 1x12dx的敛.散性
∵
0 1
1 x2
dx
1 x
00 1
,
∴反常积分
1 1
1 x2
dx
发散.
错解: 1 1 dx 1 1 2.
1 x 2
x 1
3
例 9．计算反常积分： 2
上的反常积分，
记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim
f ( x)dx
a
0 a
⑤
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散.
设函数 f ( x) 在区间[a,b]上除点 c(a,b) 外连续，
且 lim f ( x) ，若反常积分 c f ( x)dx 与 b f ( x)dx 都
任意的 0 ， f 在[a ,b]上 Riemann 可积，则称
lim b f (x)dx 为无界函数 f 在 (a,b] 上的积分，记作
0 a
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
0 a
若极限 lim b f (x)dx 存在，则称无界函数 f 在 (a,b] 上的积分收 0 a
dx
.
1 x2 x
解：∵ lim 1 ， ∴ x1 是瑕点. x1 x 2 x
3 2
dx
3
2
dx
1 x 2 x 1 (x 1)2 (1)2
22
ln x2xx1
3 2
2 10
ln( 31)ln1 ln(2 3).
2
2
例 10.讨论积分 b dx (a b, p 0) 的敛散性.
例
3.计算
e
x
1 ln
dx x
.
解：
e
1 x ln
dx x
e
1 d(ln ln x
x)
lnlnx , e
故原反常积分发散.
反常积分和常义积分计算方法相同，反常 积分代限有三句话：“能代则代之，代不了则 取极限，极限不存在则积分发散.”
例 4.讨论反常积分
a
dx xp
(a
0)
的敛散性.
解 ： 当 p 1 时 ，
ax dx px 11 p p a (p1 1 )a p,1,pp 11.
当 P 1 时 , d x d xln x .
a xp a x
a
故
a
dx xp
当
p1 时收敛；当
p1 时发散.
例 5．计算
0
(1
1பைடு நூலகம்x2
)2 dx
.
解：令 xtant ， dx sec2 tdt ，
a (x a)p
解：当 p1时，
l im 0 a b (x d x a )p l im 0 (x 1 a p )1 pa b l im 0 (b 1 a p )1 p 1 1 p p
(b a)1 p
, p 1
1 p
.
, p 1
当 p 1 时 ,l im 0 a b x d x a l im 0 ln (x a )b a