第六节多元函数的极值与最值
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
多元函数极值与最值课件
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
06第六节多元函数的极值及其求法.docx
第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元两数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★引例★二元函数极值的概念例1・3★极值的必要条件★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤★例4★例5★求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格郎H乘数法★例12★例13★例14★例15★例16*数学建模举例★线性冋归问题★线性规划问题★内容小结★课堂练习★习题6-6内容提要：一、二元函数极值的概念定义1设函数z = /（兀刃在点（勺,北）的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于（兀°,%）的任意一点（兀,刃，如果/（兀，刃 </（兀0，%），则称函数在（兀（）,儿）有极大值；如果/（兀，刃>/（兀0，%），则称函数在（心,北）有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数z = /（X, y）在点（兀0，北）具有偏导数，.目.在点（兀0，）；0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即f x（无），y（））= 0, f y（心,y（）） = 0. （6.1）与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件)设函数z二f(x,y)在点(兀,儿)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又人(心儿)"'人(兀0』0)=。
•令f xx(x Q,y Q) = A, 4(x0,j0) = B, /,v(x0,y0) = C.(1)当AC-B2> 0时,函数/(x,y)在(兀°,%)处有极值,且当A >0时有极小值/(x0,y0)；A < 0时有极大值/(勺,儿);(2)当AC-B2< 0时，函数f(x,y)在(兀(),儿)处没有极值；(3)当AC-B2= 0时，函数f(x,y)在(兀0，凡)处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数/(x,y)具有二阶连续偏导数，则求z = /(兀』)的极值的一般步骤为：第一步解方程组久(兀,〉，)=0,人(兀,刃=0,求出/(x,y)的所有驻点；第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x, j)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数/(兀,刃的最大值和最小值的一般步骤为：(1)求函数/(X, y)在D内所有驻点处的函数值；(2)求/(x, y)在£>的边界上的最大值和最小值；(3)将前两步得到的所有函数值进行比较，其屮最大者即为最大值，最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如杲根据问题的性质，可以判断出函数/(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得，而函数/(x,y)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x, y)和0(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z = fg刃在D内满足条件gy) = 0的极值问题，可以转化为求拉格朗H函数L(x, y, 2) = f (x, y) + A(p(x, y)(其中2为某一常数)的无条件极值问题.于是，求函数z = /(兀』)在条件°(九刃=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1)构造拉格朗H函数L(x, y, A) = f(x, y) + y)其屮2为某一常数;(2)由方程组L x = f x (兀,y)+九<Px (兀,y) =0, < L y = f y (x, y) + A(p y (兀,y) =0,L 入—0(兀,y) = 0解出x,y,A,其中x』就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗tl乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：四、数学建模举例例题选讲:二元函数极值的概念例1 (E01)函数z = 2x2 +3y2在点(0, 0)处有极小值.从几何上看，z = lx1 + 3y2表示一开口向上的椭圆抛物而，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-1).例2 (E02)函数z二-+ >,2在点(0,0)处有极大值.从几何上看，z二-+ >,2表示一开口向下的半圆锥面，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-2).例3 (E03)函数z = /-x2在点(0,0)处无极值.从儿何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3)例 4 (E04)求函数/(x, y) = ? - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x的极值.解先解方程组解得驻点为(1,0), (1, 2), (-3,0), (-3, 2).再求出二阶偏导数(x,y) = 6x + 6, f xy(x,y) = 0, f yy Xx,y) =-6y + 6.亠一 9 [ fXx,y) = 3x 2 +6x-9 = 0在点(1,0)处，AC — B 2=12・6>0,又彳 9, A>0,厶a )2-3),2+6)=0故函数在该点处有极小值/(1,0) = -5; 在点(1,2)处，(-3,0)处，AC-B 2=-12-6<0,故函数在这两点处没有极值；在点(-3, 2)处，AC-B 2=-U-(-6) >0,又A v0,故函数在该点处有极大值/(-3,2) = 31.例5证明函数z = (1 + e y )cosx-ye y 有无穷多个极大值而无一极小值.又 A = z ：. =-(l + o' )cos 七 B = z xy =-e y sinx, C = z ；. =e y (cosx-2-y). 在点(2砸,0)g z)处,4 = 一2, B = 0, C = -l, AC-B 2=2>0t又A v 0,所以函数z 取得极大值；在点(⑵2 +1)龙,一2)仇w Z )处,A = 1 + 0-2, B = 0, C = —0-2, AC-B 2 = -e~2-e _4<0,此时函数无 极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6求函数/(兀,刃=兀2-2兀y + 2y 在矩形域D = {(x, y) | 0 < x < 3,0 < y < 2}上的最大值和最小值.解 先求函数f(x,y)在D 内驻点.由f x = 2x-2y = 0, f y =-2x + 2 = 0求得/在D 内部 的唯一驻点(1, 1),且/(1J) = 1.其次求函数/(兀,刃在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段厶 —在厶上y = 0, /(x,()) = /,()5x53.这是x 的单调增加函数，故在厶上f 的最大值为 /(3,0) = 9,最小值为 /(0,0) = 0.同样在厶2和厶4上/也是单调的一元函数，易得最大值、最小值分别为/(3, ()) = 9, /(3,2) = 1 (在厶2 上)，/(0,2) = 4, /(0,0) = 0(在厶4 上)，而在厶上〉，=2, /(x, 2) = X 2-4X + 4, 05兀5 3,易求出/在厶上的最大值/(0,2) = 4,最小值= -(l + e v )sinx = 0= e?v (cosx-l-y) = 0 x = k 兀 尸(_护_1伙wZ )・/(2, 2) = 0.将/在驻点上的值/(1,1)与厶，厶2上3，厶4上的最大值和最小值比较，最后得到/在D上的最大值/(3,0) = 9,最小值/(0,0) = /(2,2) = 0.例7求二元函数z = /(x, y) = x2y(4 -x- y)在直线x + y = 6 , x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，解方程组/；(兀,y) = 2xy(4-x-y)-x2y = 0f；(x, y) = x2 (4-x- y) - x2 y = O'得唯一驻点(2,1),且/(2,1) = 4,再求/(兀,y)在D边界上得最值，在边界兀 + y = 6上，即y = 6 —兀,于是/(x,y) = x2(6-x)(-2),由f； - 4x(x一6) + 2x2 = 0,得x} - 0, x2 - 4 i > y = 6 - x = 2,而/(4,2) = -64,所以/(2,1) = 4为最大值，/(4,2) = -64为最小值.例8求函数/(x,y) = 3x2 + 3y2一/在区域D:x2+y2 <16±的最小值.解先求/(x, y)在D内的极值.由= 6兀一3x2, fy(x,y) = 6y,解方程组］& - 3” = 0得驻点©()),(2, 0).由于6y = 0f： (0,0) = 6, £； (0,0) = 0, f；y (0,0) = 6,龙(2,0) = -6, (2,0) = 0, f；y (2,0) = 6.所以，在点(0, 0) ^bB2-AC = -36<0, A = 6>0,ttffi (0, 0)处有极小值/(0,0) = 0.在点(2,0)处B2-AC = 36>0,故函数在点(2,0)处无极值.再求f (x, y)在边界x2 +y2 = 16上的最小值.由于点(x, y)在圆周x2 +y2 = 16上变化，故可解出y2=16-x2(-4<x<4),代入/'(x,y)中，有z = /(x,y) = 3x2 + 3>,2一兀3 = 48-x3(-4 <x< 4),这时z是兀的一元函数，求得在|~4,4］上的最小值z'=4 =-16.最后比较可得，函数/(x, y) = 3x 2 + 3y2 -?在闭区间D 上的最小值/(4,0) = -16.例9求z=「7 的最大值和最小值.x+b+i （宀于+］）_2曲+刃二（兀2 +），2+1）_2）心+刃 —（宀 3）2 -，△ - ―（X 2+^2+1）2因为lim 厂弓 =0,即边界上的值为零.又 口 +y +1例10 (E05)某厂要用铁板做成一个体积为2加3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解 设水箱的长为”,宽为艸,则其高应为2/xym.此水箱所用材料的面积此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点(兀,y). 令人=2 y ——-=0, A v = 2 x ——T =0.解这方程组,得唯-•的驻点x = V2, y = V2.根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点.因此当水箱的长为呵”、宽为呵川、高为甘乖=臥时，水箱所用的材料最省.注：体积一定的长方体小,以立方体的表面积为最小.例11 (E06)设s 为商品A 的需求量，§2为商品3的需求量，其需求函数分别为q } = 16-2p )+4/?2，?2 = 20 + 4门 一10/?2,总成本函数为 C =2q 2,其中 M ，% 为商 品A 和B 的价格，试问价格卩,必取何值时可使利润最大?2 2、（2 2） 初+ y ——+ %—=2 与 + _ + _ 1 厂 小 （兀y ） A =2 （x > 0, y >0）.=0,解得驻点丄_LJi'近/ 血丿‘1r解按题意，总收益函数为R = P4 + P 2q 2 = 〃|(16-2#|2-+4/?2)+ 卩2(20 + 4/?| -IO%)，于是总利润函数为L = R_C = q 、(P\_3) + q2(P2 _2)-3)(16-2刃 + 4”2)+ (卩2一2)(20 + 4p -10卩2)・为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：- = 14-4/?! +8血=0,学=4(。
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
多元函数的极值与最值
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
多元函数的极值与最值
=0
不能确定的
5. 极值的充分条件
并设：A = fx′′x (P0 ), B = fx′′y (P0 ),C = f y′′y (P0 ),则：
B2 − AC A <0
<0 >0
>0
f (P0 )是 极大值
极小值 非极值
=0
不能确定的
例1 求 f ( x, y ) = x 2 + y 2的极值。
A B2 − AC
Pi是 f (Pi )是
P1 −12
72 驻点 非极值
P2 −12 − 72 极大值点 极大值
P3 12 − 72 极小值点 极小值
P4 12 72 驻点 非极值
6. 极值的充要条件举例
例3 设 z = f ( x, y ) = x 2 + xy + 2 y 2的极值。
令
令
解：z′x = 3x + y = 0且z′y = x + 4 y = 0
令
令
解：f x′ = 3x2 + 6x − 9 = 0且f y′ = −3 y 2 + 6 y = 0
⇒ P1(−3,0), P2 (−3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 A = f x′x′ = 6x + 6, B = f x′y′ = 0, C = f y′′y = −6 y + 6
7. 多元函数的极值（广义的定义）
f 在顶点A、B、C、D处有极大值
z
B
A
C
D
z=f(x,y)
0
y
x
7. 多元函数的极值（广义的定义）
D是尖点，f 在点D处有极大值
8.6多元函数的极值与最值ppt课件
将条件极值问题转化为求F( x, y, )的无条件极值。
2)、求解方程组：FFxy
f x x f y y
0 0
F ( x, y) 0
可能极值点( x, y)
和乘数
3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.
;
11
例： 某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为 x, y台时，总成本函数：C( x, y) x2 xy 2 y2 , 如果两种 机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
注1：称使f x( x0 , y0 ) 0，f y( x0 , y0 ) 0的点为f ( x, y)的驻点。
注2：二元函数的极值点必是驻点或一阶偏导不存在的点，
因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。
例 求函数f ( x, y) 3x2 4 y 2的极值。
解：
f x
6x
称f ( x0 , y0 )为f ( x, y)的最大值(或最小值).
相应的点为f ( x, y)的最大值点(或最小值点).
注1：若区域D为有界闭域，先求出f(x,y)在D内的全部驻点
的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域D
边界上驻点的函数值，再比较大小，其中最大者为最大值，
最小者为最小值。
所以当两种机器各生产5台; 和3台时总成本最少。
12
例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。
解：目标函数：C( x, y) xyz
约束条件：( x,
y)
x
y
z
12
0
令F( x, y, z, ) xyz ( x y z 12)
第六节多元函数的极值与最值
(2)求偏导
F f 0
x x x
令
F f 0
y y y
解得 (x, y) 及
F
0
(3)判断求出的点(x, y) 是否为条件极值点,
通常都是根据问题本身的实际意义确定.
例6 设长方体三边长度之和为a,试问三边
各取什么值时所得长方体的体积最大?
解 设三边长度各为 x, y, z 体积为V
A f xx ( x0 , y0 ) B fxy ( x0 , y0 ) C f yy( x0 , y0 ) D B2 AC
(1)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极大值点 (2)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极小值点 (3)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不是极值点
D B2 AC 9 36xy
对 (0,0) D 9 0 不是极值点
对 (1,1) D 27 0 且 A 6 0是极小值点
此时极小值为 f (1,1) 1.
补充 求 f (x, y) x2(2 y2 ) y ln y 的极值.
(2009年考研真题9分)
解 zx 2x(2 y2 ) zy 2x2 y ln y 1
(4)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不确定.
例1 求 z x3 y3 3xy 的极值.
解 zx 3x2 3 y zy 3 y2 3x
令
zx 3x2 3 y 0
zy 3 y2 3x 0
解得 (0,0) (1,1)
A zxx 6x B zxy 3 C zyy 6 y
令
zx
2x(2
y2)
0
zy 2x2 y ln y 1 0
解得 (0, 1 )
e
多元函数的极值与最值
第二步 判别.
求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
在点(1,0) 处
A
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
-5-
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不是极值; 不是极值;
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
B
C
-6-
例2.讨论函数
及
是否取得极值.
显然(0,0)解都:是它们的驻点 ,
在点(0,0) 并且在 (0,0) 有
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
60, x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,
而在域D 内只有
一个驻点,
故此点即为所求.
- 13 -
三、条件极值
极值问题
无条件极值: 条件极值:
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
断定此唯一驻点就是最小值点.
即当长、宽均为
高为
3
2 23
2
3
2
- 11 -
时, 水箱所用材料最省.
因此可
32
例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它折起来做成
6多元函数的极值和最值.pdf
2.极值的必要条件
定理 1（必要条件）设函数 z f x, y 在点 x0, y0 具有偏导数，且在 点 x0 , y0 处有极值，则有
fx x0, y0 0, f y x0, y0 0 . 仿照一元函数，凡是能使 fx x0 , y0 0, f y x0 , y0 0 同时成立的点 x0, y0 称为函数 z f x, y 的驻点.从定理 1 可知，具有偏导数的函数的极 值点必定是驻点.但函数的驻点 不一定是极值点，例如，点 0, 0 是函数
1. 二元函数的极值定义
备注
定义 设函数 z f x, y 的定义域为 D ， P0 x0, y0 为 D 的内点.若存
在 P0 的某个邻域U P0 D ，使得对于该邻域内异于 P0 的任何点 x, y ，都
有
f x, y f x0 , y0 ，
0
x
12,
0
2
.
下面求使上述函数取得最大值的点 x, .
令
Ax 24 sin 4x sin 2x sin cos 0
A
24x cos
2x2
cos
x2
cos2 sin2
,
0
由于 sin 0, x 0 ，上述方程组可化为
得最大值和最小值.这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在 D 的内部， 也可能在 D 的边界上.我们假定，函数在 D 上连续、在 D 内可微且只有有限 个驻点，这时如果函数在 D 的内部取得最大（小）值，则这个最大（小）值
多元函数的极值与最值
第八章
第六节 多元函数的极值与最值
一、多元函数的极值 二、多元函数的最值 三、条件极值 四、小结与思考练习
一、 多元函数的极值
定义 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. z
例如.
在点 (0,0) 有极小值;
但 f (x, y) x2 y2 在 (0, 0) 不取极值.
f (x,0) x2
y
0
f (0, y) y2
x
0
2.课本习题8.7(B), 五题
设方程 x2 6xy 10 y2 2 yz z2 18 0 确定隐函数
z f (x, y) ,求其极值.
解答.z 2x 6 y 0,
36
所以, z(x, y) 在 (9,3) 达到极小值 : 3;
2.课本习题8.7(B), 五题
设方程 x2 6xy 10 y2 2 yz z2 18 0 确定隐函数 z f (x, y) ,求其极值.
解答. 类似地,
A
2z x2
1 0, B 2z
6
xy
1 2
,C
2z y 2
分析.
利用可微与偏导数之间的关系、偏导数的定义,
以及取得极值的必要条件.
二、多元函数的最值
例3 求函数f ( x, y) x2 y2 2在D {( x, y) x2 y2 1}
4
上的最大值和最小值. (2005年考研数二)
分析. 先求开区域内的极值, 再求区域边界上的极值,
从中选取最值.
y, y,
z) z)
x2 x2
y2 xy
第六节多元函数的极值与最值
代入目标函数,化为无条件极值问题： x y
10
目标函数化为： S 2( xy V V ) , x 0, y 0 xy
令
S
x
S
y
2( y 2( x
V x2 V y2
) )
0 0
,
求得唯一驻点 x y 3 V 从而 z 3 V ,
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题. 例7 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则 目标函数： S 2( xy yz zx) ,
g( x, y, z) 0 , h( x, y, z) 0 ,
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z;, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) h( x, y, z) .
f x ( x, y, z) gx ( x, y, z) hx ( x, y, z) 0
令
L ( p x)( p y)( p z) (x y z 2 p)，
Lx ( p y)( p z) 0
令
Ly
Lz
( p ( p
x )( x )(
p p
z) y)
0 0
,
x y z 2 p
即做成正三角形时面积最大.
解得唯一驻点
x y z 2 p， 3
20
31
L 80x 4 y 4 (3x 10 y 2000)，
1 1
Lx 60x 4 y 4 3 0
由
3 3
Ly
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一、二元函数极值
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定 义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y) ：若恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极大值； 若恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
z2 6,
8
二元函数的最值
若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值), 而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断 定该极大(小)值点即为最大(小)值点.
例 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2， 数量为x；而B 的单价为1，数量为y，而产量为
( x0, y0 ) 处 有极 值， 则它 在该点 的偏 导数 必然 为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y( x0 , y0 ) 0 .（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
3
定理2（充分条件）
将上方程组再分别对x, y 求偏导数,
7
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
C
zyy
|P
2
1
z
,
故
B2
AC
(2
1 z)2
0
(z 2),函数在P 有极值.
将P(1,1)代入原方程, 有z1 2,
当z12时，A1来自40,所以z f (1,1) 2为极小值；
当z2
6 时， A
1 4
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1）AC B2 0时具有极值，且当A 0 时有极大值，
当 A 0时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值； （3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
4
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
32 p1 12 p2 0.2 p12 0.05 p22 1396 ,
Lp1 Lp2
32 0.4 p1 12 0.1 p2
0 0
p1 p2
80 120
,
因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，
故当 p1 80, p2 120 时，利润最大。
11
二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题. 例 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则 目标函数： S 2( xy yz zx) ,
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
令 f xx( x0, y0 ) A ， f xy( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
小值. 使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
1
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2
极值的求法
定理1（必要条件）
设 函 数 z f ( x, y) 在 点( x0, y0 ) 具 有偏 导数 ，且 在点
极小值-5
(3, 2) 12 0 6
(1, 2) 12 0 6
极大值31
无极值
6
例 4 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y
4z 10 0确定的函数z f ( x, y)的极值
解 将方程两边分别对x, y 求偏导
2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
z 20 x2 10x 2 y2 5 y ，
且商品售价为5,求最大利润. 解 利润函数为
L( x, y) 5(20 x2 10x 2 y2 5 y) 2x y
9
L( x, y) 5(20 x2 10x 2 y2 5 y) 2x y
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
5
例 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值.
例 设两种产品的需求量Q1 ,Q2 分别为Q1 24 0.2 p1 ， Q2 10 0.05 p2 ( p1 , p2 为其价格),总成本为 C 35 40(Q1 Q2 ) ,问如何定价，才能获取最大利润？
解： L( p1 , p2 ) p1Q1 p2Q2 C(Q1 , Q2 )
约束条件：V xyz , z V ， z xy
代入目标函数,化为无条件极值问题： x y
12
目标函数化为： S 2( xy V V ) , x 0, y 0 xy
令
Lx
Ly
10x 20x
48 24
0， 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
AC B2 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
10
解
令
f x 3 x2 6 x 9 0
f
y
3
y2
6
y
0
x 3, 1 y 0, 2
求得驻点：(3,0),(1,0),(3,2),(1,2) ,
二阶偏导数为： fxx 6x 6, fxy 0, f yy 6y 6 ,
A B C AC B2
f
(3, 0) 12 0 6
无极值
(1, 0) 12 0 6