高中奥林匹克数学竞赛-欧拉定理、费马小定理、孙子定理

欧拉定理、费马小定理、孙子定理

函数；

互质的个数，称为欧拉中与，，，是个有互质，这样的同余类共中每一个数均与互质，那么与如果个剩余类有，则模、设m m m m m M m i m i Z k km i M m m m i i 21)(,)(1

,,2,1,0},|{01

);(m od 1,1),(12)(m a m a m m 则，、欧拉定理：设

k

i m M M m b M M b M M b M M x m b x m b x m b x m m m m m M k i M m m m m m m k m m m p p p n n p p p n n p a a p m ax m x m a i i m a a m a a a m m a a a m m i i i k k k k k k i i i i i k k k

k p i i m m k ,,2,1),(mod 1)

(mod )

(mod )(mod )(mod ,),,,2,1(,,6)1

1()11)(11()(5);

(mod 4,1),()3();

(),(mod )()2()()1(3''22'

211'12211112121212121212121

其中有唯一解则同余方程组

设个两两互质的正整数，是、、、孙子定理：设，则：

的标准分解为：、若为素数，则、费马小定理：若的缩系；也是通过模的缩系，则是通过模且、若的充要条件是的一组缩系是模、、互质的整数，则个与是、、、若个数；

的一组缩系含有、模、缩系的几种性质：

）（ 原命题成立；上式不成立，则有：

也是一组完全剩余系，另一方面又同理有：：

的一组完全剩余系，则是、、证：的一组完全剩余系。不是、、求证：，的一组完全剩余系，且分别是、、和、、、设例

,2

0|2)(mod 2

)()()

(mod 0)(mod )()(mod 2

)(mod 22)1(|211

1

1

11

2122112121n n

n n n

b a b a n n n b a n n

b n n

n n i a n a a a n b a b a b a n n b b b a a a n

i i i i i n

i i i n i i n

i n i i n n n n n

}

{}32{1,,,1),(mod 1321),(mod 122)(3

2,,,,}32{}32{21211)()

((()(1)(12121212121i n k k i u u u i u u u u u u u u u k k n n u k u u u u k

i u k

i u x u u u u k k k k k 互素的无穷子数列中一定有一个任意两项数列依此方法一直下去项两两互素的子数列，是、数列＝理有：

是欧拉函数，由欧拉定其中作项是两两互素的，记为中已有证明：设数列其中任意两项互素；中有一个无穷子数列，、证明：数列例））

)11()(321,2,1)(,2,1),(,2,13111p

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 互质其他的数均与个共有，，，，的倍数有：中是在又互质，并求中有多少个数是与问题即为：为素数

解为素数。互质，并求中有多少个数是与、在例

不可能成立；

【练习】证明：n 4

1

)4(

1

|2401

|531653161

|51

|31

),5(,1),3(16422)1)(1)(1(1111,1,1)

1)(1)(1(1,72401744442242244 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 两两互素，则与，又费马小定理有：又整除＝能被是相邻的偶数，则：

和均为偶数，且又是奇数

素数证：整除；能被时，、证明当素数例

)(,|273013N n n n 【练习】证明：

j

i l n m q p q p n k m k p q q a n k p

p a m k a N k k a a p a a p q p q p n m l q p j i p n p m n m l n k m k k n m j i j i

l j i l ,11),111(),111()11,(),111()11,(),111(|11),(,111)11(mod 1)

(mod 0,1)11,(,

11|11,|11,,11,11111111115即：＝也不成立

同理，产生矛盾，假设不成立＝另一方面：又且使得：，整数由孙子定理有：存在正假设，只需证明，使为证明存在某个整数为非负整数，且其中证：设。，使在某个整数的最大公约数，证明存具有相同与和与，意自然数是自然数，满足：对任和、设例

某个素数平方所整除。

，即能被个都含有二重的素因子个连续整数，使得每一【练习】是否存在1000000

不可能成立假设不成立上式不成立，左边是一个奇数，上式右边是一个偶数，

又即：即：为奇质数，则：

设n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n p p p p p p n k k k k k k

k k k k k k k k k k 4

1

)4()

1()1)(1(4)

1()1)(1(22)1()1)(1(2241)(,,),2(,221212111

21121222112121212121212

1212

1

)

(|2730137532),(137532)(|2),(|3),(|5),(|7)(,)(,)(,)(,)()

1)(1)(1)(1)(1()

1)(1)(1()

1)(1(),

(|13),(,)(1375322730)

(,|273043212433527162263366131313n f n f n f n f n f n f n f n n n f n n n f n n n f n n n f n n n n n n n n n n n n n n n n n n f N n n n n f N n n n 两两互素，故，，，，且均整除，，，，即由费马小定理可知：的因式

都是故由于可知则由费马小定理，，若记＝证明：【练习】证明：

个连续整数；

的则可得到满足条件要求取子，即有每个都有一个二重素因个连续整数则存在一解，设此解为定理，下列同余式组

个相异的素数，由孙子是证明：令某个素数平方所整除。

，即能被个都含有二重的素因子个连续整数，使得每一【练习】是否存在1000000,1000000|,,2,1)

(mod )

(mod 2)(mod 1,,1000000222

2

2121 s i n p s n n n s n

p s x p x p x s p p p i s s