《机械优化设计》第一章 优化设计概述

f ( x) W1 f1 ( x) W2 f2 ( x) ... Wq f q ( x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
求设计变量 x [ x1 x2 xn ]T , xn ) min , l) 使目标函数f ( x) f ( x1 , x2 , 和g j ( x) 0( j 1, 2, , m)
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
l
θ
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第三节 优化设计问题的数学模型
优化问题的几何解释： 无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心； 等式约束优化问题：设计变量x的设计点必须在 所表示的面或线上，为起作用约束。 不等式约束优化问题：可行点 g ( x) 0
h( x) 0
非可行点
边界点
g ( x)>0
g ( x) 0
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化问题的几何解释：
第一章 优化设计概述
第四节 优化设计问题的基本解法
数学解析法：
把优化对象用数学模型描述出来后，用数学解析法（如微分法、变分法等）来 求出最优解。
图解法：
直接用作图的方法来求解优化问题，通过画目标函数和约束函数的图形，求出 最优解。特点是简单、直观，但仅限于n≤2的低维优化问题的求解。
优化设计问题的数学模型的三要素：设计变量、目 标函数和约束条件。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数， 称为设计变量。
设计变量向量：
x [ x1x2
xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。 连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
2 1 2 2 1 2 2
2 F B 2 h2 得到m(h) y h
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
dm 2 F d B 2 h 2 2 F B2 求导 ( ) (1 2 ) 0 dh y dh h y h 解得h* B 152 cm 76cm 2 2F 代入D表达式D* 6.43cm T y 4 FB
g1(X)
O
g2(X)
X1
2 2 min f ( X ) ( x 2 ) ( x 5 ) 练习2：已知优化问题 1 2 2 2 s.t.g1 X 16 x2 x1 0
g2 X 2 x1 x2 0 g3 X x1 0 g4 X x2 0
得m*
y
8.47kg
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
作图法：
等值线（面）：函数f(x)的值依次为一系列常数ci时，变 量x取得的一系列值的集合。 •等值线越往里，函数值越小; •等值线愈稀疏说明目标函数值的变 化愈慢； •无约束时,等值线族的共同中心就是 函数的极小值。 求极值就是求等值线的中心！
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的 函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束 条件（或称设计约束）。
数值迭代法：
依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它具有一定逻辑结构并按一定格式反 复迭代计算，逐步逼近优化问题最优解的一种方法。不仅可以用于求解复杂函
数的优化解，还可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。
图解法
例1：求下列二维优化问题的最优解
2 min f ( X ) x12 x2 4 x1 4
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
人字架的优化设计问题归纳为 求x=[D h]T 使质量m(x)→min 满足强度约束条件 ( x) y 和稳定约束条件 ( x) e

第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
F1 F ( B h ) A TDh Fe 2 E (T 2 D 2 ) 钢管的临界应力是 e A 8( B 2 h 2 ) 钢管所受的压应力是
2 1 2 2
根据强度约束条件有
F (B h ) y TDh
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
2 min f ( X ) x12 x2 4 x1 4
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
建立优化的数学模型，在计算机上求得的解，就称为优 化问题的最优解，它包括：
* * 1）最优方案（最优点）： x* [ x1 , x2 , * T , xn ]
2）最优目标函数值： f ( x* ) min f ( x)
第一章 优化设计概述
单目标函数优化问题：在最优化设计问题中，可以只有一 个目标函数。 多目标函数优化问题：当在同一设计中要提出多个目标函 数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。
f1 ( x) f1 ( x1 , x2 , , xn ) f 2 ( x) f 2 ( x1 , x2 , , xn ) f ( x) f ( x , x , , x ) q 1 2 n q
g ( x) 0 的一侧
hk ( x) 0(k 1,2,
g j ( x) 0( j 1, 2,
, l)
, m)
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
目标函数（评价函数）：在优化设计中，把设计目
标（设计指标）用设计变量的函数形式表示出来，这个 函数就叫做目标函数，用它可以评价设计方案的好坏， 所以它又被称作评价函数。
2 2 1 2 2
1 2 2
F (B h ) 2 E (T 2 D 2 ) 根据稳定约束条件有 TDh 8( B 2 h 2 )
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
人字架总质量 m( D, h) 2 AL 2TD( B 2 h ) 刚好满足强度条件 ( D, h) y 导出D F (B h ) 代入式m( D, h)中 T y h
练习1：求下列二维优化问题的最优解
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
X2
s.t. g ( X ) x 0 1 1
g2 ( X ) x2 0
g3(X) （2，2） h (X)
g3 ( X ) x12 x22 4 0
h( X ) x2 0.5x1 0
第三节 优化设计问题的数学模型
建立数学模型要求：
1）希望建立一个尽可能完善的数学模型，精 确的表达实际问题；
2）力求所建立的数学模型尽可能的简单，方 便计算求解。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
例：现用薄板制造一体积5m3，长度不小于4m的无上盖的立 方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的 长、宽和高的尺寸。（写出该优化问题的数学模型） 例：有一块薄板，宽度为24cm，长度为100cm，制成如图所 示的梯形槽，问斜边长l和倾角θ为多大时，梯形槽的容积最 大。（写出该优化问题的数学模型）
f ( x) f ( x1, x2 ,
f ( x) f ( x1, x2 , , xn ) min
, xn )
f ( x) f ( x1, x2 , , xn ) max
f ( x) f ( x1, x2 ,
, xn ) min
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
第一章 优化设计概述