最短距离问题分析

例3图

最短距离问题(课时一)

课题说明：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）和利用一次函数和二次函数的性质求最值。 教学流程：

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最

小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这

一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一

模型。

几何模型： 1.立体图形中，表面折点距离最短问题。

2.平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。

模型应用：

例1.如图1，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只

蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．

图

1 图3

例2．如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．则PB PE +的最小值是___________；

变式1．如图3所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

变式2．如图4，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，

求PA PC +的最小值； 熟能生巧：

1（台州）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A ．1

B C ．2

D 1

2（兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ） A ．130° B ．120° C ．110° D ．100° 例3.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，

A B

A '

P

l

A B

B 图2 A

B C

图4 P A D

E P B

C

求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

例4.如图，抛物线35

18

532+-=

x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

。

孰能生巧：

1已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中A(-3,0)、B(1,0) C(0,-2). （1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．

（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、

PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若

存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

总结：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”

择优而用：

1.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是多少

1题图

x

C

2．（天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．

（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；

（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．

3.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、

，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．

（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；

（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°若存在，请直接写出点P 的坐标。