最短距离问题分析
圆周一动点到两定点的最短距离
圆周一动点到两定点的最短距离圆周一动点到两定点的最短距离是一个经典的几何问题，涉及到圆的性质与直线的关系。
在本文中，我们将从不同的角度探讨这个问题，展示出它的深度和魅力。
首先，我们来了解一下这个问题的背景。
假设有一个圆，圆心为O，半径为r；另外有两个定点A和B，我们需要找到一个动点P，使得P到A和B的距离之和最小。
为了解决这个问题，我们可以运用几何分析的方法。
首先，我们将P点与A、B两点分别连线，得到线段PA和PB。
我们可以观察到，P 到A和B的距离之和等于线段PA和线段PB的长度之和。
接下来，我们观察到一个重要的性质：当线段PA和线段PB的长度相等时，P到A和B的距离之和达到最小值。
这是因为，当PA和PB 的长度相等时，P点正好位于线段AB的中垂线上，此时P到A和B 的距离之和等于2倍的线段PA（或PB）的长度。
根据这个性质，我们可以得出结论：圆周上与线段AB的中垂线相交的点P，即为P到A和B的距离之和最小的点。
这个点P的位置并不唯一，因为圆周上有无数个与线段AB的中垂线相交的点，它们的P到A和B的距离之和都是最小的。
这个结论可以通过几何推导得到，但也可以用数学方法进行证明。
我们可以设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，定点A的坐标为(x₁,y₁)，定点B的坐标为(x₂,y₂)。
根据求解最短距离的条件，可以列出以下方程组：√((x-x₁)²+(y-y₁)²)+√((x-x₂)²+(y-y₂)²)=k其中，k为常数。
通过求解这个方程组，我们可以得到圆周与线段AB的中垂线相交的点P的坐标。
除了几何和数学的方法，还有其他方法可以求解这个问题。
例如，我们可以利用优化算法来找到P到A和B的距离之和最小的点。
通过将问题转化为一个优化问题，我们可以建立一个目标函数，使得这个函数的取值在P点附近达到最小值。
通过迭代求解，我们可以找到使得目标函数取值最小的P点。
有关最短距离问题
有关最短距离问题
例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
P B
A
这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。
其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。
例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。
A
解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。
做法如上图。
例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。
E
D
P
C
B
A
解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0
60.
在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。
所以PB=BD=PD.
由旋转性质知：PA=DE 。
所以PA+PB+PC=PC+PD+DE
由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。
所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120
因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
最短距离问题的“原初模型”(附：两线段之差的“最大值”问题)
最短距离问题的“原初模型”两条线段之和（之差）的最小值（最大值）问题小事让我来做噻问题1、图1是4×4的正方形网格，格点A ，格点B 和直线l 的位置如图所示，点P 是 直线l 上的一个动点．已知在图1中：A ()21，、B ()12-，，请在图1中作出点P ， 使P A +PB 最短，并求出这个最小值以及点P 的坐标；〈本题特点〉：村庄A 、B 两点在“河岸线l ”的异侧。
〈分析〉：点P 在直线l 上移动，当P 、A 、B 三点能构成三角形时，必有PB PA +＞AB （因为：两点之间 最短）；但是，当P 、A 、B 三点共线时，必有AB PB PA =+；综合以上两种情况可知，无论点P 在l 上的何处，都有：PB PA + AB . 所以，只有当P 、A 、B 三点共线时，PB PA +才有最小值，且这个最小值等于线段 的长。
〈解答〉：在图1中，直线l 的表达式为： ，连接AB ，交直线l 于点P ，则此时P A +PB 的最小值就是AB 的长度，由勾股定理可得：AB= = 。
又由“待定系数法”可求直线AB 的表达式为： ，则点P 坐标为： 。
即：当点P 为(______，______)时，()=+min PB PA 。
问题2、图2是4×4的正方形网格，格点A ，格点B 和直线l 的位置如图所示，点P 是 直线l 上的一个动点．已知在图2中： A ()44，、B ()32，，请在图2中作出点P ， 使P A +PB 最短，并求出这个最小值以及点P 的坐标；〈本题特点〉：村庄A 、B 两点在“河岸线l ”的同侧。
〈思考转化〉：能否在“直线l ”的下侧找到一个“1B ”点，使得点P 无论处在直线l 上的何处，都有“1PB PB =”成立？倘若这个问题能得到解决，那么“第2题”就可以转化为“第1题”来解决了！ 对于直线l 上的“任一点P ”，要满足“1PB PB =”，这会让我们想到，应该把“直线l ” 构造成线段“1BB ”的 线。
点到直线的距离最短 生活例子
点到直线的距离最短生活例子点到直线的距离最短是数学中的一个经典问题。
在生活中，我们可以通过一些实际例子来解释和理解这个概念。
一个常见的例子是我们行驶在公路上的时候。
当我们在高速公路上行驶时，可能会发现自己需要尽量保持在自己的车道上，而不是偏离到其他车道。
这是因为高速公路被划分为多个车道，车辆需要按照自己所在的车道行驶，以确保交通的安全和流畅。
我们可以将每个车道看作是一条直线，而自己所在的位置相当于是一个点。
在这种情况下，我们需要尽量保持自己距离其他车道最近的位置，这就是点到直线的距离最短的生活例子之一。
另一个例子可以是我们购买东西时在商店里选择最近的收银台。
设想一下，当我们在商场里购物时，往往会有多个收银台供我们付款。
每个收银台可以看作是一条直线，而我们所在的位置相当于是一个点。
如果我们要尽快完成购物并付款，那么我们应该选择距离自己最近的收银台，以减少所需的时间和精力。
因此，点到直线的距离最短问题也在这种情况下得到了生动的体现。
另外，我们还可以将点到直线的距离最短问题应用于设计和建筑领域。
考虑一个建筑师在设计一个房屋布局时所面临的挑战。
设计师需要将不同的区域和功能合理地安排在一个有限的空间中，以确保房屋的实用性和美观性。
在这个过程中，设计师需要考虑到每个房间的使用需要以及房屋的整体布局。
点到直线的距离最短问题可以帮助设计师决定如何将房间的位置和功能分配在不同的区域中，以最大程度地减小不同房间之间的距离。
例如，设计师可能会将卧室和浴室放在相邻的位置，以减少走过长走廊的需要。
通过这种方式，设计师可以确保住房内不同功能之间的距离最短，提高了住户的生活便利性。
此外，点到直线的距离最短问题也可以应用于交通网络的规划。
在城市交通规划中，我们希望公共交通线路覆盖尽可能多的地区，并使人们的出行更加便利。
这就要求我们在规划公交线路时，尽量使每个人到最近的公交站点的距离最短。
通过将城市的道路网络抽象为一系列直线，而将人们的位置视为点，我们可以应用点到直线的距离最短问题来确定最佳的公交线路布局，以便人们能够尽可能快速地到达公交站点，减少等车时间和出行的不便。
将军饮马最短距离原理
将军饮马最短距离原理1.引言1.1 概述将军饮马最短距离原理是一种常见的数学问题，根据传说中的典故“将军饮马”，通过解决这个问题我们可以得到最短距离的最优解。
这个问题在数学领域中被广泛研究和应用，尤其在图论、最优路径规划、网络优化等领域中具有重要的意义。
将军饮马最短距离问题可以简单描述为：一个将军要从指定位置A饮马到指定位置B，同时他必须经过多个中间位置，并且需要选择经过这些中间位置的最短路径。
这个问题可以用图论中的有权有向图来模拟和解决。
每个位置可以看作图中的一个节点，将军的移动可以看作是节点之间的有向边，每条边的权值表示将军从一个位置到另一个位置的移动距离。
通过这个问题的求解，我们可以找到从起点到终点的最短路径，即将军饮马的最短距离。
将军饮马最短距离原理的研究不仅可以用于解决实际问题，还可以用来优化和改进一些相关算法和模型。
例如，在网络优化中，我们可以利用这个原理来找到网络中数据传输的最短路径，从而提高网络的传输效率。
此外，通过将军饮马问题的研究，还可以挖掘和发现一些潜在的规律和规划策略，进一步推动相关领域的发展。
本文将从将军饮马最短距离原理的背景和原理解析两个方面进行详细探讨，通过对相关理论和算法的介绍和分析，旨在增加对这一原理的理解和认识。
同时，本文还将探讨将军饮马最短距离原理的应用价值和未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析将军饮马最短距离原理：1. 引言：为了引出将军饮马最短距离原理的背景和意义，概述本文将要介绍的内容。
2. 正文：2.1 将军饮马最短距离原理的背景：详细介绍将军饮马最短距离原理的起源和历史背景，包括相关的故事或传说，以便读者能够更好地理解该原理。
2.2 将军饮马最短距离原理的原理解析：深入分析将军饮马最短距离原理的具体原理，包括数学模型和算法等相关内容。
通过展示相关的数学推导或图表，让读者理解这一原理的运作机制。
数学考点---最短距离问题(带答案)
数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。
最短距离问题
解：如图所示，作点A关于
B
直线L的对称点A’，
A
连接B A’交直线L于点P，连接PA
∵直线L是线段A A’的垂直平分线
L
∴ PA=P A’
P
∴ PA+PB＝B A’
A’
此时PA+PB 的值最小∴点Ｐ即为所求的点
归纳
1、
A
2、 A
B B B,
理由：两点之间，线段最短 依据：轴对称的性质
练习：如图所示：抛物线y=（x-2）2－1与y轴交于点B，与X 轴交于A、C两点，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使 △ABM的周长最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请 说明理由
由对称的性质可知AM=MC
∴BM+AM=BC，而线 段AB为定长
∴当BM+AMቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小时，△ABM的周长最小
又∵B（0，3）C(3,0), ∴可得直线BC的解 析式为：y＝-x+3
y X＝2
B oA
M CX
P
∴当X＝2时，可得y＝1 即M（2，1） ∴抛物线上存在着点M,此时M的坐标为（2，1）
思路分析： 因为A、C关于对称 轴对称，所以连接B、C交对称轴 于点M，则M即为所求。
再求出直线BC的解析式，进 而得出M点的坐标
y
B oA
M
M
X C
解： ∵抛物线解析式为y=（x-2）2－1，且与x轴交于A、C，与y 轴交于点B
∴A(1，0) 、C(3,0), B(0,3)
对称轴为直线X＝2
连接BC交对称轴于点M，连接MA.
最短路径问题
第十师一八一团中学
王兰云
例题：
如图所示: (1)在直线L的异侧有A、B两 点，在直线L上求一点P，使得PA+PB的值最 小；
最短距离求解题技巧
最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。
在本文中，我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。
它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径，并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是节点数，E是边数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。
Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。
它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是节点数。
Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于求解从起点到终点的最短路径。
它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级，以选择下一个节点进行扩展。
A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。
它通过选择边来构建一个连通的生成树，使得树的权重和最小。
常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
立体图形上最短距离问题
立体图形上最短距离问题金水初中刘彬在北师大版数学的七年级和八年级的教材中都涉及到了物体在几何体表面爬行时的最短距离问题，这对于一些刚刚接触几何体的同学是个很难理解的问题。
实际在数学上就是在几何体表面点到点的最短距离的问题。
结合教学实际,我总结了教材和练习中最常见的几种最短距离问题，主要涉及到了正方体、长方体和圆柱，以及它们几种简单的变形,特总结如下,希望能对这方面的问题，帮助解决学生的困惑,能使学生掌握这方面的知识.同一个面最短距离最简单，主要是连线,借助勾股定理来解决，在下面的介绍简单介绍,重点说不在同一个面的问题。
这几个几何体中正方体最简单，下面先从正方体开始说起.一、正方体和长方体中最短距离例1、如图，一只蚂蚁在正方体表面爬行（1）、当蚂蚁从正方体的一个顶点A Array爬到顶点B，怎样爬距离最短?分析：由于顶点A和顶点B在同一个平面上，所以连接，利用勾股定理直接求解即可。
（2)如图,如果蚂蚁要从边长为1 cm的正方体顶点A爬到顶点C分析：由于顶点A和顶点C不在同一个平面上，所以要求最短距离需要将正方体展开,在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离. 解：将正方体展开,下面是其四连面的一部分，这是A与C的位置如图所示，这时AC的长度就是长方形的对角线的长度。
所以 AC的长所以在正方体中求最短距离相对来说还是比较简单的。
(3）如果将正方体换成边长AD=2CM,宽DF=3cm，高AB=1cm的长方体，蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬到顶点E的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短？为什么？分析：由于长方体每边的长短不一样,所以在展开图中就有三种不同的形式，三种情况下结果就会不一样解：方案一:将面ABCD沿DC展开和面CDEF在同一个平面中，如图，这时BE的长度为2+3=5,EF的长度为1,所以AE==方案二：将面ADCF沿DF展开和面CDEF在同一个平面，如图，这时AC=2+1=3，EF=3所以AE=BABA方案三：将面ADFG 沿FG 展开 和面EFGH 在同一个平面中，如图，这时DE=3+1=4，EH=2。
立体几何中最短距离的求解策略
立体几何中最短距离的求解策略
在立体几何中，最短距离指的是从一点到另一点之间最短可到达的距离，也叫最短链接距离。
面对复杂的立体几何问题，如何求解最短距离，给出解决策略是非常有必要的。
解决立体几何中最短距离的求解策略主要分为三个步骤：
首先，我们需要分析最短距离的特点，也就是所谓的“直线最短”原则，也就是几何图形中的任意两点之间的最短距离必须是直线距离。
其次，根据几何图形的形状和特性，求解具体问题中的最短距离。
例如，分析棱柱之间的最短距离是什么，棱柱之间最短距离为棱柱的直径；分析球面上任意两点之间的最短距离是什么，球面任意两点之间的最短距离是一个弧线的弦长。
最后，运用数学原理求解最短距离的问题，按照古典几何计算思路，计算出最短距离的标准式；其次，运用现代几何理论，使用科学计算方法给出解决最短距离问题的数值解。
以上是解决立体几何中最短距离的求解策略，主要有分析最短距离特点、根据形状和特性求解具体最短距离、运用数学原理求解最短距离三个步骤。
做好最短距离求解既是立体几何研究的重点，也是解决实际工程问题的重要基础。
初中数学最短距离说明(奶站问题)
奶站问题的讨论以及解决策略奶站问题中中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。
一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。
基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）2、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．应用1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174C 、17178D 、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小4、两个点在矩形内部例：已知矩形ABCD 内有两个点M 、N ，过M 击球到CD 边P ，然后击到BC 边Q ，然后到N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。
例谈平行线上两动点之间距离的最短问题
例谈平行线上两动点之间距离的最短问题
平行线上两动点距离最短：从奇技淫巧中寻找答案。
对于平行线上两动点之间距离的最短问题，下面总结几点：
1. 平行线是无限长度的直线，处于同一水平线，不发生相交。
2. 两动点之间距离为最短时，代表这两条平行线之间没有空隙。
3. 两动点之间距离最短的可能性，取决于两动点分别所在直线的位置，要建立一条穿过两个点的直线，作为间距的限制条件。
4. 要计算两动点之间的距离最短，需要先行假定一条直线，再通过计
算直线上两个点的距离，以及假定的直线与两条平行线的距离总和，
获得距离的最小值。
总而言之，要求出平行线上两动点之间的最短距离，需要首先假定一
条直线，然后依据其位置计算两个点之间的距离，以及假定的直线与
两条平行线的距离总和。
最终结果，就是获得平行线上两动点之间最
短距离。
方法技巧专题十 最短距离问题
CD方法技巧专题十 最短距离问题探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段． 一、典例解析例1. [2017·乌鲁木齐] 如图F 10－6，点A (a ，3)、B (b ，1)都在双曲线y ＝3x 上，点C ，D分别是x 轴、y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为( )A ．5 2B ．6 2C ．2 10＋2 2D ．82例2．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，E 在AC 上且AE ＝AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值是 ．例3．我们发现：若AD 是△ABC 的中线，则有AB 2+AC 2＝2（AD 2+BD 2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝20，AD ＝12，E 是DC 中点，点P 在以AB 为直径的半圆上运动，则CP 2+EP 2的最小值是 ．例4. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6, ∠ABC ＝150°，则AP +BP +PD的最小值为_____．二、巩固练习1．[2016·苏州] 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53) D ．(3，2)2．[2015·遵义] 如图，在四边形ABCD 中，∠C ＝50°，∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°3．[2016·安徽] 如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )A.32 B ．2 C.8 1313 D .12 13134.（2017•南通选压）如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．10D ．155. [扬州市江都市一模]如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为（ ）A 、2BC 、36.如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE ＝3．若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．7．（2014•徐州二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A ．6 B ． C ． D ．8．（2018•惠山区校级二模）如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为（ ） A ．3+2 B ．4+3 C ．2+2 D ．107.2016·东营]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．37．（2017•惠山区模拟）已知，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（m，m），点C为线段OA上一点（点O为原点），则AB+BC的最小值为．8.[泰兴市二模]如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM的最大值是9.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx －3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．10.如图，正方形 ABCD 中，AB=3cm，以 B 为圆心，1cm 长为半径画☉B，点 P 在☉B 上移动，连接 AP，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转90°至 AP'，连接 BP'，在点 P 移动过程中，BP' 长度的最小值为cm。
探讨常见最短路程问题
探讨常见最短路程问题最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
一、求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。
已知A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
（1）可设计AB+AC路径；（2）可设计AD+BD+CD路径；（3）可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）二、求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，求BN＋MN＋MC的最小值。
三、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。
距离最短或最大问题分析
初中数学专题复习：最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”几何模型：条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：例1 如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；例2 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB上一动点，求PA PC +的最小值； 例3 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．解：（1）PB PE +的最小值是5DE = （2）PA PC +的最小值是3 ABA 'Pl（3）PQR ∆周长的最小值是例4 如图，（1），在ABC ∆中，︒=∠==90,2ACB BC AC ，P 为BC 边上一定点，（不与点B ，C 重合），Q 为AB 边上一动点，设BP 的长为)20(<<a a ，请写出PQ CQ +最小值，并说明理由。
初中数学中最短距离问题例析
最值问题是中考重点考查题型之一，此类问题主要分为代数问题和几何问题.本文主要针对几何中的最短距离问题，结合具体实例进行探讨和分析.一、利用轴对称求最短距离利用轴对称知识将所求问题进行转化，再利用“两点之间线段最短”求最短距离问题是考试中最常见的题型.在运用两点之间求最短距离问题时，是否利用轴对称知识，还需要注意观察点的位置.如果已知两点在所求点的异侧，则直接将已知两点连接；如果已知两点在所求点的同侧，则需要先作其中一点关于直线的对称点，然后连接另一个点和对称点与已知直线相交，根据“两点之间线段最短”可知，另一个点与对称点所连线段的长度就是最短距离.［例1］如图1，A 、B 是两个村庄，为了解决灌溉问题，两村决定修一条水渠进行引水，引水口应建在河的什么位置才能使路线最短？分析：A 、B 位于河岸的同侧，因此，不能直接应用“两点之间线段最短”去解决问题.如何让三点共线成为解题的关键，根据轴对称知识，可以作点A 关于河岸的对称点A ′，连接A ′B ，交河岸于点P ，则点P 即为所求的点，即AP+BP 最短.为了证明作法的正确性，也可以在河岸上任取不同于点P 的点P ′，连接A ′P ′和BP ′，则线段A ′B 、A ′P ′、BP ′构成一个三角形，根据“三角形两边之和大于第三边”可得，A ′P ′+BP ′＞A ′B ，即A ′P ′+BP ′＞A ′P +BP ，因为AP =A ′P ，所以A ′P ′+BP ′＞AP +BP ，所以AP +BP 是最短距离.二、利用平移求最短距离利用平移求最短距离主要解决的是选址问题，涉及的知识点主要包括平移的知识、轴对称的知识、三角形三边关系和两点之间线段最短的定理等内容，解决此类问题的关键是通过作图，利用平移的知识使原有的宽度为零，从而将其转化为直线异侧两点到直线上一点的线段和最短问题.［例2］如图2，A 、B 两个村庄位于河的两岸（两岸是平行的），为了改变交通不便的现状，乡政府计划在河上建立一座桥MN ，桥要与河岸垂直，应将桥建在什么位置，才能使两村与桥的距离AMNB 最短？分析：因为河本身就有宽度，所以，此题也就无法直接利用“两点之间线段最短”这一定理解决.如果我们将点B 平移一个河宽到点E 的位置处，连接AE 即能解决问题.因此，我们可以过点B 作BE垂直于河岸，使BE=MN ，连接AE ，则AMNB 的距离就转化为AMEB 的距离，而BE=MN 是一个定值，AE 是点A 到点E 的最短距离.三、利用展开图求最短距离利用展开图求最短距离是初中数学中一种重要的方法，主要解决的是立体图形中某点到某点的距离最短问题.在立体图形中求最短距离问题时，由于移动的距离是沿着立体图形的表面，而立体图形的表面有的是曲面，有的是平面，这就决定了大多数时候无法直接求解最短距离，需要利用立体图形的展开图知识将其转化为平面图形，然后利用平面图形中求线段长度的方法求解.［例3］如图3，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且大于AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路程是米.（精确到0.01米）分析：通过观察发现，蚂蚁要想从A 处到达C 处必须越过长方体的木块，由于长方体是一个立体图形，无法直接确定蚂蚁的行进路线，因此，要想解决这一问题，必须将这个长方体木块展开，展开图如图4所示，然后利用“两点之间线段最短”连接AC ，则AC 即为所求距离.由图可知，AB=AN+NE+EB ，因为长方形的长为2米，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，所以AB =2+0.2×2=2.4（米），又因为长方形的宽没变，仍为1米，∠B =90°，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理得AC =AB 2+BC 2=2.42+12=6.76≈2.60（米），所以A 处到C 处的最短路程是2.60米.（责任编辑黄桂坚）初中数学中最短距离问题例析甘肃武威市民勤县第六中学（733399）王桂英［摘要］结合具体事例，运用两点之间线段最短、垂线段最短、勾股定理、轴对称及平移等相关知识探讨最短距离问题，可以提高学生解决实际问题的能力.［关键词］最短距离；问题；初中数学［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2018）23-0017-01图1图2图3图4数学·解题研究。
圆上一动点到两定点的最短距离
圆上一动点到两定点的最短距离1.引言文章1.1 概述部分的内容可以写作如下：引言部分旨在介绍本篇文章的主题和背景，即圆上一动点到两定点的最短距离的问题。
这个问题在几何学中是一个经典问题，其重要性和实际应用广泛存在于不同领域，例如计算机图形学、物理学、机器人学以及地理信息系统等。
本文通过对圆上一动点到两定点的最短距离问题进行研究和分析，旨在探索解决这一问题的不同方法和策略。
通过这个问题的研究，我们可以深入理解几何学的基本概念，了解不同的解决方法，并从中获得一些有益的经验和启示。
本篇文章主要分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都有其具体的内容和目标。
其中，正文部分将详细介绍圆上一动点到两定点的最短距离的定义，并提供了一种解决方法，即利用几何性质求解。
结论部分将对全文进行总结，并对结果进行分析和讨论。
通过本文的阅读，读者将对圆上一动点到两定点的最短距离问题有一个全面的认识，并获得对这个问题解决方法的启发和理解。
同时，本篇文章也将在几何学领域做出一定的贡献，为解决类似问题的研究提供新的思路和方法。
下面将进入正文部分，首先介绍圆上一动点到两定点的最短距离的定义，为后续的解决方法的介绍做好铺垫。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将从以下几个方面进行讨论圆上一动点到两定点的最短距离问题：1.2.1 定义和背景首先，我们将介绍圆上一动点到两定点的最短距离的定义和相关背景知识。
我们将解释什么是“圆上一动点到两定点的最短距离”，以及为什么研究这个问题具有重要意义。
通过理解问题的定义和背景，读者可以更好地理解本文的研究内容。
1.2.2 解决方法的概述在本节中，我们将概述本文将要介绍的解决方法。
我们将简要介绍解决这个问题的一般思路和方法，并提供一个总体的框架。
通过这个概述，读者可以对本文的主要内容有一个清晰的认识，同时也可以预估解决这个问题的复杂度和可能遇到的挑战。
1.2.3 方法一: 利用几何性质求解本节将详细介绍一种解决圆上一动点到两定点的最短距离问题的方法。
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例3图
最短距离问题(课时一)
课题说明：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）和利用一次函数和二次函数的性质求最值。
教学流程：
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最
小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这
一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一
模型。
几何模型： 1.立体图形中，表面折点距离最短问题。
2.平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
模型应用：
例1.如图1，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只
蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．
图
1 图3
例2．如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．则PB PE +的最小值是___________；
变式1．如图3所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）
变式2．如图4，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，
求PA PC +的最小值； 熟能生巧：
1（台州）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A ．1
B C ．2
D 1
2（兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ） A ．130° B ．120° C ．110° D ．100° 例3.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，
A B
A '
P
l
A B
B 图2 A
B C
图4 P A D
E P B
C
求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
例4.如图，抛物线35
18
532+-=
x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。
孰能生巧：
1已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中A(-3,0)、B(1,0) C(0,-2). （1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、
PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若
存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
总结：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
择优而用：
1.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是多少
1题图
x
C
2．（天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．
（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．
3.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、
，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°若存在，请直接写出点P 的坐标。