人教版初中数学八年级下 册《 二次根式课件》
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
人教版八年级下册：16.1二次根式课件(共35张PPT)(课件精选)
教师教学说课
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结源自讲解人：教育者课件在线
1
二次根式
课件在线
2
.
二次根式的两个基本特征：
① 含有二次根号“
”
②被开方数为非负数
课件在线
3
掌握二次根式有意义的条件
x 1
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
①被开方数大于或 等于零； ②分母中有字母时， 要保证分母不为零。
28
课件在线
29
１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
课件在线
30
x＞3 1．函数y= 1
中，自变量x的取值范围是_______
x-3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 2 x 6 无意义,应满足的条件 是( B ）
(5)(3 6 )2
课件在线
12
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: (6)(2 1 )2 2
课件在线
13
掌握并应用二次根式的基本性质
填空:
(1)( 13)2 ___1__3__
3
(2)(
3 )2 7
___7____
(3)( 8)2 ( 2)2 _1_0____
(4)( a2 b2 )2 a__2 ___b_2
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1 课件在线
26
2．二次根式的 基本性质
1.二次根式的基本 性质
当a≥0时，
a2 a ( a )2 a
a (a≥0)
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结源自讲解人：教育者课件在线
1
二次根式
课件在线
2
.
二次根式的两个基本特征：
① 含有二次根号“
”
②被开方数为非负数
课件在线
3
掌握二次根式有意义的条件
x 1
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
①被开方数大于或 等于零； ②分母中有字母时， 要保证分母不为零。
28
课件在线
29
１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
课件在线
30
x＞3 1．函数y= 1
中，自变量x的取值范围是_______
x-3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 2 x 6 无意义,应满足的条件 是( B ）
(5)(3 6 )2
课件在线
12
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: (6)(2 1 )2 2
课件在线
13
掌握并应用二次根式的基本性质
填空:
(1)( 13)2 ___1__3__
3
(2)(
3 )2 7
___7____
(3)( 8)2 ( 2)2 _1_0____
(4)( a2 b2 )2 a__2 ___b_2
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1 课件在线
26
2．二次根式的 基本性质
1.二次根式的基本 性质
当a≥0时，
a2 a ( a )2 a
a (a≥0)
人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件
巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
总结：a 2， ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
+
+5，求
的值
+
=0，求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若 ，则x的取值范围是（ ） A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ） A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
（x≥0，y≥0）．
不是二次根式的有： .
、
、
、
（x>0）、
、
、
（x≥0，y≥0）．
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0，且 。（双重非负性）
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
（x>0）、
、
、-
、
、
解：二次根式有：
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
1
2
首页
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)
C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
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4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT
．
典例解析
例1 计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 3 6) 2 2.
解：(2) (4 2 3 6) 2 2 4 22 23 62 2
多项式除以 单项式法则
23 3 2
二次根式除法法则
算中思先与考乘有：除理(2，数)中后、，加实每减数一；运步算的一依样据，是在什混么合？运
例2 计算：
思考 二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
探究1 由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出 的值吗？你是怎样做的？
探究2 由 ，你能求出
的值吗？由此你有何发现？
典例解析
(1) ( 2 3)( 2 - 5) ； (2) ( 5 3)( 5 - 3)
解：(1)( 2 3)( 2 - 5) ( 2)2 3 2 5 2 15 2 2 2 15
13 2 2
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式（依据是：分配律）； 第三步的依据是：合并同类项．
(3)( 3 2)2 ( 3)2 2 2 3 22 7 4 3;
(4)(2 5 2)2 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 22 4 10
综合应用
(3 10)2015(3 10)2015 解： (3 10)2015(3 10)2015
(3 10)(3 10)2015 (9 10)2015
例3 计算下列各题：
练习
1.计算： (1) 2( 3 5); (3)( 5 3)( 5 2);
典例解析
例1 计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 3 6) 2 2.
解：(2) (4 2 3 6) 2 2 4 22 23 62 2
多项式除以 单项式法则
23 3 2
二次根式除法法则
算中思先与考乘有：除理(2，数)中后、，加实每减数一；运步算的一依样据，是在什混么合？运
例2 计算：
思考 二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
探究1 由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出 的值吗？你是怎样做的？
探究2 由 ，你能求出
的值吗？由此你有何发现？
典例解析
(1) ( 2 3)( 2 - 5) ； (2) ( 5 3)( 5 - 3)
解：(1)( 2 3)( 2 - 5) ( 2)2 3 2 5 2 15 2 2 2 15
13 2 2
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式（依据是：分配律）； 第三步的依据是：合并同类项．
(3)( 3 2)2 ( 3)2 2 2 3 22 7 4 3;
(4)(2 5 2)2 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 22 4 10
综合应用
(3 10)2015(3 10)2015 解： (3 10)2015(3 10)2015
(3 10)(3 10)2015 (9 10)2015
例3 计算下列各题：
练习
1.计算： (1) 2( 3 5); (3)( 5 3)( 5 2);
二次根式(第1课时 概念)八年级数学下册课件(人教版)
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 分式+二次根式 (1) A 1 . B (2) 1 . A
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0
典例讲解
变式练习2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
典例讲解
变式练习3 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) x2 .
(2) x2 2x 1.
解：(1)由题意得
(2)由题意得
∵ 无论 x 为任何实数 x 2+2x+1 = (x+1 ) 2
x 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数
∴ x 为任何实数.
(x+1 ) 2≥0 ∴ x 为任何实数.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 65 m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s) 与开始落 下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2. 如果用含有h的式子表示t， 那么t为_t_=__5h___.
探究新知
思考，上面问题中，得到的结果，思考下列问题：
解不等式②得 x ≤ 3
解不等式②得 x ≤ 3
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 多个二次根式
每个二次根式被开数 ≥0
(1) A B N .
A 0, B 0, , C 0.
解不等式组
(2) x a a x .
新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件
是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
A
A.
a
C.
B.
D.
b2 1
0
（a b）2
第十二页，共三十页。
知1－练
4．下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )CFra bibliotekA．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
第十三页，共三十页。
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a只有在条件a≥0时才叫二次根式． 即a≥0是 为a 二次根式的前提条件.
C．7
D．－7
第二十四页，共三十页。
知3－讲
导引：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
+ (y+
代数式进行计算即可得解．因为x y 1
x3)2y=0都1 是0非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0，
，所以y+3=0，x+y-
1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
第二十五页，共三十页。
____h__.
5
上面问题的结果分别是
3， S , 65 ,，它h
5
们表示一些正数的算术 平方根.
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件
不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.
人教版八年级数学下册：16.1二次根式课件(共20张PPT)(课件精选)
教师教学说课
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结
讲解人：教育者
课件在线
1
知识回顾
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
2.下列各式中，是二次根式的有___m_2 _+ _20_、___a_2_+_b_2_、__1_5__.
-144、 m2 + 20 、 3a、 a2 + b2 、 15 、 b2 -1 .
课件在线
10
例: (1)计算 - 2
2
3
1 25
2 - 72
33
2
2
课件在线
11
练习:用心算一算:
4
1-
2
2
5 x2 - 2xy + y2 (x﹤y)
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长,
化简 (a - b - c)2 - (b - a + c)2
课件在线
12
把式子 ( a )2 a(a≥ 0) 反过来，就得到 a ( a )2 (a≥ 0).
14
已知a.b为实数，且满足 a 2b -1 + 1- 2b +1 求a 的值.
课件在线
15
若a.b为实数,且 2 - a + b - 2 0
求 a2 + b2 - 2b +1 的值
解:
2 - a 0， b - 2 0
而 2-a + b-2 0
?
Hale Waihona Puke 2-a0 ， b-20a 2， b 2
5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 ( 5)2
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结
讲解人：教育者
课件在线
1
知识回顾
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
2.下列各式中，是二次根式的有___m_2 _+ _20_、___a_2_+_b_2_、__1_5__.
-144、 m2 + 20 、 3a、 a2 + b2 、 15 、 b2 -1 .
课件在线
10
例: (1)计算 - 2
2
3
1 25
2 - 72
33
2
2
课件在线
11
练习:用心算一算:
4
1-
2
2
5 x2 - 2xy + y2 (x﹤y)
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长,
化简 (a - b - c)2 - (b - a + c)2
课件在线
12
把式子 ( a )2 a(a≥ 0) 反过来，就得到 a ( a )2 (a≥ 0).
14
已知a.b为实数，且满足 a 2b -1 + 1- 2b +1 求a 的值.
课件在线
15
若a.b为实数,且 2 - a + b - 2 0
求 a2 + b2 - 2b +1 的值
解:
2 - a 0， b - 2 0
而 2-a + b-2 0
?
Hale Waihona Puke 2-a0 ， b-20a 2， b 2
5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 ( 5)2
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
人教版八年级下数学16.1二次根式优质课件
x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
为_____0_．
课堂检测
基础巩固题
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
课堂检测
基础巩固题
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≠3
x 1 2.（2019•黄石）若式子 x 2 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ A ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1
C．x＞1且x≠2 D．x＜1
巩固练习
连接中考
3.（2018•苏州）若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值
范围在数轴上表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a2 1 B. 3 33 C.
D.-1 a
1 2
2.（2018•达州）二次根式 2x 4中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
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自学效果检测 1.面积为3的正方形的边长为
的正方形的边长为___S__。
，面积为S
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 __6_5___
h 3.h=5t2,则t=_____5__
自学效果检测
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
自学归纳 形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容:
42 4
0.012 0.01
1 2
1
3 3
02 0
a2 a (a≥0)
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0) 思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
① 5
② 3x (x<0)③
14
④ a 1
⑤
a 32⑥
xy(x, y同号)
⑦二x次2 根1式根⑧号内字母4的取⑨值范围必须x2满1足:
被开方数大于或等于零.
隋堂练习 1
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
若a.b为实数,且 2 a b 2 0源自求 a2 b2 2b 1的值
解:
Q 2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用 aa (a≥0)表示。
自学指导
内容：精读课本 P2页的内容 要求： 1.理解二次根式的概念 2.找出二次根式有意义的条件 a 0 3.二次根式的双重非负性是什么？ a 0(a 0)
4 2 5x 5 2x 12 6 2x 1 1 x
7 x 5 3 2x （8）
你有什么收获？
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1
( 4)2 4 ( 0)2 0
( 0.01)2 0.01 (
?2 a a (a≥0)
3 1 )2
3
观测上述等式的两边, 你能得到什么启示?
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
∴x=2, y=5
?
实数p在数轴上的位置如图所示，化
简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
在实数范围内分解因式:4 x2 - 3
解: ∵ 3
2
3
∴ 4x2 3 (2x)2
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
2
3
(2x 3)(2x 3)
?
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
例2:
(1)计算 2
2
3
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c)2 (b a c)2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.