2013年北京高考数学文科试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试试题

数 学 (文)(北京卷)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

（1）已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<≤，则A B =I

（A ）{0} （B ）{1,0}-

（C ）{0,1} （D ）{1,0,1}-

（2）设,,a b c ∈R ，且a b >，则

（A ）ac bc > （B ）1

1

a b <

（C ）22a b > （D ）33a b >

（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上是单调递减的是

（A ）1y x = （B ）e x

y -=

（C ）21y x =-+ （D ）lg ||y x =

（4）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于

（A ）第一象限 （B ）第二象限

（C ）第三象限 （D ）第四象限

（5）在ABC ∆中，3a =，5b =，1

sin 3A =，则sin B =

（A ）1

5 （B ）5

9

（C

（D ）1

（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为

（A ）1

（B ）2

3

（C ）13

21

结束

开始

（D ）610987

（7）双曲线2

21y x m

-=

（A ）12m > （B ）1m ≥

（C ）1m > （D ）2m >

（8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等

分点，P 到各顶点的距离的不同取值有

（A ）3个

（B ）4个 （C ）5个 （D ）6个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；

准线方程为 ．

（10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积

为 ． （11）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比

q = ；前n 项和

n S = ．

（12）设D 为不等式组0,

20,30

x x y x y ⎧⎪-⎨+-⎪⎩≥≤≤表示的平面区域．区域D 上的点与点(1,0)之间的距离

的

最小值为 ．

（13）函数12log ,1,()2,

1x x x f x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥的值域为 ． （14）已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ．若平面区域D 由所有满足AP AP AP λμ=+u u u r u u u r u u u r

A

1A

俯视图

正（主）视图

（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分） 已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+

． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若(,)2απ∈π

，且()f α=

，求α的值．

（16）（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量

优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一

天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）

空气质量指数

（17）（本小题共13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥， 2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥．E 和F 分

别是CD 和PC 的中点，求证：

（Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ；

（Ⅱ）BE ∥平面PAD ；

（Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD ．

（18）（本小题共13分）

已知函数2()sin cos f x x x x x =++．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围．

（19）（本小题共14分） 直线y kx m =+(0)m ≠与椭圆2

2:14

x W y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点． （Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；

（Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．

（20）（本小题共13分）

给定数列12,,a a …,n a ．对1,2,i =…,1n -，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项 12,,i i a a ++…,n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-．

（Ⅰ）设数列{}n a 为3,4,7,1，写出123,,d d d 的值；

（Ⅱ）设12,,a a …1,n a -(4)n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >．证明：12,,d d …1,n d -是等

比数列；

（Ⅲ）设12,,d d …1,n d -是公差大于0的等差数列，且10d >．证明：12,,a a …1,n a -是等差数列．

P

F D

E C B A