北京高考文科数学试题及答案(整理版)

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2024年北京高考数学真题(纯答案版)

参考答案
绝密★本科目考试启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A 10.C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.() 4,0
12.
1
2
-
##0.5
-
13.
1 2±
14.115
mm,23mm 2
15.①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（1）
2π
3
A=
；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为153 4.
17.（1）证明见解析（2）
30
18.（1）1
10
（2）(i)0.122万元 (ii)0.1252万元
19.（1）2221,4
2x y e +== （2）2t =
20.（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.
（2）证明见解析（3）2
21.略。

2024年北京高考数学试题+答案详解

2024年北京高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（） A ．{}11x x −≤− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <2．已知1i iz=−−，则z =（）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（）AB ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（） A ．6B ．6−C ．12D ．12−5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（） A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==为（）.A ．1B ．2 CD9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A ．3d =，1S C ．d 1S <D ．d =1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214xy −=只有一个公共点，则k 的一个取值为．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥P ABCD −中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈=，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21sT T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（） A ．{}11x x −≤− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（）． A ．1i −− B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（） AB ．2C ．3D．【答案】D【详解】根据题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=，则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==故选D.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（） A ．6 B ．6− C ．12 D ．12−【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r−=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r rr T x xr −−+==−=，令432r −=，解得2r =，即()224C 16−=. 故选A.5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； “()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【详解】根据题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12min π22T x x −==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==. 故选B.7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 【答案】D【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N −−==，消去S 即可求解. 【详解】根据题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N −−==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选D.8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB==，PC PD ==为（）.A ．1B ．2 CD 【答案】D【详解】底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，根据题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，这样情况不存在. 故选D.9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（） A ．12122log 22y y x x ++ C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详解】根据题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，AB.可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，A 正确，B 错误；C.例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，C 错误；D.例如121,2x x =−=−，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==−∈−−，即12212log 32y y x x +>−=+，D 错误，故选B. 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A ．3d =，1S C．d 1S < D．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞）【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-，所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=，故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减；故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===，故2251,a a =+解得211,42a a ==，故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数，若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+，所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ，根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=，所以10.11210E E =；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1，焦点F 到准线l 的距离为2，故圆心为（1,0），半径为2，所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线，若m αP ，则l m ⊥；故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯，故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤；故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++，解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-；（Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125；（III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；（II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ，故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形，而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面；（Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=；（II ）设()()1122,,,P x y Q x y ，则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+，解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++，将直线y=kx+t 与椭圆方程联立，得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++，故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程；（II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =，则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-，整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=；（II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6，则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==，故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦，所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤；构造函数h （x ）=f （x ）-x ，则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤，综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--，则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==，故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

北京市高考数学文科试卷及答案解析

C.8
B .4
D. 16
C.

6
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则（）
A. CE·CB=AD·DB
C. ADAAB CD2
B. CE·CB=AD·AB
D. CEAEB CD2
6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(
15．（本小题共13分）已知函数 f (x) (sin x cos x) sin 2x 。（1）求f（x）的定义域及最小正周期； sin x
（2）求f（x）的单调递增区间。
16. （本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上
的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使 A1C⊥CD,如图2.
x 3cos

y

3
sin
a1

1 2
(
，
为参数)的交点个数为
S2
12.在直角坐标系xOy中，直线 l 过抛物线 y2 4x 的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线 l 的倾斜角为60º.则 AOAF 的面积为
13.己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则 DEACB 的值为
4
D.
4
开始 k=0,S=1
k=k+1
S=S· 2k
是 k<3
否输出 S
结束（第 4 题图）
)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

2020年北京市高考文科数学试卷(含解析版)

绝密★本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 <x< 3} ，则A B =（）．A.{-1, 0,1}B.{0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2} 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅z =（）．D. -2 -iA.1+ 2iB.-2 +iC.1- 2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z =1+ 2i ，∴iz =i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.33 35-rrrr +15 53.在( x - 2)5 的展开式中， x 2 的系数为（）．A. -5 【答案】CB. 5C. -10D. 10【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可. 【详解】( - 2) 展开式的通项公式为： T= C r( x ) (-2) = (-2)C rx2，令5 - r = 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .25故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2C. 12 +D.12 + 2【答案】D5-r x 35【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2 的等边三角形，侧面为三个边长为2 的正方形，则其表面积为：S = 3⨯(2⨯ 2)+ 2⨯⎛1⨯ 2⨯ 2⨯sin 60︒⎫=12 + 2 3 .2 ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1 可得答案.【详解】设圆心C (x, y )，则化简得(x - 3)2 +(y - 4)2 =1，=1，所以圆心C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，(x -3)2 +(y - 4)2所以| OC | +1 ≥| OM | == 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，32+ 42当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x-x -1 ，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．(1, +∞) A.(-1,1) B. (-∞, -1)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃(1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x和y =x +1 的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f (x)= 2x -x -1，所以f (x)> 0 等价于2x>x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y =x + 1 的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1, 2) ，不等式2x>x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f (x)> 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OC. 平行于直线OP B. 经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n}中，a1=-9 ，a3=-1 ．记T n=a1a2…a n(n =1, 2,…) ，则数列{T n}（）．A.有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d =a5-a1 =-1+ 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n=a1+(n -1)d=-9 +(n -1)⨯2 = 2n -11 ，注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1 <a7 <，且由T5< 0 可知T i< 0(i ≥ 6, i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i ≥ 7, i ∈N )可知数列{T n}不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 =1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2 = 63 ，T4 = 63⨯15 = 945 .故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知α, β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“sin α= sin β”的（）．A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ时，若k 为偶数，则sin α= sin (kπ+β)= sin β；若k 为奇数，则sinα= sin (kπ-β)= sin ⎡⎣(k -1)π+π-β⎤⎦= sin (π-β)= sin β；(2)当sin α= sin β时，α=β+ 2mπ或α+β=π+ 2mπ，m ∈Z ，即α=kπ+(-1)k β(k = 2m)或α=kπ+(-1)k β(k = 2m +1)，亦即存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ．所以，“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“ sin α= sin β”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（πD ay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．⎛30︒ 30︒⎫ ⎛30︒ 30︒⎫A.3n sinn +tan ⎪n B. 6n sin n+tan ⎪n⎝⎭⎝⎭⎛60︒ 60︒⎫ ⎛60︒ 60︒⎫C.3n sinn +tan ⎪n D. 6n sin n+tan⎪n⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似⎩y 值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360︒ = 60︒，每条边长为 n ⨯ 6 n2 s in 30︒ ，n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin 30︒ ，n单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan30︒ ，其周长为12n tan30︒ ，nn12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭则π = 3n ⎛sin30︒+ tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率π 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 函数 f (x ) =1x +1+ ln x 的定义域是．【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 x > 0 ，∴ x > 0⎨x +1 ≠ 0 故答案为： (0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线C :x 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距6 3离是．26 3 3 3 PD |= 【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a = ，b = ，则c = 为(3, 0) ， = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标双曲线C 的渐近线方程为 y =±2 x ，即 x ± 2所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 y = 0 ，= .故答案为： (3, 0) ； .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP = 1( AB + AC ) ，则| ；2PB ⋅ PD =．【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，3a 2 +b 2 3 12+ 25PD5cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2( )则点 A (0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ，AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1(2, 2) = (2,1) ，2 2 2则点 P (2,1) ，∴ PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ，因此，故答案为：； -1.= ，PB ⋅ PD = 0 ⨯(-2) +1⨯ (-1) = -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ 的一个取值为．【答案】 π （2k π + π, k ∈ Z 均可） 22【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f ( x ) =( x +θ ) ，可得 = 2 ，即可解出.【详解】因为 f ( x ) = cos ϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x =sin ( x +θ ) ，所以 = 2 ，解得sin ϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2故答案为： π （ 2k π + π, k ∈ Z 均可）. 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业PD =(-2)2 +125 cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2ϕ + (sin ϕ +1)2要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W =f (t) ，用-f (b) -f (a)的大小评b -a价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0, t1],[t1, t2],[t2, t3]这三段时间中，在[0, t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】-f (b) -f (a)表示区间端点连线斜率的负数，b -a在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0, t1 ],[t1, t2 ],[t2 , t3 ]这三段时间中，甲企业在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1 ,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为BB1的中点．（I）求证：BC1 // 平面AD1E ；（II）求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 .3【解析】【分析】（I）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1 //AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（I I）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：⎩⎩在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，则 AD 1 = (2, 0, 2) ， AE = (0, 2,1) ，A (0, 0, 0) 、A 1 (0, 0, 2) 、D 1 (2, 0, 2) 、E (0, 2,1)，设平面 AD E 的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧n ⋅ AD 1 = 0 ，得⎧2x + 2z = 0 ，1⎨n ⋅ AE = 0 ⎨2 y + z = 0令 z = -2 ，则 x = 2 ， y = 1，则n = (2,1, -2).cos < =-2 . 3因此，直线AA 与平面AD E 所成角的正弦值为2 .113【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，a +b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：c = 7, cos A =-1 ；7条件②：cos A =1, cos B =9．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =3, S = 6 3 ；2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =7, S =157.4 4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A, sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A =-17a +b =11∴a= 8 +c2- 2bc cos A∴a2= (11-a)2+ 72- 2(11-a) ⋅7 ⋅(-1)7（Ⅱ）cos A =-1，A∈(0,π)∴sin A = =4 3 7 7n, AA >=1n ⋅AA1n ⋅AA1=-43⨯ 2a2=b21- cos2A1- cos 2 B a 由正弦定理得： sin A = c ∴8 sin C 4 3 7= 7 sin C ∴sin C = 3 2S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯8⨯ 3 = 6 2 2 2 选择条件②（Ⅰ） cos A = 1 , cos B = 9，A , B ∈(0,π )∴sin A 8 16 = 3 7, s in B == 5 7 8 16a =b ∴a = 11- a ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（II ） sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + sin B cos A =3 7 ⨯ 9 + 5 7 ⨯ 1 =7S = 1 ba sin C = 1(11- 6) ⨯ 6⨯7 = 15 78 16 16 8 42 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（I ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；31- cos 2 A 男生女生支持不支持支持不支持方案一 200 人 400 人 300 人 100 人方案二 350 人250 人150 人250 人（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）1【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为33 ，该校女生支持方案一的概率为；4（Ⅱ）13,（Ⅲ）p <p 3610【解析】【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（III）先求p0，再根据频率估计概率p1，即得大小.2001【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为=，200+40033003该校女生支持方案一的概率为=；300+1004（Ⅱ）3 人中恰有2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2 人支持方案一概率为：(1)2 (1-3) +C1(1)(1-1)3=13;（III）p1 <p34233436【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数f (x) = 12 -x2．（I）求曲线y =f (x) 的斜率等于-2 的切线方程；（II）设曲线y =f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t) ，求S (t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x +y -13 = 0 ，（Ⅱ）32 .【解析】【分析】12)⋅ ，( ) （I ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（II ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2 ，所以 f '( x ) = -2x ，设切点为( x 0 ,12 - x 0 ) ，则-2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1 ，所以切点为(1,11) ，由点斜式可得切线方程： y -11 = -2 ( x -1) ，即2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然t ≠ 0 ，因为 y = f (x ) 在点(t ,12 - t 2 ) 处的切线方程为： y - (12 - t 2 )= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2 +12 ，令 y = 0 t 2 +12 ，得x = ，2t所以S (t ) = 1⨯(t 2 + t 2 +12 22 | t |不妨设t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，t 4 + 24t 2 + 1441 则 S t == (t 3+ 24t + 144) ， 4t4 t所以 S '(t ) = 1(3t 2 + 24 - 144 3(t 4 + 8t 2 - 48)) = 4t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12)3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)==，4t 24t 2由 S '(t ) > 0 ，得t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得0 < t < 2 ，所以 S (t ) 在(0, 2) 上递减，在(2, +∞) 上递增，所以t = 2 时， S (t ) 取得极小值，也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆C :x 2+y 2= 过点 A (-2, -1) ，且a = 2b ．a 2b21y + ⎨ 2 y y2 （I ）求椭圆 C 的方程：（II ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求| PB |的值．| BQ |【答案】（Ⅰ） x 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： x 2 y = 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 + 1 = 1a b⎧a 2 = 8 ⎪ a2⎪⎩b 2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b = 2故椭圆方程为： x 2+ = 1.82(2)设 M (x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2 ( x + 4)2 = 8 ，8 2即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =4k 2+1, x 1x 2 =64k 2 - 8 .4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1 - x 1 + 2 = -(2k +1)( x 1 + 4) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 21 1 1 12 2 22 2= ⨯= ，a n n a同理可得： y = -(2k +1)( x 2 + 4) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：=，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Qx + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤ 2 ⎢ 4k 2 +1+ 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2 - 8) + 3⨯(-32k 2 ) + 8(4k 2 +1)2 0 4k 2+1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{a n } 是无穷数列．给出两个性质：2①对于{a }中任意两项a i , a j (i > j ) ，在{a } 中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm ja 2②对于{a n }中任意项a n (n …3) ，在{a n } 中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得a n(I) 若a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；= k ．a l(II) 若a = 2n -1(n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (III) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n } 为等比数列.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【解析】PBPQy Py Q PB PQ y Py QQa 2 a a ma 【分析】(I) 根据定义验证，即可判断；(II) 根据定义逐一验证，即可判断；a 2 (III) 解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a 3 = 2，最后，用数学归纳法证明数a 1列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1, a 2 , a 3 成等比数列，之后证得a 1, a 2 , a 3, a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.a 29 【详解】(Ⅰ)Q a = 2, a = 3, 3 = ∉ Z ∴{a } 不具有性质①； 2 3 n2a 2 a 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N *, i > j , i = 2(2i - j )-1, 2i - j ∈ N * ∴ i = a∴{a }具有性质①； a j a ja 22i - j nQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1,l = n - 2, k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a } 具有性质②；n nl(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设N 0 = max {n | a n < 0} ，第一种情况：若 N 0 = 1，即a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 <，由①可知：存在m 1 ，满足a a 2 = 2 < 0 ，存在m 2 ，满足aa 2 = 3 < 0 ， m 1 m 21 1a 2 a 2由 N 0 = 1可知 2= 3 ，从而a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. a 1 a 1a 2第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数m ，满足a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知：m ≤ N ，0 012 2另一方面， a m = N 0> N 0 = aa a N 0 ，由数列单调性可知： m > N 0 ，1N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.aaa 1a 1 1 1a 综上可得，数列中的项数同号.a 2 其次，证明a 3 = 2：a 1利用性质②：取n = 3 ，此时a 32= k (k > l ) ， a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3) 项成等比数列，不妨设a s= a q s -1(1 ≤ s ≤ k ) ，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 情况类似）由①可得：存在整数m ，满足 a a2= k = a q k > a，且a = a q k ≥ a（*）a k -1a 2 am 1 k +1由②得：存在 s > t ，满足： a = s = a ⋅ s > a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， k +1 a s a ss -1t t22s -t - - 由 a = a q (1 ≤ s ≤ k ) 可得： a = s= a q 1 > a = a q k 1 （**）s 1 k +1 1 k 1t 由（**）和（*）式可得： a q k ≥ a q 2s -t -1 > a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，注意到 s , t , k 均为整数，故k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a= a q k .k +11总上可得，数列{a }的通项公式为： a = a q n -1 .nn1即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：m1 kaa 1 4 1 4 1 4 1 4 1 首先利用性质②：取n = 3 ，此时 a 3由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，2= k (k > l ) ， a l而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1即 a , a , a 成等比数列，不妨设a = a q , a = a q 2(q > 1) ，1232 13 1a 2 a 2q 4然后利用性质①：取i = 3, j = 2 ，则a = 3 = 1 = a q 3 ， a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明a = a q 3，否则，由数列的单调性可知 a < a q 3 ，在性质②中，取n = 4 ，则a a 2 = k = a a k > a，从而k < 4 ，4 a k a kl l与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4a 2a 2= k ，a l若 k = 3, l = 2 ，则： a = k = a q 3，与假设矛盾；1la 2 若 k = 3, l = 1，则： a = k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 1 1la 2若 k = 2, l = 1 ，则： a = k = a q 2= a ，与数列的单调性矛盾；1 3l即不存在满足题意的正整数 k , l ，可见a < a q 3 不成立，从而a = a q 3，同理可得：a = a q 4 , a = a q 5 , ，从而数列{a } 为等比数列，5161n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n } 为等比数列.m 14a 4 a 4a【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

2024年北京高考数学真题+答案

2024年北京高考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A ．{}43x x -<<B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1,2D ．{}14x x -<<2．已知i 1iz=-，则z =（）．A ．1i -B ．i-C ．1i--D ．13．求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．3B ．2C ．32D 64．(4x x 的二项展开式中3x 的系数为（）A ．15B ．6C ．4-D ．13-5．已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．47．记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A ．12n n C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，2222试卷第2页，共4页棱锥的高为（）A．2B．2C．D9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A ．12122log 22y y x x ++>B ．12122log 22y y x x ++<C ．12212log 2y y x x +>+D ．12212log 2y y x x +<+10．若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A ．3d =，1S C．d =，1S <D．d =，1S >二、填空题11．已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．12．已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为．13．已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．14．已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为．15．已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题16．在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos 7B b B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17．已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．(1)若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19．已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．试卷第4页，共4页20．已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．(1)若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；(2)证明：切线l 不经过()0,0；(3)已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．若1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．参考答案：1．A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A.2．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.3．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+==，故选：C.4．B【分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=.故选：B.5．A【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，答案第2页，共15页若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.6．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.7．C【分析】根据题意分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C.8．D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知PO ⊥平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，答案第4页，共15页可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.10．C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定[]1,2x ∈，则()210x x x x -=-≥，且[]0,1t ∈，可知()222x x t x x x x x x ≤+-≤+-=，即2x y x ≤≤，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，如图阴影部分所示，其中()()()1,1,2,2,2,4A B C，可知任意两点间距离最大值d AC ==阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯=△.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．11．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.12．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是122⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.13．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立3x =与2214x y -=，解得y =设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.14．115mm,23mm 2【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.答案第6页，共15页【详解】设第一个圆柱的高为1h ，第二个圆柱的高为2h ，则2222212325325ππ230221065325ππ22h h h ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故223mm h =，1115mm 2h =，故答案为：115mm,23mm 2.15．①③④【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确.对于②，取()112,2,n n n n a b --==--则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b --===--，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设()0,1nn b Aq Aq q =≠≠±，()0n a kn b k =+≠，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解，若0,1q q >≠，则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解，矛盾；若0,1q q <≠±，考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数，当n Aq kn b =+有偶数解，此方程即为nA q kn b =+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln 0Ak q >，否则ln 0Ak q <，因,ny A q y kn b ==+单调性相反，方程nA q kn b =+至多一个偶数解，当n Aq kn b =+有奇数解，此方程即为nA q kn b -=+，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln 0Ak q ->即ln 0Ak q <否则ln 0Ak q >，因,ny A q y kn b =-=+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个奇数解，因为ln 0Ak q >，ln 0Ak q <不可能同时成立，故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为{}n a 为单调递增，{}n b 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.16．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为4.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos 7B B b B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin B，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 714142B ===，因为2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；答案第8页，共15页选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B b =得2147b ⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则1115sin 7322144ABC S ab C ==⨯⨯ .选择③sin c A =c 5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C =，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C =，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△17．(1)证明见解析【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【详解】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .（2）因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=- 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z = ，则由00m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c = ，则由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故cos ,m n == ，故平面PAB 与平面PCD18．(1)110(2)(i)0.122万元(ii)0.1252万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求()E X .答案第10页，共15页（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求()E Y .【详解】（1）设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得()603010180010060301010P A ++==++++.（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======，603( 1.6)100050P ξ===，303( 2.4)1000100P ξ===，101(3)1000100P ξ===，故()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=，故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=（万元）19．(1)221,422x y e +==(2)2t =【分析】（1）由题意得b c ==a ，由此即可得解；（2）说明直线AB 斜率存在，设(:,AB y kx t t =+>，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k --+==++，而()121112:y y AD y x x y x x -=-++，令0x =，即可得解.【详解】（1）由题意b c ===2a =，所以椭圆方程为22142x y +=，离心率为2e =；（2）显然直线AB 斜率存在，否则,B D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,2AB y kx t t =+>，()()1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t +++-=，由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t =-+-=+->，即,k t 应满足22420k t +->，所以2121222424,1221kt t x x x x k k --+==++，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y -，所以()121112:y y AD y x x y x x -=-++，在直线AD 方程中令0x =，得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t -++++++====+==+++-，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩，即k 应满足22k <-或22k >，综上所述，2t =满足题意，此时22k <-或22k >.20．(1)单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k =-，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t=+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S = 得到13ln(1)21501t t t t+--=+，再设新函答案第12页，共15页数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t=+-->+研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x '=-+=-=>-++，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∞∈+，()0f x '>；()f x ∴在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）()11k f x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即ln(1)1k t k t t tt ++=++，则ln(1)1t t t +=+，ln(1)01t t t +-=+，令()ln(1)1t F t t t=+-+，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t +-'=-=>+++，()F t ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0F t F >=，()F t ∴在(0,)+∞无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k =时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x +'=++=+=>++.1()2ACO S tf t = ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q ≠.所以0q >，则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭，令0x =，则ln(1)1t y q y t t ===+-+.215ACO ABO S S = ，则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，13ln(1)21501t t t t ∴+--=+，记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t=+-->+，∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t +-++-+--+-=--===+++++'，当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，此时()h t 单调递增；当()4,t ∞∈+时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h ⎛⎫==-⨯-=> ⎪⎝⎭，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h ⨯=--=--<⨯--=-<，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.21．证明见解析【分析】分充分性和必要性两方面论证.【详解】我们设序列()21...k T T T A 为{}(),18k n a n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤.必要性：若存在序列12:,,...,s ωωωΩ，使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.根据()21...k T T T A 的定义，显然有,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.所以不断使用该式就得到，12345678a a a a a a a a +=+=+=+，必要性得证.充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以答案第14页，共15页()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.同时，由于k k k k i j s t +++总是偶数，所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,2,4,6,8k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2-1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2-2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤.假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j s t ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),s na A =Ω是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。

年高考真题试卷(北京卷)数学(文科)参考答案

年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ5．Ａ6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｃ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．3 10．211n -11．3-12．10213．72514．1 1三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 16．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，． 17．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，225CE CO OE ∴+=又132DE AO == ∴在Rt CDE △中，515tan 33CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，，(003)OA ∴=，，，(213)CD =-，，，cos OA CD OA CD OA CD∴<>=，6642322==． OC ADBEOADyz∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos4． 18．（共13分）解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为610661512.15121010A P ==0≥．（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010C P ⨯===． 19．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又22(20)(02)22AM =-++=从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以22PM PN =+ 即22PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22 因为实半轴长2a =2c =．所以虚半轴长222b c a =-从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤． 20．（本小题共14分）解：（I ）由方程22y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得220x kx -+=． ················ ① 依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，解得22k > （II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，由2112y x =+，并令0y =，得1112x t x =- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，故212828k k x k k -==+-22k > 1x 是关于k 的减函数，所以1x 的取值范围是(02)，．t 是关于1x 的增函数，定义域为(02)，，所以值域为()-∞，0，（III ）当12x x <时，由（II ）可知1112x OM t x ==-+．类似可得2212x ON x =-．1212122x x x x OM ON x x ++-=-+．由①可知122x x =．从而0OM ON -=．当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．。

2024年北京高考数学真题(详解版)

2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。

高考文科数学北京卷试题与答案word解析版

普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：24x ＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点． (1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1＞0.证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题共40分)17．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .所以平面BEF ⊥平面PCD .18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ，f (0)＝1＜b ，所以存有x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b . 因为函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+.所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)因为a 1＞0，公比q ＞1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．所以，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1.于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.所以d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d ＞B i ＋d i ＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1＞A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．所以A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n －1.所以a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .所以对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．。

全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷)(解析版)

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考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.点睛：此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.5. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 6. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.7. 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O x 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

完整word版北京高考数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一局部〔选择题共40分〕一、选择题：共8个小题，每题5分，共40分。

在每题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕假设集合A x 5 x 2,B x 3 x 3,那么A B 〔〕(A) x 3 x 2 (B) x 5 x 2 (C) x 3 x 3 (D) x 5 x 3〔2〕圆心为〔1，1〕且过原点的圆的方程是〔〕A〕x1（C〕x1222y12 y11〔B〕x11222y12 y12〔D〕x12〔3〕以下函数中为偶函数的是〔〕〔A〕y x2sinx〔B〕y x2cosx〔C〕y lnx〔D〕y2x〔4〕某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，那么该样本的老年人数为〔〕A〕90〔B〕100〔C〕180〔D〕300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300〔5〕执行如下图的程序框图，输出的k值为〔〕A〕3〔B〕4(C)5(D)6〔6〕设a,b是非零向量，“ab ab〞是“a//b〞的〔〕（〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件C〕充分必要条件D〕既不充分也不必要条件〔7〕某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥最长棱的棱长为〔〕(A)1〔B〕错误！未找到引用源。

〔B〕错误！未找到引用源。

(D)2〔8〕某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为〔〕加油时间加油量〔升〕加油时的累计里程〔千米〕2021年5月1日12350002021年5月15日4835600注：“累计里程〞指汽车从出厂开始累计行驶的路程〔A〕6升〔B〕8升〔C〕10升〔D〕12升第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕复数i1i的实部为．1〔10〕23,32,log25三个数中最大数的是．〔11〕在ABC中，a3,b6,A2,那么B．3〔12〕2,0是双曲线x2y21b0的一个焦点，那么bb2．〔13〕如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D Px,y为D中任意一点，那么z2x3y的最大值，为．14〕高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如以下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。