北京高考文科数学试题及答案(整理版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =I （ ）

A ．{}0

B ．{}1,0-

C ．{}0,1

D ．{}1,0,1-

2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）

A ．ac bc >

B ．11a b <

C ．22a b >

D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）

A ．1y x

= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3

A =，则sin

B =（ ） A ．15 B ．59

C ．53

D ．1 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

A ．1

B ．

23

C ．1321

D ．610987 7．双曲线2

2

1y x m -=的离心率大于2的充分必要条件是 A ．12

m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >

8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到

各顶点的距离的不同取值有（ ）

A ．3个

B ．4个

C ．

5个 D ．6

个

第二部分（选择题 共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．若抛物线2

2y px =的焦点坐标为(1,0)，则p =

，准线方程为 。

10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。

11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。

12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩

所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值

为 。

13．函数12log ,1()2,1

x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为 。

14．向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r （12λ≤≤，01μ≤≤）

的点P 组成，则D 的面积为 。

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）

15．（本小题共13分）

已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42

f x x x x =-+

（1）求()f x 的最小正周期及最大值。

（2）若(

,)2παπ∈，且()2

f α=，求α的值。

16．（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。

（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。

（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17．（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：

（1）PA ⊥底面ABCD

（2）//BE 平面PAD

（3）平面BEF ⊥平面PCD

18．（本小题共13分）

已知函数2()sin cos f x x x x x =++

（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。

19．（本小题共14分）

直线y kx m =+（0m ≠）W ：2

214

x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点

（1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长。

（2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形。

20．（本小题共13分）

给定数列1a ，2a ，L L ，n a 。对1,2,3,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，L L ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-。

（1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值。

（2）设1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列。

（3）设1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列。

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）