位置随动系统

1位置随动系统的结构与工作原理位置随动系统的结构组成位置随动系统的原理图如图1-1。

该系统的作用是使负载J(工作机械)的角位移随给定角度的变化而变化，即要求被控量复现控制量。

系统的控制任务是使工作机械随指令机构同步转动即实现：Q(c)=Q(r)图1-1 位置随动系统原理图Z1—电动机，Z2—减速器，J—工作机械系统系统主要由以下部件组成：系统中手柄是给定元件，手柄角位移Qr是给定值（参考输入量），工作机械是被控对象，工作机械的角位移Qc是被控量（系统输出量），电桥电路是测量和比较元件，它测量出系统输入量和系统输出量的跟踪偏差（Qr –Qc）并转换为电压信号Us，该信号经可控硅装置放大后驱动电动机，而电动机和减速器组成执行机构。

系统的工作原理控制系统的任务是控制工作机械的角位移Qc跟踪输入手柄的角位移Qr。

如图1-1，当工作机械的转角Qc与手柄的转角Qr一致时，两个环形电位器组成的桥式电路处于平衡状态。

其输出电压Us=0，电动机不动，系统处于平衡状态。

当手柄转角Qr发生变化时，若工作机械仍处于原来的位置不变，则电桥输出电压Us不等于0，此电压信号经放大后驱动电动机转动，并经减速器带动工作机械使角位移Qc向Qr变化的方向转动，并逐渐使Qr 和Qc的偏差减小。

当Qc=Qr时，电桥的输出电压为0，电机停转，系统达到新的平衡状态。

当Qr任意变化时，控制系统均能保证Qc跟随Qr任意变化，从而实现角位移的跟踪目的。

该系统的特点：1、无论是由干扰造成的，还是由结构参数的变化引起的，只要被控量出现偏差，系统则自动纠偏。

精度高。

2 、结构简单，稳定性较高，实现较容易。

2系统的分析与设计位置随动系统方块图根据系统的结构组成和工作原理可以画出系统的原理方块图，如图2-1。

可以看出，系统是一个具有负反馈的闭环控制系统。

图2-1位置随动控制系统方块图系统数学模型的建立该系统各部分微分方程经拉氏变换后的关系式如(2-1)：(2-1)(a)(2-1)(b)(2-1)(c) (2-1)(d)(2-1)(e) (2-1)(f)(2-1)(g) (2-1)(h)根据各个环节结构图及其传函写出整个系统的结构图，如图2-2所示。

θr(s) θe(s) U(s) U a (s) I a(s) M d(s) θm θc θc(s) _ E b (s) _给定电位放大器电动机减速器负载反馈电位—RCK s K a 1/(L a S +R a ) K m1/(Js 2+Bs 1/K e s图2-2 位置随动系统的方框图由方框图写出系统的开环传递函数为： ()()2()s a ma a m K K K G s i L S R JS BS K =⎡⎤+++⎣⎦（2—2）式中：La —电动机电枢绕组的电感Ra —电动机电枢绕组的电阻 Km —电动机的转矩系数Ke —与电动机反电势有关的比例系数 Ks —桥式电位器的传递系数 Ka —放大器增益 i —减速器速比J —折算到电动机轴上的总转动惯量B —折算到电动机轴上的总粘性摩擦系数 如果略去电动机的电枢电感La ，并令1s a m a K K K K iR =, m e aK KF B R =+ .其中，K1称为增益，F 称为阻尼系数。

那么在不考虑负载力矩的情况下，位置控制系统的开环传递函数可简化为：)1()(+=Ts s Ks G 其中，K=K 1/F ，称为开环增益，为需要选定的参数；T=J/F ，称为机电时间常数，一般为系统保留下来的固有参数。

则可得相应的闭环传递函数为：2()()1()G s Ks G s TS S KΦ==+++ （2-3）由此该位置控制系统可简化为一个二阶系统，其原理图如图2-3所示：图 2-3 近似后系统的方框图将式（2-3）与二阶系统的闭环传递函数的标准形式比对：222()()1()()2G s s G s H s S S ωζωωΦ==+++ （2-4）可得：自然频率 n ω=（2-5）（a ） 阻尼比 ζ=ζ=（2-5）（b ） 根据时域分析中讲过的公式，可以算出不同K 值下系统的性能指标如表2-1。

表2—1 时域指标的计算值由上表可见，当开环放大倍数K 越大，对应的阻尼比ξ越小，则相位裕量愈大，最大超调量愈小，但同时快速性将变差。

令式（2-4）的分母多项式为零，得二阶系统的特征方程：222n n S S ωζω++=0 (2-6)其两个根（闭环极点）为： 1,2n S ζωω=-±（2-7）显然，二阶系统的时间响应取决于ζ和Wn 这两个参数。

根据式（2-5）中ζ，n ω与K ，T 之间的关系，可求出K 和T 与动态性能指标之间的关系，从而间接的得到了Ks ，K A ，J ，B 及i,Ke 等系统参数与动态性能指标之间的关系。

系统的参数选择根据对系统设计的要求，取可控硅装置的放大倍数：K a =40 取电动机的额定功率P N =27KW ，则可得：360602710176.6922 3.141460N N N P T N M N M n π⨯=•=••=•⨯176.691.3136N m T aN T K C I =Φ=== 20.1460E T C C πΦ=•Φ= 02201571.430.14aN E U n C ===Φ 则可得起动到额定转速时的转速超调量为：01571.431460%100%100%8%10%1460aN n aN n n n δ--=⨯=⨯=<，满足设计要求 取. 0.115a R =Ω，由0a a a a U E I R -=得，0161390.115a I A == 则电流超调量为：0139136%100%100%2%5%136a a i a I I I δ--=⨯=⨯=<，满足设计要求。

1.3136176.8T a T C I =Φ=⨯=由式2n T Jπ=得，22 3.14176.80.761460T J n π⨯⨯=== 为了方便计算，取B=，则0.707n Tω== 又因为 0.760.320.14 1.30.760.115m e aJ J T K K F B R ====⨯++ ，所以可得0.7072.210.32n ω==由以上的分析及参数的选择，可得所设计的位置系统的开环传递函数为：4.88195.20()( 3.12)( 3.12)a K G S S S S S ==++3 系统的性能分析系统性能的时域分析3.1.1 系统稳定性的判定由系统的开环传函 4.88195.20()( 3.12)( 3.12)a K G S S S S S ==++得系统的特征方程为： 02.19512.32=++s s 运用劳思判据判定系统的稳定性。

写出系统的劳思表如下：2s 1 1s 00s根据劳思判据：线性系统稳定的充分必要条件是劳思表中第一列严格为正。

由系统劳思表知，第一列中全为正数，所以该系统稳定。

3.1.2系统稳态性能的分析系统的稳态误差计算公式如下：2()()( 3.12)()()()()()()195.21() 3.12195.21( 3.12)R S R S S S R S E S R S C S S R S G S S S S S +=-=Φ===+++++由于系统为I 型系统，所以在单位阶跃信号作用下的稳态误差为：0)2.19512.3()121.3()(lim 220=+++==→s s s s s sE e s ss 由此可得Ⅰ型系统可实现无差跟随输入新号，设计满足稳态性能要求。

3.1.3系统动态性能的分析在控制系统中，通常都希望控制系统都具有适度的阻尼，较快的响应速度和较短的调节时间，因此在该系统的设计中取ζ=，即取K=1/2T 。

延迟时间t d t d = (1+ζ)/n ω =（s ）上式表明，增大自然频率n ω或减小阻尼比ζ，都可以减小延迟时间。

或者说，当ζ不变时，闭环极点距S 平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当n ω不变时，闭环极点距S 平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。

调节时间t s 3.53.5(5%) 2.24()0.707 2.21s nt s δζω====⨯4.54.5(2%) 2.88()0.707 2.21s nt s δζω====⨯上升时间t r3.140.751.51()2.210.707r d t s πβω--====⨯可见，当阻尼比ζ一定时，阻尼角β不变，系统的响应速度与n ω成正比，而当阻尼震荡频率n ω一定时，阻尼比越小，上升时间越短。

峰值时间t p2.01()p d t s πω====ζ一定时, n ω↑→p t ↓，而n ω一定时,ζ↑→p t ↑。

超调量σ℅ %3%21/==--ζζπσeσ%只与ζ有关，与n ω无关。

根据以上对系统的稳态性能的分析可概略画出位置系统在欠阻尼情况下的响应曲线。

r p s 图3-1 欠阻尼情况下的系统的响应曲线系统的频域性能分析3.2.1 系统频率特性系统的开环传递函数为： 4.88195.20()( 3.12)( 3.12)a K G S S S S S ==++用j ω代S 得系统的频率特性为：()195.20() 3.12G j j j ωωω=+上式可化为：242195.2609()9.73j G j ωωωωω+=-+则可得：242195.2Re[()]9.73G j ωωωω=-+ ， 42609[()]9.73j Im G j ωωωω=-+ 当ω→0+时，()G j ω→∞ ，()G j ω∠→900 当ω→∞时，()G j ω→0 ，()G j ω∠→1800 求开环幅相曲线与实轴的交点： 令虚部等零，即42609[()]9.73j Im G j ωωωω=-+=0 ，所以开环幅相曲线与实轴交点在坐标原点。

则可绘制开环幅相曲线，如图3-2。

图3-2 系统的开环幅相曲线4 系统的校正设计系统校正设计指标校正后系统的性能指标应满足： 速度位置误差 1.0≤ss e 相角裕度 50≥'γ截止频率 s rad c /14≥'ω在该系统设计中，根据系统的特点及对系统的总体要求，采用了串联超前校正。

采用串联超前校正可以增大系统的截止频率，从而使闭环系统的带宽也增大，使响应速度加快。

串联超前校正网络的传递函数为：11)(++=Ts Ts s G αα式中α为分度系数，T 为时间常数。

超前网络的最大超前角频率为 αωT m 1=最大超前相位角为 ααϕ+-=11arcsinm 校正设计的步骤首先调整开环增益。

因为：1.01≤=Ke ss 故取1)(10-=rad K ,待校正系统开环传递函数为：)12.3(10)(+=s s s G根据系统的频率特性，计算出系统的截止频率c ω 即令 1)12.3(2.195)(=+=ωωωj j j G得： s rad c /9.13=ω 根据截止频率即可求出系统的相角裕度γ7.12)12.3arctan90(180)(180=--+=∠+=cc j G ωωγ而二阶系统的幅值裕度必为∞+。