(完整)高三文科数学基础题10
高三文科数学试卷电子版
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。
湖南省长沙市2024届高三上学期统一检测文科数学试题
长沙市2024届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于其次象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.4.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.若，满意，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -3211.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.512.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________．15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是__________．16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的首项，，且对随意的，都有，数列满意，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.18.如图，已知三棱锥的平面绽开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.19.为了解某校学生参与社区服务的状况，采纳按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参与社区服务的时间的统计数据好下表：超过1小时不超过1小时男20 8女12 m（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参与社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参与社区服务时间超过1小时的频率作为该事务发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参与社区服务时间超过1小时的人数.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82820.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.21.已知函数， .（Ⅰ）试探讨的单调性；（Ⅱ）记的零点为，的微小值点为，当时，求证.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.23.已知函数.（Ⅰ）当，求的取值范围；（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.长沙市2024届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简洁题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于其次象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后依据复数对应点位于其次象限，即可得到m范围. 【详解】,复数对应的点为（），若点位于其次象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故解除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故解除；选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故解除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的推断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，依据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．【点睛】本题考查几何概型，先要推断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，明显结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础学问，考查空间想象实力，是中档题．6.若，满意，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】依据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最终通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，依据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简洁应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可干脆得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心. 【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简洁应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算实力.12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。
高三文科数学基础试卷答案
一、选择题1. 答案：A解析：由指数函数的性质知，当底数大于1时，指数函数是增函数，故选A。
2. 答案：C解析：由对数函数的性质知，当底数大于1时，对数函数是增函数，故选C。
3. 答案：D解析：由三角函数的性质知，正弦函数在第二象限是增函数，故选D。
4. 答案：B解析：由向量加法的平行四边形法则知，两个向量的和的模长等于这两个向量的模长之和，故选B。
5. 答案：A解析：由数列的通项公式知，这是一个等差数列，首项为2，公差为2，故选A。
二、填空题6. 答案：$\frac{1}{2}$解析：由等比数列的通项公式知，$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，代入$a_1 = 2$，$q = \frac{1}{2}$，$n = 5$，得$a_5 = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{5-1} =\frac{1}{2}$。
7. 答案：$3\pi$解析：由圆的周长公式知，$C = 2\pi r$，代入$r = 3$，得$C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$。
8. 答案：$-1$解析：由一元二次方程的根与系数的关系知，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，代入$a = 1$，$b = 2$，得$x_1 + x_2 = -2$，又因为$x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}$，代入$c = 1$，得$x_1 \cdot x_2 = 1$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，故选$-1$。
9. 答案：$2\sqrt{3}$解析：由三角函数的性质知，$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，代入$\sin \theta = \frac{1}{2}$，得$\cos \theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，由题意知$\cos \theta > 0$，故选$2\sqrt{3}$。
10. 答案：$\frac{1}{3}$解析：由排列组合的公式知，$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$，代入$n = 5$，$m = 3$，得$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 60$，故选$\frac{1}{3}$。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)第I 卷(选择题共50 分)10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.22 (A )( B )35【答案】D【解析】总的可能性有 10种，甲被录用乙没被录用的可能性(1)【2013年安徽，文 【答案】 (A) D 1, 5分】设i 是虚数单位，若复数 a 10 (a R)是纯虚数，3 i (C ) 1 则a 的值为(【解析】 10 10 3 i 3 i 3 i (B) (D)10 3 i 10 3 i a 10 ，所以a 3，故选D .【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题. (2)【2013年安徽，文2, 5分】知A x|x 1 0 ,B (A ) 2, 1 (B ) 2 【答案】A 2, 1,0,1 ，贝U (C R A) IB ()(C ) 1,0,1 (D)0,1 【解析】x 1 , C R A {X |X 1} , (C R A) I B { 1, 2}，故选 A . 【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题. (3)【2013年安徽，文3, 5分】如图所示，程序据图(算法流程图)的输出结果为( )(A ) 2 3 4 5 (B ) 1 (C ) 11 (D ) 25 4 612 24 【答案】C【解析】n 2,s 0,s c 1 1 0 ; n 1 1 1 4,s —,s 3 ；n 「 3 3 1 112 2 2 24 4 4 6 1n 8, s ，输出，故选C . 12【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题. (4)【2013年安徽，文4, 5分】“2x 1)X 0 ”是’X 0 ”的( ) iS —Oi.(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 【答案】B (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 1 【解析】(2X 1)X 0,X 0或 一，故选B . 2 【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题. (5)【2013年安徽，文5, 5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的 机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )、选择题：本大题共3种，乙被录用甲没被录用的可能性 3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率 p 3 3 3 1，故选D .10【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题. (6)【2013年安徽，文6, 5分】直线X 2y 55 0被圆X 2 y 2 2X 4y 0截得的弦长为()(A ) 1 ( B ) 2( C ) 4( D ) 4 6【答案】C1+4_5+ 亦. -------【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离 d _______ =一=1，半径r 勇，所以弦长为2寸(冷)2 12 4，故选C .J 5(D )9 10【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题. (7)【2013年安徽, (A ) 6 A 文7, 5分】设S n 为等差数列 (B ) 4 a n 的前n 项和，S 8 4a 3,a 7 (C ) 2 2，则 a g ((D ) 2 【答案】 【解析】 S 8 4a 3 2 考查等差数列通项公式和前 (8)【2013年安徽，文 【点评】 8(a 1 a 8), ------------ 4a 3 a 3 a 6 a 3 , a s 0, d 2, a g a 7 2d 不同的数x ，x 2,L 【答案】 【解析】 (A) 2,3 B f (X 1) X f (X i ) n 项公式的应用，以及数列基本量的求解. 8, 5分】函数y f(x)的图像如图所示，在区间 a, ,X n ，使得空L X 1 X 2(B) 2,3,4f (x)的图像如图所示，在区间 a,b 上可找到n(n f(Xn)，则n 的取值范围为( ) X n (C ) 3,4 (D) 3,4,5 x 1 0 0表示(x 1,f(^))到原点的斜率；f(X1) X i (X 1,f(X 1)),(X 2, f(X 2))丄“，f(X n ))与原点连线的斜率，而 上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有 考查数学中的转化思想，对函数的图像认识. (9)【2013年安徽， (f(x 2) L f(Xj 表示 X 2 X n (X, f (Xj),(X 2, f (X 2)),L ,(X n , f (Xj)在曲线图像 3个，故选B . 【点评】 则角C 文9,5分】设ABC 的内角 )A, B,C 所对边的长分别为 a,b,c ,右 b c 2a,3sin A 5sin B , 【答案】(A) 3 I B2 (B) 23(C) 34 【解析】 Q 3sin A 5sin B 由正弦定理，所以 3a 5 5b,即a b ;因为b c 3 2a ，所以c a 2 b 22ab 1 -，所以C 22 3 考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度. cosC 故选 【点评】(1 0)【20 1 3年安徽，文1 0, 5分】已知函数f (x) 于x 的方程3(f (X)) 2af(x) b 0的不同实根个数为((A )- 3 A 2 ax bx (C ) 【答案】 【解析】 【点评】 c 有两个极值点X ,X 2 , ) 若f(x) X X 2，则关 (D) 0f '(x) 3x 2 2ax b , x 1,x 2 是方程 3x 2 2ax b 则又两个f (x)使得等式成立，x 1 f (x 1) , x 2 如图则有3个交点，故选 A . 考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解. 共100分)第口卷(非选择题二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共 (11)【2013年安徽, 11, 5分】函数y ln(1 【答案】 【解析】 0,1 1 1 0x 1 X 2【点评】 由 3(f(x))2 2af(x) 0的两根， X f(x)，其函数图象如下: b25分.把答案填在答题卡的相应位置. 0或X1，求交集之后得考查函数定义域的求解，对数真数位置大于(12)【2013年安徽，文12, 5分】若非负数变量―)<1 x 2的定义域为X X 的取值范围 °」.0.0,分母不为0,偶次根式底下大于等于x,y 满足约束条件 x y1，则x y 的最大值为x 2y 4【答案】 【解析】 4由题意约束条件的图像如下：当直线经过取得最大值. 考查线性规划求最值的问题， z 取最大. （13）【2013年安徽，文13, 5分】(4,0)时，z x y【点评】要熟练掌握约束条件的图像画法, rr a 3 ba 若非零向量a ,b 满足 【答案】【解析】 的余弦值为_ 13 等式平方得:4、jI•'J厶7 ■i 卫 1T以及判断何时 2b ，则a,b 夹角 【点评】 r 2 9b r 24b 4a b 则 r 2 4b ir r 4|a||b|cos ，即 r 20 4 b 4 3b|2cos ,13考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简. 得cos （14）【2013年安徽，文14,5分】定义在R 上的函数f （x ）满足f （x 1） 2f （x ）.若当0 x 1时.f （x ） 0 时，f （x ） .x(1 x)，【答案】 则当1 xx(x 1) 【解析】 所以f （x ）0 ,则 0 x x(x 1) 1 1，故 f (x 1) (x 1)(1 x 1) x(x 1)，又 f (x 1) 2f (x), 2 考查抽象函数解析式的求解. 【点评】 （15）【2013年安徽，文15, 5分】如图，正方体 ABCD AB iG D ,的棱长为1 , P 为BC 的中点，Q 为线段CG 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ，则下列命题正确的是 _________ （写出所有正确命题的编号） ①当0 CQ 1时，S 为四边形；②当CQ 2 1时，S 为等腰梯形; 2 ③当CQ -时，S 与C 1D 1的 4 A交点R 满足C 1R1 ；④当3 3 4 CQ 1 时, S 为六边形；⑤当 CQ 1时，S 的面积为 62 【答案】①②③⑤ 【解析】（1） CQ S 等腰梯形, ②正确，图（1）如下；（2）CQ 1， S 是菱形，面积为 226，⑤正确，图如下；（3）CQ 3，画图（3）如下: 4，③正确;是五边形，④不正确；（5） CQ 图（1） 图（5） 丄，如下图（5），是四边形，故①正确.2(4) 3 CQ 1,如图(4)40 图（4） 图（2） 【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面. 三、解答题：本大题共 6题，共75分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程•解答写在答题卡上的指定 区域内. (16)【2013年安徽，文16, 12分】设函数f(x) si nx sin(x ^).解：(1 )设甲校高三年级学生总人数为 n •由题意知，30 0.05，即n 600 .样本中甲校高三年级学生数学成n绩不及格人数为5 •据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1 — 5 ._ _30 6 (2)设甲、乙两校样本平均数分别为 为，冷.根据样本茎叶图可知，30 xr xr30$ 30x 27 555 8 1424 12 6526 24 7922 202 49 53 77 2 92 15 .因此为沁 0.5 .故为沁的估计值为0.5分.【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力. (18)【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥 P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，BAD 60o .已知 PB PD 2,PA 6 . (1) 证明：PC BD ; (2)若E 为PA 的中点，求三菱锥 P BCE 的体积.] 解：(1)连接AC ，交BD 于O 点，连接PO .因为底面 ABCD 是菱形，AC BD ，BO DO .由 PB PD 知，PO BD .再由 POI AC O 知，BD 面 APC ，因此 BD PC . =1 1(2)因为 E 是 PA 的中点，所以 v P BCE V C PEBV C PAB V B APC .由 PB PD AB AD 2 22(1 )求f (x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合; (2)不画图，说明函数 y 解：(1) f(x)sin x sin x cos —3 J (3)2 (当)2 sin(xf (x)的图像可由y sinx 的图象经过怎样的变化得到.cosx2cosxs in — sinx 1si nx 芒cosx 3 2 2 3 . sinx 2此时x {x|x64 32k 【点评】2k , ,k Z}.—)、；3si n(x —)，当 sin(x4 x2k ,(k Z)，所以，31时, f (x)min : 3 ,f (x)的最小值为.3，此时x 的集合y sinx 横坐标不变，纵坐标变为原来的 3倍，得y .3sin x ;然后y3sin x 向左平移—个单位,6得 f (x)3sin(x) • 6本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.能力，中等难度. 考查逻辑推理和运算求解甲乙7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 554333100 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0022233669 7 5 4 4 2 8 115 5 8 2 0 9 0 求甲校高三年级学生总人数, 0.05, (1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(2) 设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 (17)【2013年安徽，文17, 12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样, 从这两校中各抽取 30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：并估计甲校高三年级这 x ( ,X 2，估计 x x 2的值. 92知，ABD也PBD .因为BAD60，所以PO AO43，AC 2运，BO 1 .r又PA恵，PO2AO22PA，即POAC，故SAPC1-PO AC 3 .2JT ■ *>1L'v.y P 11/l- * \、由(1)知，BO 面APC，因此V p BCE1—V B APC111BO S APC一 .E Z/ A1JF■ II. \M ' .I' J-'二二 X；；沙2 2 24 A 484【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论 证能力和运算能力. (19 ) 【2013年安徽，文19, 13分】设数列a n 满足a 1 2 , a ? a 4f (x) (a n a n 1 a n 2)x a n 1 cosx a n 2 sinx 满足 f \—) 0 . (1)求数列a n 的通项公式； (2)右b n 2(a n 1),求数列b n 的前n 项和£ . 2 n)由 a 1 2, a 2 a 4 8, f (x) (a n a n 1 a n 2)x a n 1 cosx a n 2 sinx , 解：(1 8，且对任意n N* ,函数f ( X ) a n a n 1 a n 2 a n 1 si nx a n 2 cosx , a n 是等差数列.而 a i 2, a 3f '(?) a n a n a n 1 a n 2 a n 1 0 , 所以 2a n 1 a na n 2(n-1) 1 n 1. (2)b n 2(a n1 利)2 n 1) 2 土) —=1 - 2【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、 运算能力. (20)【2013年安徽，文20, 13分】设函数 n 2 3n等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和 f (x) ax 2 2、.(1 a )x ,其中 a 0，区间 | x| f(x) 0 . (1) 求I 的长度(注：区间 (2) 给定常数k 0,1，当 (,)的长度定义为 1 k a 1 k 时，求 I 长度的最小值. 解：(1 )因为方程 ax 2 2(1 a )x 0(a 0)有两个实根 X 1 0, x 2 ，故f x 0的解集为｛x|X 1 X 2｝，因此区间 a_1 a2 d a 单调递增；当1 (2)设 d a a区间长度为 一 1 a2鑰，令d a k 时，d a 0，得a 1.由于0 k 1，当1 k a 1 时，d 小值必定在a 1 k 或a k 处取得.而 因此当a 1 k 时，d a 单调递减.因此当1 k 1 k1 1 k 21 k 1 1 k2 1a 1 k 时，d a 的最 2 k k 2 k 2 k 3<1，故 d(1 k) d(1 k). 【点评】考查二次不等式的求解, 能力.在区间［1 k,1 k ］上取得最小值 2 2k k 并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的 以及导数的计算和应用, 2 (21)【2013年安徽，文21, 13分】已知椭圆c ：笃 a 2 yb 2 1(a b 0)的焦距为4,且过点P( 2, 3). (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设Q(X o , yoX^y 。
高考文科数学集合专题讲解与高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M 的关系是a M ，或者a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x| x 具有的性质} ，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C ，则A C(4)若A B且B A，则A BA(B)B A或真子集A B（或B A ） A B，且 B 中至少有一元素不属于 AA（1） A（为非空子集）(2)若A B且B C ，则A CB A集合相等A BA中的任一元素都属于B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)n（7）已知集合A有n(n 1) 个元素，则它有2个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，它有2n 2非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算：交、并、补.交：A I B { x | x A,且x B}并：A U B{ x | x A或x B}补：C 且A { x U , x A} U2. 主要性质和运算律（1）包含关系：A A, A,A U , C A U ,UA B,BC A C; A I B A, A I B B; A U B A, A U B B.（2）等价关系： A B A I B A A U B B C U A U B U（3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.结合律: ( A B) C A (B C); (A B) C A (B C)分配律:. A (B C) (A B) ( A C); A (B C) ( A B) (A C)0-1 律：I A , U A A,U I A A,U U A U等幂律： A A A, A A A.求补律：A∩C U A=φ A ∪C U A=U C U U=φC Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪( C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩( C U B)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
高三数学试题(文科)参考答案
2010年高考考前仿真模拟高三数学试题(文科)参考答案 2010.5一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. AADCB DABDC AB二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 8 14.A=10S 15． 2 16. ①②④三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 解:（Ⅰ）(1cos 2)()622x f x x +=-)36x π=++, ………………３分故f (x )的最小正周期π=T . …………………………………………………………４分由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ.……６分 （II）由()3f α=-)336πα++=-，故cos(2)16πα+=-. ……………………………………………………８分又由02πα<<得2666πππαπ<+<+，因此26παπ+=，∴512πα=. …………………………………………………………１０分则15tan tantan(3)212643πππα+==+==+. ………………………………１２分18．(本小题满分12分)解:（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，AC=22，取AB 中点Ｅ，连接ＣＥ，则四边形ＡＥＣＤ为正方形， ………２分∴ＡＥ＝ＣＥ＝２，又ＢＥ＝221=AB ，则ABC ∆为等腰直角三角形，∴BC AC ⊥， …………………………４分 又 ⊥PA 平面ＡＢＣＤ，⊂BC 平面ABCD ， ∴BC PA ⊥，由A PA AC =⋂得⊥BC 平面ＰＡＣ， ⊂PC 平面ＰＡＣ，所以PC BC ⊥. ………６分(Ⅱ)取P A 的中点G ，连结FG 、DG ， 则1////2G F A B D C ,∴//G F D C . ……８分∴四边形DCFG 为平行四边形，DG//CF. ……１０分 又D G ⊂平面PAD ，C F ⊄平面PAD ，∴CF//平面PAD. ………………………………１２分19．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由表知，4500.08t ==， ………………………………２分10.040.380.320.080.18y =----=，500.042x =⨯=，500.3819z =⨯=. ………………………………6分 （Ⅱ）由题知，第一组有2名同学，设为,a b ，第五组有4名同学，设为,,,A B C D . 则,m n 可能的结果为:(,),(,),(,),(,),(,),a b a A a B a C a D (,),(,),(,),(,),b A b B b C b D(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A D B D C D 共15种， ………………………………８分其中使1m n ->成立的有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a A a B a C a D b A b B b C b D 共8种，……………………10分所以，所求事件的概率为815. ………………………………12分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()113,213n n n n a S n n a S n +-=-+≥=--+ 时， , …………２分 ,12,111-=-=-∴++n n n n n a a a a a 即112(1),(2,),n n a an n +∴-=-≥∈N * ……………………………４分2221(1)232n n n a a --∴-=-=∙=n a ⎩⎨⎧≥+∙=-2,1231,22n n n ……………………………6分 （Ⅱ）113322n n n S a n n -+=+-=∙+- ,123-∙=∴n n n b ………………………………………………8分⎪⎭⎫⎝⎛++++=∴-1222322131n n n T⎪⎭⎫⎝⎛++++=nn n T 2232221312132 相减得，⎪⎭⎫⎝⎛-++++=-n n n n T 22121211312112 ,……………………………１０分 n n n nT 23221134∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴﹤34. ……………………………12分∴结论成立. 21．(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)设与22142xy+=相似的椭圆的方程22221x y ab+=则有222461a b ab⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………3分 解得2216,8a b ==.所求方程是221168xy+=. ………………6分(Ⅱ) 当射线l的斜率不存在时(0,(0,A B ±.设点P 坐标P(0,0)y ,则204y =,02y =±.即P(0,2±). ………………8分当射线l 的斜率存在时，设其方程y kx =,P(,)x y 由11(,)A x y ,22(,)B x y 则112211142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2122212412412x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩||O A ∴=同理||O B =………………10分当l 的斜率不存在时，||||4O A O B == ,当l 的斜率存在时,2228(1)4||||41212b OA OB kk+==+++ ,4||||8OA OB ∴<≤ ,综上,||||OA OB 的最大值是8,最小值是4. ………………12分 22．(本小题满分14分)解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………………………１分 当0a =时，1()2ln f x x x=+，∴222121()x f x xxx-'=-=.…………………２分由()0f x '=得12x =.()f x ，()f x '随x 变化如下表:故，m in 1()()22ln 22f x f ==-，没有极大值. …………………………４分（II ）由题意，222(2)1()ax a x f x x+--'=.令()0f x '=得11x a=-，212x =. ………………………６分若0a >，由()0f x '≤得1(0,]2x ∈；由()0f x '≥得1[,)2x ∈+∞. …………７分若0a <，①当2a <-时，112a-<，1(0,]x a∈-或1[,)2x ∈+∞，()0f x '≤；11[,]2x a ∈-，()0f x '≥.②当2a =-时，()0f x '≤. ③当20a -<<时，112a ->，1(0,]2x ∈或1[,)x a∈-+∞，()0f x '≤；11[,]2x a∈--，()0f x '≥.综上，当0a >时，函数的单调递减区间为1(0,]2，单调递增区间为1[,)2+∞；当2a <-时，函数的单调递减区间为1(0,]a -，1[,)2+∞，单调递增区间为11[,]2a -；当20a -<<时，函数的单调递减区间为1(0,]2，1[,)a -+∞，单调递增区间为11[,]2a--.…………………………１０分(Ⅲ) 当2a =时，1()4f x x x=+，2241()x f x x-'=.∵11[,6]2x n n∈++，∴()0f x '≥.∴m in 1()()42f x f ==，m ax 1()(6)f x f n n=++. …………………………１２分由题意，11()4(6)2m f f n n<++恒成立.令168k n n=++≥，且()f k 在1[6,)n n+++∞上单调递增，m in 1()328f k =，因此1328m <，而m 是正整数，故32m ≤，所以，32m =时，存在123212a a a ==== ，12348m m m m a a a a ++++====时，对所有n 满足题意.∴32m ax m =. …………………………………１４分。
河南省开封市天成学校2023届高三文科数学试题
试卷第51 页，共33 页
焦点 F 的距离 SF = 5 .不经过点 S 的直线 l 与 E 交于 A，B. (1)求抛物线 E 的标准方程； (2)若直线 AS，BS 的斜率之和为 2，证明：直线 l 过定点.
(1)解不等式 f (x) < 2x +1；
(2)若关于 x 的不等式 f (x) >| 3x + 3 | -m 有解，求 m 的取值范围.
试卷第61 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】先分别求得集合 A 和集合 B ，再根据交集的运算即可得到 A Ç B .
{ } 【详解】因为集合 A = x | x2 ³ 4 = {x | x ³ 2 或 x £ -2} ，
集合 B = {x | y = ln (3 - x)} = {x | 3 - x > 0} = {x | x < 3} ,
所以 A I B = {x | x £ -2} U{x | 2 £ x < 3} ，
即 A I B = (-¥, 2]U[2,3) ，
故选：C. 2．C
【分析】先根据复数的除法运算得到
【分析】根据题目所给函数图象分别过
(
0,1)
，
æ çè
5π 12
,
0
ö ÷ø
和
æ çè
11π 12
,
0
ö ÷ø
，再结合正弦函数的图象
与性质求得
f
(
x)
=
2 sin
æ çè
2x
高三文科数学试卷（含答案）经典题
高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为 ．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ． a b b a a b 2的值为 ．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号 甲样式甲样式 乙样式乙样式 丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ， 从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。
高三文科数学10月月考复习题(一、二、三)
7 ，求 ABAC 的值．
34．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求数列{an}的通项公式； 2Sn＋48 (2)设 bn＝ ，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值． n
27．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝1，a3＝3，则 S4＝( A．12 B．10 C．8
) D．6
28．等差数列{an}中，a5＝3，若其前 5 项和 S5＝10，则其公差 d＝______．
第 2 页 共 12 页来自29．已知数列{an}是等差数列，a3＝18，a6＝12． (1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前多少项和最大，最大值是多少?
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32.已知函数 f ( x)
(sin x cos x) sin 2 x . sin x
（1）求 f ( x ) 的定义域及最小正周期； （2）求 f ( x ) 的单调递增区间.
33．在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝3 7 ． (1)求 cosC；(2)若 CB CA
C．y＝tan 2x
9．函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是( π π A. －4，4 π 3π B. 4 ， 4
π 10．函数 y＝tan 4－x的定义域为_______________． x π 11．函数 f(x)＝ 3sin 2－4，x∈R 的最小正周期为________． π 12 ．要得到函数 y ＝ 3sin 2x＋4 的图象，只需将函数 y ＝ 3sin2x 的图象向 ________ 平移 ________个单位． π π 13．把函数 y＝sin 5x－2的图象向右平移4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短 1 为原来的 ，所得的函数解析式为 2 3π A．y＝sin 10x－ 4 7π B．y＝sin 10x－ 2 3π C．y＝sin 10x－ 2 ( )
高三文科数学高考复习试题（附答案）
高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。
(完整版)高三文科数学试题
高三文科数学试题（考试时间为120 分钟，共150 分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1. 已知会集M x ( x 2)(x 1)0 ， N x x 10 ，则 M N =（）A ．(1，2)B．(11)， C ．(2，1) D ．(2， 1)2.．复数5i（）2i1A ．2 iB ．1 2i C．2 i D ．1 2i3. 在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值： 3.841 和 6.635 ；当K2＞ 3.841 时，有 95%的掌握说明两个事件有关，当K2＞ 6.635时，有 99% 的掌握说明两个事件有关，当K 2 3.841时，认为两个事件没关 .在一项打鼾与患心脏病的检查中，共检查了2000 人，经计算的 K 2=20.87，依照这一数据解析，认为打鼾与患心脏病之间（）A ．有 95%的掌握认为两者有关B ．约有 95% 的打鼾者患心脏病C ．有 99%的掌握认为两者有关D ．约有 99% 的打鼾者患心脏病4.已知椭圆x2y2F 1、 F2， M 是椭圆上一点， N 是 MF 1的中点，161 的左右焦点分别为12若 ON1，则 MF1的长等于（）A 、 2B、 4C、 6 D 、 5x＋ y≥05. 在平面直角坐标系中，不等式组x－ y＋ 4≥0表示的平面地域面积是()x≤19A ． 3B ． 6C ．2D． 96. l 是某 参加 2007 年高考的学 生身高条形 ， 从左到右的各 条 形 表 示的 学 生 人 数 依 次A 1 ，、 A 2 、 ⋯ 、 A 10 。
(如 A 2表示身高 ( 位： cm) 在 [150 ，155) 内的学生人数 ) ． 2 是 l 中身高在必然范 内学生人数的一个算法流程 ． 要 身高在160 ～ 180cm( 含 160cm ，不含 180cm) 的 学生人数，那么在流程 中的判断 框内 填写的条件是A.i<9B.i<8C.i<7D.i<6（）7．一个几何体的三 如 所示，其中正 是一个正三角形， 个几何体的 （ ）A ．外接球的半径3B ．表面731331 11C ．体3D ．外接球的表面 4163正视图 侧视图8．一个球的表面 等于，它的一个截面的半径，球心到 截面的距离（ ）A ．3B ．C ． 1D ． 31俯视图225π 5π9．已知角 α的 上一点的坐sin6 ，cos 6， 角 α的最小正()5π2π5π11πA. 6B. 3C. 3D. 610 ． 双曲 x2y 21(a 0, b 0) 的左焦点 F ( c,0)( c 0)作 x 2y 2 a 2 的切a 2b 24 ，切点 E ，延 FE 交双曲 右支于点P ，若 OFOP2OE ， 双曲 的离心率（）A ．2B ．10C ． 10D ． 105211.a1 ， 关于 x 的不等式 a( x a)( x1) 0 的解集是 （）a(A) { x | xa ，或 x 1}(B) { x | x a}(C) { x | xa ，或 x 1 }(D) { x | x 1}aaa 12. 已知 a n3( n N * ) ， 数列 { a n } 的前 n 和 S n ，即 S na 1 a 2a n ，2n5使 S n0 的 n 的最大（）第Ⅱ卷本卷包括必考和考两部分。
高三文科数学试卷带答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。
2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。
3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。
点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。
5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。
6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。
7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。
山东省2014届高三仿真模拟测试文科数学试题十(word版)(精校)
山东省2014届高考仿真模拟测试试题十高三数学（文科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.已知全集U ＝Z ，A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x|x 2＝2x}，则A∩U C B 为（ ） A. {1，3} B. {0，2} C. {0，1，3} D. {2}2.i 是虚数单位，321i i－＝( )A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 3.下列命题错误的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若x ≠1，则2320x x -+≠” B ．“x >2”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝为：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题4.等差数列{n a }的前n 项和为S n ，S 3=6，公差d =3，则a 4=( ) A ．8 B ．9C ． 11D ．125.若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是( ) A. 3B. 4C. 5D. 66.已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC -与CA 的夹角是( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 1207.函数()lg 1f x x =+的图像大致是（ ）A B C D8.设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为( )A ．3-B ．6-C ．3D ．69.函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x x f +=等于（ ） A ．12 B CD ．110.若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数y=f （x ）的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对［P ，Q ］是函数y=f （x ）的一个“友好点对”（点对［P ，Q ］与［Q ，P ］看作同一个“友好点对”）．已知函数f(x)=，则此函数的“友好点对”有（）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．11.曲线y=323++x x 在1=x 处的切线方程为 ．12.给出下列等式：观察各式：a 1＋b 1＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4， a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________. 13.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱 锥的体积= ．14.已知函数f （x ）=，若f （f （x 0））=3，则x 0= ．15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，过点(1,0)Ml 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p 等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且向量()B A m sin ,sin = ,()A B n cos ,cos =，满足C n m 2sin =⋅. （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18AC AC AB ⋅-=，求边c 的长 17.（本小题满分12分）如图四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四 边形，∠ACB ＝90°，ABP A ＝BC ＝1，F 是BC 的中点. （1）求证：DA ⊥平面P AC ；（2）设在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥面P AF ，并求三棱锥 A －CDG 的体积. 18.（本小题满分12分）为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组， 有关数据见下表：（单位：人）（Ⅰ）求c b a ,,的值；（Ⅱ）若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率． 19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．20.（本小题满分13分）已知函数()(),()ln x x f x e ax a R g x e x =+∈=(e 为自然对数的底数)．(I)设曲线()y f x =在x =1处的切线为l ，点(1，0)到直线l ，求a 的值； (II)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围；(III)当a =-1时，函数()()()M x g x f x =-在[1,e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由． 21.（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且||||OA OF =，AOF△的面积为1（其中O 为坐标原点）. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ，证明：OM OP ∙为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.山东省2014届高考仿真模拟测试试题高三数学（文科答案）一、 选择题：ACDAC CABDC 二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 015=+-y x 12. 18 13. 14.4533ππ或 15. 2 三、解答题：16.解：(1)由sin 2m n C ⋅=可得sin cos sin cos sin 2A B B A C +=…………2分 即sin()2sin cos A B C C +=，又()C A B π=-+，得sin 2sin cos C C C =………4分 而sin 0C ≠，21cos =∴，即C =3π…………..6分 (2) sin ,sin ,sin A C B 成等差数列 ，∴由正弦定理可得2c =a +b ………….①()18AC AC AB ⋅-=可得18AC BC ⋅=.而C=3π，36ab ∴=.…… ② 由余弦定理可得212cos 222=-+=ab c b a C …………③由①②③式可得c =6………12分18.解：（Ⅰ）由表可知抽取比例为16，故4=a ，6=b ，2=c ………3分 （Ⅱ）设“模拟联合国”4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个． …………9分其中2人分别来自这两个社团的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个．………12分 所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. ………13分 19.解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n S b --≥-+=当时，，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥，数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅. …………6分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数. 211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++[44(21)(1)]6(14)214n n n ++⋅+-=+-2122482n n n +=+++ ……………14分 20.解：（Ⅰ）()e xf x a '=+,(1)e f a =+.()y f x =在1x =处的切线斜率为(1)e f a '=+，………………………1分 ∴切线l 的方程为(e )(e )(1)y a a x -+=+-，即(e )0a x y +-=.…………………3分 又切线l 与点(1,0)距离为2,2=， 解之得，e 1,a =-+或e 1.a =-- …………………5分 （Ⅱ）∵对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，∴若0x =，则a 为任意实数时，()e 0x f x =>恒成立； ……………………6分若0,x >()e 0xf x ax =+>恒成立，即e xa x>-，在0x >上恒成立，…………7分设e (),x Q x x=-则22e e (1)e ()x x xx x Q x x x --⋅'=-=, ……………………8分 当(0,1)x ∈时，()0Q x '>，则()Q x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0Q x '<，则()Q x 在(1,)+∞上单调递减；所以当1x =时，()Q x 取得最大值，max ()(1)e Q x Q ==-， ………………9分 所以a 的取值范围为(e,)-+∞.综上，对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立的实数a 的取值范围为(e,)-+∞. …10分 （Ⅲ）依题意,()e ln e x x M x x x =-+，所以e 1()e ln e 1(ln 1)e 1x x x x M x x x x x'=+-+=+-⋅+, ………………11分 设1()ln 1h x x x =+-,则22111()x h x x x x-'=-+=,当[]1,e ,()0x h x '∈≥, 故()h x 在[]1,e 上单调增函数,因此()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)0h =， 即1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=， ………………12分 又e 0,x>所以在[1,e]上，1()(ln 1)e 10x M x x x'=+-⋅+>，即()()()M x g x f x =-在[1,e]上不存在极值. ………………13分(III)设00(,0),2Q x x ≠-且.若以MP 为直径的圆恒过,DP MQ 的交点, 则,0MQ DP QM DP ⊥∴∙=恒成立.由(2)可知:0(2,4)QM x k =-,22284(,).1212k kDP k k -=++ 202284(2)401212k kQM DP x k k k -∴∙=-∙+∙=++,即228012k x k=+恒成立, 00.x ∴= ∴存在(0,0)Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点.……………14分。
高三数学文科分类汇编函数练习题(双基)
函数双基（要求必须掌握）1、函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ） (A) [3,1]- (B) (3,1)- (C) (,3][1,)-∞-+∞U (D) (,3)(1,)-∞-+∞U 【答案】D2、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 （A ）y=x （B ）y=lgx （C ）y=2x （D）y = 【答案】D 3、函数()f x =的定义域为（ ）.A.()0,2B.(]0,2C.()2,+∞D.[)2,+∞【答案】C 4、函数21log (2)y x =-的定义域为( )A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞UD ．(2,4)(4,)+∞U【答案】C 5、函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．[1,1)(1,)-+∞U【答案】C6、函数的定义域为（ ）A ．(-3,0]B ．(-3,1]C ．D ．【答案】A7、函数1ln(1)y x=+的定义域为_____________.【答案】(]0,18、函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]UD ．(1,3)(3,6]-U 【答案】C .9、函数y的定义域是 ▲ . 【答案】10、函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________. 【答案】(-∞,2)11、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-【答案】A12、设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x = D ．||sgn x x x =【答案】D .13、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．【答案】162-14、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________ 【答案】2- .[]3,1-15、设函数()2222, 0, 0x x x f x x x ⎧++⎪=⎨->⎪⎩…，若()()2f f a =，则a =_________.16、设10()2,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C17、设函数3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( )（A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D18、下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg ||y x =【答案】C19、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）.A.e xy -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B20、下列函数为奇函数的是（ ）. A.122xx y =- B.3sin y x x = C.2cos 1y x =+ D.22x y x =+【答案】A21、下列函数为偶函数的是（ ）.A.()1f x x =- 2B.()f x x x =+C.()22x x f x -=-D.()22x x f x -=+【答案】D22、下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）.A. ()3f x x = B. ()3xf x = C. ()12f x x = D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B23、设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.()()f x g x 是偶函数B. ()()f x g x 是奇函数C.()()f x g x 是奇函数D. ()()f x g x 是奇函数 【答案】C24下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）. A.21()f x x =B. 2()1f x x =+C. 3()f x x =D. ()2x f x -=【答案】B25、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A)y ＝sin(2x ＋2π) (B)y ＝cos(2x ＋2π) (C)y ＝sin2x ＋cos2x (D)y ＝sinx ＋cosx 【答案】B26、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A27、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x = D ．2xy -=【答案】B28、下列函数为奇函数的是( )A．y = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D29、下列函数中，在区间 上为减函数的是 （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D(1,1)-11y x=-cos y x =ln(1)y x =+2x y -=30、已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =（ ） A ．5-B ．1-C ．3D ．4【答案】C31、已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D32、x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D33、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 【答案】C【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x ay +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.34、若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )（A ）( −∞,−1) (B)( −1，0) （C ）0,1（） （D ）1,+∞（） 【答案】C35、已知函数为奇函数,且当时,,则（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-2【答案】D36、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】C37、已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B38、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()2=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（ ）.A. {}1,3B. {}3,1,1,3--C. {}23D. {}21,3-【答案】D39、奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】D 解析：()()()f x f x f x ∴-=-Q 为奇函数， 2,(2)(2)x x f x f x =--+=--令得： (2)(2)(2)f x f x f x +∴-+=+Q 为偶函数，(2)(2)f x f x ∴+=-- 可化为 ()(8)f x f x =-8T ∴= (8)(9)(0)(1)011f f f f +=+=+=40、()2lg f x x =的单调递减区间是________. 【答案】(,0)-∞41、函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .【答案】3242、若函数()f x ()x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()1,01sin ,12x x x f x x x -⎧=⎨π<⎩≤≤≤，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】51643、若()()3ln e 1xf x ax =++是偶函数，则=a .【答案】32-44、若函数f （x ）是定义R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则5()(2)2f f -+=45、已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )=—f(x )；当x ＞时，f(x +)=f(x —).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2 【答案】D46、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）（A ）)21,(-∞（B ）),23()21,(+∞-∞Y （C ）)23,21( （D ）),23(+∞【答案】C47、的值是___________.【答案】148、计算：2log 2= ，24log 3log 32+= ．【答案】12-x412121249、lg0.01＋log 216＝_____________. 【答案】2 50、=-+-1)21(2lg 225lg. 【答案】-151、方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】252、设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B53、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ）.A.d ac =B.a cd =C.c ad =D.d a c =+【答案】B54、设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜ （B ） a c b ＜＜ （C ）b a c ＜＜ （D ）b c a ＜＜ 【答案】C55、32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ．【答案】2log 556、若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b 【答案】B57、已知，则(A) (B)(C)(D)【答案】A·log log log a c c b a b =·log lo log g a a a b a b =()log ?l g o lo g a a a b c bc =()log g og o l l a a a b b c c +=+4213332,3,25a b c ===b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<58、设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c【答案】D59、设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b >>【答案】D60、函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A61、小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【答案】C62、已知函数()log (,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图像如图所示，则下列结距学校的距离距学校的距离距学校的距离ABCD时间时间时间时间OOOO距学校的距离论成立的是（）.A. 1,1a c>> B. 1,01a c><<C. 01,1a c<<> D. 01,01a c<<<<【答案】D63、在同一直角坐标系中，函数()()0af x x x=>，()log ag x x=的图像可能是（）.A. B. C. D.【答案】D64、若函数logay x=()0,1a a>≠且的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（）.【答案】B65、如图所示，函数()y f x=的图像由两条射线和三条线段组成．11111OO OOyyyyxxxxA. B. C.1131111D.-1-31xEO13若x ∀∈R ，()()>1f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．【答案】1(0,)666、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D67、函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）第15题图（C ）（D ）【答案】D 68、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（ ） A ．()1021x x >- B ．()1021x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A69、已知函数x e y =的图像与函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称，则（A ）∈=x e x f x ()2(2R ） （B ）2ln )2(=x f ·x ln （0>x ） （C ）∈=x e x f x (2)2(R ） （D ）+=x x f ln )2(2ln （0>x ）【答案】D70、函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =【答案】3x71、若函数()y f x =的图象与函数ln 1y x =+的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．22e x -B ．2e xC ．21e x +D ．22e x +【答案】A72、已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则(1)(1)f ＋g ＝（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4【答案】C73、函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是（ ）A 3B ．3-C ．12+D ．12【答案】A74、函数()ln f x x =的图像与函数()244g x x x =-+的图像的交点个数为 （ ）A.0B.1C.2D.3【答案】C 75、已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 （ ） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D; 76、已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞【答案】C77、已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (1,)+∞C. (,2)-∞-D. (,1)-∞-【答案】C78、若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞【答案】D;79、已知函数13(10]()()()11]1(01]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩，，，且在（，，，内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）. A.91(2](0]42--U ，， B.111(2](0]42--U ，， C.92(2](0]43--U ，， D.112(2](0]43--U ，， 【答案】A80、已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ． 【答案】102（，） 81、已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A82、若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.【答案】02b <<83、若函数()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．【答案】184、函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2. 85、已知函数f (x )=其中m >0．若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_______．【答案】86、已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)332,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩()3,+∞。
全国高考文科全国卷数学试题及答案
年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--． 二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤； 当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。
高三数学试卷(文科)
2021年高考数学试卷〔文科〕一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕设全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，那么∁U A为〔〕A．〔0，e]B．〔0，e〕 C．〔e，+∞〕D．[e，+∞〕2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=﹣2i，i为虚数单位，那么z=〔〕A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．〔5分〕A〔1，﹣2〕，B〔4，2〕，那么与反方向的单位向量为〔〕A．〔﹣，〕B．〔，﹣〕C．〔﹣，﹣〕D．〔，〕4．〔5分〕假设m=0.52，n=20.5，p=log20.5，那么〔〕A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m5．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出n的值为〔〕A．19 B．20 C．21 D．226．〔5分〕p：x≥k，q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，假设p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2〕B．[﹣2，+∞〕C．〔1，+∞〕D．[1，+∞〕7．〔5分〕一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，那么在编号为051～125之间抽得的编号为〔〕A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，1068．〔5分〕假设直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，那么φ的一个可能取值为〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕如果实数x，y满足约束条件，那么z=的最大值为〔〕A．B．C．2 D．310．〔5分〕函数f〔x〕=的图象与函数g〔x〕=log2〔x+a〕〔a∈R〕的图象恰有一个交点，那么实数a的取值范围是〔〕A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣二、填空题〔共5小题，每题5分，总分值25分〕11．〔5分〕直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，那么经过O、A、B 三点的圆的标准方程为．12．〔5分〕某几何体三视图如下图，那么该几何体的体积为．13．〔5分〕在[0，a]〔a＞0〕上随机抽取一个实数x，假设x满足＜0的概率为，那么实数a的值为．14．〔5分〕抛物线y2=2px〔p＞0〕上的一点M〔1，t〕〔t＞0〕到焦点的距离为5，双曲线﹣=1〔a＞0〕的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为．15．〔5分〕f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f〔x〕+g〔x〕=2x，假设存在x0∈[1，2]使得等式af〔x0〕+g〔2x0〕=0成立，那么实数a的取值范围是．三、解答题〔共6小题，总分值75分〕16．〔12分〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，假设a=3，g〔〕=，sinB=cosA，求b的值．17．〔12分〕某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872〔1〕根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关〞；〔2〕从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=．P〔X2≥k〕0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.63518．〔12分〕在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．〔1〕求证：PA⊥平面CMN；〔2〕求证：AM∥平面PBC．19．〔12分〕等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．〔1〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔2〕数列{c n}满足c n=b n+〔﹣1〕n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．20．〔13分〕函数f〔x〕=e x﹣1﹣，a∈R．〔1〕假设函数g〔x〕=〔x﹣1〕f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，求a的范围；〔2〕当a≤﹣1时，证明：f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．21．〔14分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔1，〕在椭圆E上．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q〔x Q，y Q〕〔点Q异于点P〕，假设0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；〔3〕假设以点P为圆心作n个圆P i〔i=1，2，…，n〕，设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i〔M i、N i皆异于点P〕，证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．2021年高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕设全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，那么∁U A为〔〕A．〔0，e]B．〔0，e〕 C．〔e，+∞〕D．[e，+∞〕【分析】先求出集合A，由此能求出C U A．【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，∴A={x|x＞e}，∴∁U A={x|0＜x≤e}=〔0，e]．应选：A．【点评】此题考查补集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=﹣2i，i为虚数单位，那么z=〔〕A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】利用复数的运算法那么、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：〔1+i〕z=﹣2i，那么z===﹣i﹣1．应选：B．【点评】此题考查了复数的运算法那么、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕A〔1，﹣2〕，B〔4，2〕，那么与反方向的单位向量为〔〕A．〔﹣，〕B．〔，﹣〕C．〔﹣，﹣〕D．〔，〕【分析】与反方向的单位向量=﹣，即可得出．【解答】解：=〔3，4〕．∴与反方向的单位向量=﹣=﹣=．应选：C．【点评】此题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．4．〔5分〕假设m=0.52，n=20.5，p=log20.5，那么〔〕A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．【解答】解：m=0.52=，n=20.5=＞1，p=log20.5=﹣1，那么n＞m＞p．应选：A．【点评】此题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．5．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出n的值为〔〕A．19 B．20 C．21 D．22【分析】模拟执行如下图的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可．【解答】解：模拟执行如下图的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，由S=≥210，解得n≥20，∴输出n的值为20．应选：B．【点评】此题考查了程序框图的应用问题，是根底题．6．〔5分〕p：x≥k，q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，假设p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2〕B．[﹣2，+∞〕C．〔1，+∞〕D．[1，+∞〕【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．【解答】解：q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，解得x＞1或x＜﹣2．又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，那么实数k＞1．应选：C．【点评】此题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．7．〔5分〕一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，那么在编号为051～125之间抽得的编号为〔〕A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，那么以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，应选：D．【点评】此题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是根底题．8．〔5分〕假设直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，那么φ的一个可能取值为〔〕A．B．C．D．【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．∴函数y=sin〔x+φ〕．当x=π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin〔+φ〕=±1，可得：φ=．∴φ=kπ，k∈Z．当k=1时，可得φ=．应选：D．【点评】此题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于根底题．9．〔5分〕如果实数x，y满足约束条件，那么z=的最大值为〔〕A．B．C．2 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到定点〔﹣1，﹣1〕的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕，z=的几何意义是区域内的点到定点P〔﹣1，﹣1〕的斜率，由图象知可知PA的斜率最大，由，得A〔1，3〕，那么z==2，即z的最大值为2，应选：C．【点评】此题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．〔5分〕函数f〔x〕=的图象与函数g〔x〕=log2〔x+a〕〔a∈R〕的图象恰有一个交点，那么实数a的取值范围是〔〕A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣【分析】作出f〔x〕的图象和g〔x〕的图象，它们恰有一个交点，求出g〔x〕的恒过定点坐标，数形结合可得答案．【解答】解：函数f〔x〕=与函数g〔x〕的图象它们恰有一个交点，f〔x〕图象过点〔1，1〕和〔1，﹣2〕，而，g〔x〕的图象恒过定点坐标为〔1﹣a，0〕．从图象不难看出：到g〔x〕过〔1，1〕和〔1，﹣2〕，它们恰有一个交点，当g〔x〕过〔1，1〕时，可得a=1，恒过定点坐标为〔0，0〕，往左走图象只有一个交点．当g〔x〕过〔1，﹣2〕时，可得a=，恒过定点坐标为〔，0〕，往右走图象只有一个交点．∴a＞1或a≤﹣．应选：D．【点评】此题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．二、填空题〔共5小题，每题5分，总分值25分〕11．〔5分〕直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，那么经过O、A、B 三点的圆的标准方程为〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于〔4，0〕、〔0，4〕两点，即A、B的坐标为〔4，0〕、〔0，4〕，经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，而△AOB为等腰直角三角形，那么其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，那么有2r=|AB|=4，即r=2，圆心坐标为〔2，2〕，其该圆的标准方程为〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8，故答案为：〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8．【点评】此题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．12．〔5分〕某几何体三视图如下图，那么该几何体的体积为．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V==．故答案为：．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．13．〔5分〕在[0，a]〔a＞0〕上随机抽取一个实数x，假设x满足＜0的概率为，那么实数a的值为4．【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．又x≥0，∴0≤x＜2．∴满足0≤x＜2的概率为，得a=4．故答案为：4．【点评】此题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是根底的计算题．14．〔5分〕抛物线y2=2px〔p＞0〕上的一点M〔1，t〕〔t＞0〕到焦点的距离为5，双曲线﹣=1〔a＞0〕的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为2．【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么=，解得实数a的值．【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，那么丨MF丨=d=1+=5，那么p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为〔1，4〕；又双曲线的左顶点为A〔﹣a，0〕，渐近线为y=±，直线AM的斜率k==，由=，解得a=3．∴a的值为3，故答案为：3．【点评】此题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．15．〔5分〕f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f〔x〕+g〔x〕=2x，假设存在x0∈[1，2]使得等式af〔x0〕+g〔2x0〕=0成立，那么实数a的取值范围是[，] ．【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g〔x〕和偶函数f〔x〕的表达式，将等式af〔x〕+g 〔2x〕=0，令t=2x﹣2﹣x，那么t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：解：∵g〔x〕为定义在R上的奇函数，f〔x〕为定义在R上的偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，g〔﹣x〕=﹣g〔x〕，又∵由f〔x〕+g〔x〕=2x，结合f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=2﹣x，∴f〔x〕=〔2x+2﹣x〕，g〔x〕=〔2x﹣2﹣x〕．等式af〔x〕+g〔2x〕=0，化简为〔2x+2﹣x〕+〔22x﹣2﹣2x〕=0．∴a=2﹣x﹣2x∵x∈[1，2]，∴≤2x﹣2﹣x≤，那么实数a的取值范围是[﹣，﹣]，故答案为：[﹣，﹣]．【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的根本性质，再结合换元法和根本不等式的技巧，是解决此题的关键．属于中档题三、解答题〔共6小题，总分值75分〕16．〔12分〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，假设a=3，g〔〕=，sinB=cosA，求b的值．【分析】〔1〕运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；〔2〕运用图象变换，可得g〔x〕的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：〔1〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•=〔sinx+cosx，〕•〔sinx，﹣1〕=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣〔1﹣2sin2x〕=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即有函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；〔2〕由题意可得g〔x〕=sin〔2〔x+〕﹣〕=sin2x，g〔〕=sinA=，即sinA=，cosA=±=±，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=，由正弦定理=，可得b===3．【点评】此题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．17．〔12分〕某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872〔1〕根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关〞；〔2〕从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=．P〔X2≥k〕0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.635【分析】〔1〕根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；〔2〕分别计算选取的数学及格与不及格的人数，用列举法求出根本领件数，计算对应的概率值．【解答】解：〔1〕根据表中数据，计算X2==≈8.416＞6.635，因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关〞；〔2〕选取的数学及格的人数为7×=2人，选取的数学不及格的人数为7×=5人，设数学及格的学生为A、B，不及格的学生为c、d、e、f、g，那么根本领件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，其中满足条件的是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，故所求的概率为P=．【点评】此题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是根底题．18．〔12分〕在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．〔1〕求证：PA⊥平面CMN；〔2〕求证：AM∥平面PBC．【分析】〔1〕推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN ⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．〔2〕取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．【解答】证明：〔1〕∵M，N分别为PD、PA的中点，∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，∴PA⊥平面CMN．解〔2〕取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．【点评】此题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．19．〔12分〕等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．〔1〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔2〕数列{c n}满足c n=b n+〔﹣1〕n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【分析】〔1〕设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．可得2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d，q．即可得出．．〔2〕c n=b n+〔﹣1〕n a n=2n﹣1+〔﹣1〕n•2n．可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]．对n分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．∴2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d=q=2．∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，b n=2n﹣1．〔2〕c n=b n+〔﹣1〕n a n=2n﹣1+〔﹣1〕n•2n．∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]．∴n为偶数时，T n=2n﹣1+[〔﹣2+4〕+〔﹣6+8〕+…+〔﹣2n+2+2n〕]．=2n﹣1+n．n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．=2n﹣2﹣n．∴T n=．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．〔13分〕函数f〔x〕=e x﹣1﹣，a∈R．〔1〕假设函数g〔x〕=〔x﹣1〕f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，求a的范围；〔2〕当a≤﹣1时，证明：f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．【分析】〔1〕求出导函数，由题意可知f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；〔2〕问题可转换为〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax＞0恒成立，构造函数G〔x〕=〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax，通过二次求导，得出结论．【解答】解：〔1〕g〔x〕=〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax，g'〔x〕=xe x﹣a﹣1，g''〔x〕=e x〔x+1〕＞0，∵f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，∴g'〔0〕=﹣a﹣1＜0，g'〔1〕=e﹣a﹣1＞0，∴﹣a＜a＜e﹣1；〔2〕当a≤﹣1时，f〔x〕＜0，∴〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax＞0恒成立，令G〔x〕=〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax，G'〔x〕=xe x﹣a﹣1，G''〔x〕=e x〔x+1〕＞0，∴G'〔x〕在〔0，1〕单调递增，∴G'〔x〕≥G'〔0〕=﹣a﹣1≥0，∴G〔x〕在〔0，1〕单调递增，∴G〔x〕≥G〔0〕=0，∴〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax≥0，∴当a≤﹣1时，f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．【点评】此题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．21．〔14分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔1，〕在椭圆E上．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q〔x Q，y Q〕〔点Q异于点P〕，假设0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；〔3〕假设以点P为圆心作n个圆P i〔i=1，2，…，n〕，设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i〔M i、N i皆异于点P〕，证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【分析】〔1〕根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；〔2〕设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x Q，由0＜x Q＜1，即可求得k的取值范围；〔3〕由题意可知：故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得x i，x i′，根据直线的斜率公式，即可求得=，==…=，那么M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【解答】解：〔1〕由椭圆的离心率e===，那么a2=4b2，将P〔1，〕代入椭圆方程：，解得：b2=1，那么a2=4，∴椭圆的标准方程：；〔2〕设直线l的方程y﹣=k〔x﹣1〕，那么，消去y，整理得：〔1+4k2〕x2+〔4k﹣8k2〕x+〔4k2﹣4k﹣1〕=0，由x0•1=，由0＜x0＜1，那么0＜＜1，解得：﹣＜k＜，或k＞，经验证，满足题意，直线l斜率k的取值范围〔﹣，〕∪〔，+∞〕；〔3〕动圆P的半径为PA i，PB i，故PA i=PB i，△PA i B i为等腰三角形，故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，设PA i的斜率k i，那么直线PB i的斜率为﹣k i，设直线PA i的方程：y﹣=k i〔x﹣1〕，那么直线PB i的方程：y﹣=﹣k i〔x﹣1〕，，消去y，整理得：〔1+4k i2〕x2+〔4k i﹣8k i2〕x+〔4k i2﹣4k i﹣1〕=0，设M i〔x i，y i〕，N i〔x i′，y i′〕，那么x i•1=，那么x i=，将﹣k i代替k i，那么x i′=，那么x i+x i′=，x i﹣x i′=﹣，y i﹣y i′=k i〔x i﹣1〕++k i〔x i﹣1〕﹣=k i〔x i+x i′〕﹣2k i，=k i×﹣2k i，=，那么==，故==…=，∴M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【点评】此题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．。
高三数学(文科)试题
2010年高考仿真模拟高三数学试题(文科) 2010.5本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂 “数学”答题卡的前提下，再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上.）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P ={1，2，3，4}，集合Q ={3，4，5} ，全集U =R ，则集合P u Q ð=A. {1，2}B. {3，4}C. {1}D. {-2，-1，0，1，2} 2．已知x ,y ∈R ，i 为虚数单位，且(1)2x i y i --=+，则(1)x y i -+的值为 A.4- B. 4 C. 1- D. 13. 如图表示甲、乙两名篮球运动员的每场比赛得分情况的茎叶图，则甲得分的众数与乙得分的中位数之和为A. 57B. 58C.39D.40 4. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④5. 已知1()x f x a =，2()af x x =，3()log a f x x =，（0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是A B C D6. 一等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值为 A.518B.34C.2D.787．函数 1 (30)82sin() (0)3kx x y x x πωφ+-<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≤≤的图象如图，则A.11,,326k πωφ===B.11,,323k πωφ===C.1,2,36k πωφ=-==D. 3,2,3k πωφ=-==8.如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2k g ，则共需油漆大约公斤数为（尺寸如图所示，单位：米 π取3）A. 20B. 22.2 C . 111 D. 110 9. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193xy-=的两渐近线围成的三角形的面积为A.B. C. 2D.10. 已知a .b ∈R ，那么 “122<+b a ” 是“ ab +1＞a +b ”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 11. 在圆x y x 522=+内，过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为d ∈[61，31]，那么n 的取值集合为A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. { 3.4.5,6,7} 12. 设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z =ax +by (a .>0,b >0)，最大值为12，则b a 32+的最小值为A.724 B.625 C. 5D. 4第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m = . 14.如图是为计算10个数的平均数而设计的算法框图， 请你把图中缺失的部分补充完整________.15,1=0,O B O A O B ==点C 在AOB ∠内，045=∠AOC ，设,(,),O C m O A nO B m n =+∈R 则mn=_______. 16. 已知f (x )为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)且当x 1,x 2∈[0,3],x 1≠x 2时，有2121)()(x x x f x f -->0成立，给出四个命题：① f (3)=0; ② 直线x =-6是函数y =f (x )的图像的一条对称轴; ③ 函数y =f (x )在[-9,-6]上为增函数; ④ 函数y =f (x )在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-tan α的值.18．(本小题满分12分)如图所示，在棱锥P -ABC D 中， ⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB //CD ，90=∠BAD ，PA =AD =DC =2，AB =4. （Ⅰ）求证：PC BC ⊥;（Ⅱ）若F 为PB 的中点，求证：CF //平面P AD .19．(本小题满分12分)某班全部t 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间.将测试结果按如下方式分为五组：第一组[13,14）；第二组[14,15）；…；第五组[17,18],右表是按上述分组方式得到的频率分布表.（Ⅰ）求t 及上表中的,,x y z 的值；（Ⅱ）设m ,n 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的百米测试成绩，求事件“1m n ->”的概率.20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为1,n n n S a S +=且—n +3，n 1,2a ∈=+N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项; （Ⅱ）设()2n nnb n S n =∈-++N 的前n 项和为nT，证明:n T ＜34.21．(本小题满分12分) 若椭圆1E :2222111x y ab+=和椭圆2E :2222221x y ab+=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似，m 是相似比.(Ⅰ)求过(且与椭圆22142xy+=相似的椭圆的方程；(Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别于（I ）中的两椭圆交于A 、B 两点（点A 在线段OB 上）. 求OA OB ⋅的最大值和最小值.22．(本小题满分14分) 设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）当0a ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当2a =时，对任意的正整数n ，在区间11[,6]2n n++上总有4m +个数使得1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++成立，试求正整数m的最大值.。
2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案
绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x <<.。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)
的值．
∵S=
=1﹣ =
故选：D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的
题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码） 中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数 据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第 一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
第 7页（共 25页）
【解答】解：设 =（x，y）， ∵a=（4，3），2a+b=（3，18）， ∴
∴cosθ=
=， 故选：C． 【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：
①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．
3．（5 分）已知复数 Z=
A．
4．（5 分）曲线 y=x3﹣2x+1 在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1
B．y=﹣x+1
C．y=2x﹣2
D．y=﹣2x+2
第 8页（共 25页）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 菁优 网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题． 【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x| ≤4，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优 网 版权 所有
【专题】11：计算题． 【分析】由题意可得 A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
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基础题专辑10
1．已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(?U A)∩(?U B)等于( )
A {5,8}
B {7,9}
C {0,1,3}
D {2,4,6} 2．已知复数34,z
i z 表示复数z 的共轭复数，则z i （）A ．5 B ．5 C ．6 D ．6
3．等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列的前10项之和是(
)
A.90
B.100
C.145
D.190 4．已知向量a,b 不共线,且
=a+4b,=-a+9b,=3a-b,则一定共线的是( )A. A,B,D B. A,B,C
C. B,C,D
D. A,C,D 5．已知函数f (x)=
则f(f(161))=( ) A. 91
B.-91
C. 9
D. -9 6．函数f(x)＝mx 2＋(2m －1)x ＋1是偶函数，则实数m ＝________．
7．给定函数：①y ＝12x ，②y ＝12log (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2
x ＋1，其中在区间(0，1)上单调递减的函
数是____________．(填序号)
8．设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定9. 在极坐标系中，点)23
,2(P 到直线3sin 4cos 3:l 的距离为________．
10.已知函数()31
x f x x ，数列n a 满足*
111,()()n n a a f a n N .(1)证明数列1
n
a 是等差数列，并求数列n a 的通项公式；
11．已知函数2()2sin cos 23cos 3f x a x x x (0,0)a d
的最大值为
2，12,x x 是集合{|()0}M x R f x 中的任意两个元素，且12||x x 的最小值为2
.
（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴；
（2）若4
()3f ，求sin(4)6的值.
12．省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，
其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人.
(Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数M；
(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、
第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差
大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
ABC BCD o，13．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，90
AB a，E是PB中点，H是AD中点.
PA PD DC CB a，2
EC平面APD；
（Ⅰ）求证：//
（Ⅱ）求三棱锥E BCD的体积.。