根式和分数指数幂
根式与分数指数幂
（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3
根式指数和分数指数幂的运算及答案
(m - n )4 p 6⋅ q 5a a a 3 6a 9 6 3a 9 4 a3 1 3x 3 x -23、⎛ 3 6 a 9 ⎫ ⎛ 6 3 a 9 ⎫ ⎪ 根式与分数指数幂的运算（1）一、根式与指数转化1、用分数指数幂表达下列各式：(1) 3 x 2 =（2） 4 (a + b )3 （ a + b > 0 ） =（3）3 (m - n )2 =（4） （ m > n ）=m 3（5） （ｐ＞０）=（6） =m（7）（9）4 (- a )2（式中a > 0 ）= （8）3 ab 2（10）（11） =（12）( )4⋅ ()4=32、将52 写为根式44⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭等于（ C ）A 、a 16B 、a 8C 、a 4D 、a 24、已知x 5 = -2009 ，则x =（用根式表达）⎛ 8 - 6 ⎫ - 1 25、 a 5 b 5 ⎪ ⎝ ⎭⋅ 5 a 4 ÷ 5 b 3 (a ≠ 0, b ≠ 0)⎛ ⎫46、已知a ≥0，化简3 ⎪ = a7 (3 6⎝a 9 )4 ⋅ (6 3 ⎭a 9 )44、将表达成指数幂形式，其成果为 a- 8 ⎛ ⎫58、 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭4 化成分数指数幂为 ________ 159、将(3 6 a 9 )4 ⋅ (6 3 a 9 )4 ( a >0)表达成指数幂形式，其成果为 a 4 .x 3 x 2 4 x 31 1a a(-2)4481⨯ 392 6 12 227 9 ⎭ ⎛ 6 ⎫ 7 3 二、求值1 求值：3 - 64 =； = ； 4 (3 -π)4 =3 42、 +3、22 ⨯ 23 =3 42216 - 34、(22 ) 3 =35、23⨯ 23=236 36、求值：( ) 814 =7、(1) 252 =（２） 27 3 =（３）( ) 2 =49（4）( 25)- 24=（5） =（6） 2 ⨯ ⨯ =[(- )2 ]-1-8、22 等于（）A ． B ．C D ． 2 2- 1 ⎛ 1 ⎫-23( )9、计算：0.0273- - ⎪ ⎝ ⎭+ 2564 - 3-1 + - 1 = 。
分数指数幂与根式
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数， 这时，
负数没有偶次方根，零的任何次方根是零
．
师：根据上述分析，可以得到根式的性质．
师：下面通过一些练习，巩固上述所学的内容(用幻灯逐 题演示，师生共同讨论) 例1 求下列各式的值：
为了更进一步地研究根式，下面我们引入与根式
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．n次方根的概念． 2．n次方根的有关性质及其应用． (二)能力训练点 1．培养学生运用概念分析问题的能力． 2．根据定义和性质进行逻辑推理和运算化简，提高学生 的数学应用能力． (三)德育渗透点 1．培养学生观察、分析、探究问题的科学精神． 2．通过推理和运算等训练，培养学生严谨治学、一丝不 苟的习惯． 二、教学的重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：n次方根的概念、性质、以及应用． 2．教学难点：n次方根的性质以及应用．
3．教学疑点：
4．解决方法：熟练掌握n次方根的性质． 三、课时安排 本课题安排1课时(或2课时)． 四、教学过程设计 首先回顾一下以前学过的平方根，立方根的概念，请一 位同学叙述平方根，立方根的概念． 生：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的平方根，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那 么这个数x叫做a的立方根． 师：平方根、立方根有哪些性质？
这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除 时，根式可以写成分数指数幂形式． 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式 也可以写成分数指数幂的形式． ．
应当注意：非零数的零次幂是1，即a°＝1(a≠0)，零的 正分数次
规定了分数指数幂的意义后，指数从整数推广到了有 理数．
请一位同学叙述一下以前学过的整数指数幂的运算性 质： 生：(1)am·an＝am+n；(m、n∈正)，即同底数的幂相 乘，底数不变，指数相加． (2)(am)n＝amn(m、n∈正)，即幂的乘方，底数不变， 指数相乘． (3)(ab)n=anbn(n∈正)，即积的乘方等于乘方的积． 师：上述的幂的运算性质，今后对于有理指数幂也同 样适例2 求下列各式的值用，以下可以运用幂的运 算性质进行化简求值．
高考数学复习点拨 根式和分数指数幂的学习指导
高考数学复习点拨 根式和分数指数幂的学习指导由于分数指数幂的概念是借助n 次方根给出的，而n 次根式又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且n 次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．根式和分数指数幂的互化既是重点也是难点．根据不同需要，灵活进行互化是解决有些问题的有效途径．根式的运算，一般先化为分数指数幂后用分数指数幂的运算性质进行运算比较方便．例1 计算： （1）48373)27102(1.0)972(03225.0＋－＋＋－－π；（2）31213125.01041027.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯⨯⨯－＋－－－－－－.解析：（1）原式＝48373)2764()101()925(32221＋－＋＋－－．1004837316910035＝＋－＋＋＝． （2）原式＝⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯313103.01021])23(3[)13(])103[(313)31(3)41(41414－＝－－＋－－－－－ 031＝－点评：一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数．例2 化简下列各式： （1）))((21211x x x x x －＋＋－-；（2）323222323222－－－－－－－－－－－＋＋yx y x yx y x ．解析：注意题中各式的结构特点． （1）原式＝2323321321)()(x x x x－＝－－－．（2）原式＝32323323323232332332)()()()(－－－－－－－－－－－＋＋yx yxyx yx])()[()()(23232322322323232232－－－－－－－－＋＋－＋－＝yy xxyy xxxyxy xy 3322)(2＝－＝－－． 点评：解题时要从总体上把握代数式的结构特点．例3 若a ＜b ＜c ，化简33332)(b a a b b a －＋－＋＋． 解析：∵a ＜b ＜c ，∴a ＋b ＜0，b －a ＞0，a －b ＜0∴原式＝b a a b a b b a b a a b b a ＋＝－－＋－＋－＝－－＋－＋＋3．点评：本题灵活应用：当n 是奇数时，a a n n＝． 例4 求使23－x 有意义的x 的取值范围．解析：3231xx＝－因此x ∈（0，＋∞）．例5x x x x ⋅．解析：原式＝1615815214747212321)()(xx x x x x x x x x x x x ＝＝＝＝＝⋅⋅⋅．。
2.1.1 根式与分数指数幂
n 次方根
1.根式的概念
xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 (1)a 的 n 次方根：如果________
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
a R ________ ，a∈________ ；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为
n
(0，＋∞) ±n a ，a∈___________. ________
例1.计算下列各式：
(1)(0.064) ＋[(－2)3] ＋16
1 27 2 (2)－ 8 3 ＋(0.01) 2 .
1 3
4 3
－0.75
；
3 (2m2 n
3 5 10
) (m n3 )6
1 2
解：(1)原式＝(0.43) ＋(－2)－4＋(24)
1 1 1 3 3
3
1 1 1 2 3 6
＝2×3＝6.
1 2 2 1 2 1 2 2
(3)原式＝
(m n ) (m n ) (m n )(m n )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2m＋n ＝ . m－n
式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.
3.计算： (2m2 n ) (m n3 )6 (m, n N ) 解：原式=(2m2 n )
10
3 5 10
3 5 10
1 2
(m n3 )6
6
1 2
分数指数幂与根式(课堂PPT)
4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
40 9
26
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式．
负数没有偶次方根．
10
注意问题
特别注意：0的 n次方根等于0.
根式和分数指数幂
12 3
8 = (8 ) = 8
2 3
n m n n m n
2 3 3
2 3
n
a =
m
(a ) = a (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1)
⒈正分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述： 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 n 次幂 ∈ 且
小结： 分数指数幂的意义及运算性质 小结 ①
指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， ②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。 这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是倒数： 数指数幂的意义相仿，就是倒数：
m − n
a
=
1 a
m n
=
1
n
(a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且
a
m
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈R). ∈
1.正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义 m
a
n
=
− m n
数学-n次方根与分数指数幂
n次方根与分数指数幂数学分数指数 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质．导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，2也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．一、n次方根问题1 如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？提示 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个．问题2 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示 比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．知识梳理1．n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈R a>0a＝0a<0x＝n a x＝±n a x＝0不存在3.根式n a式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．n0(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.n a(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．n an(4)＝|a|＝Error!(n为大于1的偶数)．注意点：n a n a n an(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0；(2)()n与意义不同，3(－3)34(－3)44－3n a n an比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠；n a n an n a n an(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对n an于要注意运算次序．例1 (1)化简下列各式：5(－2)55－2①＋()5；6(－2)662②＋()6；4(x＋2)4③.解 ①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.③原式＝|x＋2|＝Error!x2－2x＋1x2＋6x＋9(2)已知－3<x<3，求－的值．(x－1)2(x＋3)2解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝Error!延伸探究 在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？(x－1)2(x＋3)2解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.n an n a反思感悟 正确区分与()nn an n an(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．n a n a(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．跟踪训练1 化简下列各式：7(－2)7(1)；(2)＋；(π－4)23(π－4)3(3)(a ≤1)；4(3a －3)4(4)＋；3a 34(1－a )4解 (1)＝－2.7(－2)7(2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(π－4)23(π－4)3(3)∵a ≤1，∴＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .4(3a －3)4(4)＋＝a ＋|1－a |＝Error!3a 34(1－a )4二、分数指数幂问题3 那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a >0，是3a 24a 23a 59a 3否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示 ＝，＝＝，＝，＝＝.3a 223a 4a 224a 12a 3a 553a 9a 339a 13a 知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；m na nam (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；1m nm naa-=1nam (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．注意点：(1)分数指数幂不可理解为个a 相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数m na mn 指数幂总表示正数，而不是负数．整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．拓展：①＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )．②r ＝(a >0，r ，s ∈Q )aras (a b )arbr 注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．例2 (1)化简的结果是( )1312527-⎛⎫⎪⎝⎭A. B. C ．3 D ．53553(2)(a >0)的分数指数幂表示为( )3a ·a A ． B ． C ． D ．都不对12a 32a 34a (3)化简·(a >0)的结果是( )a 3a 2A. B. C. D.3a 6a 71a 6a 6a答案 (1)A (2)A (3)B解析 (1)原式＝＝－1＝.13353⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭(53)35(2)＝＝.3123a ⨯12a (3)原式＝·＝＝.12a 23a 76a 6a 7反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练2 (1)求值：＝________.3－827(2)用分数指数幂表示a ·(a >0)＝________.51a 3答案 (1)－ (2)2325a 解析 (1)原式＝＝＝－.13827⎛⎫- ⎪⎝⎭13323⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭23(2)原式＝a ·＝.35a-25a 三、有理数指数幂的运算性质例3 ＝________.(式中的字母均是正数)121121332a b a b ---⎛⎫答案 1a解析 原式＝21111323221566ab aba b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅111155513223666615156666aba b aa ba b--+---⋅⋅===⋅⋅＝a －1＝.1a (2)计算：－－(π－3)0＋.25913827⎛⎫ ⎪⎝⎭1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭解 原式＝－－1＋2＝2.5323反思感悟 关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．跟踪训练3 (1)－(－2)0－＋－2；12124⎛⎫ ⎪⎝⎭23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭(32)(2)(x ，y >0)．1411333442236x x y x y ---⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 (1)原式＝－1－＋2＝－1－＋＝.12232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦23332-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(23)32494912(2)原式＝.()()14113233442236xyxy -+++⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)分数指数幂的运算性质．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：(1)对于，当n 为偶数时，a ≥0.na(2)混淆()n 和.na nan1．()4运算的结果是( )42A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定答案 A 解析 ()4＝2.422．若a <，则化简的结果是( )14(4a －1)2A ．4a －1 B ．1－4a C ．－ D ．－4a －11－4a答案 B解析 ∵a <，14∴4a －1<0，∴＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .(4a －1)23．下列运算结果中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(－1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6a 答案 A解析 A 项，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项正确；B 项，(－a 2)3＝－a 6，(－a 3)2＝a 6，故B 项错误；C 项，当a ＝1时无意义，故C 项错误；D 项，(－a 2)3＝－a 6，故D 项错误．4．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.(－12)12116-⎛⎫⎪⎝⎭答案 －4解析 原式＝×16－4÷1－－114(14)＝4－4－4＝－4.课时对点练1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A. B. C. D.4a 25a 5－a 4a答案 D解析 当a <0时，a 的偶次方根无意义．2．若＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )a －2A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析 由题意可知Error!∴a ≥2且a ≠4.3．化简(其中a >0，b >0)的结果是( )3(8a －327b 3)4A. B ．－ C. D ．－2a 3b 2a 3b 1681a 4b 4181a 4b 4答案 C解析 ＝＝4＝.3(8a －327b 3)44333323a b -3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2a －13b)1681a 4b 44．下列等式一定成立的是( )A ．＝a B ．＝03132a a ⋅1122a a ⋅C ．(a 3)2＝a 9 D ．113126a a a÷=答案 D解析 同底数幂相乘，指数相加，故A ，B 错误；因为(a m )n ＝a mn,3×2＝6，故C 错误；同底数幂相除，指数相减，故D 正确．5．若a >0，将表示成分数指数幂，其结果是( )a 2a ·3a 2A ． B ． C ． D ．12a 56a 76a 32a 答案 C解析 由题意得＝＝.a 2a ·3a 211223a--76a 6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－＝x 12()x -B.＝(y >0)6y 213yC ．＝(x >0)34x-4(1x )3D ．＝(x >0)3412x 答案 BCD解析 A 项错误，－＝(x ≥0)，而＝(x ≤0)；x 12x -12()x -－x B 项正确，＝(y >0)；6y 213y C 项正确，＝(x >0)；33441xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭4(1x )3D 项正确，(x >0)．313124342x x ⨯⨯==7．当x <0时，x ＋＋＝________.4x 43x 3x 答案 1解析 原式＝x ＋|x |＋＝x －x ＋1＝1.xx 8．方程3x －1＝的解是________．19答案 x ＝－1解析 3x －1＝＝3－2⇒x －1＝－2⇒x ＝－1.199．化简下列各式：(1)＋；(5－3)2(5－2)2(2)＋(x ≥1)．(1－x )2(3－x )2解 (1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.(5－3)2(5－2)25555(2)当1≤x <3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋3－x ＝2；(1－x )2(3－x )2当x ≥3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋x －3＝2x －4.(1－x )2(3－x )2所以原式＝Error!10．(1)化简：(a >0，b >0)；211511336622263a b a b a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)求值：0＋2－2×－0.010.5.(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭解 (1)211511336622263a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2×(－6)×211115326236(3)ab+-+-.5336ab =(2)0＋2－2×－0.010.5(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋×141122419100⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋×－1423110＝1＋－＝.16110161511．若有意义，则x 的取值范围是( )()3412x --A ．R B.∪(－∞，12)(12，＋∞)C. D.(12，＋∞)(－∞，12)答案 D 解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <.1212．已知m 10＝2，则m 等于( )A. B ．－ C. D ．±102102210102答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±.10213．化简·的结果为( )－a 3a A ． B ． C ． D ．25a -()56a --()56a -56a -答案 B解析 原式＝.()()()115236a a a --⋅-=--14．如果45x ＝3,45y ＝5，那么2x ＋y ＝________.答案 1解析 由45x ＝3，得(45x )2＝9.又45y ＝5，则452x ×45y ＝9×5＝45＝451，即452x ＋y ＝451，∴2x ＋y ＝1.15．化简：(＋)2 021·(－)2 021＝________.3232答案 1解析 原式＝[(＋)·(－)]2 021＝12 021＝1.323216．若a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，＋＋＝0，求abc .1x 1y 1z 解 设a x ＝b y ＝c z ＝k ，则k >0，a ＝，b ＝，c ＝，1xk 1yk 1zk 因此abc ＝＝k 0＝1.111111yx y zxzk k k k++=。
根式,分数指数幂27-30讲义
第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。
第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。
第二章 根式与分数指数幂
第二章 根式与分数指数幂背景在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：n a 和N a log ，教材中是通过实例引入并给出定义：如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。
如果)1,0(≠>=a a N a x ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。
当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。
至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。
“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？ 解决策略 当我们重新回忆“2”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
如果设这个数为x ，既然21x x =，推导的结果即22=x 。
他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理211222=+=x ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。
可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了2，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。
那么，“2”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：2是一个数，它的平方等于2！由此，“n a ”也是一个数，它的n 次方等于a ！更进一步，N a log 是什么呢？由N a x =知N aN a =log ，故N a l o g 也是一个数（对数），a 的N a log 次方等于N 。
如此，则n a 及N a log 便不难理解了。
于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。
根式与分数指数幂的互化公式
根式与分数指数幂的互化公式在初中数学学习中，我们经常会接触到关于根式与分数指数幂的互化公式。
这个公式在代数中具有非常重要的作用，能够方便我们进行运算和推导。
下面，就让我们来详细了解一下这个公式及其应用。
首先，我们需要明确一些基础概念。
根式是一个含有根号的式子，例如√2、∛3等。
而分数指数幂则是指数为分数的幂运算，例如2的1/2次方（即根号下2）、3的2/3次方等。
它们之间通过互化公式建立起了数学上的关系。
对于根式来说，我们经常需要将其转化为分数指数幂的形式，可以使用以下互化公式：√a = a的1/2次方∛a = a的1/3次方由此可见，任何一个根式都可以用分数指数幂来表示，并且我们可以通过指数的大小关系，对根式进行大小比较。
与此同时，对于分数指数幂，我们也可以利用互化公式将其转化为根式的形式，具体公式如下：a的分数次方 = 分母根号下a的分子次方例如：2的1/2次方= √23的2/3次方 = 3的1/3次方的平方根 = ∛3的2次方= √(√3) 通过这些互化公式的使用，我们可以方便地将根式和分数指数幂进行相互转化，并且可以将它们运用到各种代数运算中，例如加减、乘除等都可以利用互化公式进行简化。
除此之外，根式与分数指数幂的互化公式在平面几何和立体几何中也有非常广泛的应用，例如在构造三角形和正方体等图形时，经常需要将根式转化为分数指数幂的形式，从而方便计算。
而在解题过程中，我们也可以利用互化公式进行代数化简，找到已知条件与问题之间的联系。
总的来说，根式与分数指数幂的互化公式是数学学习中非常重要的一个知识点，它不仅能够帮助我们简化复杂的式子，还可以在实际问题中发挥重要的作用。
因此，在学习中一定要重视这个知识点，掌握互化公式的运用方法，以便更好地应用于数学实践中。
n次方根与分数指数幂ppt课件
0的n次方根为0.
n 次 方 根 偶次方根
？负数有没有偶次方根？为什么？
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根 2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
根式
让我们认识一下这个式子:
2 3
练习2. 用分数指数幂表示下列各式.
1 x
23 x2
34 x2
4 1
4 x3
新课讲授 分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整 数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性 质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s， 均有下面的性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q);
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
一般地，如果xn=a，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，
0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号n a 表示．
5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2. 1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数；
【人教A版】数学必修一第四章 4.1.1n次方根与分数指数幂
A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
第四章 4.1 指 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9， －8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2， 即x的取值范围是[2，＋∞).
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
2022-2023学年人教A版必修第一册 4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件(35张)
精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 根式及相关概念 1．a 的 n 次方根的定义 如果____x_n_＝__a____，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*. 2．a 的 n 次方根的表示
3.根式 式子n a叫做根式，这里 n 叫做____根__指__数___，a 叫做__被__开__方__数___．
【主题 2】 根式的性质
(1)n 0＝____0____(n∈N*，且 n>1)；
(2)(n a)n＝___a_____(n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，其中 n>1，且 n∈N*)；
n (3)
an＝____a____(n
为大于
1
的奇数)；
(4)n an＝____|a_|___＝a，－aa≥0，，a<0 (n 为大于 1 的偶数)．
5．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a＞0，b＞0.
研习 3 根式与分数指数幂的互化
[典例 3]
(1)若(x－2)
－
3 4
有意义，则实数 x 的取值范围是(
C
)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
(2)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
①3 a·4 a；
② a a a；
4 ③
ab23；
④(3 a)2· ab3.
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
第1课时 n次方根与分数指数幂
[ 课标要求]
[ 素养要求]
理解 n 次方根及 n 次根式的
1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 概念，正确运用根式与分数指数
2．能正确运用根式运算性质化简求值． 幂运算性质，化简求值，发展数
根式与分数指数幂
探究点1 n次方根的概念
合作探究 思考: 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
探究点1 n次方根的概念
归纳：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况．
02
合作探究
探究点2 根式的运算性质
3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序.
合作探究 根式的运算性质：
归纳小结
n∈N，且n>1.
归纳小结
2.根式化简的技巧 ①熟记恒等式： ②注意整体思想、完全平方公式等的运用. ③含参数化简，若开偶次方根，要注意分类讨论.
知识点二 分数指数幂
1.分数指数幂：
(2) 正数的负分数指数幂的意义：
(3)规定0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 .
51.42
51.5
51.4
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
题后反思
方法总结：
1.当所求根式含有重根号时，要搞清被开方数，由里向外用 分数指数幂写出，然后再利用性质运算.
2.计算结果形式：不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求， 就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出 结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又 含有负指数.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
0
没有意义
2.有理数指数幂运算性质
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
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