专题：简单的线性规划(含答案)

高考复习专题：简单的线性规划

专题要点

简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。

线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。

考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。 考纲要求

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。 典例精析

线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。 考点1：求给定可行域的最优解 例1.（2012广东文）已知变量x 、y 满足约束条件1

110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩

,则2z x y =+的最小值为

（ ）

A ．3

B ．1

C ．5-

D ．6- 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小

值.

联立11x y x =-⎧⎨=-⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩

,所以2z x y =+的最小值为

5-.

例2.（2009天津）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪

-≥-⎨⎪-≤⎩

.

则

目标函数z=2x+3y 的最小值为

（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23

解析：画出不等式3

123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩

表示的可行域，如右图，

让目标函数表示直线3

32z

x y +-

=在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组⎩

⎨⎧=-=+323

y x y x 得)1,2(，所以734min =+=z ，故选择B.

发散思维：若将目标函数改为求x y z =的取值范围；或者改为求3

+=x y

z 的取值范围；

或者改为求22y x z +=的最大值；或者或者改为求()221y x z ++=的最大值。 方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。

练习1.（2012天津）设变量,x y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-≥+-≥-+010420

22x y x y x ,则目标函数32z x y =-的

最小值为

（ ）

A ．5-

B ．4-

C ．2-

D ．3

【解析】做出不等式对应的可行域如图,由y x z 23-=得2

2

3z x y -=,由图象可知当直线

223z x y -=

经过点)2,0(C 时,直线223z

x y -=的截距最大,而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ,选B. 练习2．在约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，

下，?x －1?2＋y 2的最小值为________．

解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到

?x －1?2＋y 2可视为该区域内的点(x ，y )

与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为|－1－1|5

＝25

5. 答

案 255

练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组

给定．若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为

，则z=?的

最大值为（ ）

A 、3

B 、4

C 、3

D 、4 解答：解：首先做出可行域，如图所示： z=?=，即y=﹣x+z 做出l 0：y=﹣x ，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值．

因为A （，2），所以z 的最大值为4故选B

练习4.（2011福建）已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y≥2，x≤1，

y≤2上的一个动点，

则OA →·OM →

的取值范围是( )

A ．[－1,0]

B ．[0,1]

C ．[0,2]

D ．[－1,2] 【分析】 由于OA →·OM →

＝－x ＋y ，实际上就是在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y≥2，x≤1，

y≤2下，求线性目标函数z ＝－x ＋y 的

最大值和最小值．

【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA →·OM →

＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线．

当它经过点C(1,1)时，z 有最小值，即zmin ＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z 有最大值，即zmax ＝－0＋2＝2.

∴z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →

的取值范围是[0,2]，故选C.

考点2：求给定可行域的面积

例3．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 表示的平面区域的面积为（ ）

A ．23

B ．32

C ．3

4 D ．4

3

答案c

考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数

例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪

-+⎨⎪⎩

≥≥≤表示的

平面区域的面积为4，则实数t 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案B

练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪

-≤⎨⎪-+≥⎩

（α为常数）

所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是2

3；当a=3时，面积恰好为2，故选D.