第八讲 动态规划与最短路径(3)_538106033
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1 k n 1 k n
7
25.1 每对顶点间最短路径问题的一 个递归解
实际的最短路径权值：如果图中不包含权值为 负的回路，那么对于所有的顶点对i和j，当δ(i, j) < ∞时，存在一条从i到j的最短路径，它是简单 路径，从而至多包含n-1条边。从顶点i到顶点j 的多于n-1条边的路径其权值不可能小于从i到j 的最短路径的权值。因此，实际的最短路径权 值由下式给出：
13
25.1 自底向上计算最短路径的权值
回到顶点最短路径问题，我们是通过把最短路径 逐边延长，最终计算出最短路径权值的。设A· B 代表过程EXTEND-SHORTEST-PATHS(A, B)返 回的矩阵乘积，我们计算n-1个矩阵的序列：
L(1)
L(2) L(3)
=
= =
L(0) ·W
L(1) ·W L(2) ·W ⋮
18
25.1 改进运行时间
在第4-6行while循环的每一次迭代中，从m=1开始 计算L(2m) = (L(m))2。在每次迭代的最后，m乘以2。 最后一次迭代实际通过对某个n-1≤2m<2n-2计算 L(2m)，然后计算出L(n-1) 。根据等式25.3，有L(2m) = L(n-1)。下一次执行第4行中的测试语句时，由于m 已被乘以2，所以m≥n-1，测试失败，过程返回它 计算出的最后一个矩阵。 因为⌈lg(n - 1)⌉个矩阵乘积中的每一个都需要Θ(n3) 时间，因此FASTER-ALL-PAIRS-SHORTESTPATHS的运行时间为Θ(n3lgn)。算法中不包含复 杂数据结构，因此隐含于Θ中的常数很小
6
25.1 每对顶点间最短路径问题的一 个递归解
现在设 l(m)ij 是从顶点i到顶点j的至多包含m条边的 任何路径的权值最小值。
当m=0时，从i到j存在一条不包含边的最短路径当且 仅当i=j。因此 0 若i j
l(0)ij 若 i j (m -1) 对m ≥ 1，先计算 l ij (从i到j的最短路径的权至多包
4
动态规划
设计一个动态程序算法的过程为：
刻划最优解的结构（最优子结构） 递归定义最优解的值（动态规划设计） 按自底向上的方式计算最优解的值（重叠？） 由计算出的结果构造一个最优解（可省略）
用循环填表：
表中的项：子问题的最优解 循环嵌套的层数=表格的维度（子问题分解的维度）+1（ 如果做选择时需要） 循环的初始值：平凡子问题之外的最小子问题（需用递归 求解的最小子问题）。 循环增量方向：例如从左上向右下方填表，保证计算某个 子问题最优解时需要的表中的项都已求解。
等于L(n-1) 因为2 下面过程利用重复平方技术计算上述矩阵序列
lg(n 1)
lg( n1)
2 n 1 ，最终乘积 L
FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W) 1 n ← rows[W] 2 L(1) ← W 3m←1 4 while m < n - 1 5 do L(2m) ← EXTEND-SHORTEST-PATHS(L(m), L(m)) 6 m ← 2m 7 return L(m)
解决子问题的次序
3
25. 最短路径
讨论图上每对顶点间的最短路径问题 可以通过单元最短路径算法运行|V|次来解决每 对顶点间的最短路径问题。 本节介绍两个动态规划算法，用来解决有向图 G=(V,E)（允许负边，不允许负回路）上每对顶 点间的最短路径问题。两种划分子问题的方法：
一种动态规划的每一次主循环都将引发一个与矩阵 乘法运算十分相似的操作，因此算法看上去很像是 重复的矩阵乘法。算法的运行时间为Θ(V3lgV)。 另一种动态规划算法Floyd-Warshall算法，该算法的 运行时间为Θ(V3)。
第八讲：动态规划与最短路径(3)
《算法与算法复杂性》2011年春季 赵颖
第十五章 动态规划
本章主要内容：
动态规划介绍 装配线调度问题 矩阵链相乘问题 动态规划问题关键特征 背包问题（补充） 最长公共子序列 最优二叉查找树
每对顶点间的最短路径（第25章）
2
比较
分治 把问题转化为子问题 本质是递归的 子问题是否重叠 子问题的数目 预处理 运行时间 解决最优化问题 最优子结构 贪心选择 动态规划 贪心
(i, j ) lij
( n 1)
lij
(n)
lij
( n 1)
... (25.3)
8
25.1 自底向上计算最短路径的权值
把矩阵W= (wij)作为输入，来计算一组矩阵L(1), (m) (2) ( n -1) (m) l L ,..., L ，其中对m = 1, 2,..., n - 1,有L = ij 最后矩阵L(n-1) 包含实际的最短路径权值。注意 对所有的顶点i, j∈V， l(1)ij = wij，因此L(1)=W。 算法如下页所示，给定矩阵L(m-1)和W，返回矩 阵L(m) ，也就是它把已经计算出来的最短路径 延长一条边。
22
25.2 最短路径的结构
23
25.2 最短路径的结构
我们定义一个最短路径估计的递归公式。令dij ( k ) 为从顶点i到顶点j、且满足所有中间顶点皆属于 集合{1,2,...,k}的一条最短路径的权值。当k=0时， 从顶点i到顶点j的路径中，没有编号大于0的中 间顶点；亦即，根本不存在中间顶点。这样的 (k ) 路径至多包含一条边因此 d ij =wij。根据上述讨 论，我们用下式给出一个递归式
19
25.2 Floyd-Warshall算法
本节要介绍另一个动态规划算法，用来解决有 向图G=(V,E)上每对顶点间的最短路径问题。算 法称为Floyd-Warshall算法，运行时间为Θ(V3)。 算法允许存在负值的边，但我们假设没有权值 为负的回路。
20
25.2 最短路径的结构
在Floyd-Warshall算法中，我们利用最短路径结构 中的另一个特征：该算法考虑最短路径上的中间顶 点，其中简单路径p=<v1, v2,..., vl>上的中间顶点是 除了v1和vl 以外p上的任何一个顶点，即任何属于集 合{v2, v3,..., vl-1}的顶点。 Floyd-Warshall算法主要基于以下观察：设G的顶点 为V={1, 2,..., n}，对某个k考虑顶点的一个子集{1, 2,..., k}。对任意一对顶点i, j∈V，考虑从i到j且中间 顶点皆属于集合{1, 2,..., k}的所有路径。设p是其中 的一条最小权值路径。Floyd-Warshall算法利用了 路径p与i到j之间的最短路径之间的联系。这一联系 依赖于k是否是路径p的一个中间顶点：
cij aik bkj
k 1
如果对等式25.2做如下的替换
11
25.1 自底向上计算最短路径的权值
l(m-1) → w → l(m) → min → + → 则得到等式矩阵乘法运算：
a, b, c, +, ·
cij aik bkj
k 1 n
因此，如果对过程EXTEND-SHORTESTPATHS进行这样的变换，并用0(表示+)替换∞(表 示min)，得到一个直接的Θ(n3)的矩阵乘法过程
21
25.2 最短路径的结构
如果k不是路径p的中间顶点，则p的所有中间顶点皆在 集合{1,2,...,k-1}中。因此从顶点i到顶点j且满足所有中 间顶点皆属于集合{1,2,...,k-1}的一条最短路径，也同样 是从i到j且满足所有中间顶点皆属于集合{1,2,...k}的一条 最短路径。 如果k是路径p的中间顶点，那么可将p分解为 p1 p2 i k j 。由引理24.1可知，p1是从i到k的一条 最短路径，且其所有中间顶点均属于集合{1,2,...,k}。因 为顶点k不是路径p1上的一个中间顶点，所以p1是从i到k 的一条最短路径，且其所有中间顶点皆属于集合 {1,2,...,k-1}。类似的， p2以是从k到j的一条最短路径， 且其所有中间顶点皆属于集合{1,2,...,k-1}
下图显示了一个图，以及由过程SLOW-ALLPAIRS-SHORTEST-PATHS计算出的矩阵L(m)
15
25.1 自底向上计算最短路径的权值
16
25.1 改进运行时间
我们的目标并不是计算出全部的L(m)矩阵，我们 仅仅需要矩阵L(n-1)。 等式25.3蕴含着对所有整数m≥n-1，有L(m) = L(n-1)。如同传统的矩阵乘法满足结合律，由 EXTEND-SHORTEST-PATHS定义的矩阵乘法 也是一样。因此，通过计算下列矩阵序列，只 需计算⌈lg(n - 1)⌉个矩阵乘积就能计算出L(n-1)
=
= =
W,
W2, W3,
L(n-1)
=
L(n-2) ·W
=Βιβλιοθήκη Baidu
Wn-1.
与前面的论证一样，矩阵L(n-1) = Wn-1包含最短路 径的权值。下面的过程在Θ(n4)时间内计算该序列。
14
25.1 自底向上计算最短路径的权值
SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W) 1 n ← rows[W] 2 L(1) ← W 3 for m ← 2 to n - 1 4 do L(m) ← EXTEND-SHORTEST-PATHS(L(m-1), W) 5 return L(n-1)
d ij
(k )
wij ( k 1) ( k 1) ( k 1) min d , d d ij ik kj
如果k 0 如果k 1
含m-1条边)，以及从i到j的最多包含m条边的路径的 最小权值（通过计算j的所有可能前趋k而得到的）， 然后取二者中的最小值作为 l(m) ij 因此我们递归定义
lij ( m) min lij ( m1) , min lik ( m1) wkj min lik ( m1) wkj (25.2)
L(1) = W,
L(2)
L(4) L(8)
=
= =
W2
W4 W8
lg( n1) 2
=
= =
2 lg( n1) 1
W ·W,
W2 ·W2 W4 ·W4,
L
2
lg( n1)
W
⋮
W
W
2
lg( n1) 1
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25.1 改进运行时间
9
25.1 自底向上计算最短路径的权值
EXTEND-SHORTEST-PATHS(L, W) 1 n ← rows[L] 2 let be an n × n matrix 3 for i ← 1 to n 4 do for j ← to n 5 do lij ' 6 for k ← 1 to n 7 do lij ' min lij ' , lik wkj 8 return L′
5
25.1 最短路径的结构
假设图以邻接矩阵W=(wij)来表示 考察从顶点i到顶点j的一条最短路径p，假设p至多 包含m条边。假设途中不存在权值为负的回路，则 m必是有限值。
如果i=j，则路径p权值为0而且没有边。 p' k ， j 若顶点i和顶点j是不同顶点，则把路径p分解为i 其中路径p'至多包含m-1条边。由引理24.1，p'是从i到k 的一条最短路径，因而δ(i, j) = δ(i, k) + wkj
10
25.1 自底向上计算最短路径的权值
该过程计算出矩阵L'=(lij ' )作为返回值。对所有 的i和j计算等式25.2，用L代表L(m-1)，用L'代表 L(m)算，来计算这个返回值。由于算法中存在三 个嵌套的for循环，因此运行时间为Θ(n3)。 算法和矩阵乘法运算的关系：假定我们希望计 算两个n×n的矩阵A和B的矩阵乘积C = A· B。 于是对i,j=1，2，...，n ，计算 n
12
25.1 自底向上计算最短路径的权值
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 n ← rows[A] 2 let C be an n × n matrix 3 for i ← 1 to n 4 do for j ← 1 to n 5 do cij ← 0 6 for k ← 1 to n 7 do cij ← cij + aik ·bkj 8 return C
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25.1 每对顶点间最短路径问题的一 个递归解
实际的最短路径权值：如果图中不包含权值为 负的回路，那么对于所有的顶点对i和j，当δ(i, j) < ∞时，存在一条从i到j的最短路径，它是简单 路径，从而至多包含n-1条边。从顶点i到顶点j 的多于n-1条边的路径其权值不可能小于从i到j 的最短路径的权值。因此，实际的最短路径权 值由下式给出：
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
回到顶点最短路径问题，我们是通过把最短路径 逐边延长，最终计算出最短路径权值的。设A· B 代表过程EXTEND-SHORTEST-PATHS(A, B)返 回的矩阵乘积，我们计算n-1个矩阵的序列：
L(1)
L(2) L(3)
=
= =
L(0) ·W
L(1) ·W L(2) ·W ⋮
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25.1 改进运行时间
在第4-6行while循环的每一次迭代中，从m=1开始 计算L(2m) = (L(m))2。在每次迭代的最后，m乘以2。 最后一次迭代实际通过对某个n-1≤2m<2n-2计算 L(2m)，然后计算出L(n-1) 。根据等式25.3，有L(2m) = L(n-1)。下一次执行第4行中的测试语句时，由于m 已被乘以2，所以m≥n-1，测试失败，过程返回它 计算出的最后一个矩阵。 因为⌈lg(n - 1)⌉个矩阵乘积中的每一个都需要Θ(n3) 时间，因此FASTER-ALL-PAIRS-SHORTESTPATHS的运行时间为Θ(n3lgn)。算法中不包含复 杂数据结构，因此隐含于Θ中的常数很小
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25.1 每对顶点间最短路径问题的一 个递归解
现在设 l(m)ij 是从顶点i到顶点j的至多包含m条边的 任何路径的权值最小值。
当m=0时，从i到j存在一条不包含边的最短路径当且 仅当i=j。因此 0 若i j
l(0)ij 若 i j (m -1) 对m ≥ 1，先计算 l ij (从i到j的最短路径的权至多包
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动态规划
设计一个动态程序算法的过程为：
刻划最优解的结构（最优子结构） 递归定义最优解的值（动态规划设计） 按自底向上的方式计算最优解的值（重叠？） 由计算出的结果构造一个最优解（可省略）
用循环填表：
表中的项：子问题的最优解 循环嵌套的层数=表格的维度（子问题分解的维度）+1（ 如果做选择时需要） 循环的初始值：平凡子问题之外的最小子问题（需用递归 求解的最小子问题）。 循环增量方向：例如从左上向右下方填表，保证计算某个 子问题最优解时需要的表中的项都已求解。
等于L(n-1) 因为2 下面过程利用重复平方技术计算上述矩阵序列
lg(n 1)
lg( n1)
2 n 1 ，最终乘积 L
FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W) 1 n ← rows[W] 2 L(1) ← W 3m←1 4 while m < n - 1 5 do L(2m) ← EXTEND-SHORTEST-PATHS(L(m), L(m)) 6 m ← 2m 7 return L(m)
解决子问题的次序
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25. 最短路径
讨论图上每对顶点间的最短路径问题 可以通过单元最短路径算法运行|V|次来解决每 对顶点间的最短路径问题。 本节介绍两个动态规划算法，用来解决有向图 G=(V,E)（允许负边，不允许负回路）上每对顶 点间的最短路径问题。两种划分子问题的方法：
一种动态规划的每一次主循环都将引发一个与矩阵 乘法运算十分相似的操作，因此算法看上去很像是 重复的矩阵乘法。算法的运行时间为Θ(V3lgV)。 另一种动态规划算法Floyd-Warshall算法，该算法的 运行时间为Θ(V3)。
第八讲：动态规划与最短路径(3)
《算法与算法复杂性》2011年春季 赵颖
第十五章 动态规划
本章主要内容：
动态规划介绍 装配线调度问题 矩阵链相乘问题 动态规划问题关键特征 背包问题（补充） 最长公共子序列 最优二叉查找树
每对顶点间的最短路径（第25章）
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比较
分治 把问题转化为子问题 本质是递归的 子问题是否重叠 子问题的数目 预处理 运行时间 解决最优化问题 最优子结构 贪心选择 动态规划 贪心
(i, j ) lij
( n 1)
lij
(n)
lij
( n 1)
... (25.3)
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
把矩阵W= (wij)作为输入，来计算一组矩阵L(1), (m) (2) ( n -1) (m) l L ,..., L ，其中对m = 1, 2,..., n - 1,有L = ij 最后矩阵L(n-1) 包含实际的最短路径权值。注意 对所有的顶点i, j∈V， l(1)ij = wij，因此L(1)=W。 算法如下页所示，给定矩阵L(m-1)和W，返回矩 阵L(m) ，也就是它把已经计算出来的最短路径 延长一条边。
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25.2 最短路径的结构
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25.2 最短路径的结构
我们定义一个最短路径估计的递归公式。令dij ( k ) 为从顶点i到顶点j、且满足所有中间顶点皆属于 集合{1,2,...,k}的一条最短路径的权值。当k=0时， 从顶点i到顶点j的路径中，没有编号大于0的中 间顶点；亦即，根本不存在中间顶点。这样的 (k ) 路径至多包含一条边因此 d ij =wij。根据上述讨 论，我们用下式给出一个递归式
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25.2 Floyd-Warshall算法
本节要介绍另一个动态规划算法，用来解决有 向图G=(V,E)上每对顶点间的最短路径问题。算 法称为Floyd-Warshall算法，运行时间为Θ(V3)。 算法允许存在负值的边，但我们假设没有权值 为负的回路。
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25.2 最短路径的结构
在Floyd-Warshall算法中，我们利用最短路径结构 中的另一个特征：该算法考虑最短路径上的中间顶 点，其中简单路径p=<v1, v2,..., vl>上的中间顶点是 除了v1和vl 以外p上的任何一个顶点，即任何属于集 合{v2, v3,..., vl-1}的顶点。 Floyd-Warshall算法主要基于以下观察：设G的顶点 为V={1, 2,..., n}，对某个k考虑顶点的一个子集{1, 2,..., k}。对任意一对顶点i, j∈V，考虑从i到j且中间 顶点皆属于集合{1, 2,..., k}的所有路径。设p是其中 的一条最小权值路径。Floyd-Warshall算法利用了 路径p与i到j之间的最短路径之间的联系。这一联系 依赖于k是否是路径p的一个中间顶点：
cij aik bkj
k 1
如果对等式25.2做如下的替换
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
l(m-1) → w → l(m) → min → + → 则得到等式矩阵乘法运算：
a, b, c, +, ·
cij aik bkj
k 1 n
因此，如果对过程EXTEND-SHORTESTPATHS进行这样的变换，并用0(表示+)替换∞(表 示min)，得到一个直接的Θ(n3)的矩阵乘法过程
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25.2 最短路径的结构
如果k不是路径p的中间顶点，则p的所有中间顶点皆在 集合{1,2,...,k-1}中。因此从顶点i到顶点j且满足所有中 间顶点皆属于集合{1,2,...,k-1}的一条最短路径，也同样 是从i到j且满足所有中间顶点皆属于集合{1,2,...k}的一条 最短路径。 如果k是路径p的中间顶点，那么可将p分解为 p1 p2 i k j 。由引理24.1可知，p1是从i到k的一条 最短路径，且其所有中间顶点均属于集合{1,2,...,k}。因 为顶点k不是路径p1上的一个中间顶点，所以p1是从i到k 的一条最短路径，且其所有中间顶点皆属于集合 {1,2,...,k-1}。类似的， p2以是从k到j的一条最短路径， 且其所有中间顶点皆属于集合{1,2,...,k-1}
下图显示了一个图，以及由过程SLOW-ALLPAIRS-SHORTEST-PATHS计算出的矩阵L(m)
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
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25.1 改进运行时间
我们的目标并不是计算出全部的L(m)矩阵，我们 仅仅需要矩阵L(n-1)。 等式25.3蕴含着对所有整数m≥n-1，有L(m) = L(n-1)。如同传统的矩阵乘法满足结合律，由 EXTEND-SHORTEST-PATHS定义的矩阵乘法 也是一样。因此，通过计算下列矩阵序列，只 需计算⌈lg(n - 1)⌉个矩阵乘积就能计算出L(n-1)
=
= =
W,
W2, W3,
L(n-1)
=
L(n-2) ·W
=Βιβλιοθήκη Baidu
Wn-1.
与前面的论证一样，矩阵L(n-1) = Wn-1包含最短路 径的权值。下面的过程在Θ(n4)时间内计算该序列。
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W) 1 n ← rows[W] 2 L(1) ← W 3 for m ← 2 to n - 1 4 do L(m) ← EXTEND-SHORTEST-PATHS(L(m-1), W) 5 return L(n-1)
d ij
(k )
wij ( k 1) ( k 1) ( k 1) min d , d d ij ik kj
如果k 0 如果k 1
含m-1条边)，以及从i到j的最多包含m条边的路径的 最小权值（通过计算j的所有可能前趋k而得到的）， 然后取二者中的最小值作为 l(m) ij 因此我们递归定义
lij ( m) min lij ( m1) , min lik ( m1) wkj min lik ( m1) wkj (25.2)
L(1) = W,
L(2)
L(4) L(8)
=
= =
W2
W4 W8
lg( n1) 2
=
= =
2 lg( n1) 1
W ·W,
W2 ·W2 W4 ·W4,
L
2
lg( n1)
W
⋮
W
W
2
lg( n1) 1
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25.1 改进运行时间
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
EXTEND-SHORTEST-PATHS(L, W) 1 n ← rows[L] 2 let be an n × n matrix 3 for i ← 1 to n 4 do for j ← to n 5 do lij ' 6 for k ← 1 to n 7 do lij ' min lij ' , lik wkj 8 return L′
5
25.1 最短路径的结构
假设图以邻接矩阵W=(wij)来表示 考察从顶点i到顶点j的一条最短路径p，假设p至多 包含m条边。假设途中不存在权值为负的回路，则 m必是有限值。
如果i=j，则路径p权值为0而且没有边。 p' k ， j 若顶点i和顶点j是不同顶点，则把路径p分解为i 其中路径p'至多包含m-1条边。由引理24.1，p'是从i到k 的一条最短路径，因而δ(i, j) = δ(i, k) + wkj
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
该过程计算出矩阵L'=(lij ' )作为返回值。对所有 的i和j计算等式25.2，用L代表L(m-1)，用L'代表 L(m)算，来计算这个返回值。由于算法中存在三 个嵌套的for循环，因此运行时间为Θ(n3)。 算法和矩阵乘法运算的关系：假定我们希望计 算两个n×n的矩阵A和B的矩阵乘积C = A· B。 于是对i,j=1，2，...，n ，计算 n
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25.1 自底向上计算最短路径的权值
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 n ← rows[A] 2 let C be an n × n matrix 3 for i ← 1 to n 4 do for j ← 1 to n 5 do cij ← 0 6 for k ← 1 to n 7 do cij ← cij + aik ·bkj 8 return C