工程测试技术+习题答案
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...
第一章
三、计算题
1-2 求正弦信号的绝对均值和均根值。
解答：
000
2200000
224211()d sin d sin d cos T T
T T
x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T
T ωT ωπ
====-==
⎰⎰⎰
rms
x ====
1-3求指数函数的频谱。
解答：
(2)22022
0(2)()()(2)2(2)a j f t
j f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f -+∞
∞
---∞
-∞-=====-+++⎰⎰πππππππ
()X f =
Im ()2()arctan
arctan
Re ()X f f
f X f a
==-πϕ
...
1-5求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。
0cos ()0
ωt
t T x t t T
⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
解：0()()cos(2)x t w t f t =
π
w(t)为矩形脉冲信号
()2sinc(2)W f T Tf =π
()
002201cos(2)2j f t j f t
f t e e
πππ-=
+ 所以002211()()()22j f t
j f t x t w t e w t e -=+ππ
根据频移特性和叠加性得：
000011
()()()
22
sinc[2()]sinc[2()]
X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
单边指数衰减信号频谱图
f
|X (f )
A /
φ(f
) f
0 π/2
-π/2 f
X (f )
T
f
-f 0 被截断的余弦函数频谱
...
1-6 求指数衰减信号0()sin at
x t e
ωt -=的频谱
解答：
()0001sin()2j t j t
t e e j
-=
-ωωω
所以()001()
2j t j t
at
x t e e e j
--=-ωω
单边指数衰减信号1()(0,0)at
x t e
a t -=>≥的频谱密度函数为
112
2
1()()j t
at j t a j X f x t e
dt e e dt a j a ∞
∞
----∞
-===
=++⎰⎰ωωω
ωω
根据频移特性和叠加性得：
[]001010222200222
000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]
a j a j X X X j j a a a a j
a a a a ⎡⎤---+=
--+=-⎢⎥+-++⎣⎦
--=
-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
指数衰减信号
...
1-7 设有一时间函数()及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡
00
cos()
m
ωtωω
>。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡
cosωt叫做载波。
试求调幅信号
()cos
f tωt的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若
0m
ωω
<时
将会出现什么情况？
解：
()()cos()
x t f t t
=ω
()[()]
F f t
=
ωF
()
00
1
cos()
2
j t j t
t e e-
=+
ωω
ω
所以00
11
()()()
22
j t j t
x t f t e f t e-
=+
ωω
根据频移特性和叠加性得：
00
11
()()()
22
X f F F
=-++
ωωωω
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高
度减小一半。
图1-27 题1-7图
ω
F(ω)
f(t)
0 t-ωm ωm
X(ω)
-π
π
φ(ω)
ω
ω
指数衰减信号的频谱
图