二项式定理的性质

r n
通
项
Tr 1 C a
r n
n r
b
r
二、新课
(a+b)1=
2 (a+b)
a + b a2+2ab+b2 a3+3a2b+3ab2+b3
= =
(a+b)3=
4 (a+b)
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
c c c c
0 n 2 n 1 n 3 n
三、例题 例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项
解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项， 依二 项式系数性质
中间一项的二项式系数最大，则：
T5=C84(2x)4=70×16x4=1120x4
例2 已知
项系数最大，求第五项。
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
性质4:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和. 0 2 1 3 即：cn cn cn cn
0 2 3 n n (1 1) n cn c1 c c ( 1 ) cn n n n 0 2 3 (cn cn ) (c1 c n n )
1 x 4 3 展开式中只有第10 x
n
n 解：依题意, n 为偶数，且 1 10, n 18 2
T5 T41 C ( x )
4 18
18 4
3060x
4
1 4 3 x
4
若将“只有第10项”改为“第10 项”呢？
二项式定理的性质
学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的
几个重要性质
复习回顾:
二项式定理及展开式:
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n *
1 n 1 n
r n r r n
二项式系数
C ( r 0,1, , n)
C 可看成是以 r为自变量的函数 f（r），
当n= 6时,
6 1 O
其图象是7个孤立点
3 6 r
f（r） C 当n是偶数时，中间的一项 n f（r）
20
n 2
取得最大值 ； 35 当n是奇数时，中间的两项
30 和 相等，且同时取得 n 最大值。 n为偶数
C
n 1 2
C
n 1 2 n
n为奇数
对称性 增减性与最大值 各二项式系数和
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的 组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要 注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆， 只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的 不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法， 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ 分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使
问题简单化。通常选取赋值时取－1，1。
四、练习
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( A ). A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
1
r 1
C n … … Cn
r n 1
r
n 1
1
(a+b)n+1__ 1
…
C
… …
C
n n 1
1
(a+b)1 ___ (a+b)2 ___ (a+b)3 ___ (a+b)4 ___ (a+b)5 ___ (a+b)6 ___
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6
4 1
1 6 1
1 5 10 10 5 1 6 15 20 15
6已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
五、小结
（1）二项式系数的三个性质 （ 2） 数学思想：函数思想 a 图象、图表； b 单调性； c 最值。
15
20
6 1 O
n 1 2 2
n 1 2 2
10
n 2
n
r
O
n 2
n
性质3：各二项式系数的和
在二项式定理中，令 a b 1 ，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
n k 1 n 1 1 k k 2 n 1
k
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。
2
时，
（a b）展开式的二项式系数是
n
f（r）
C ，C ，C ， ，C
r n
0 n
1 n
2 n
n n
从函数பைடு நூலகம்角度看，
20 15
0， 其定义域是 1， 2， ，n
(a+b)1 ___ (a+b)2 ___ (a+b)3 ___ (a+b)4 ___ (a+b)5 ___ (a+b)6 ___
1 1 1 2 1 3 1 4 6 3 4 1 1 1 1 6 1
杨辉三角
1 5 10 10 5 1 6 15 20 15
……
(a+b)n
___
……
1 Cn … Cn
1 C n 1 …
确定第几项。
3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A A.8 B.9 C.10 D.11
4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ A ） A.第2n+1项 B. 第2n+2项 C. 第2n项 D第2n+1项或2n+2项
5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192， 则n的值为 （ D ） A16 B.15 C.14 D.13
(a+b)5=
6 (a+b)
=
(a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2= 1a2+2ab+1b2 3 (a+b) = 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 5 (a+b) = 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5 (a+b)7= ? (a+b)8= ? …… …… (a+b)n= ?
二项式系数的性质
性质1：对称性
C
m n
C
n m n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
1 1 1 2 1
1
1 4
3 3
6 4
1
1
1
1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
1
性质2：增减性与最大值 n(n 1)(n 2) (n k 1) k 由于：C n k (k 1)! k 1 n k 1 Cn k n k 1 k k 1 所以Cn 相对于Cn 的增减情况由 决定． 由： 可知，当 k
……
(a+b)n
___
1
……
1 C n … Cn
r 1
Cn … … C n
r
n1
1
n n 1
(a+b)n+1__
1
1 Cn1 …
…
C
r n 1
… …
C
1
杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
这样的二项 式系数表，早在我 国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 《详解九章算法》 一书里就已经出现 了，在这本书里， 记载着类似左面的 表：