第6章习题解答

习 题 六

6-1 一平面简谐波沿x 轴负向传播，波长λ=1.0 m ，原点处质元的振动频率为ν=2.0 Hz ，振幅A ＝0.1m ，且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波函数．

解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ，故知原点的振动初相为

2

π,取波动方程为])(2cos[0φλπ++=x

T t A y 则有

]2

)1

2(2cos[1.0π

π++=x t y

)2

24cos(1.0π

ππ+

+=x t m

6-2 已知波源在原点的一列平面简谐波，波函数为y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )

将上式与波动方程的标准形式

)22cos(λ

π

πυx

t A y -=

比较，可知：

波振幅为A ，频率π

υ2B

=

， 波长C πλ2=，波速C

B

u ==λυ，

波动周期B

T π

υ21==．

(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程

)cos(Cl Bt A y -=

(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=

∆λ

π

φ

将d x x =-12，及C

π

λ2=代入上式，即得 Cd =∆φ．

6-3 沿绳子传播的平面简谐波的波函数为y =0.05cos(10x t ππ4-)，式中x ，

y 以米计，t 以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质元振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x =0.2m 处质元在t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式

)22cos(x t A y λ

π

πυ-

=

相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -⋅． (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅ 222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅

(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为

08.05

.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相，

即 2.9=φπ．

设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则

825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m

6-4 如题6-4图是沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形曲线．(1)若波沿

x 轴正向传播，该时刻O ，A ，B ，C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿x 轴负

向传播，上述各点的振动位相又是多少?

题6-4图

解: (1)波沿x 轴正向传播，则在t 时刻，有

对于O 点：∵0,0<=O O v y ，∴2

π

φ=

O

对于A 点：∵0,=+=A A v A y ，∴0=A φ

对于B 点：∵0,0>=B B v y ，∴2π

φ-=B

对于C 点：∵0,0<=C C v y ，∴2

3π

φ-=C

(取负值：表示C B A 、、点位相，应落后于O 点的位相)

(2)波沿x 轴负向传播，则在t 时刻，有

对于O 点：∵0,0>'='O O

v y ，∴2π

φ-='O 对于A 点：∵0,='+='A A v A y ，∴0='A

φ 对于B 点：∵0,0<'='B B v y ，∴2πφ=

B 对于

C 点：∵0,0>'='C C v y ，∴23πφ='C

(此处取正值表示C B A 、、点位相超前于O 点的位相)

6-5 一列平面余弦波沿x 轴正向传播，波速为5m·s -1，波长为2m ，原点处质元的振动曲线如题6-5图所示．

(1)写出波函数；

(2)作出t =0时的波形图及距离波源0.5m 处质元的振动曲线．

题6-5图(a)

解: (1)由题6-5(a)图知，1.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，∴2

30π

φ=

， 又5.22

5

==

=

λυu

Hz ，则ππυω52== 取 ])(cos[0φω+-=u

x

t A y ，

则波动方程为

)]2

35(5cos[1.0π

π+-

=x t y m (2) 0=t 时的波形如题6-5(b)图

题6-5图(b) 题6-5图(c) 将5.0=x m 代入波动方程，得该点处的振动方程为

)5cos(1.0)2

35.05.055cos(1.0πππ

ππ+=+⨯-

=t t y m 如题6-5(c)图所示．

6-6 一列机械波沿x 轴正向传播，t =0时的波形如题6-6图所示，已知波速为10 m·s -1，波长为2m ，求：

(1)波函数；

(2)P 点的振动方程及振动曲线； (3)P 点的坐标；

(4)P 点回到平衡位置所需的最短时间．

题6-6图(a)

解: 由题6-6图(a)可知1.0=A m ，

0=t 时，0,200<=v A y ，∴3

0π

φ=，由题知2=λm ， 10=u 1s m -⋅，则52

10

==

=

λυu

Hz ∴ ππυω102==

(1)波动方程为

]3

)10(10cos[.01π

π+-

=x t y m (2)由图知，0=t 时，0,2<-=P P v A y ，∴3

4π

φ-=P (P 点的位相应落后于0点，

故取负值)