人教版数学九上全品作业本答案及解析：二次函数复习3(共53张PPT)

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人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数培优说课教学复习课件

巩固练习
2.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身
广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花
坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为
xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2．
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
4ac b 2
302
h

45．
4a
4 （ 5）
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 0
小球运动中的最大高度是 45 m．
6
小结
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如
何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写
出二次函数表达式是解决问题的关键.
边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面
积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
2

1
1 1
y 12 4 x(1 x ) 2 x (0 x 1)
2
2 2

当x 1 时, y有最小值 1 .
解：(1)由题意解得：
= 40 × 30 − 4 − 5 = −4 2 + 20 + 1200；
6 ≤ ≤ 10
巩固练习
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(2) = −4 2 + 20 + 1200
= −4
5 2
−
2
+ 1225，
∵ = −4 < 0，抛物线开口向下，对称轴为 =

人教版数学九年级上册二次函数单元复习练习(Word版含答案)

人教版数学九年级上册二次函数单元复习练习(Word版含答案)一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为24；（3）M点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）． ∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ， ∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0）， ∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴， ∴△PEF 为等腰直角三角形． ∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3． ∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF 2p 22． ∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24．（3）①如图2所示：若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ， BF ⊥l 交l 于点F ．设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3）， ∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3）， ∴CD ∥x 轴．又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°， ∴△CNE ∽△NBF ． ∴CE NE ＝NFBF，又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，∴24m mm-+＝2343m m m --+-，化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝552+，m 2＝552-．∴M 点坐标为（55+，3）或（55-，3）②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ， ∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°， ∴△BFN ∽△CGB ． ∵△BFN 为等腰直角三角形， ∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ． ∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去） ∴M 点坐标为，（2，3）．综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（52+，3），（52-，3）．【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．2．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1【解析】【分析】（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m ＜0，②m ＝0，③m ＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m ＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝51+或51-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m ﹣2＜0，解得23≤m ＜1，综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -．（1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x-+，由O、M、N三点共线可得出212xx=-，进而可得出点N及点'N的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N在直线PM上，进而即可证出PA平分MPN∠．【详解】解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得2420ca b c=-⎧⎨-+=⎩．所以21b a=-．（2），如图1，当120x x<<时，()()1212x x y y--<，12x x∴-<，12y y->，∴当0x<时，y随x的增大而减小；同理：当0x>时，y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向上，b∴=．OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，ABC∴∆为等腰三角形，又ABC∆有一个内角为60︒，ABC∴∆为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD CD=，且30OCD∠=︒，又2OB OC OA===，·303CD OC cos∴=︒=，·301OD OC sin=︒=．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为31)．点C在抛物线上，且2c=-，0b=，321a∴-=，1a∴=，∴抛物线的解析式为22y x=-．（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)x-，点N的坐标为2(x，222)x-．如图2，直线OM的解析式为()11y k x k=≠．O、M、N三点共线，1x∴≠，2x≠，且22121222x xx x--=，121222x xx x∴-=-，()1212122x xx xx x-∴-=-，122x x∴=-，即212xx=-，∴点N的坐标为12(x-，2142)x-．设点N关于y轴的对称点为点'N，则点'N的坐标为12(x，2142)x-．点P是点O关于点A的对称点，24OP OA∴==，∴点P的坐标为()0,4-．设直线PM的解析式为24y k x=-，点M的坐标为1(x，212)x-，212124x k x∴-=-，21212x k x +∴=，∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-．()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上，PA ∴平分MPN ∠．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．4．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩.（1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x xn =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ，∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点(C ，点()3,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，请直接写出点M 的横坐标．【答案】（1）23233=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】【分析】（1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案．【详解】解：（1）由题意得：120933baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,b故抛物线的解析式是23233=-++y x x.图（1）图（2）（2）①设直线BC的解析式为3.∵直线BC过点B（3，0），∴3则k=33-，故直线BC解析式为y=33设直线m解析式为3y x b，且直线m∥直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时△BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值.令23323b3+=+23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b时直线m与抛物线有唯一交点解之得：73,b代入原式可求得：32x = ∴D 353(,).24图（3）过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积，∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在，点M 的横坐标为313+2 解题提示：如图3符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方） ∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°， ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E （33+0）设直线CE 解析式为：3y kx =+ ∴0(323)3k解之得：32 ∴直线CE 解析式为：(32)3yx∴2323333(32)3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩解得：x 1=0，x 23－1∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15°∴在Rt△COF中，∠CFO=45°∴OC=OF=3∴F（3，0）∴直线CF的解析式为-3y x∴23233-3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得：30x=（舍去），43+2x即点M的横坐标为：23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．7．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a=++≠经过点,A B，与y轴负半轴交于点C，且OC OB=，其中B点坐标为(3,0)，对称轴l为直线12x=．(1)求抛物线的解析式；(2) 在x轴上方有一点P，连接PA后满足PAB CAB∠=∠，记PBC∆的面积为S，求当10.5S=时点P的坐标(3)在(2)的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的10.5S=时点P的坐标；直线y x t=+与抛物线交于,C B''两点(C'在B'的左侧)，若以点,,C B P''为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．【答案】（1）211322y x x=--（2）(2,6)（3）19或32【解析】【分析】（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．设抛物线解析式为21()2y a x k =-+．将B 、C 两点坐标代入得2504134a k a k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x =-=--．（2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=︒， ∴AOC ∆≌AOC ∆'， ∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12x =， ∴(2,0)A -， ∴直线AP 解析式为332y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴313(3)622PF x x x =+--=+， ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3910.54x +=， ∴2x =．此时P 点的坐标为(2,6)．（3）如图2，由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P （），当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ．则2B C PE ''=,即224B C PE =''．设1122(,),(,)B x y C x y ''．由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+， ∴点33(,)22E t +， 222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦''，222233261(6)(1221222PE t t t =-+-=-+），∴226116664(21)2t t t +=-+，解得：19t =或6（舍去），当90PC B ''''∠=︒时，延长C P ''交BC 于H ，交x 轴于G ．则90,45BHG PGO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG x ⊥轴于点Q ，则12GQ PQ ==， ∴(18,0)G ，∴直线C G ''的解析式为18y x =-+，由211-322-18y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725x y =-⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∴(7,25)C '-'，将(7,25)C '-'代入y x t =+中得32t =．综上所述，t 的值为19或32．【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标，C 的坐标；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE 的解析式为：y ＝﹣6x +22， ∴Q （92，﹣5），直线PE ′的解析式为y ＝﹣65x +385， ∴Q ′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．9．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2．连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）51t +=98t = 【解析】【分析】（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点， ∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =，∴122a --=，解得：14a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =-．令2104y x x =-=，解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =．在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=，∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，∵(4,0)D ， ∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2， ∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-， ∴221(2)PE t =+-， ∴251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =．（II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM == ∴45OF =， ∴(45,0)F ，由（I ）知，221(2)PE t =+-，251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=， ∴222(45)55(2)t t +-=+- ∴512t =．（III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

人教版数学九年级上册二次函数(篇)(Word版含解析)

人教版数学九年级上册二次函数（篇）（Word 版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．（3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)，∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a a-＝2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，12m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣12(m+2)2+2(m+2)]，∵PQ∥OD，∴12m2﹣2m＝﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)或12m2﹣2m＝﹣12(m+2)2+2(m+2)，解得m＝3±3或1±3，∴P(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)，当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P(1，﹣32 )，综上所述，满足条件的点P的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣32 )．【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题2．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值3．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+，即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ），当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ，当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．4．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a-≥，即可求出n 的取值范围．【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得1944y x =-+，设点P 为（x ，k x），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大．（2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-，当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大；当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >；当204n -<时，有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．5．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标，C 的坐标；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯⨯=; P （12，﹣34）（3）存在；k=25 【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C 的坐标，然后在Rt △EOF 中，由勾股定理表示出EF 的长，假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，设点N 为OC 中点，连接NQ ，根据条件证明△EQN ∽△EOF ，然后根据性质对应边成比例，可得关于k 的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x 2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF（xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278 当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1．在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=，解得：25， ∵k ＞0，∴25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.8．如图，已知抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是()1,0，点C的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AC的解析式．（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC∆的面积的最大值及此时点P的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E，点M为直线AC上的任意一点，过点M作//MN DE交抛物线于点N，以D，E，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+317-)或(1172--，3172)【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23bc=-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-． ∴此时点M）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F （﹣12，﹣10），B （0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m ＝﹣12﹣35（舍弃）或﹣12+35，∴D （﹣12+35，0）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b′x+c′，可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．故答案为：y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ， ∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB ∽△OFA ，∴13OB OA OA OF ==． ∴OF=9，即F （9，0）；设直线AF 的解析式为y=kx+b （k≠0），可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AF 的解析式为：133y x =-，将x=2代入直线AF 的解析式得：73y =-， ∴E （2，73-）. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。

22.1.3 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

8．(1)在同一直角坐标系中，画出函数 y＝－21x2 与 y＝－12(x－1)2
＋2 的图象．
解：(1)列表：
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－12x2
… －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 … …
y＝－12(x－1)2＋2 … … －2.5 0 1.5 2 1.5 0 －2.5 …
②抛物线
y
＝
－
1 2
(x
－
1)2
＋
2
的开口向 ___下_____ ，对称轴是直线
___x=_1____，顶点坐标为_（__1_，_2_）__．
③将抛物线 y＝－21x2 向__左_（__上__）_平移___1（__2_）__个单位长度，再向
__上_（__右__）_平移__2_（__1_）__个单位长度得到抛物线 y＝－12(x－1)2＋2.
C．(－3，0)
D．(0，－4)
[解析] ∵二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线x＝3，∴直线l上所有点的横坐标都是3.∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选B.
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
5．二次函数y＝(x－2)2＋m2，当x＞m＋1时，y随x的增大而增大，当x＜m＋1时，y随x的增大而减小，则m的值是____1____．
[解析] 由y＝a(x＋1)2＋2可知图象的对称轴为直线x＝－1，由图可知图象在对称轴左侧与x轴的交点坐标为(－3，0)，所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是(1，0)．
图 22－1－21
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
7．指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．

【人教版】九年级数学上册专题训练(3)二次函数与几何图形小综合ppt课件(含答案)

专题训练(三) 二次函数与几何图形小综合
1
类型之一二次函数与三角形的结合 1．如图，直线 l 过点 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内交于点 P，若 S△AOP＝29，求二次函数的解析式．
2
解：设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b，∵直线 l 过点 A(4，0) 和 B(0，4)两点，∴4k＋b＝0，b＝4，∴y＝－x＋4.∵S△AOP ＝92，∴21×4×yp＝92，∴yp＝94，∴94＝－x＋4，解得 x＝74. 把点 P 的坐标(47，49)代入 y＝ax2，解得 a＝3469，∴y＝3469x2
6
解：过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠ OBA ＋ ∠OAB ＝ 90 ° ， ∠ OAB ＋ ∠CAD ＝ 90 ° ， ∴ ∠ OAB ＝ ∠ACD ， ∠ OBA ＝ ∠CAD ，又 AB ＝ AC ， ∴ △ AOB ≌ △ CDA(ASA)．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3， ∴C(3，1)．∵点 C(3，1)在抛物线 y＝21x2＋bx－2 上，可得 b＝－ 12，∴抛物线的解析式为 y＝21x2－12x－2
3
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，顶点为 M的抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°.求这条抛物线的解析式．
4
解：∵AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，∴点 B 的坐标为(2，0)，点 A 的坐标为(－1， 3)．∵抛物线 y＝ax2＋bx(a＞0)经过点
2－1)
13
谢谢观看
14
12
解：(1)如图甲，取 AB 的中点 G，连接 EG，△AGE 与△ECF 全等 (2)① 若点 E 在线段 BC 上滑动，AE＝EF 总成立．证明：如图乙，在 AB 上截取 AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MEB 是等腰直角三角形，∴ ∠AME＝180°－45°＝135°.又 CF 平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°， ∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF，∴△AME≌△ECF.∴AE＝EF.②过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H，由 ①知，FH＝BE＝CH，设 BH＝a，则 FH＝a－1，∴点 F 的坐标为(a，a－ 1)．∵点 F 恰好落在抛物线 y＝－x2＋x＋1 上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴ a2＝2，a＝ 2(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝ 2－1.∴点 F 的坐标为( 2，

【精品】人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

2
3. y a x h 的性质：左加右减。 a 的符号开口方向
a0
向上
a0
向下
顶点坐标 h ，0
h ，0
对称轴 X=h
X=h
性质 x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随
x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．
当 x 1 和 x 3 时 , 函数值相等 ; ③ 4a b 0 ④当 y 2 时 , x 的值只能取 0. 其中正
确的个数是 ( )
A.1 个 B.2 个 C. 3
个
D. 4
个
5. 已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ),
由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x1 1.3和 x2
2. 抛物线 y
2
ax
bx
c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为
(0 ， c) ；
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数 y x2 4x 7 的顶点坐标是 ( )
A.(2, － 11)
B.
（－ 2， 7） C. （ 2， 11） D.
2. 把抛物线 y 2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（
y=ax 2+ k
向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位
y=a (x-h)2
向右 (h>0)【或左 ( h<0)】平移 |k|个单位
向上 (k >0)【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位

初三全品数学中考复习方案PPT-第13课时二次函数的图象与性质

y=ax2+bx+c的步骤
-
为对称轴的抛物线
(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
4
为顶点,
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考点三
二次函数的性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a>0
轴的右侧,即当 x>- 时,y 随 x 的增
增大而⑦ 增大
大而⑨ 减小
,简记左减右增
2
,简记左增右减
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(续表)
图象
a>0
a<0

抛物线有最低点,当 x=-2 时,y 抛物线有最高点,当 x=- 时,y 有
2
最值
对称轴
顶点坐标
有最⑩ 小
值,y 最小值=

直线 x=-2
A.y轴
B.直线x=2
C.直线x=-2
D.直线x=1
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
2.[九下 P13 练习第 1 题改编]抛物线 y=-3x2, [答案] B
1
3
3
4
y= x2,y=5x2,y=- x2 的共同性质是(
)
[解析]4条抛物线的开口方向分别为
向下、向上、向上、向下,故选项A

部编数学九年级上册22.35《二次函数》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)含答案

专题22.35 《二次函数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.特别说明：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).特别说明：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等20()y ax bx c a =++≠,,a bc 2y ax bx c =++实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解特别说明：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.特别说明：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．(1)求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标．(2)若点Q （m ，n ）在该二次函数图象上，①求n 的最小值；②若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．【答案】(1)223y x x =--，与x 轴的交点坐标为(3,0)和(1,0)-(2)①-4；②1m ＜0或2＜m ＜【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令0y =，解2230x x --=即可求得交点坐标．（2）①把函数解析式变形为顶点式即可求得答案；②根据平面直角坐标系内点到x 轴的距离的特点即可求解．(1)解：将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，51643b c c =++ìí=-î，解得23b c =-ìí=-î，故抛物线的表达式为223y x x =--，令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得3x =或1x =-，故抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)和(1,0)-．(2)①2223(1)44y x x x =--=--³，故n 的最小值为﹣4；②令223|3|y x x ＝﹣﹣＝，解得0x ＝或2或1故m 的取值范围为：10m <<或21m <<．【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质、利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质和待定系数法是解题的关键．举一反三：【变式1】已知x 与y 之间的函数关系式为21y ax bx =++（其中a 、b 是常数），且有下列对应关系：x 1－2y－117(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若点(3,)n ，点(,10)m n +均在抛物线21y ax bx =++上，求m 的值．【答案】(1)2241=-+y x x (2)14m =，22m =-．【分析】（1）利用待定系数法，将对应的x ，y 代入21y ax bx =++，解二元一次方程组即可；（2）先将3x =代入y 与x 之间的函数关系式求出n 的值，再将10y n =+代入y 与x 之间的函数关系式求出m 的值．(1)解：由题意得，1142117a b a b ++=-ìí-+=î解得，24a b =ìí=-î∴y 与x 之间的函数关系式为2241=-+y x x ．(2)解：∵点(3,)n 在抛物线2241=-+y x x 上，∴2234317n =´-´+=．∴1017n +=，∵点(,10)m n +在抛物线2241=-+y x x 上，∴217241m m =-+，整理得2280m m --=，解得14m =，22m =-．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度较小，牢记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．(1)求m的值以及二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)△POA的面积为3．【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．(1)解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：m=3，∴A（3，3），把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：3=-9+3b，解得：b=4，∴y=-x2+4x，答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴顶点P（2，4），把x=2代入y=x中得：y=2，∴D（2，2），∴PD=4-2=2，∵△POA 的面积=△OPD 的面积+△APD 的面积，∴△POA 的面积=12PD •OC +12PD •AE =12PD （OC +AE ）=12×2×3=3，答：△POA 的面积为3．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA 的面积分成△OPD 的面积与△APD 的面积之和是解题的关键．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，它与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)-，对于下列结论：①20b a -=；②0abc <；③420a b c ++<；④80a c +>．其中结论正确的个数有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】根据开口方向确定a 的符号后再根据抛物线与x 轴的交点坐标得到对称轴，确定b 的符号，即可判断①，利用抛物线与y 轴交点位置确定c 的符号，即可判断②，令2x =即可判断③，利用根与系数的关系即可判断④．解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)-，∴0a ＞，且该图象的对称轴为12bx a=-=，∴2b a =-，∴240b a a -=-＜，故①错误；由图可知，抛物线交y 轴负半轴，∴0c ＜，又∵0a ＞，20b a =-＜，∴0abc ＞，故②错误；由图可知，当2x =时，420y a b c =++＜，故③正确；∵()133ca=-´=-，∴3c a =-，∴850a c a +=＞，故④正确；故选：B ．【点拨】本题考查了抛物线的解析式以及它的图象与性质，解题关键是理解并掌握对称轴公式、一元二次方程根与系数的关系以及会根据点的坐标判断代数式的取值情况．举一反三：【变式1】如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0，且对称轴为直线1x =-，其部分图像如图所示．下列说法正确的个数是（）．①0ac >；②240b ac -<；③930a b c -+>；④2am bm a b +<-（其中1m ¹-）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据抛物线的性质，对称性，抛物线与x 轴的交点，与y 轴的交点，最值去分析判断即可．解：∵ 抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0，开口向下，与y 轴交点位于y 轴的正半轴，且对称轴为直线1x =-，∴ a ＜0，c ＞0，a +b +c =0，1112x +=-，102ba-=-＜，∴ac ＜0，13x =-，240b ac -＞，930a b c -+=，故①②③都是错误的；∵a ＜0，∴抛物线有最大值，且当x =-1时，取得最值，且最大值为a -b +c ，∴当m ≠-1时，2am bm c a b c ++<-+，故2am bm a b +<-，故④正确，故选B ．【点拨】本题考查了抛物线的性质，对称性，最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的性质和最值、对称性是解题的关键．【变式2】如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()3,0-，对称轴为1x =-．则下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③30a c +=；④若13,2y æö-ç÷èø，21,2y æöç÷èø是图象上的两点，则12y y >；⑤若y c £，则20x -££．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由图象可知当x =0时，c <0，再根据开口向上及对称轴<02ba-，即可得a 、b 的取值范围，据此即可判定①；根据题意可求得函数图象与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数的性质，即可判定②；根据对称轴所在的直线为12ba-=-，可得b =2a ，由当x =1时，a +b +c =0，即可判定③；首先可求得点13,2y æö-ç÷èø关于对称轴对称的点的坐标为11,2y æö-ç÷èø，再根据二次函数的性质，即可判定④；首先可求得点(0,c )关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c )，再根据函数图象即可判定⑤，据此即可解答．解：由图象可知，当x =0时，y <0，∴c <0，Q 该二次函数的图象开口向上，>0a \，<02ba-Q ，>0b \ <0abc \，∴①不正确；∵对称轴为直线x =−1，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()3,0-，∴二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的另一个交点为()1,0，Q 该二次函数的图象开口向上，\当x =2时，420a b c ++>∴②正确；12ba-=-Q ，2b a \=，Q 二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的另一个交点为()1,0，\当x =1时，a +b +c =0，∴a +2a +c =0，即3a +c =0，∴③正确；∵函数图象的对称轴为直线x =-1，∴点13,2y æö-ç÷èø关于对称轴对称的点的坐标为11,2y æö-ç÷èø，Q 该二次函数的图象开口向上，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴12<y y ，∴④不正确；Q 该函数图象与y 轴的交点坐标为(0,c )，\点(0,c )关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c )，y c \£时，20x -££，∴⑤正确；故正确的有3个，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取相关信息，采用数形结合的思想是解题的关键．类型三、二次函数与一次函数、不等式3．抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A （﹣3，0）和点C （0，3）．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）若过顶点D 的直线将△ACD 的面积分为1：2两部分，并与x 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为．注：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标（24,24b ac b a a--）【答案】（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或7 (,0)3-【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题；（2）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数表达式，设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得AE=2CE或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2或2(x+3)2=8，得出点E的坐标，再求出直线DE的解析式即可得出点Q的坐标．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），∴9303b cc--+=ìí=î，解得：23bc=-ìí=î；∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点D（-1，4）．（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：303k bb-+=ìí=î；解得：13kb=ìí=î，∴直线AC的函数表达式为y=x+3．设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），∵直线AC将△ADC的面积分成1：2的两部分，且△ADE和△CDE等高，∴AE=2CE或CE=2AE，∵AC=∴AE=AE=∴2(x+3)2=2或2(x+3)2=8∴x=-2或-4或-1或-5∵-3＜x＜0∴x=-2或-1∴点E的坐标为（-2，1）或（-1，2）当点E的坐标为（-2，1）时设直线DE的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将E（-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，得：2m n1m n4-+=ìí-+=î；解得：m3n7=ìí=î，∴直线AC的函数表达式为y=3x+7．当y=0时，x=7 3 -∴点Q的坐标为（73-，0）当点E的坐标为（-1，2）时，∵D（-1，4），∴直线DE//y轴，点Q的坐标为（-1，0）∴点Q的坐标为（-1，0）或7 (,0)3-【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由直线AC将△ADE的面积分成1：2的两部分，找出关于x的一元二次方程．举一反三：【变式1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示：(1)根据图象解答问题：方程 20ax bx c ++=的两个根为；不等式20ax bx c ++<的解集为；(2)试根据图象信息，求二次函数的解析式．【答案】(1)13x =-，21x =；31x -<<(2)224233y x x =+-【分析】（1）根据函数图象与x 轴交点的横坐标就是方程20ax bx c ++=的两个根即可解出；根据不等式与函数图象的关系可知不等式20ax bx c ++<对应着x 轴下方的图象，写出图象对应的x 范围即可；（2）根据题中二次函数图象可知其与x 轴交于两点()3,0-、()1,0，可设二次函数交点式，再将与y 轴的交点()0,2-代入交点式方程求解a ，即可得出解析式．(1)解：由图象可知，2y ax bx c =++图象与x 轴交于两点()3,0-、()1,0，即当3x =-时，0y =；当1x =时，0y =，\当0y =时，得到方程20ax bx c ++=的两个根为13x =-，21x =；Q 不等式20ax bx c ++<对应着0y <，从不等式与函数图象的关系看来，不等式20ax bx c ++<的解集意味着x 轴下方图象对应着的x 的取值范围，\不等式20ax bx c ++<的解集为31x -<<；(2)解：由图象可知，2y ax bx c =++图象与x 轴交于两点()3,0-、()1,0，与y 轴交于点()0,2-，设二次函数交点式为()()31y a x x =+-，将()0,2-代入()()31y a x x =+-，得到()()203013a a -=+-=-，23a \=，即()()()222224312323333y x x x x x x =+-=+-=+-，\二次函数的解析式为224233y x x =+-．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质．准确掌握二次函数图象与一元二次方程的根、二次不等式解集之间的关系是解决此类问题的关键．【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题．例题：解一元二次不等式x 2﹣3x +2＞0．解：令y ＝x 2﹣3x +2，画出y ＝x 2﹣3x +2如图所示，由图象可知：当x ＜1或x ＞2时，y ＞0．所以一元二次不等式x 2﹣3x +2＞0的解集为x ＜1或x ＞2．填空：(1)x 2﹣3x +2＜0的解集为；(2)﹣x 2+2＜0的解集为；(3)用类似的方法解一元二次不等式﹣（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+6＞0．【答案】(1)12x <<(2)x <x >；(3)52x -<<．【分析】（1）求出2320x x -+=的解，然后根据函数图像取中间值即可；（2）求出220x -+=的解，然后根据函数图像取两边的值即可；（3）求出2(1)5(1)60x x ----+=的解，然后根据函数图像取中间值即可．(1)解：解2320x x -+=得11x =，22x =，由图象可知：当12x <<时，y ＜0．所以，不等式2320x x -+<的解集为12x <<；(2)令22y x =-+，画出22y x =-+如图所示，解220x -+=得，1x =2x =所以，由图象可知：不等式220x -+<的解集为x <x >；(3)令2(1)5(1)6y x x =----+，画出函数图像如图，解2(1)5(1)60x x ----+=得，12x =，25x =-，所以，由图象可知：一元二次不等式2(1)5(1)60x x ----+>的解集为52x -<<．【点拨】本题考查了二次函数与不等式，读懂题目信息得到一元二次不等式的解集的求解方法是解题的关键．类型四、二次函数与一元二次方程4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点M（1，3）和N （3，5）(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A （﹣2，0），且与y 轴交于点B ，同时满足以A 、O 、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【答案】(1)抛物线与x 轴没有交点；(2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．【分析】（1）把M 、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得a 、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x 轴的交点情况；（2）利用A 点坐标和等腰三角形的性质可求得B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A 、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．(1)解：把点M （1，3）和N （3，5）代入抛物线解析式，得：539355a b a b ++=ìí++=î，解得：13a b =ìí=-î，∴抛物线解析式为235y x x =-+，令y =0，得2350x x -+=，∵△=（-3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与x 轴没有交点；(2)解：∵△AOB 是等腰直角三角形，A （﹣2，0），点B 在y 轴上，∴OA =OB ，∴B 点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为2y x mx n =++，①当抛物线过点A （﹣2，0），B （0，2）时，代入，得：2420n m n =ìí-+=î，解得：32m n =ìí=î，∴平移后的抛物线为232y x x =++，∴该抛物线的顶点坐标为（32-，14-），∵原抛物线顶点坐标为（32，114），∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过A （﹣2，0），B （0，﹣2）时，代入，得：2420n m n =-ìí-+=î，解得：12m n =ìí=-î，∴平移后的抛物线为22y x x =+-，∴该抛物线的顶点坐标为（12-，94-），∵原抛物线顶点坐标为（32，114），∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的平移的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点.(1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标.【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【分析】(1)根据抛物线的对称轴是y 轴以及对称轴公式可得关于k 的方程，解方程后再根据抛物线与x 轴的交点个数即可确定答案；(2)由点P 到y 轴的距离即可确定出点P 的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P 的纵坐标即可得答案.解：(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意，∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2，∴点P 的横坐标为－2或2，当x=2时，y=－5；当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x 轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.【变式2】如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点D 作DE x ^轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；(2)()2,3D ．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）令0x =时，2233y x x =-++=，求出()0,3C ，进一步求出直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23D m m m -++，则223DE m m =-++，表示出(),3M m m -+，(),0E m ，利用2DM ME =，可得2m =，所以()2,3D ．(1)解：∵抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，∴10930b c b c --+=ìí-++=î，解得：23b c =ìí=î，∴抛物线解析式为．2y x 2x 3=-++(2)解：∵当0x =时，2233y x x =-++=，∴()0,3C ，设直线BC 的解析式为y kx n =+，∴303k n n +=ìí=î，解得：13k n =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23D m m m -++，则223DE m m =-++，∵DE x ^轴于点E ，∴(),3M m m -+，(),0E m ，∴3ME m =-+，∴()222333DM DE ME m m m m m =-=-++--+=-+，∵2DM ME =，∴()2323m m m -+=-+，解得12m =，23m =（此时B ，D 重合，不合题意舍去），∴2m =，∴()2,3D ．【点拨】本题考查一次函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，表示出3ME m =-+，2=3-+DM m m ，解一元二次方程．类型五、二次函数与实际问题5．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；(3)求出宾馆每天获得的最大利润．【答案】(1)y 与x 的函数关系式为y =50-10x ；(2)当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元(3)宾馆每天获得的最大利润是11520元【分析】（1）根据当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可以写出y 与x 的函数关系式；（2）根据题意，可以得到（200+x -20）（50-10x ）=10560，然后求解即可；（3）根据题意，可以写出利润与x 的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x 的取值范围，即可得到利润的最大值．(1)解：由题意可得，y =50-10x ，即y 与x 的函数关系式为y =50-10x ；(2)解：由题意可得，（200+x -20）（50-10x ）=10560，解得x 1=60，x 2=260，∵每个房间每天的房价不得高于340元，∴200+x ≤340，∴x ≤140，∴0≤x ≤140（x 为10的整数倍），∴x =60，∴200+x =260，答：当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元；(3)解：设利润为w 元，由题意可得：w =（200+x -20）（50-10x ）=-0.1（x -160）2+11560，∴当x ＜160时，w 随x 的增大而增大，∵每个房间每天的房价不得高于340元，∴200+x ≤340，∴x ≤140，∴0≤x ≤140（x 为10的整数倍），∴当x =140时，w 取得最大值，此时w =11520，答：宾馆每天获得的最大利润是11520元．【点拨】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．举一反三：【变式1】“一脉温泉韵，满城桂花香”，咸安因加大对桂花产业的宣传力度，年初，我区某工厂接到一批桂花制品的生产任务，要求必须在20天内完成．已知该产品的出厂价为65元/件，工人小王第x 天（x 为整数）生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝5x ＋10，第x 天生产该产品成本为P 元/件，P 与x 的函数关系图象如下：(1)求P 与x 之间的函数关系式；(2)设小王第x 天创造的利润为w 元．①求w 与x 的函数关系式；②为响应国家的“乡村振兴”政策，小王决定，将这20天中单日所创造的最大利润捐给自己所在的村委会，试问，该村委会本次可获得多少元的捐款？【答案】(1)45(010)35(1020)x P x x <£ì=í+<£î（且x 为整数）(2)①2100200(010)5140300(1020)x x w x x x +<£ì=í-++<£î（且x 为整数）；②1280元【分析】（1）根据函数图象，结合x 的取值范围，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①根据利润=售价-成本价，结合（1）中P 与x 的函数解析式，列出w 与x 的解析式即可；②根据一次函数的性质和二次函数的性质，求出w 的最大值，然后进行比较，得出答案即可．(1)解：由图象可知，当010x <£时，45P =；当1020x <£时，设P 与x 的函数解析式为P kx b =+，将（10，45）和（20，55）分别代入，10452055k b k b +=ìí+=î，解得：135k b =ìí=î，∴P 与x 的函数解析式为35P x =+，∴P 与x 的函数解析式为：()()45010351020x x P x x x ì£ï=í+£ïî＜，为整数＜，为整数．(2)①当010x <£时，()()6545510100200w x x =-+=+，当1020x <£时，()()265355105140300w x x x x =--+=-++，∴w 与x 的函数解析式为2100200(010)5140300(1020)x x x w x x x x +<£ì=í-++<£î，且为整数，且为整数；②当010x <£时，100200w x =+，∵1000>，∴w 随x 的增大而增大，∴当10x =时，100102001200w =´+=最大值，当1020x <£时，()2251403005141280w x x x =-++=--+，∴当14x =时，1280w =最大值，∵12801200>，∴村委会本次可获得1280元捐款．【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，根据函数图象获得信息，利用待定系数法求出P 与x 的函数解析式，是解题的关键．【变式2】科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式；（2）求出2y 与x 之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）1530y x =+；（2）22540y x x =-+；（3）70米【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x ≤6时小钢球在无人机上方，因此求y 2-y 1，当6＜x ≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y 1-y 2，然后进行比较判断即可．解：（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1=kx +b'，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则'35'30k b b +=ìí=î，解得5'30k b =ìí=î，∴y 1与x 之间的函数关系式为1530y x =+．（2）∵6x =时，1563060y =´+=，∵2y 的图象是过原点的抛物线，∴设22y ax bx =+，∴点()1,35，()6,60在抛物线22y ax bx =+上．∴3536660a b a b +=ìí+=î，即35610a b a b +=ìí+=î，解得540a b =-ìí=î，∴22540y x x =-+．答：2y 与x 的函数关系式为22540y x x =-+．（3）设小钢球和无人机的高度差为y 米，由25400x x -+=得10x =或28x =.①16x <£时，21y y y =-2540530x x x =-+--253530x x =-+-27125524x æö=--+ç÷èø，∵50a =-<，∴抛物线开口向下，又∵16x <£，∴当72x =时，y 的最大值为1254；②68x <£时，12y y y =-2530540x x x=++-253530x x =-+27125524x æö=--ç÷èø，∵50a =>，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线72x =，∴当72x >时，y 随x 的增大而增大，∵68x <£，∴当8x =时，y 的最大值为70．∵125704<，∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．类型六、二次函数与几何综合6．如图，一次函数y =A 、B ，二次函数2y bx c =++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：2y x =（2）Q 点坐标为（1，(3，0)或（-1，0）．【分析】（1）由直线y x =A ，B ，代入抛物线解析式，求出b ，c 坐标即可；（2）分BC 为对角线和边两种情况讨论，其中当BC 为边时注意点Q 的位置有两种：在点P 右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．解：（1）对于y =x =0时，y =；当y =00x =，妥得，x =3∴A （3，0），B （0，把A （3，0），B （0，2y bx c ++得：=0c c ìïí=ïî解得，b c ì=ïíï=î∴抛物线的解析式为：2y =（2）抛物线的对称轴为直线2b x a =- 故设P （1，p ），Q （m ，n ）①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ。

人教版九年级上册数学学案：22.1二次函数复习课含答案

课题:22.1 二次函数复习课一、学习目标1.理解二次函数的概念；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会平移二次函数2y ax =(a≠0)的图象得到二次函数2()y a ax m k =++的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的最大值、最小值。

二、教材导学解答下列问题：1.下列函数中,①2ax y =②2r S π=③25.03x y -=④xx y 122-=⑤2234t t S ++= ⑥2332+-=x x y 是二次函数的有_____________（填序号即可）2.二次函数8122+--=）（x y ，它的开口_______，对称轴是直线_____，顶点坐标________，当x_______时y 随x 增大而增大；当x ______ 时,y 随x 增大而减小，当x=_______ 时，有最_____值是______. 三、引领学习知识点1:二次函数的概念一般地，形如_____________（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

例1 函数12221++-=k k x k y ）（是二次函数，则k=_______。

知识点2：二次函数的图像及性质 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. y a x h k =-+的性质：5.二次函数2y ax bx c =++的性质6.二次函数y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较2y ax bx c =++通过配方可以得到22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中h=______，k=________．例2 函数32212++=x x y 开口方向，顶点坐标是，对称轴是 . 例3 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a -b+c<0；④4a+2b+c<0其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点3：二次函数图象的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处。

初三数学全品答案

初三数学全品答案【篇一：全品答案】>26.1 二次函数及其图象26.1.1 二次函数1．b 2．≠13．（1）是；-0.9；2；-3 （2）是；-2；0；-7 （3）是；-1；1；0 （4）不是112x(26?x)(或s??x2?13)；二 6．s=x+34x 7．c 228．（1）k=1 （2）k≠0且k≠19．（1）s=-x2+15x （2）当矩形abcd的面积为50平方米且ab ＞ad时，ab的长为5米26.1.2 二次函数y=ax2的图象1．c 2．b 3．a 4．y轴；（0，0） 5．y=-2x2；下16．（1）略（2）①y=-2x2；x；y??x2；x ②相同；变小；变大7．c 24．a 5．s?8．（1）m=3或m=-4；（2）当m=3时，抛物线有最低点，其最低点坐标为（0，0）；当x＞0时，y随x的增大而增大（3）当m=-4时，函数有最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小9．（1）s=2x2 （2）图象略（3）长方形的长为2 cm，宽为1 cm （4）x≥2 cm时26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象第1课时二次函数y=ax2+k的图象1．c 2．a 3．b 4．b 5．c 6．下；y轴；（0，2）；0；27．s=x2+29911118．上行依次为 8；；2；0；2；；8 下行依次为 9；；3；1；3；；9 2222图略结论：函数y=2x2+1的图象可以看出由函数y=2x2的图象向上平移1个单位得到，它们都关于y轴对称，都是轴对称图形9．b 10．b 11．d 12．c13．y=-x2+4；（0，4）；y轴；（0，4）；（2，0）；（-2，0）14．a＜0，k＞0115．能；把函数y?x2的图象向下平移6个单位 316．（1）20 m （2）2.4 s （3）0?t? （4）略117．（1）a??，k=2 （2）略 218．（1）y??12x （2）形状、开口方向相同；解析式有变化 25【篇二：八年级数学全品答案】txt>1、0.25的倒数是（），最小质数的倒数是（），的倒数是（）。

2022-2023学年人教版九年级数学上册二次函数专题含解析

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》解答综合练习题（附答案）1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x… ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …y … ﹣ 0 0 ﹣ …（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出此二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x ＜0时，y 的取值范围．2．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 经过点（5，），（0，﹣1）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．（2）点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在抛物线上，且x 2＝x 1+3，若y 1，y 2始终小于0，求x 1的取值范围．3．如图，已知抛物线过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），且3AB ＝4OC ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的关系式，并求出这个二次函数的最大值．4．平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝a 2+bx +c 的顶点为（，﹣），它的图象与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x＜5时，写出该二次函数y的取值范围；（3）将抛物线向上平移m个单位长度，当抛物线与坐标轴有且只有2个公共点，求m 的值；（4）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．5．已知：二次函数y＝x2﹣（a+3）x+a+2（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点（非原点），求a的值；（2）若该函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，与y轴相交于点C（0，c），c＞0，且满足x12+x22﹣x1x2＝7．①求抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P AC是以AC为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于D点．（1）当点B、D都在坐标系的正半轴，且△BOD为等腰三角形，求二次函数解析式；（2）当m＝﹣2时，将函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线y＝2x+n与图象Ω仅有两个公共点时，求实数n的取值范围．7．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象经过怎样的一次平移，可使平移后所得图象与坐标轴只有两个交点？8．已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．9．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C 点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣m交x轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第三象限抛物线上一点，连接BP、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点C作CD∥x轴交BP的延长线于点D，连接AD，若∠ADB+∠DCB＝180°，求t的值．11．已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式．12．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．13．抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，已知OA＝2OB＝2OC＝4．（1）求抛物线解析式：（2）若腰长为4的等腰直角三角形BDE的一直角边在x轴上，请问抛物线平移后能否同时经过D，E两点？若能，请说明平移方式；若不能，请说明理由．14．抛物线y＝ax2﹣2ax+m经过点A（﹣1，0），与x轴另一交点为B，交y轴负半轴于C 点，且S△CAB＝6（1）求抛物线的解析式；（2）若在y轴右侧的抛物线上有一点M，使△AMC的面积为9，请求出M点的坐标．15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于C．（1）求抛物线解析式；（2）求P为对称轴上一点，要使P A+PC最小，求点P的坐标．16．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．17．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣bx+b2+b﹣5的图象与x轴有两个公共点．（1）求b的取值范围；（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6﹣2m，求m，n的值；（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．（1）当b＝﹣2时，①若c＝4，求该函数最小值；②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．19．已知抛物线F：y＝x2+bx+c（b、c为常数）．（1）当b＝﹣2，c＝2，且m≤x≤m+1时，求函数y的最小值和最大值（用含m的代数式表示）；（2）若抛物线过（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，函数的最小值为﹣4，求函数解析式；（3）当c＝b2，且b≤x≤b+3时，最小值为21，求函数解析式；（4）若抛物线过点A（0，﹣2）、B（3，1），设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点D纵坐标t的取值范围；（5）把函数F沿着直线y＝c翻折，得到的函数x＜0的部分记作F1，原函数F的x≥0的部分记作F2，F1和F2合起来组成函数W，若b＝﹣4，且c﹣1≤x≤c时函数W的最大值为1，则c的值为．20．已知二次函数y＝x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c＝3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c＝4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．21．已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）试说明该函数的图象与x轴始终有交点；（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．22．已知二次函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1（m为常数）．（1）若函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，则关于x的方程4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的根是；（2）若不论m取何值，该函数图象的顶点都在一个新的二次函数图象上，求此新函数的解析式；（3）若该函数的顶点纵坐标的取值范围是﹣5≤y＜﹣2时，求m的取值范围．23．已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t 的取值范围．（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC 于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．参考答案1．解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数经过点（﹣2，），∴﹣3a＝，∴a＝﹣，∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，顶点为（﹣1，2），描点、连线，画出图形如图所示：（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，故答案为：﹣≤y≤2．2．解：（1）把点（5，），（0，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax+c得：，解得：，∴y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣）；（2）y＝x2﹣x﹣1＝（x2﹣2x﹣8）＝（x﹣4）（x+2），∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，∴y1＝（x1﹣4）（x1+2），y2＝（x2﹣4）（x2+2）＝（x1﹣1）（x1+5），∵y1，y2始终小于0，∴（x1﹣4）（x1+2）＜0，（x1﹣1）（x1+5）＜0，∴﹣2＜x1＜4，﹣5＜x1＜1，∴﹣2＜x1＜1．3．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵3AB＝4OC，∴OC＝3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣＝1时，y最大值＝＝4．4．解：（1）由题意得＝，即x A+x B＝3，x A﹣x B＝5，联立方程，解得，∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（﹣1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2﹣，把（4，0）代入得0＝a﹣，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y取最小值为﹣，∵5﹣＞﹣（﹣1），∴当x＝5时，用取最大值，把x＝5代入y＝x2﹣3x﹣4得y＝6．故答案为：﹣≤y＜6．（3）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴有2个交点，与y轴有一个交点，∴抛物线向上移动至顶点落在x轴上满足题意，∴﹣+m＝0，解得m＝，抛物线向上移动至经过原点时满足题意，即﹣4+m＝0，解得m＝4，综上所述，m＝或m＝4．（4）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x与x+4所对应y值相等时，＝，∴x＝﹣，∴x＞﹣满足题意．5．解：（1）∵抛物线与y一定有一个交点，而抛物线与坐标轴只有两个交点，∴抛物线与x轴只有一个公共点，∴△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝0，整理得a2+2a+1＝0，解得a1＝a2＝﹣1，即a的值为﹣1；（2）①根据根与系数的关系得x1+x2＝a+3，x1•x2＝a+2，而x12+x22﹣x1x2＝7，∴（x1+x2）2﹣3x1•x2＝7，∴（a+3）2﹣3（a+2）＝7，整理得a2+3a﹣4＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1，而c＞0，即a+2＞0，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；②存在．当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则A（1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则C（0，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），如图，AC＝＝，当AP＝AC时，P1（2，3）；当CP＝CA时，CP2＝，而CP1＝2，则P2P1＝＝，则P2（2，3+），同样方法得到P1P3＝，所以P3（2，3﹣），∴满足条件的P点坐标为（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．6．解：（1）令y＝0得x2﹣2mx+m2﹣4＝0，解得x1＝m﹣2，x2＝m+2，∴A（m﹣2，0），B（m+2，0），D（0，m2﹣4），∵点D在y轴正半轴，∴m2﹣4＞0，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，则BO＝OD，即|m+2|＝m2﹣4，①当m+2＞0时，m2﹣4＝m+2，解得m＝3或m＝﹣2（舍去）；②当m+2＜0时，m2﹣4+m+2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（都舍去）；③当m+2＝0时，点O、B、D重合，不合题意，舍去；综上所述，m＝3．故二次函数解析式为：y＝x2﹣6x+5．（2）当m＝﹣2时，y＝x2+4x，则A（﹣4，0），B（0，0）顶点为（﹣2，﹣4），因为直线y＝2x+n与图象Ω有两个公共点，则当直线y＝2x+n过A点时n＝8，当直线y＝2x+n过B（0，0）时，n＝0，当直线y＝2x+n与y＝﹣x2﹣4x只有一个公共点时，n＝9，根据图象，可得0＜n＜8或n＞9．7．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，由题意，得∴0＝a（3﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．（2）∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝1，当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点是（﹣1，0）或（3，0）∴由抛物线的图象特征可以得出将抛物线向左平移3个单位时，抛物线对称轴的右侧经过原点；所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向右平移1个单位时，抛物线的对称轴左侧经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移3个单位时，抛物线经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移4个单位时，抛物线的顶点在x轴上，所得图象与坐标轴只有两个交点．8．解：（1）当m＝﹣2，n＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5∴当x＝1时，y最小值＝﹣5；（2）当n＝3时，y＝x2+mx+3，令y＝1，则x2+mx+3＝1，由题意知，x2+mx+3＝1有两个相等的实数根，则△＝m2﹣8＝0，∴m＝；（3）由3m+4＜0，可知m，∴m≤x≤m+2，抛物线y＝x2+mx+m2的对称轴为x＝，∵m，∴，∴对称轴为x＝，∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+2，y有最小值为13，∴（m+2）2+m（m+2）+m2＝13，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，而m，∴m＝﹣3，此时，y＝x2﹣3x+9．9．解：如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，∴a﹣4a+b＝0，∴b＝3a，由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），∵CD∥x轴，∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，∴D（﹣4，b），∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，∴b＝4﹣1＝3，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∵直线y＝x﹣m交y轴于点C，∴﹣m＝﹣6∴m＝6，∴直线y＝x﹣6，∴当y＝0时，x＝6，∴点B（6，0），∴OB＝6∵OA＝OB，∴OA＝7，∴点A（﹣7，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）如图1，过点P作PH∥AB交BC于点H，∵点P的横坐标为t，∴点P（t，t2+t﹣6）∴t2+t﹣6＝x﹣6，∴x＝t2+t∴S＝×6×（t2+t﹣t）＝t2﹣t；（3）如图2，作抛物线的对称轴交x轴于E，BF平分∠ABC，交对称轴于点F，连接AF，DF，∵点C（0，﹣6），点A（﹣7，0），点B（6，0），∵OB＝6，OC＝6，AB＝13，∴∠OBC＝60°，∵DC∥AB，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∴∠DCB＝120°，∵∠ADB+∠DCB＝180°，∴∠ADB＝60°，∵抛物线y＝x2+x﹣6的对称轴为x＝﹣；∴点E坐标为（﹣，0），AF＝BF，BE＝＝AE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝30°，且AF＝BF，∴∠F AB＝30°，EF⊥AB，∴∠AFB＝180°﹣∠F AB﹣∠FBA＝120°，EF＝，BF＝，∴∠AFB＝2∠ADB∴点D在以点F为圆心，BF为半径的圆上，设点D（x，﹣6）∴DF＝BF∴（﹣﹣x）2+（6﹣）2＝（）2，∴x＝﹣4，∴点D（﹣4，﹣6），且点B（6，0）∴BD解析式为：y＝x﹣，∴解得（舍去），∴t＝﹣11．解：∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵函数有最大值为2，∴抛物线的顶点坐标为（，2），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把（，2）代入得a×（+2）（﹣3）＝2，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）•（x﹣3）＝﹣x2+x+．12．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，∵y＝2x2﹣x﹣3＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）；（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，∴﹣≤x1≤1．13．解：（1）∵OA＝2OB＝2OC＝4，∴OB＝OC＝2，∴A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2），将A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c得：，解之得a＝﹣，b＝﹣，c＝2，∴y＝﹣，（2）抛物线平移后能同时经过点D、E两点，理由如下：∵BD＝BE＝4，∴E（2，4），D（6，0），设抛物线平移后的解析式为；y＝，将E、D坐标代入得，解之得m＝2，k＝4，∴平移后抛物线顶点为（2，4），∵原抛物线顶点为（﹣1，），∴将原来抛物线向右平移3个单位，再向上平移个单位后能同时经过D、E两点．14．解：（1）设B的坐标为（x，0），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m，A（﹣1，0），当y＝0时，ax2﹣2ax+m＝0，∴﹣1+x＝2，∴x＝3，∴B（3，0），∴AB＝1+3＝4，∵S△CAB＝×4•×OC＝6，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+m得：，解得：a＝1，m＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设M的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分别过点A、M作y轴的平行线，过C作x轴的平行线，交前面平行线于D、E，连接AM，如图所示：则△AMC的面积＝梯形ADEM 的面积﹣△ACD的面积﹣△CEM的面积＝（3+x2﹣2x﹣3+3）（1+x）﹣×3×3﹣x （x2﹣2x﹣3+3）＝9，解得：x＝（负值舍去），∴x2﹣2x﹣3＝，∴M点的坐标为（，）．15．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∵点A与点B是抛物线的对称点，而AB＝2，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3；（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则P A＝PB，∴P A+PC＝PB+PC＝BC，∴此时P A+PC最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣3），B（3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝2时，y＝x﹣3＝2﹣3＝﹣1，∴P点坐标为（2，﹣1）．16．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．17．解：（1）由题意知，Δ＞0，即，∴﹣4b+20＞0，解得：b＜5；（2）由题意，b＝4，代入得：y＝x2﹣4x+3，∴对称轴为直线，又∵a＝1＞0，函数图象开口向上，∴当m≤x≤时，y随x的增大而减小，∴当x＝时，y＝n＝；当x＝m时，y＝6﹣2m＝m2﹣4m+3，m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）；∴m＝﹣1，n＝；（3）∵，∴对称轴为x＝0.5b，开口向上，∴①当b≤0.5b≤b+3，即﹣6≤b≤0时，函数y在顶点处取得最小值，有b﹣5＝，∴b＝（不合题意，舍去）；②当b+3＜0.5b，即b＜﹣6时，取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝b+3时，y最小值＝，代入得：，b2+16b+15＝0，解得：b1＝﹣15，b2＝﹣1（不合题意，舍去），∴此时二次函数的解析式为：；③当0.5b＜b，即b＞0时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y最小值＝，代入得：，b2+4b﹣21＝0，解得：b1＝﹣7（不合题意，舍去），b2＝3，∴此时二次函数的解析式为：．综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或．18．解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴函数的最小值为3．②∵y＝x2﹣2x+c，∴对称轴是直线x＝1，∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，∴x＝2时，y＝5，∴5＝4﹣4+c，∴c＝5．（2）当c＝2b时，y＝x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，∴x＝﹣，y的值最小，∴b2﹣+2b＝12，方程无解．③当﹣＞b+2，即b＜﹣，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+8b+4为最小值，∴2b2+8b+4＝12．解得，b1＝﹣2+2（舍去），b2＝﹣2﹣2；综上所述，满足条件的b的值为2或﹣2﹣2．19．解：（1）∵b＝﹣2，c＝2，∴y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，开口向上，对称轴为x＝1，①当m+1＜1时即m＜0，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（m+1）＝m2+1，②当0≤m＜时，1≤m+1＜，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（1）＝1，③当＜m≤1时，＜m+1≤2，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（1）＝1，④当m＞1时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（m）＝m2+2m+2，（2）∵抛物线过（﹣3，0），∴9﹣3b+c＝0，∵当﹣3≤x≤0时函数最小值为﹣4，抛物线对称轴为，∴（﹣3，0）点在对称轴的左侧，不能在对称轴的右侧，①当﹣3＜＜0时，即0＜b＜6时，y min＝f（）＝+c＝﹣4，∴b＝2，c＝﹣3，y＝x2+2x﹣3，②当＞0时，即b＜0，y min＝f（0）＝c＝﹣4，∴b＝（不符合舍去），故函数解析式为y＝x2+2x﹣3，（3）∵c＝b2，∴y＝x2+bx+b2，抛物线对称轴为，①当b+3≤时，即b≤﹣2，∴y min＝f（b+3）＝3b2+9b+9＝21，∴b＝﹣4，c＝16，y＝x2﹣4x+16，②当b＜＜b+3时，即﹣2＜b＜0时，∴f（b）＝3b2，f（b+3）＝3b2+9b+9，f（b+3）＞f（b），f（b）＝21，b＝（舍去），f（b+3）＜f（b），f（b+3）＝21，b＝﹣4或者b＝1（舍去），∴y＝x2﹣4x+16，③当b＞时，即b＞0时，∴y min＝f（b）＝3b2＝21，∴b＝或（舍去），∴c＝7，y＝x2+x+7，∴综上所述解析式y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，故函数解析式为y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，（4）∵抛物线过A、B点，∴b＝﹣2，c＝﹣2，y＝x2﹣2x﹣2，∵点B和点C关于原点对称，B（3，1），∴C（﹣3，﹣1），∴设D（1，t），CD所在的直线为L CD，①L CD过点B（与G刚好有交点），设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），B（3，1）代入y＝kx+b，得y＝x，∴t＝，②L CD与G相切，即与图象只有一个交点，设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），D（1，t）代入y＝kx+b，得y＝x+，联立直线和抛物线解析式得，得x2﹣＝0，∴Δ＝﹣4×＝0∴t＝﹣33﹣16，∴（﹣33﹣16）≤t≤，故答案为：（﹣33﹣16）≤t≤，（5）∵b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，抛物线对称轴x＝2，则函数W仍为原函数，①当c＜2时，y max＝f（c﹣1）＝1，∴c＝1，②当2＜c＜3时，f（c﹣1）＝c2﹣5c+5，f（c）＝c2﹣3c，f（c﹣1）＞f（c），c＜，f（c﹣1）＝1，c＝1或c＝4（舍去），f（c﹣1）＜f（c），c≤，f（c）1，c＝（舍去），③c≥3，y max＝f（c）＝1，∴c＝或c＝（舍去），∴综上所述c＝1 或者c＝，故答案为：1或者．20．解：（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴x＝﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，（Ⅱ）y＝x2+2bx+3，的对称轴为x＝﹣b，①若﹣b＜0，即b＞0时，当x＝0时，y有最小值为3，②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0时，当x＝﹣b时，y有最小值﹣b2+3；③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x＝4时，y有最小值为8b+19，（Ⅲ）当c＝4b2时，二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x＝﹣b的抛物线，①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，∴当x＝2b时，y＝（2b）2+2b×2b+（2b）2＝12b2为最小值，∴12b2＝21，∴b＝或b＝﹣（舍）∴二次函数的解析式为y＝x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，当x＝﹣b时，代入y＝x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，∴3b2＝21∴b＝﹣（舍）或b＝（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，∴当x＝2b+3时，代入二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，∴12b2+18b+9＝21，∴b＝﹣2或b＝（舍），∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+16．综上所述，b＝或b＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16 21．解：（1）∵函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△＝（m﹣1）2+4m＝（m+1）2≥0，∴该函数的图象与x轴始终有交点；（2）y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x﹣）2+，把x＝代入y＝（x+1）2得：y＝（+1）2＝，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）设函数z＝，当m＝﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m＝﹣2时，z＝；当m＝3时，z＝4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤≤4．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，∴x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的解为x＝﹣1或x＝，由4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0得（2x）2+2（m﹣1）•2x﹣4m﹣1＝0，∴2x＝﹣1或2x＝，∴x1＝﹣，x2＝．故答案为：x1＝﹣，x2＝．（2）∵y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝x2+2（m﹣1）x+（m﹣1）2﹣（m﹣1）2﹣4m﹣1＝（x+m﹣1）2﹣m2﹣2m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣m+1，﹣m2﹣2m﹣2），令﹣m+1＝x，﹣m2﹣2m﹣2＝y，则y＝﹣x2+4x﹣5，∴抛物线顶点所在抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣5．（3）由题意得﹣5≤﹣m2﹣2m﹣2＜﹣2，∵令y＝﹣m2﹣2m﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为值m＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1），把y＝﹣5代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣5＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝1或m＝﹣3，把y＝﹣2代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝0或m＝﹣2，∴﹣5≤y＜﹣2时，﹣3≤m＜﹣2或0＜m≤1．23．（1）证明：∵抛物线C1的解析式为y1＝a（x﹣h）2+2，∴抛物线的顶点为（h，2）．当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，∴直线l恒过抛物线C1的顶点．（2）解：∵a＞0，h＝1，∴当x＝1时，y1＝a（x﹣h）2+2取得最小值2．又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，∴，∴﹣2≤t≤1．（3）解：令y1＝y2，则a（x﹣h）2+2＝k（x﹣h）+2，解得：x1＝h，x2＝h+．∵线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，∴＞1或＜﹣1．∵k＞0，∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0．又∵1≤k≤3，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．24．解：（1）法一：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法三：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，延长DM交x轴于点H，∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，∵DN⊥AC于点N，∴∠AMH＝∠DMN＝45°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴．设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，解得，所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，DM最大值为4，此时D（2，6），∵△DMN是等腰直角三角形，∴△DMN周长＝，∴△DMN周长的最大值为，此时D（2，6）．（3）如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），∴．设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），将Q（m，﹣m+4）点代入得，∴直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，所以，化简得，∴，∵∴当n＝2时，的最大值为1．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．∴当x＝1时，a﹣2a﹣1＝﹣2，解得：a＝1．∴y＝x2﹣2x﹣1；（2）由（1）知，抛物线为y＝（x﹣1）2﹣2．∵当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在对称轴x＝1的同侧．分两种情况讨论：①n+1＜1，即n＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，解得：n＝﹣1或n＝5，当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，解得：n＝﹣1或n＝3，∵n＜0，∴n＝﹣1．②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+1，整理得：n2﹣4n﹣2＝0．当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，整理得：n2﹣2n﹣6＝0．∵n2﹣4n﹣2＝0与n2﹣2n﹣6＝0不一致，∴不合题意，舍去．综上所述，当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4时，n＝﹣1．。

数学人教版九年级上册参考答案及习题解析

《二次函数》单元复习答案及习题解析武穴市思源实验学校文武军一．选择题.1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x2C．D．考点：二次函数的定义．分析：整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、函数式整理为y=x2﹣x，是二次函数，正确；B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；C、是正比例函数，错误；D、是反比例函数，错误．故选A．点评：本题考查二次函数的定义．2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A．y=B．y=﹣C．y=﹣D．y=考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A 或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．解答：解：依题意设抛物线解析式y=ax2，把B（5，﹣4）代入解析式，得﹣4=a×52，解得a=﹣，所以y=﹣x2．故选C．点评：根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键．3．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，选择符合条件的选项．解答：解：因为二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣＞0，观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．点评：应熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、对称轴．4.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2B．﹣4＜x＜2C．x＜﹣2或x＞2D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．5抛物线y=x2﹣4x﹣7的顶点坐标是（）A．（2，﹣11）B．（﹣2，7）C．（2，11）D．（2，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：直接根据顶点公式或配方法求解即可．解答：解：∵=2，=﹣11，∴顶点坐标为（2，﹣11）．故选A．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．6．若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．解答：解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3，抛物线为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为﹣4，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．故选C．点评：要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．7．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m考点：二次函数的应用．分析：由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+，由题意，得10=a+，a=﹣．∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+．当y=0时，0=﹣（x﹣1）2+，解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．OB=3m．故选：B．点评：此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（）A．5m B．6m C．m D．m考点：二次函数的应用．分析：设抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x0进而得到答案．解答：解：设抛物线方程为y=ax2，将A（2，﹣2）代入y=ax2，解得：a=﹣，∴y=﹣x2，代入B（x0，﹣3）得x0=，∴水面宽CD为2，故选D．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．二．填空题.9．函数与y2=x+2的图象及交点如图所示，则不等式x2＜x+2的解集是﹣1＜x＜2．考点：二次函数与不等式（组）．分析：利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．解答：解：利用图象得出函数与y2=x+2的图象交点坐标分别为：（﹣1，1）和（2，4），∴不等式x2＜x+2的解集为：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．点评：此题主要考查了二次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是解题关键．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．解答：解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．故答案为：﹣1＜x＜5．点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．11．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标和对称轴分别是（4，﹣5），x=4．考点：二次函数的性质．分析：根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求出顶点坐标，对称轴．解答：解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣4）2﹣5，∴顶点坐标为（4，﹣5），对称轴为x=4．故答案为（4，﹣5），x=4．点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：（1）公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=﹣；（2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12．抛物线y=x2﹣（m2﹣3m+2）x+m2﹣4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为2．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据二次函数对称轴直线x=﹣=0，得到m2﹣3m+2=0，再由顶点在原点得到m2﹣4=0，然后分别解两个一元二次方程，再得到它们的公共解即可．解答：解：根据题意得m2﹣3m+2=0且m2﹣4=0，解m2﹣3m+2=0得m=1或2，解m2﹣4=0得m=2或﹣2，所以m的值为2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．13．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=4或﹣1．考点：二次函数的性质．分析：直接利用二次函数顶点坐标公式得出=3，进而求出即可．解答：解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，∴=3，整理得出：a2﹣3a﹣4=0，解得：a1=4，a2=﹣1，检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，故答案为：4或﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的性质，直接利用顶点公式求出是解题关键．三．解答题.14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：把两条路进行平移，与长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，那么草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定．解答：解：依题意得把两条路分别进行平移，长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800，自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．点评：解决本题的关键是把两条路进行平移，使草坪的面积成为一长方形的面积．15．已知正方形的面积为y（cm2），周长为x（cm）．（1）请写出y与x的函数关系式．（2）判断y是否为x的二次函数．考点：根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的定义．分析：（1）根据正方形的周长为x（cm），即可得出边长，进而得出正方形的面积为y与x之间的函数关系式；（2）利用函数的定义判断得出即可．解答：解：（1）∵正方形的周长为x（cm），∴正方形的边长为：xcm，∴y与x的函数关系式为：y=x×x=x2；（2）利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用正方形的性质得出是解题关键．16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．解答：解：由题意得：y=x×=﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．17．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；（2）将解析式配成顶点式即可解决问题；（3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题．解答：解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．（2）由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．（3）由题意得：x2﹣2x﹣3=m，即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，若该方程组有两个不相等的实数根，则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，解得：m＞﹣4．即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．点评：该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．18．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且经过点（1，﹣）．（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据题意设出抛物线的顶点形式，把已知点代入求出a的值，确定出解析式，画出函数图象即可；（2）利用二次函数的增减性求出x的范围即可．解答：解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，把x=1，y=﹣代入得：﹣=a﹣3，即a=，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1；（2）当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y=x2+bx+c上．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的解析式；（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y=x2+bx+c上，求平移的距离．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由图中的三个小正方形的边长为1，根据图形可以知道B点的横坐标为1，做那个坐标为3，从而得出点B的坐标．（2）根据图象求出点A的坐标，再把A、B的坐标代入解析式，根据待定系数法就可以求出b、c的值，从而求出抛物线的解析式．（3）实际上就是当y=1时代入解析式就可以求出平移后点F′的横坐标，就可以求出E′点的坐标，此时OE′﹣3就是平移的距离．解答：解：（1）由图象，得B（1，3）．（2）由题意，得A（0，2）∴，解得：，∴，∴抛物线的解析式为：．（3）当y=1时，∴解得：x=或（不符合题意应舍去），∴F′（，1），∴E′（，0），∴OE′=，∴平移的距离为：．点评：本题是一道二次函数综合试题，考查了求点的坐标，用待定系数法求函数的解析式，平移的运用等知识．20.如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；等腰三角形的判定．分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．（2）根据（1）中点的坐标得出AB，BC，AC的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；（3）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．解答：解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得：，即：x2﹣6x﹣16=0，∴x=﹣2和x=8，∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．故答案为：A（0，4），C（8，0）；（2）∵点A的坐标为（0，4），∴AO=4，∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），∴BO=2，CO=8，∴BC=10，∴AC==4，∴AB==2，∴AB2+AC2=100，∵BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）易得D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得；∴y=﹣x+4；①当DE=DC时，∵CD=5，∴AD=5，∵D（3，0），∴OE==4，∴E1（0，4）；②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+=，进而将x=代入y=﹣x+4，得出y=，可得E2（，）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴，即EG=，CG=2 ，∴E3（8﹣2 ，）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8﹣2 ，）．点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．。

人教版九年级数学上册22.1二次函数的图像和性质同步练习附答案解析(三)

22.1二次函数的图像和性质同步练习(三)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.2、当取何值时，代数式的值最小（）A.B.C.D.3、已知二次函数的图像如图所示，记，.则下列选项正确的是（）.A. 的大小关系不能确定B.C.D.4、对于二次函数由下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有它的图像与轴的两个交点是和；当时，其中正确的结论的个数是（）.A.B.C.D.5、若将抛物线的图像绕原点旋转，则旋转后的抛物线的关系式（）A.B.C.D.6、如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发，沿以的速度移动，分别达到、两点就停止运动，则的面积最大时，所用时间为（）.A.B.C.D.7、二次函数的图象经过点，则的值是（）A.B.C.D.8、已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（）A.B.C.D.9、在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点，是该二次函数图象上的两点，其中，则下列结论正确的是（）A. 的最小值是B. 的最小值是C.D.10、点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.11、二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（）A.B.C.D.12、某生产不锈钢的工厂2016年上半年共生产吨不锈钢，2016年下半年的产量比2016年上半年的增产倍，2017年上半年的产量比2016年下半年的增产倍，则2017年上半年不锈钢的产量与之间的函数解析式为（）A.B.C.D.13、个球队进行单循环比赛（参加比赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场），总的比赛场数为，则有（）A.B.C.D.14、若（其中是常数）为二次函数，则（）A. 均不为B. ，且C.D. ，或15、若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是．17、若抛物线与轴只有一个交点，且过点、，则 .18、如果抛物线经过点、，那么的值是 .19、图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为．20、若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为__________．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、求抛物线的顶点和对称轴．22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，点在轴的右侧．(1) 求的值及点的坐标；(2) 当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；23、如图，有一段长的旧围墙，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用长的篱笆围成一块长方形场地．(1) 怎样围成一个面积为的长方形场地？(2) 长方形场地面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．22.1二次函数同步练习(三) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图象可知：开口向上，故，对称轴，故，图象与轴的交点在轴下方，故，故正确答案为： .2、当取何值时，代数式的值最小（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：因为，，所以当时，取最小值．故选：．3、已知二次函数的图像如图所示，记，.则下列选项正确的是（）.A. 的大小关系不能确定B.C.D.【答案】D【解析】解：抛物线开口向下，，对称轴在轴右边，，抛物线经过原点，，；时，，，，；当对称轴时，，，，，，.当对称轴时，，，，，，，.综上，可得.故正确答案是：.4、对于二次函数由下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有它的图像与轴的两个交点是和；当时，其中正确的结论的个数是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】解：故它的对称轴是直线正确，直线的两旁部分增减性不一样，设，则当时，由错误，当，则，解得:,故它的图像与轴的两个交点是和正确，，抛物线开口向下，它的图像与轴的两个交点是和，当时，正确.故正确答案是.5、若将抛物线的图像绕原点旋转，则旋转后的抛物线的关系式（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：对于抛物线，将其旋转后，图形关于原点对称，得到的抛物线为，即．故正确答案是．6、如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发，沿以的速度移动，分别达到、两点就停止运动，则的面积最大时，所用时间为（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：设点、运动的时间为，的面积为，那么，，.，.由矩形可得，，.当时，取最大值.即的面积最大时，所用时间为.故正确答案为.7、二次函数的图象经过点，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：二次函数的图象经过点，，．8、已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：(1)当时，二次函数图象开口向上，，，无法确定的正负情况，．(2)当时，二次函数图象开口向下，，，无法确定的正负情况，，综上，表达式正确的是．9、在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点，是该二次函数图象上的两点，其中，则下列结论正确的是（）A. 的最小值是B. 的最小值是C.D.【答案】A【解析】解：，则二次函数与轴的两个交点横坐标分别是，．又，该抛物线的顶点坐标是，对称轴．无法确定、两点离对称轴的远近，故无法判断与的大小；正确答案为的最小值是．10、点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，对称轴为，，在对称轴右侧，随的增大而减小，，，根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，故．11、二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：的图象的开口向上，，对称轴在轴的左侧，，，一次函数的图象经过一，二，三象限．故正确的选项应为12、某生产不锈钢的工厂2016年上半年共生产吨不锈钢，2016年下半年的产量比2016年上半年的增产倍，2017年上半年的产量比2016年下半年的增产倍，则2017年上半年不锈钢的产量与之间的函数解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意得，，整理得，．13、个球队进行单循环比赛（参加比赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场），总的比赛场数为，则有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据支球队举行比赛，每个球队与其他队比赛场，由于是单循环比赛，则比赛的总场数为：．14、若（其中是常数）为二次函数，则（）A. 均不为B. ，且C.D. ，或【答案】C【解析】解：根据题意得当时，（其中是常数）为二次函数．15、若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设二次函数的解析式为，当或时，，由抛物线的对称性可知，，，把代入得，，二次函数的解析式为，当时，．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是．【答案】①②④【解析】解：①抛物线与轴正半轴，，①正确；②抛物线与轴有两个不相等的实数根，，，②正确；③抛物线对称轴为直线，，，③错误；④抛物线对称轴为直线，且点的坐标为，抛物线与轴另一交点的坐标为，当时，，④正确．综上所述：正确结论的序号是①②④．故答案是：①②④．17、若抛物线与轴只有一个交点，且过点、，则 .【答案】9【解析】解：由抛物线与轴只有一个交点有，即，又因为、得，点、关于对称轴对称，，将点代入抛物线解析式得：正确答案是：.18、如果抛物线经过点、，那么的值是 .【答案】4【解析】解：把点代入得,把点代入得，正确答案是：.19、图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为．【答案】6【解析】解：抛物线与轴交于点，点坐标为．当时，，解得，点坐标为，点坐标为，．20、若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意知，方程有两个实数根，则，，；当时，有最小值；，成立；最小值为．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、求抛物线的顶点和对称轴．【解析】解：，抛物线的顶点坐标为，对称轴是．故答案是：，．22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，点在轴的右侧．(1) 求的值及点的坐标；【解析】解：抛物线与轴交于点，，解得，，当时，有，，．(2) 当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；【解析】解：，，四边形梯形．从面积分析知，直线只能与边或相交，所有有两种情况：①当直线边相交于点时，则，，，点，过点和的直线的解析式为．②当直线边相交于点时，同理可得点，过点和的直线的解析式为．综上所述，直线的函数表达式为或．23、如图，有一段长的旧围墙，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用长的篱笆围成一块长方形场地．(1) 怎样围成一个面积为的长方形场地？【解析】解：设，则，依题意得：，整理得，解得，，当时，；当时，（不合题意舍去）∴能围成一个长，宽的长方形场地．(2) 长方形场地面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【解析】解：设，则，依题意得，整理得故方程没有实数根，长方形场地面积不能达到．。

人教版九年级数学上册初中_二次函数和一元二次方程_习题及解析123(含知识点)

2021-2022学年度秋季九年级上学期人教版数学二次函数与一元二次方式练习题附答案一、选择题（共15小题）1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3C、2a﹣b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a﹣b+c＞0C、b=﹣4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=53、已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc＜0B、c＞0C、4a＞cD、a+b+c＞04、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（）A、a＜0，b2﹣4ac＜0B、a＜0，b2﹣4ac＞0C、a＞0，b2﹣4ac＜0D、a＞0，b2﹣4ac＞05、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A、B、C、D、7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同B、因为y1，y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y1的最值为kmD、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（）A、9B、10C、11D、129、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A、8＜x＜9B、9＜x＜10C、10＜x＜11D、11＜x＜1210、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A、﹣1.6B、3.2C、4.4D、以上都不对11、如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A、x＞1B、x＜﹣1C、0＜x＜1D、﹣1＜x＜012、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（）A、x＜B、x＜C、x＞D、x＞13、方程7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2=0（k是实数）有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是（）A、3＜k＜4B、﹣2＜k＜﹣1C、3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1D、无解14、对于整式x2和2x+3，请你判断下列说法正确的是（）A、对于任意实数x，不等式x2＞2x+3都成立B、对于任意实数x，不等式x2＜2x+3都成立C、x＜3时，不等式x2＜2x+3成立D、x＞3时，不等式x2＞2x+3成立二、解答题（共7小题）15、已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．16、已知：二次函数y=（2m﹣1）x2﹣（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．17、已知下表：（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；（2）请你根据上面的结果判断：①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c＞0．18、请将下表补充完整；（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．九年级上册19、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（4）若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．20、阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＞0．解：设y=x 2﹣2x ﹣3，则y 是x 的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．∴由此得抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0．∴x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＜0的解集是 _________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2﹣5x+6＜0．（画出大致图象）．三、填空题（共4小题）21、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根．x 1= _________ ，x 2= _________ ；（2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集． _________ ；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． _________ ；（4）若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． _________ ．2020-2021 九年级上册22、如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为B （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是 _________ ．23、二次函数y=ax 2+bx+c 和一次函数y=mx+n 的图象如图所示，则ax 2+bx+c≤mx+n 时，x 的取值范围是 _________ ．24、如图，已知函数y=ax 2+bx+c 与y=﹣的图象交于A （﹣4，1）、B （2，﹣2）、C （1，﹣4）三点，根据图象可求得关于x 的不等式ax 2+bx+c ＜﹣的解集为 _________ ．答案与评分标准一、选择题（共15小题）1、（2011•山西）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣1，x 2=3C 、2a ﹣b=0D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点。

数学人教版九年级上册参考答案及习题解析

《二次函数》单元复习答案及习题解析武穴市思源实验学校文武军一．选择题.1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x 2C．D．考点：二次函数的定义．分析：整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、函数式整理为y=x2﹣x，是二次函数，正确；B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；C、是正比例函数，错误；D、是反比例函数，错误．故选A．点评：本题考查二次函数的定义．2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A．y=B．y=﹣C．y=﹣D．y=考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A 或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．解答：解：依题意设抛物线解析式y=ax2，把B（5，﹣4）代入解析式，得﹣4=a×52，解得a=﹣，所以y=﹣x2．故选C．点评：根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键．3．二次函数y=kx 2+2x+1（k＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，选择符合条件的选项．解答：解：因为二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣＞0，观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．点评：应熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、对称轴．4.已知抛物线y=ax 2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．5抛物线y=x 2﹣4x﹣7的顶点坐标是（）A．（2，﹣11）B．（﹣2，7）C．（2，11）D．（2，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：直接根据顶点公式或配方法求解即可．解答：解：∵=2，=﹣11，∴顶点坐标为（2，﹣11）．故选A．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．6．若抛物线y=x 2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为 4 D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．解答：解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3，抛物线为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为﹣4，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．故选C．点评：要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．7．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m考点：二次函数的应用．分析：由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+，由题意，得10=a+，a=﹣．∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+．当y=0时，0=﹣（x﹣1）2+，解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．OB=3m．故选：B．点评：此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（）A．5m B．6m C．m D．m考点：二次函数的应用．分析：设抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x0进而得到答案．解答：解：设抛物线方程为y=ax2，将A（2，﹣2）代入y=ax2，解得：a=﹣，∴y=﹣x2，代入B（x0，﹣3）得x0=，∴水面宽CD为2，故选D．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．二．填空题.9．函数与y2=x+2的图象及交点如图所示，则不等式x 2＜x+2的解集是﹣1＜x＜2．考点：二次函数与不等式（组）．分析：利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．解答：解：利用图象得出函数与y2=x+2的图象交点坐标分别为：（﹣1，1）和（2，4），∴不等式x2＜x+2的解集为：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．点评：此题主要考查了二次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是解题关键．10．如图是二次函数y=ax 2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．解答：解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．故答案为：﹣1＜x＜5．点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．11．抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点坐标和对称轴分别是（4，﹣5），x=4．考点：二次函数的性质．分析：根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求出顶点坐标，对称轴．解答：解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣4）2﹣5，∴顶点坐标为（4，﹣5），对称轴为x=4．故答案为（4，﹣5），x=4．点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：（1）公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=﹣；（2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12．抛物线y=x 2﹣（m2﹣3m+2）x+m2﹣4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为2．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据二次函数对称轴直线x=﹣=0，得到m2﹣3m+2=0，再由顶点在原点得到m2﹣4=0，然后分别解两个一元二次方程，再得到它们的公共解即可．解答：解：根据题意得m2﹣3m+2=0且m2﹣4=0，解m2﹣3m+2=0得m=1或2，解m2﹣4=0得m=2或﹣2，所以m的值为2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．13．若抛物线y=ax 2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=4或﹣1．考点：二次函数的性质．分析：直接利用二次函数顶点坐标公式得出=3，进而求出即可．解答：解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，∴=3，整理得出：a2﹣3a﹣4=0，解得：a1=4，a2=﹣1，检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，故答案为：4或﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的性质，直接利用顶点公式求出是解题关键．三．解答题.14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：把两条路进行平移，与长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，那么草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定．解答：解：依题意得把两条路分别进行平移，长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800，自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．点评：解决本题的关键是把两条路进行平移，使草坪的面积成为一长方形的面积．15．已知正方形的面积为y（cm 2），周长为x（cm）．（1）请写出y与x的函数关系式．（2）判断y是否为x的二次函数．考点：根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的定义．分析：（1）根据正方形的周长为x（cm），即可得出边长，进而得出正方形的面积为y与x之间的函数关系式；（2）利用函数的定义判断得出即可．解答：解：（1）∵正方形的周长为x（cm），∴正方形的边长为：xcm，∴y与x的函数关系式为：y=x×x=x2；（2）利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用正方形的性质得出是解题关键．16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym 2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．解答：解：由题意得：y=x×=﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．17．如图，二次函数y=ax 2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；（2）将解析式配成顶点式即可解决问题；（3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题．解答：解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．（2）由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．（3）由题意得：x2﹣2x﹣3=m，即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，若该方程组有两个不相等的实数根，则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，解得：m＞﹣4．即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．点评：该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．18．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且经过点（1，﹣）．（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据题意设出抛物线的顶点形式，把已知点代入求出a的值，确定出解析式，画出函数图象即可；（2）利用二次函数的增减性求出x的范围即可．解答：解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，把x=1，y=﹣代入得：﹣=a﹣3，即a=，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1；（2）当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y=x2+bx+c上．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的解析式；（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y=x2+bx+c上，求平移的距离．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由图中的三个小正方形的边长为1，根据图形可以知道B点的横坐标为1，做那个坐标为3，从而得出点B的坐标．（2）根据图象求出点A的坐标，再把A、B的坐标代入解析式，根据待定系数法就可以求出b、c的值，从而求出抛物线的解析式．（3）实际上就是当y=1时代入解析式就可以求出平移后点F′的横坐标，就可以求出E′点的坐标，此时OE′﹣3就是平移的距离．解答：解：（1）由图象，得B（1，3）．（2）由题意，得A（0，2）∴，解得：，∴，∴抛物线的解析式为：．（3）当y=1时，∴解得：x=或（不符合题意应舍去），∴F′（，1），∴E′（，0），∴OE′=，∴平移的距离为：．点评：本题是一道二次函数综合试题，考查了求点的坐标，用待定系数法求函数的解析式，平移的运用等知识．20.如图，已知二次函数y=﹣x 2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；等腰三角形的判定．分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．（2）根据（1）中点的坐标得出AB，BC，AC的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；（3）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．解答：解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得：，即：x2﹣6x﹣16=0，∴x=﹣2和x=8，∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．故答案为：A（0，4），C（8，0）；（2）∵点A的坐标为（0，4），∴AO=4，∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），∴BO=2，CO=8，∴BC=10，∴AC==4，∴AB==2，∴AB2+AC2=100，∵BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）易得D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得；∴y=﹣x+4；①当DE=DC时，∵CD=5，∴AD=5，∵D（3，0），∴OE==4，∴E1（0，4）；②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+=，进而将x=代入y=﹣x+4，得出y=，可得E2（，）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴，即EG=，CG=2 ，∴E3（8﹣2 ，）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8﹣2 ，）．点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．。

人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

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逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.
三、开口方向、对称轴、顶点坐标
1.开口方向看a的值
a0开口向上 a0开口向下
2.求对称轴
顶点 ya式 (xm)2k 直线x=-m
一般 ya式 2xb xc 直线x= b
2a
3.求顶点坐标
2、已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1， -2），求b，c的值
3、已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值
4、已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值
四、如何求二次函数的最值
顶点 ya式 (xm)2k 当x=-m时y最小（大）=k 一般 ya式 2xb x当 cx2 b a时y最， (大小 )4a4a cb2
(x1,0) (x2,0)
O
x2
x 与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点
（ b ，4ac b 2 ） (0, c) ( b , c)
2a
4a
a
二、平移，配方 1、 ya2x 向左 ( 向右 )平移 y a(x m)2
二次函数复习
一、概念
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数
其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c
二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c
二次函数图象及画法
y
顶点坐标（ b ，4ac b 2 ）
2a
4a
( b , c) a
x1
c
与X轴的交点坐标
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为_y_=__- _3_(_x_-1_-_4_)_2+_2_+_3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0__ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为___y_=_2_(x_+__1_)2_-_8__; 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
(1)y=-x2-2x (2)对称轴:x=-1
顶点坐标(-1,1)
七、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
y2x2 4x5是由移平单位得到
y2x2先向左平 3个移单位再向下 2个平单位得到
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平移三个单位,得到的图象的函数解析式为 ____y_=_2_(_x_+_2_)_2-_3_=_2_x_2_+_8_x_+_5__
1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1， ﹣3），（2，﹣8）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
顶点 ya式 (xm)2k （-m，k）
一般 ya式 2xb xc（
b
4ac b 2
，
）
2 a 4a
1、求下列函数的顶点坐标
1、y=x2
2、y=(x-1)2
3、y=(x-1)2+3
4、y=-2(x+1)2-3
5、y=2x2+3
6、y=3x2-6x-5
7、y=-2x2-4x+5
|m|个单位
向 | k 上|个 (向单下位 )平移 y a (x m)2k
通过
2 、y 一 a 2 x b 般 c x 式顶 y 点 a ( x m ) 2 式 k
顶点 ya式 (xm)2k 一般 ya式 2xb xc
当a>0,
1、在对称轴的左侧(x≤-m或 b ),y随x的增大而减
小
2a
2、在对称轴的右侧(x≥-m或 b ),y随x的增大而减
大
2a
六、求抛物线解析式常用的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
__y_=_a_x_2+__b_x_+_c_(a_≠__0_) 一般式
配方 1、将函数y=x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式
2、将函数y=-2x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式
y2(x2)2是由平个移单位得
y2x2 2是由平个移单位
y（ 2 x1） 2 2是由个平单移位得 y（ 2 x1） 2 3是由个平单移位得
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-m__)_2+__k_(a_≠_0_)
பைடு நூலகம்顶点式
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(_x_-_x_1)_(_x_-x_2_) (a≠0)
交点式或两根式
求下列条件下的二次函数的解析式:
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：
⑴ y=2x2－8x＋1；
3、y=-2(x+1)2-3
⑵ y=－3x2－5x＋1
4、y=2x2+3
2、已知二次函数y=x2+4x+c有最小值为2，求 c的值
3、已知二次函数y=-2x2+bx+c，当x=-2时函数有最大值为2，求b、c的值
五、函数的增减性

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22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

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