2020年高考物理双基突破：专题32-电磁感应中的“单杆”模型(精讲)

单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类题目所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律等。

1．此类题目的分析要抓住三点：（1）杆的稳定状态一般是匀速运动（达到最大速度或最小速度，此时合力为零）。

（2）整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功。

（3）电磁感应现象遵从能量守恒定律。

如图甲，导体棒ab从磁场上方h处自由释放，当进入磁场后，其速度随时间的可能变化情况有三种，如图乙，全过程其能量转化情况是重力势能转化为动能和电能，电能再进一步转化为导体棒和电阻R的内能。

2．单杆模型中常见的情况及处理方法：（1）单杆水平式v≠0v0＝0示意图单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定力学导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动S闭合，ab杆受安培力F＝BLEr，开始时a＝Fm，杆ab速度v⇒感开始时a＝Fm，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv，经过Δt观点势E ＝BLv，电流I＝ER＝BlvR，安培力F＝BIL＝B2L2vR，做减速运动：v⇒F⇒a，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止此时a＝BLEmr，杆ab速度v⇒感应电动势BLv⇒I⇒安培力F＝BIL⇒加速度a，当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL应电动势E＝BLv⇒I⇒安培力F安＝BIL，由F－F安＝ma知a，当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL（v＋Δv），Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C（E′－E）＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动图象观点能量观点动能全部转化为内能：Q＝12mv2电源输出的电能转化为动能W电＝12mv2mF做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：W F＝Q＋12mv2mF做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：W F＝12mv2＋E C【题1】如图所示，间距为L，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m，电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好。

整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q。

下列说法正确的是A．金属棒在导轨上做匀减速运动B．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv202C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBLD ．整个过程中金属棒克服安培力做功为mv 202【答案】D【题2】如图所示，足够长的平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab 与导轨垂直且接触良好，导轨右端与电路连接．已知导轨相距为L ，磁场的磁感应强度为B ，R 1、R 2和ab 杆的电阻值均为r ，其余电阻不计，板间距为d 、板长为4d ，重力加速度为g ，不计空气阻力．如果ab 杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m 、带电荷量为＋q 的微粒恰能沿两板中心线射出，如果ab 杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B 板距其左端为d 的C 处。

（1）求ab 杆匀速运动的速度大小v ； （2）求微粒水平射入两板时的速度大小v 0；（3）如果以v 0沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论ab 杆向左匀速运动的速度范围。

【答案】（1）3mgd qBL （2）2gd （3）21mgd 8qBL <v <27mgd8qBL【解析】（1）设ab 杆匀速运动的速度为v ，则ab 杆产生的电动势为E ＝BLv ① 两板间的电压为U 0＝13E ＝BLv3②ab 杆向左匀速运动时：qU 0d ＝mg ③由①②③式得：v ＝3mgdqBL ④（2）ab 杆向右匀速运动时，设带电微粒射入两极板时的速度为v 0，向下运动的加速度为a ，经（3）要使带电微粒能从两板间射出，设它在竖直方向运动的加速度为a 1、时间为t 1，应有 d2>12a 1t 21⑨ t 1＝4dv 0⑩由⑧⑨⑩得：a 1<g8⑪若a 1的方向向上，设ab 杆运动的速度为v 1，两板电压为：U 1＝13BLv 1⑫又有：qU 1d－mg ＝ma 1⑬联立⑪⑫⑬式得：v 1<27mgd8qBL⑭若a 1的方向向下，设ab 杆的运动速度为v 2，两板电压为：U 2＝13BLv 2⑮又有：mg －qU 2d ＝ma 1⑯由⑪⑮⑯式得：v 2>21mgd8qBL⑰，所以ab 杆向左匀速运动时速度的大小范围为21mgd 8qBL <v <27mgd8qBL ⑱方法技巧：巧用功能关系以及能量守恒思想1、在电磁感应现象中，当安培力是变力时，无法直接求安培力做的功，这时要用功能关系和能量守恒的观点来分析问题。

2、一个注意点：在应用能 量守恒观点解决电磁感应问题时，一定要分析清楚能量的转化情况，尤其要注意电能往往只是各种形式能转化的中介。

3．单棒导体切割磁感线一般运动过程 类型“电—动—电”型“动—电—动”型示意图已知量棒ab 长L ，质量m ，电阻R ；导轨光滑水平，棒ab 长L ，质量m ，电阻R ；导轨光滑，电阻不计电阻不计过程分析（↑表示增大，↓表示减小，→表示推出）S闭合，棒ab受安培力F＝BLER，此时加速度a＝BLEmR，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动棒ab释放后下滑，此时加速度a＝g sin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ER↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动能量转化分析通过安培力做功，电能一部分转化为杆的动能，一部分转化为焦耳热重力势能一部分转化为杆动能，一部分通过克服安培力做功转化为电能，又通过电阻转化为焦耳热4．收尾状态5．两种状态及处理方法状态特征处理方法平衡态加速度为零根据平衡条件列式分析非平衡态加速度不为零根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析【题7】相距L＝1.5 m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1＝1 kg的金属棒ab和质量为m2＝0.27 kg 的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。

ab棒光滑，cd棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8 Ω，导轨电阻不计。

ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。

（g取10 m/s2）收尾状态形式匀速直线运动形式匀速直线运动力学a＝0v恒定不变力学a＝0v最大vmmgR sin αB2L2电学I恒定电学I恒定（1）求出磁感应强度B 的大小和ab 棒加速度的大小；（2）已知在2s 内外力F 做功40J ，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；（3）判断cd 棒将做怎样的运动，求出cd 棒达到最大速度所需的时间t 0，并在图（c ）中定性画出cd 棒所受摩擦力f cd 随时间变化的图象。

【答案】（1）1.2 T 1 m/s 2（2）18 J （3）2 s 图见解析（2）在2 s 末金属棒ab 的速率v t ＝at ＝2 m/s 所发生的位移s ＝12at 2＝2 m由动能定理得W F －m 1gs －W 安＝12m 1v 2t，又Q ＝W 安 联立以上方程，解得Q ＝W F －m 1gs －12m 1v 2t ＝40 J －1×10×2 J －12×1×22 J ＝18 J 。

（3）cd 棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd 棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动。

当cd 棒速度达到最大时，有m 2g ＝μF N ， 又F N ＝F 安，F 安＝BIL ，I ＝E R ＝BLv m R ，v m ＝at 0，整理解得t 0＝m 2gR μB 2L 2a ＝0.27×10×1.80.75×1.22×1.52×1s ＝2 s f cd 随时间变化的图象如图所示。

【题8】（多选）如图所示，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L ，左侧为半径为R 的14光滑圆弧轨道，其最低位置与右侧水平粗糙平直导轨相切，右端接一个阻值为r 的定值电阻。

平直导轨部分的左边区域有宽度为d 、磁感应强度大小为B 、方向竖直的匀强磁场质量为m 、电阻也为r 的金属棒从圆弧轨道最高处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。

已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好。

则在此过程中，以下说法正确的是A ．金属棒在磁场中做匀减速运动B ．通过金属棒横截面的电荷量为BdLrC ．定值电阻r 产生的焦耳热为12mg （R －μd ）D ．金属棒运动到圆弧轨道最低位置时对轨道的压力为3mg 【答案】CD错误；通过金属棒横截面的电荷量为q ＝I Δt ，又I ＝E2r ，E ＝ΔΦΔt ，则得q ＝ΔΦ2r ＝BdL2r，故B 错误；根据能量守恒定律得：定值电阻r 产生的焦耳热为Q ＝12（mgR －μmgd ）＝12mg （R －μd ），故C 正确；设金属棒运动到圆弧轨道最低位置时速度为v ，金属棒在圆弧轨道运动过程中，根据机械能守恒定律得：mgR ＝12mv 2，在轨道最低位置时，由牛顿第二定律得：N －mg ＝mv 2R，联立解得：轨道对金属棒的支持力为：N ＝3mg ，根据牛顿第三定律得金属棒对轨道的压力为：N ′＝N ＝3mg ，故D 正确。

【题9】如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度B 为0.5 T ，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上。

绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN （电阻忽略不计），MP 和NP 长度均为2.5 m ，MN 连线水平，长为3 m 。

以MN 中点O 为原点，OP 为x 轴建立一维坐标系Ox 。

一根粗细均匀的金属杆CD ，长度d 为3 m 、质量m 为1 kg 、电阻R 为0.3 Ω，在拉力F 的作用下，从MN 处以恒定速度v ＝1 m/s 在导轨上沿x 轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。