2019年高考数学艺术类专题02函数测试题
专题02 函数概念与基本初等函数Ι(选填压轴题)(学生版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题
专题02函数概念与基本初等函数Ι（选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国）已知函数222,1()11,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意x ∈R ，()|2||1|0f x x k x ----≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A．1,[1,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C．11,,84⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．(,1][2,)-∞+∞ 2．（2021·全国高三专题练习）设min{,}m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数2()814f x x x =++，()221,log 42()min x g x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=(0x >)，若1[5,](4)x a a ∀∈-≥-，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则a 的最大值为A．－4B．－3C．－2D．03．（2021·和平·天津一中）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[]2,3B．[]1,3C．[]1,4D．[]2,44．（2021·河北·天津二中）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C．59,{1}44⎛⎤⎝⎦ D．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2021·全国高二课时练习）函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x ⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是A．(),1-∞B．[)1,+∞C．(],2-∞D．[)2,+∞6．（2021·奉新县第一中学）已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A．1(,[0,)2-∞-⋃+∞B．(0,)+∞C．1[,)2-+∞D．1[,0)2-7．（2021·全国高一专题练习）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00=f ；②()11()f x f x -=-；③1()32x f f x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A．116B．132C．164D．11288．（2021·全国高一专题练习）我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是（）A．若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =不一定成立B．若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上一定是增函数C．函数0,,()1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩在[0,)+∞上是“Ω函数”D．函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”9．（2021·全国）已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2]x ∈时()2101()212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，，，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++．若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，112]B．（﹣∞，132]C．[112+∞，）D．[132+∞，）10．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，()1f x '>，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为A．(3,)+∞B．[3,)+∞C．(,3]-∞D．(,3)-∞11．（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d,,,的大小关系为（）A．b a d c>>>B．b c a d>>>C．b a c d>>>D．a b d c>>>12．（2021·全国高一专题练习）已知函数32()log (31x f x x =+-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（）A．[]3,1-B．[]2,1-C．(]0,1D．[]0,113．（2021·黔西南州同源中学（文））设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>14．（2021·绥德中学高一月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()()()2122x xf x --=，若()f x 在[),1n n +上的最小值为23，则n =A．4B．5C．6D．715．（2021·新密市第一高级中学高二期末（文））已知函数()12019ln 112019x x a xf x a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()()211log 255g f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2019g =A．2B．0C．1-D．2-二、多选题16．（2021·江苏鼓楼·高二期末）已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．m Z ∀∈，()30mf =C．函数()f x 的值域为[)0,+∞D．n Z ∃∈，()512019nf +=17．（2021·湖南岳阳·高三模拟预测）已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A．函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称B．不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>18．（2021·全国）1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A．()D x 是偶函数B．,(())1x R D D x ∀∈=C．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC ∆为正三角形19．（2021·湖南华容·）设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A．()1.10.9f -=B．函数()f x 为奇函数C．()()11f x f x +=+D．函数()f x 的值域为[)0,120．（2021·浙江）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．1122⎡+⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+21．（2021·岳麓·湖南师大附中高二月考）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为A．函数()f x 是偶函数B．1x ∀,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形22．（2021·汕头市第一中学）已知函数f (x )满足：当30x -≤<时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（）A．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题23．（2021·全国高三专题练习）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________24．（2021·全国高三专题练习）已知函数1(31)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是____．25．（2021·江西上高二中高二月考（文））定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--，则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是______________.26．（2021·上海徐汇·位育中学）设()1f x x =-，4()g x x =-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈，使得12()()f x f x ++⋅⋅⋅+1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++成立，则正整数n 的最大值为________27．（2021·广东潮阳·）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.28．（2021·全国高一专题练习）下列说法中正确的是______.①函数32y x -=的定义域是{}0x x ≠；②方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③函数1lg1xy x-=+在定义域上为奇函数；④函数()log 252a y x =--(0a >，且1a ≠)恒过定点()3,2-；⑤若33x x--=，则33x x -+的值为2.。
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专题02 函数的性质及其应用专题点拨1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，以及图像的对称性，简化研究的范围,事半功倍.3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌. 5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏，分段分析，整体把握； 6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.真题赏析1．(2018·上海)设常数a ∈R ，函数．若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_______．【答案】 7【解析】a ∈R ，()f x 的反函数的图象经过点(3,1)∴的图象经过点(1,3)，∴，解得7a =．2．(2018·上海)设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ）.B C D ．0【答案】B【解析】 由题意得到：问题相当于圆上由12我们可以通过代入和赋值的方法当时，，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y 因此只有当，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此选B ．例题剖析【例1】 （2018·黄浦区二模）已知函数（1）求函数()f x 的反函数1()fx -；（2）试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若方程的三个实数根 123x x x 、、满足: 123x x x <<，且，求实数a 的值．(2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称. 设点是函数图像上关于原点对称的点，则，即， 解得，且满足01x <≤ .因此，函数图像上存在点关于原点对称.(3) 考察函数()y f x =与函数的图像，可得当时，有，原方程可化为，解得，且由，得.当时，有，原方程可化为，化简得，解得 (当时，).于是，.由，得，解得.因为，故不符合题意，舍去；，满足条件.因此，所求实数.【变式训练1】（2018·徐汇区二模）已知函数，其定义域为，(1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．(1)；，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数； ，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数； ，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴[]33,3t t -，于是当，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上，．【例2】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x (定义域为D)的全体：存在非零常数k ，对任意x D ∈，有成立．(1)判断函数是否属于集合M ； (2)证明，并找到一个常数k .【解析】(1)()f x M ∉.假设，得.于是，一方面，1k =，另一方面，0k =.这是矛盾！故()f x M ∉.(2)若()f x M ∈，则有22kk =，取2k =，则满足，即()f x M ∈.【变式训练2】 定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为A ．求A 的长度；函数的定义域与值域都是，求区间的最大长度.【解析】不等式的解集为A．，，，，，集合A的长度为：．函数的定义域是，函数的定义域与值域都是，，，，化简，得：在区间上都是单调递增，，，n是方程的同号相异的实数根，，n是方程同号相异的实数根，，，只需要，即，解得或，，的最大值为，此时．区间的最大长度为．【例3】（2019·浦东新区一模）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：当时，当时，若，则在上是单调递增函数，所以若满足题目要求，则所以，，又，所以．【变式训练3】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[B．[C．[D．[【答案】B【解析】当x≥0时，由f （x ）=x ﹣3a 2，x ＞2a 2，得f （x ）＞﹣a 2； 当a 2＜x≤2a 2时，f （x ）=﹣a 2；由f （x ）=﹣x ，0≤x≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2． ∴当x ＞0时，2min ()f x a =-．∵函数f （x ）为奇函数， ∴当x ＜0时，2max()f x a =．∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f（x ）， ∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：．故选：B ．【例4】（2019·青浦区一模）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数.（1）若函数()3g x x =是函数在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数在区间[2,)+∞上的弱渐近函数.【解析】（1）因为函数()3g x x =是函数在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以，即在区间[)+∞4，上恒成立，即（2），令任取122x x ≤<，则，即函数在区间[)2,+∞上单调递减，所以，又，即满足()2g x x =使得对于任意的[)2,x ∈+∞有恒成立，所以函数()2g x x =是函数在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．巩固训练一、填空题1. （2018·建平中学模拟）若函数f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x ﹣2，则f ﹣1（3）= ． 【答案】1【解析】∵函数f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x ﹣2， 故x ＞0时，﹣x ＜0，f （﹣x ）=﹣x ﹣2=﹣f （x ）， 即f （x ）=x+2， 若f ﹣1（3）=a ， 则f （a ）=3，当a ＜0时，f （a ）=a ﹣2=3，即a=5（舍去） 当a ＞0时，f （a ）=a+2=3，即a=1， 故f ﹣1（3）=1.2．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，，那么，不等式的解集是__________． 【答案】(7,3)-【解析】因为()f x 为偶函数，所以，则,可化为，即，所以|2|5x +<，解得73x -<<，所以不等式的解集是(7,3)-．3. （2018·建平中学模拟）已知函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为 ．【答案】（，1]【解析】a=0时，函数f （x ）=lg （﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x ＜，不满足题意；a ＞0时，由题意知，解得＜a ≤1；a ＜0时，由题意知，此时无解；综上，函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a 的取值集合是（，1]．4. 若不等式对任意[]1,1m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围是______.【答案】【解析】可转化为，设，则()f m 是关于m 的一次型函数，要使()0f m <恒成立，只需，解得.5．（2019·普陀区一模）设a 为常数记函数且，的反函数为，则______．【答案】6. 已知定义在R 上的奇函数()f x，满足，且在区间[]0,2上是增函数，若方程在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则__________．【答案】8-【解析】 因为定义在R 上的奇函数，且，则，函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[2,0]-上也是增函数. 如图所示，那么方程在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设由对称性知344x x +=所以7. 已知函数的图像关于点(2,0)-中心对称，设关于x 的不等式的解集为A ，若，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3m ≤-或3m =【解析】函数()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称，则，由此求得4a =，所以，，显然0m =不舍题意，当0m >时，⇔，由题意3m ⇒=，当0m <时，⇔，因为，所以由题意3m ⇒≤-或3m ≥3m ⇒≤-，综上，m 的取值范围是3m ≤-或3m =．二、选择题1. 函数，[3,5]x ∈的值域为( )A ．[2,3]B ．[2,5]C ．D 【答案】A 【解析】f (x )＝x ＋4x －2－4＝x －2＋4x －2－2，∵3≤x ≤5，∴1≤x －2≤3，∴f (x )≥24－2＝2，故当x ＝4时，f (x )＝2即为最小值，又因为f (3)＝3，f (5)＝73，故f (x )在[3，5]上的值域为[2，3]．2. 若函数f （x ）=ax 2+bx+c 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m （ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】设函数f （x ）=ax 2+bx+c 在x 1处取的最大值，在x 2处取的最小值，0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，且x 1≠x 2， ∴M=f （x 1）=ax 12+bx 1+c ，m=f （x 2）=ax 22+bx 2+c ，∴M ﹣m=ax 12+bx 1+c ﹣ax 22﹣bx 2﹣c=a （x 12﹣x 22）+b （x 1﹣x 2）， ∴与a ，b 有关，但与c 无关.3. 已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ）.B. C.D.【答案】C【解析】选项A 错误：因为；选项B 错误：三角函数sin y x =在()0,+∞上不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，举反例如，当时，；选项C 是减函数，可得；选项D 错误：举一个反例如，e x =，.,x y 满足0x y >>，但.4. 已知函数，则使得的x 的范围是（ ）A ．()0,2B ．(),0-∞C ．D ．()2,+∞【答案】A 【解析】由于，所以函数为偶函数，且在()0,+∞上为减函数，因此，则需，解得()0,2x ∈.5. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数，函数)3(+x f 关于直线1=x 对称，则下列式子一定成立的是（ ） A ． B.C. D.【答案】B【解析】因为(2)f x -为奇函数，所以，则．又因为(3)f x +关于直线1x =对称，所以()f x 关于4x =对称，所以，则，于是8为函数()f x 的周期，所以，故选B ．6．定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数的定义域与值域都是，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】由0x ≠，或，故函数在[]n m ,上单调递增,则()()⎩⎨⎧==n n f mm f ，故n m ,是方程的同号的相异实数根，即的同号的∴n m ,同号，只需∴1a >或3a <-3-<a ，，m n -取最大值为．此时3=a . 三、解答题1.（2019·松江区一模）已知函数（常数a ∈R ）（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有成立，求m 的最大值. 【解析】（1）若)(x f 为奇函数，必有得1a =，当1a =时，，∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数，，∴对任意实数a ，都有∴)(x f 不可能是偶函数（2）由条件可得：恒成立，记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈，此时函数在[5,9]t ∈上单调递增，所以()g t 的最小值是，即m 的最大值是2.（2019·徐汇区一模）已知函数其中.a R ∈（1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数. 【解析】（1）不等式()1f x ≤-即为当1a <-时，不等式解集为； 当1a =-时，不等式解集为；当1a >-时，不等式解集为(]2,0.-（2）任取120,x x <<则所以要使()f x 在(0,)+∞递减即只要10a +<即1,a <-故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.3.已知函数(1) 若是偶函数,且在定义域上ax x F ≥)(恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 当1=a 时,令,问是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数,在()0,1-上是增函数？如果存在,求出λ的值；如果不存在,请说明理由.【解析】(1)是偶函数,0=∴b 即,R x ∈又ax x F ≥)(恒成立即当1=x 时a R ∈；当1>x 时, ,当1<x 时, ,，综上:(2))(x ϕ∴是偶函数,要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数,即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数. 令2x t =,当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ,由于()+∞∈,0x 时,2x t =是增函数记，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性,当二次函数在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数,其对称轴方程为1=t .4.已知函数：.(1) 证明：函数的图像关于点(,1)a -成中心对称图形； (若函数()f x 在定义域内满足，则说函数图像关于点(,)m n 成中心对称图形 )(2) 当()f x 的定义域为时，求证：()f x 的值域为[]3,2--； (3) 设函数，求()g x 的最小值．①当时，则函数在上单调递增，如果时，)(x g 在处无定义，故)(x g 最小值不存在； ②当如果如果当综合得： g （x ）最小值不存在； ，g （x ）时 g （x ）最小值是2)1(-a ；当 g （x5.【拔高题】（2018·建平中学模拟）已知函数f （x ）=log n x （n ＞0，n ≠1）． （1）若f （x 1x 2）=10，求f （x 12）+f （x 22）的值；（2）设g （x ）=f （），当x ∈（m ，n ）时，g （x ）的值域为（1，+∞），试求m 与n 的值；（3）当n=3时，记h （x ）=f ﹣1（x ）+（m ＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r ，s ，t ，都存在以h （r ）、h （s ）、h （t ）为边长的三角形，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）若f （x 1x 2）=10， 则log n x 1x 2=10，则f （x 12）+f （x 22）=log n x 12+log n x 22=log n x 12x 22=log n （x 1x 2）2=2log n x 1x 2=20．（2）g （x ）=f （）=log n=log n （）=log n （1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x ∈（m ，n ）时，g （x ）的值域为（1，+∞）， ∴m=1，n ＞1，则函数g （x ）在（m ，n ）上为减函数，则g （n ）=1，即log n （1+）=1，得1+=n ，即=n ﹣1，的（n ﹣1）2=2，得n ﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h （x ）=f ﹣1（x ）+=3x +，（m ＞0），∵﹣1≤x ≤0，∴设t=3x，则≤t ≤1，即y=t+，（≤t ≤1），由题意得在≤t ≤1上恒有2y min ＞y max 即可．①当0＜m ≤时，函数h （x ）在[，1]上递增，y max =1+m ，y min =3m+．由2y min ＞y max 得6m+＞1+m ，即5m ＞，得m ＞．此时＜m ≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=1+m，y max=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞1+m，得．此时＜m≤．。
【专题练习】2019年 高一数学 函数解答题 恒成立 问题 专题练习(含答案)
2019年高一数学函数解答题恒成立问题专题练习一、解答题：1、已知二次函数f(x)满足：f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x．（1）求f(x)的解析式；（2）若当x∈[-1,1]时，a≤f(x)≤b恒成立，求b-a的取值范围．2、设函数f(x)=x2+ax+3，其中，a为实数．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．3、已知函数f(x)=ax2+2x+c，(a,c∈N*)满足：①f(1)=5；②6<f(2)<11.（1）求a,c的值；（2）若对任意的实数x∈[0.5,1.5]，都有f(x)-2mx≤1成立，求实数m的取值范围.4、已知函数f(x)=x2-x+a+1.（1）若f(x)≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。
（2）求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式。
5、已知二次函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=1，f(x)在x=m时取得最值. 又若y=g(x)为一次函数，且f(x)+g(x)=x2+x-2.（1）求f(x)的解析式（含m的解析式）；（2）若x∈[-2,1]时，f(x)≥-3恒成立，求实数m的取值范围.6、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件：①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f(x-1)=f(-x-1)成立；②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2∣x-1∣+1恒成立。
（1）求f(1)；（2）求f(x)的解析式；（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m]时，就有f(x+t)≤x成立.7、已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥1,x2≥0,x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.（1）求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值；（3）若对于任意x∈[0,1]，总有a>[f(x)]2+f(x)+1恒成立，求实数a的取值范围.8、已知(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．9、已知函数f(x)是定义在R上的增函数（1）若a∈R,试比较f(a2)与f(a-1)的大小，并说明理由;（2）若对任意的x R,不等式f(ax2)<f(ax+1)恒成立求实数a的取值范围.10、已知函数，且.（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并加以证明.（3）若在(-∞，1)上恒成立，求a的取值范围.11、已知函数（a＞0，a≠1）．（1）讨论函数f(x)的奇偶性；（2）求a的取值范围，使f(x)+f(2x)＞0在其定义域上恒成立．12、已知函数.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1、解：2、解:4、解：5、解：7、解：8、解：10、解：11、解：12、解：第11 页共11 页。
高考数学压轴题讲练：专题02 曲线的切线问题探究【解析版】
第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线x y e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x xy e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增， 把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立， 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同． 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞． 【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ， 则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或x =， 因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()g x '+0 -+()g xt+3所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值， 当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-， 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时， 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 （3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-， 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+， 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】e 【解析】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144342b e e elne e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 故答案为：2e ．4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． 【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0， 所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 （1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 （Ⅰ）∵()()2xf x e ax =+，∴()()2xf x eax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-， 且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值． 综上所述，当0a =时，()f x 无极值； 当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值； 当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥． 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增， 又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时， 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减， 注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>， 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根， 即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减， 且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立， 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点， 即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<， 由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x 12x x 处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭ ∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m 上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析 【解析】 （Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围； （2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'． 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭， 则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0， 可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1； （2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ． 可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减； 由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0， 当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ， 故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ， 可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增， 又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e）， 所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增， 可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。
2019年高考数学专题02分段函数及其应用第四季压轴题必刷题
专题02分段函数及其应用第四季1．函数，若关于x的方程2[f(x)]2－(2a＋3)·f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是________．【答案】【解析】由2[f(x)]2－(2a＋3)f(x)＋3a＝0得f(x)＝或f(x)＝a.由已知画出函数f(x)的大致图象，要使关于x的方程2[f(x)]2－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，即要使函数y＝f(x)的图象与直线y＝、y＝a共有五个不同的交点，a的取值范围是，故答案为.2．已知函数，若存在实数、、、，满足，其中，则的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象，如下图所示，由图象可得，，则，，，，，令，即，解得或，而二次函数的图象的对称轴为直线，3．已知函数．设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为___________．【答案】【解析】当时，，函数的解析式，结合二次函数的性质可得的值域为，当时，，则，据此可知，函数的值域为，由可得，即：，解得：，即的取值范围为.4．已知函数，，均为一次函数，若实数满足，则__________．【答案】25．函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】对于①，∵函数，函数，∴，∴F(x)≠|f(x)|．故①不正确．对于②，∵，∴函数是偶函数．故②正确．对于③，由0<m<n<1得，又，∴即F(m)<F(n)，∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如下图：故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．6．已知函数，若，且的最小值为m，则__________.【答案】3【解析】由可得，即，∴，则，当且仅当，即时，取得最小值 2.故.即答案为3.7．已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________．【答案】.【解析】令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1．且4个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，同理也恒成立；故λ的取值范围为（0，）．故答案为：（0，）。
高考数学 专题02 分段函数及其应用(第二季)压轴题必刷题 理-人教版高三全册数学试题
专题02分段函数及其应用第二季1．已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值X围是，故选A..2．设f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值X围是A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，)【答案】B3．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.4．已知函数，则函数的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.5．已知，若恰有两个根，，则的取值X围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1．不妨设x1＜x2，则x12=e=，令=t（t＞1），则x1=﹣，x2=lnt，∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣ =，∴当1＜t＜4时，g′（t）＞0，当t＞4时，g′（t）＜0，∴当t=4时，g（t）取得最大值g（4）=ln4﹣2=2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：C．6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是( )．A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C．∪D．∪【答案】B表示为区间形式即.本题选择B选项.7．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，有，所以在的图像与上的图像一致，故的图像如下图所示：因为直线与有两个不同的交点，故，选A．8．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B ＝( )A．16 B．－16C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16【答案】B【解析】令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．9．若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.10．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（）个①的定义域为；②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．11．已知函数，若，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，即；当时0，即；当时，由图可知；综上的取值X围是，选D．12．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，则，得，结合图象可知，则，故选C．13．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】14．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数的图像与轴有个不同的交点，则方程有三个根，故函数与的图象有三个交点．由于函数，则其图象如图所示，从图象可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，设图中切点的坐标为，则斜率，又满足：，解得，∴斜率，故选B．15．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.16．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值X围是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C. 17．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知，且，，，因为所以当时，函数等号成立，又因为在递减，在递增，所以，所以的取值X围是，故选D.18．著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.现有如下四个命题：①；②函数为奇函数；③，恒有；④，恒有. 其中真命题的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，时，，，故①错误；对于②，时，，时，，不是奇函数，故②错误；对③，时，，，时，，，故③正确.对④，时，，，④错误，故真命题个数为，故选A.19．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B20．设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值X围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值X围为. 故选D.。
专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)
=
4
+ 2π π2
1,
f
(π)
=
π −1+
π2
0 ，可知应为 D 选项中的图象．
2
7．【2019 年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足
m2
–
m1
=
5 2
lg
E1 E2
，其中星等为 mk
的星的亮度为
Ek （k=1,2）．已
知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
=
−
1 2
,1
x
2
，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f (x) = g(x) 有
8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲ .
【答案】
1 3
,
2 4
【解析】作出函数 f (x) ， g(x) 的图象，如图：
由图可知，函数 f (x) = 1− (x −1)2 的图象与 g(x) = − 1 (1 x 2,3 x 4,5 x 6, 7 x 8) 的图象仅有 2 个交点，即在区间
专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 a = log2 0.2,b = 20.2, c = 0.20.3 ，则（ ）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
【答案】B
【解析】 a = log2 0.2 log2 1 = 0, b = 20.2 20 = 1, 0 c = 0.20.3 0.20 = 1, 即 0 c 1, 则 a c b ．故选 B．
专题02 函数的概念与基本初等函数(原卷版)
专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津文科05】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}3．【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）4．【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+15．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y7．【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．508．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）9．【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）10．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f11．【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b12．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数13．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．109314．【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f （20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b15．【2017年天津文科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．16．【2018年新课标1文科13】已知函数f （x ）＝log 2（x 2+a ），若f （3）＝1，则a ＝ ． 17．【2018年新课标3文科16】已知函数f （x ）＝ln （x ）+1，f （a ）＝4，则f （﹣a ）＝ ．18．【2018年天津文科14】已知a ∈R ，函数f （x ）．若对任意x ∈[﹣3，+∞），f （x ）≤|x |恒成立，则a 的取值范围是 ．19．【2017年新课标2文科14】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3+x 2，则f （2）＝ ．20．【2017年新课标3文科16】设函数f （x ），则满足f （x ）+f （x ）＞1的x 的取值范围是 ．21．【2017年北京文科11】已知x ≥0，y ≥0，且x +y ＝1，则x 2+y 2的取值范围是 ．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（ ）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．2019B ．0C ．1D ．-18．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,49．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
函数概念与基本初等函数(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。
高考数学复习二次函数测试题(2021年整理)
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高考数学复习二次函数测试题1．解析式、待定系数法若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11），则A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=变式2:若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______．变式3:若二次函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠），则122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2b a -B ．ba - C ． c D ．244acb a-变式2：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，xyO请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．单调性已知函数()22f x x x =-,()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1）求()f x ,()g x 的单调区间;(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1:已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤-变式2：已知函数()()215f x x a x =--+在区间（错误!，1）上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．4．最值已知函数()22f x x x =-,()()22[2,4]g x x x x =-∈．（1）求()f x ，()g x 的单调区间；(2） 求()f x ,()g x 的最小值．变式1：已知函数()223f x x x =-+在区间［0,m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞变式2：若函数y =M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间［0,2］上的最小值为3,求a 的值．5．奇偶性已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像,并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是 A ．增函数 B ．减函数 C ．常数 D ．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________． 变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．（I ）讨论)(x f 的奇偶性；（II ）求)(x f 的最小值．6．图像变换已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；（2)求函数的单调区间；（3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间． 变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称； ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间［a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题: ①当c =0时,)(x f y =是奇函数；②当b =0，c 〉0时，方程0)(=x f 只有一个实根;③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称;④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为 ．7．值域求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域: (1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤;(2） 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A ．⎡-⎢⎣⎦B ．()20,4-C ．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ． 920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 变式2:函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2+ bx (a 、b 为常数,且 a ≠ 0)，满足条件 f （1 +x ） = f (1－x ）,且方程 f （x ） = x 有等根．(1）求 f （x ） 的解析式;（2）是否存在实数 m 、n （m 〈 n ），使 f （x ) 的定义域和值域分别为 ［m ,n ] 和 ［3m ，3n ]，如果存在，求出 m 、n 的值，如果不存在,说明理由．8．恒成立问题当,,a b c 具有什么关系时,二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式1:已知函数 f （x ) = lg (a x 2+ 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ） 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II ）若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x ax a =++-,若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 变式3：若f (x ) = x 2+ bx + c ,不论 、 为何实数,恒有 f (sin )≥0，f （2+ cos）≤0．(I ） 求证:b + c = －1; （II) 求证： c ≥3;（III) 若函数 f (sin ） 的最大值为 8,求 b 、c 的值．9．根与系数关系右图是二次函数()2f x ax bx c =++的图像，它与xy轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ,12x x +的符号．变式1：二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=23,m +-23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．变式3：对于函数 f （x )，若存在 x 0R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ） 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2+ bx + 1（a 〉 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I ）若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ） 的图象关于直线 x = m 对称，求证m 〉 错误!； (II ）若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 ｜ = 2，求 b 的取值范围．D ．C ．xyO xyO OO xyxyA ．B ．10．应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线()2f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接矩形（一边在x 轴上)中(如图），求周长最长的内接矩形两边之比,其中a 是正实数．变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元)(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；BCxyDO A(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g （a ) ．（Ⅰ）求g （a ）；（Ⅱ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a ．。
2010-2019高考数学理科真题分类汇编专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程含答案
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 函数与方程2019年1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()1)f x ，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 .3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b <0D ．a ＞-1，b >02010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．13．（2017山东）已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞C ．()23,⎡+∞⎣D ．([)3,+∞4．(2016年天津)已知函数()f x =2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 A ．(0，23] B ．[23，34] C ．[13，23]{34} D ．[13，23）{34} 5．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．y cos x =B ．y sin x =C ．y ln x =D ．21y x =+ 6．（2015福建）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于A ．6B ．7C ．8D ．97．（2015天津）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中 b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是A ．7(,)4+∞ B ．7(,)4-∞ C ．7(0,)4 D ．7(,2)48．（2015陕西）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．－1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上9．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．），（210B ．），（121C ．），（21D ．），（∞+210．（2014北京）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞11．（2014重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩, 且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃-- C ．]32,0(]2,49(⋃-- D ．]32,0(]2,411(⋃--12．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为A ．{1,3}B ．{3,1,1,3}-- C．{23} D．{21,3}- 13．（2013安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．614．（2013重庆）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内15．(2013湖南)函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 16．（2013天津）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．417．（2012北京）函数121()()2xf x x =-的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 18．（2012湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．719．（2012辽宁）设函数)(x f ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 20．(2011天津)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭21．（2011福建）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（-1,1）B ．（-2,2）C ．（-∞，-2）∪（2，+∞）D ．（-∞，-1）∪（1，+∞） 22．(2011全国新课标)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．2B ．4C ．6D ．823．(2011山东)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．924．（2010年福建）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．325．(2010天津)函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1，0）C ．（0，1）D ．（1，2） 26．（2010广东）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件27．（2010浙江）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是A ．[]4,2--B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4 二、填空题28．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．29．(2018天津)已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩≤若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．30．(2018江苏)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ．31．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是_____．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是______．32．(2018浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，x = ，y = ．33．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 34．(2016年山东)已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩≤ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_________. 35．（2015湖北）函数2π()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 36．（2015北京）设函数()()()2142 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥‚‚‚①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．37．（2015湖南）已知函数32,(),x x af x x x a ⎧=⎨>⎩≤，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 ．38．（2014江苏）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f ．若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ．39．（2014福建）函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________．40．（2014天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x ∈R .若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.41．（2012福建）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,,a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩… 设()f x =(21)(1)x x -*-，且关于x 的方程为()f x m =（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是____________．42．(2011北京)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x =k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______．43．(2011辽宁)已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是_____．专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 函数与方程答案部分 2019年1.解析：因为(1)2()f x f x +=，所以()2(1)f x f x =-，当(0,1]x ∈时，1()(1),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦， 当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，[]()2(1)4(2)(3)1,0f x f x x x =-=--∈-， 当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x -…，则73m …．故选B ．2.解析 作出函数()f x 与()g x 的图像如图所示，由图可知，函数()f x 与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<<<<剟剟仅有2个实数根；要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()f x =，(0,2]x ∈与()(2)g x k x =+，(0,1]x ∈的图象有2个不同交点， 由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)k k =>，因为两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，所以13k <…，即k的取值范围为1[3.3.解析：当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--，最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '>，()y f x ax b =--在上递增，()y f x ax b=--最多一个零点不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得(0,1)x a ∈+，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点， 如下图：所以01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选C ．2010-2018年1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e--+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 3．B 【解析】当01m <≤时，11m≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，101m<<，函数2()(1)y f x mx ==-，在 1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1[0,]m无交点， 要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2(1)1m m -+≥，解得3m ≥． 选B ．4．C 【解析】当0x <时，()f x 单调递减，必须满足4302a --…，故304a <…，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若()f x 在R 上单调递减，还需31a …，即13a …，所以1334a 剟．当0x …时，函数|()|y f x =的图象和直线2y x =-只有一个公共点，即当0x …时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解．因此，只需当0x <时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解，根据已知条件可得，当0x <时，方程2(43)x a x +-+32a x =-，即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解．判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ∆=---=--，当34a =时，0∆=，此时12x =-满足题意；令2()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求；当(0)0h =，即23a =时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23-，满足要求；当(0)0h >，即320a ->，即2334a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程22(21)320x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是123[,]{}334． 5．A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点，sin y x =为奇函数，ln y x =既不是奇函数又不是偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点．故选A ．6．D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =； 当4a是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．7．D 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩， ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． x8．A 【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32bf a-=，则2434ac b a -=； 由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 9．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．10．C 【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 11．A 【解析】()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点就是函数()y f x =的图象与函数(1)y m x =+的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，和函数(1)y m x =+的图象，如图，当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+和,(0,1]y x x =∈都相交时 102m <≤；当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+有两个交点时，由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩，消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=， 化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线 (1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切，当直线(1)y m x =+过点(0,2)- 时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--⋃．12．D 【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-的根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =--． 13．A 【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：x21)=x 1如图则有3个交点，故选A.14．A 【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ．15．B 【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为2x =，(2)1g =； (2)2ln 2ln 41f ==>．所以(2)(2)g f <，从图像上可知交点个数为2．16．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2x x =，由图象法可知()f x 有两个零点． 17．B 【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>，所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点．18．C 【解析】0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k 所以共有6个解.选C ．19．B 【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，且113(0)()()()0222g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为6，故选B ．20．B 【解析】由题意知，若222()1x x x ---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-；当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-，要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可，即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可，画出函数()y f x =的图像与直线y c =，不难得出答案B ．21．C 【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式0∆>，即240m ->，解得2m <-或2m >，故选C ． 22．D 【解析】图像法求解．11y x =-的对称中心是(1,0)也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在1x =的左侧有4个交点，则1x =右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ， 则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D23．B 【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B ．24．C 【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ． 25．B 【解析】因为1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，所以选B ． 26．A 【解析】20x x m ++=有实数解等价于140m ∆=-≥，即14m ≤．当14m <时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m <不一定成立，故选A ．27．A 【解析】(0)4sin10f =>，(2)4sin 52f =-，由于52ππ<<，所以(2)0f <，故函数()f x 在[0,2]上存在零点；由于(1)4sin(1)10f -=-+<，故函数()f x 在[1,0]-上存在零点，在[0,2]上也存在零点，令52[2,4]4x π-=∈， 则52552()4sin 0424f πππ--=->，而(2)0f <， 所以函数在[2,4]上存在零点，故选A ． 28．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．29．(48)，【解析】当0x ≤时，由22x ax a ax ++=，得2a x ax =--；当0x >时，由222x ax a ax -+-=，得22a x ax =-+．令22,0(),0x ax x g x x ax x ⎧--=⎨-+>⎩≤，作出直线y a =，2y a =，函数()g x 的图象如图所示，()g x 的最大值为222424a a a -+=，由图象可知，若()f x ax =恰有2个互异的实数解，则224a a a <<，得48a <<． 30．3-【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-(a ∈R )，当0a ≤时()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1f =，所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点，不满足题意．当0a >时，由()0f x '>得3a x >，由()0f x '<得03a x <<，则()f x 在(0,)3a上单调递减，在(,)3a +∞上单调递增，又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，所以3()10327a a f =-+=，得3a =，所以32()231f x x x =-+， 则()6(1)f x x x '=-，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则max ()(0)1f x f ==，(1)4f -=-，(1)0f =，则min ()4f x =-，所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-．31．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．32．8；11【解析】因为81z =，所以195373x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得811x y =⎧⎨=⎩．33．8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾， 因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．34．(3,)+∞【解析】由题意，当x m >时，222()24()4f x x mx m x m m m =-+=-+-，其顶点为2(,4)m m m -；当x m …时，函数()f x 的图象与直线x m =的交点为(,)Q m m ．①当24m m m m>⎧⎨-⎩…，即03m <…时，函数()f x 的图象如图1所示，此时直线y b =与函数()f x 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当240m m m m ⎧-<⎨>⎩，即3m >时，函数()f x 的图象如图2所示，则存在实数b 满足24m m b m -<…，使得直线y b =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3,)+∞．图1 图235．2【解析】因为2()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x π=---+ 2(1cos )sin 2sin |ln(1)|x x x x =+⋅--+=sin 2|ln(1)|x x -+36．1- 1[,1)2[2,)+∞【解析】①若1a =，则21()4()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥‚‚‚，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 的最小值为1-．②当1a ≥时，要使()f x 恰好有3个零点，需满足120a -≤，即2a ≥．所以2a ≥；当1a <时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足11220a a a <⎧⎨->⎩≤，解得112a <≤．37．),1()0,(+∞-∞ 【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a x b x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ；综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ．38．1(0,)2【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有互不相同的10个零点，即函数()y fx =与y a =的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数()y f x =在一个周期内的图象，可知102a <<．39．2【解析】当0x ≤时，令220x -=，解得x =当0x >时，()26ln f x x x =-+，∵1()20f x x'=+>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(1)40f =-<，(3)ln30f =>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞有且只有一个零点，所以()f x 的零点个数为2．40．01a <<或9a >【解析】法一 显然0a >．(ⅰ)当(1)y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()|1|0f x a x --=恰有3个互异的实数根． （ⅱ）当直线(1)y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时()|1|0f x a x --=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a <<或9a >．法二：显然1a ¹，所以231x xa x +=-.令1t x =-，则45a t t =++．因为4(,4]t t +∈-∞-[4,)+∞，所以45t t++Î(,1][9,)-∞+∞．结合图象可得01a <<或9a >.41．116-（）【解析】由定义运算“*”可知 22(21)(21)(1),211()(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x ⎧------=⎨----->-⎩…=222,0,0x x x x x x ⎧-⎨-+>⎩…，如图可知满足题意的m 的范围是104m <<，不妨设123x x x <<，当0x >时，2x x -+=m ，即20x x m -+=∴231x x +=；∴2232310()24x x x x +<<= 当0x …时，由212,(0)4x x x -=<，得14x -= 10x <<1230x x x << 42．(0,1)【解析】当2x <时，2()3(1)0f x x '=-≥，说明函数在(,2)-∞上单调递增，函数的值域是(,1)-∞，又函数在[2,)+∞上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此要使方程()f x k =有两个不同实根，则01k <<．43．(,2ln 22]-∞-【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程20xe x a -+=有解问题，即方程2x a x e =-有解．令函数()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，令()0g x '=，得ln 2x =，所以()g x 在(,ln 2)-∞上是增函数，在(ln 2,)+∞上是减函数，所以()g x 的最大值为(ln 2)2ln 22g =-，所以(,2ln 22]a ∈-∞-．。
专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)
专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．1【答案】B【解析】因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =，当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-，故此时()f x 为偶函数.故选：B.2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.3．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =，故答案为：0.4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnbx++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【解析】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为：2.考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f -=<，由225sin()5sin ()11x xx x -=--++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x -->+、25(e e )02x x x -+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除；故选：D8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+【答案】A【解析】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =【答案】D 【解析】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =.故选：D.14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤【答案】ACD【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg 0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p ⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以2310p p ≥且23,0p p >，可得2310p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg 40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lg p p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg 40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】512⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】由函数的解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xxa a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故5112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是512⎫-⎪⎪⎣⎭.故答案为：512⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=【答案】C【解析】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【解析】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为1112213332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【答案】B【解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=【答案】B【解析】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．【答案】37283333+【解析】由已知2117(2224f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，77437()144728f =+-=，所以137()228f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当1x ≤时，由1()3f x ≤≤可得2123x ≤-+≤，所以11x -≤≤，当1x >时，由1()3f x ≤≤可得1113x x≤+-≤，所以123x <≤+1()3f x ≤≤等价于123x -≤≤[,][1,23]a b ⊆-，所以b a -的最大值为33故答案为：3728，3322．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．3【解析】因为()0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩故()33f =3考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120e x -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222fx f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <【答案】B【解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；29．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B31．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】C【解析】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b=，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.32．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．【答案】64【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log x f x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：1。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编2 函数及其应用含详解
15. （宝山）若幂函数 y x 的图像经过点
1
16.（虹口）函数 y lg x 1
x2 4
3
3，
3 ，则此幂函数的表达式为
的定义域为________.
17. （虹口）对于定义在 R 上的奇函数 y f x ，当 x 0 时， f x 2 x
f x
x
C x3 , t x1 x2 x3 ，求证： x1 ， x2 ， x3 成等比数列.
27．
（静安）
（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分）
已知函数 f ( x )
1 2
x ( a 1) x a ln x .（其中 a 为常数）
设 y f ( x )、y g ( x ) 是定义域为 R 的函数，当 g ( x1 ) g ( x2 ) 时，
记 ( x1 , x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
．
g ( x1 ) g ( x2 )
（1）已知 y g ( x ) 在区间 I 上严格增，且对任意 x1 , x2 I ， x1 x2 ，有 ( x1 , x2 ) 0 ，
9
，则该函数的值域为_____
2 1
x
二、选择题
18. （宝山）已知定义在 R 上的偶函数 f x x m 1 2 ，若正实数 a 、 b 满足 f a f 2b m ，则
最小值为
A.
（
9
5
B. 9
C.
8
5
）
D. 8
19. （杨浦）下列函数中，既是偶函数，又在区间 , 0 上严格递减的是（
专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版) -25年高考数学压轴大题必杀技系列导数
专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一) 确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2. 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a ＝g (x ),根据导数的知识求出函数g(x )在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g (x )图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g (x )的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y =f (x )与y =g (x )图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f (x )=g (x )根的个数问题,也通过构造函数y =f (x )-g (x ),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.【例1】（2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数）已知函数()()20,ex ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．【解析】（1）由题易得，函数()2ex ax f x =的定义域为R ，又()()()22222e e 2e e e x xx xxax x ax ax ax ax f x ---===¢，所以，当0a >时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z极大值]由上表可知，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()(),0,2,¥¥-+．所以()f x 的极大值为()()2420e af a =>．当a<0时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z由上表可知，()f x 的单调递增区间为()(),0,2,¥¥-+，单调递减区间为()0,2．所以()f x 的极大值为()()000f a =<．综上所述，当0a >时，()f x 的极大值为24ea；当a<0时，()f x 的极大值为0．（2）方法一：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos e x xg x f x x x =-=-．由()0g x =，得2cos e xx x =．所以要求()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点的个数，只需求()y f x =的图象与()cos h x x =的图象在区间π,2024π2éù-êúëû上的交点个数即可．由（1）知，当1a =时，()y f x =在()(),0,2,¥¥-+上单调递减，在()0,2上单调递增，所以()y f x =在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()cos h x x =在区间π,02éù-êúëû上单调递增，且()()()()()1e 1cos 11,001cos00f h f h -=>>-=-=<==，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间π,02éù-êúëû上只有一个交点，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且只有1个零点．因为当10a x =>，时，()20ex x f x =>，()f x 在区间()02，上单调递增，在区间()2,¥+上单调递减，所以()2e x xf x =在区间()0,¥+上有极大值()2421e f =<，即当1,0a x =>时，恒有()01f x <<．又当0x >时，()cos h x x =的值域为[]1,1-，且其最小正周期为2πT =，现考查在其一个周期(]0,2π上的情况，()2ex x f x =在区间(]0,2上单调递增，()cos h x x =在区间(]0,2上单调递减，且()()0001f h =<=，()()202cos2f h >>=，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]0,2上只有一个交点，即()g x 在区间(]0,2上有且只有1个零点．因为在区间3π2,2æùçúèû上，()()0,cos 0f x h x x >=£，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间3π2,2æùçúèû上无交点，即()g x 在区间3π2,2æùçúèû上无零点．在区间3π,2π2æùçúèû上，()2ex x f x =单调递减，()cos h x x =单调递增，且()()3π3π002π1cos2π2π22f h f h æöæö>><<==ç÷ç÷èøèø，，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间3π,2π2æùçúèû上只有一个交点，即()g x 在区间3π,2π2æùçúèû上有且只有1个零点．所以()g x 在一个周期(]0,2π上有且只有2个零点．同理可知，在区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上，()01f x <<且()2e xx f x =单调递减，()cos h x x =在区间(]2π,2ππk k +上单调递减，在区间(]2ππ,2π2πk k ++上单调递增，且()()()02π1cos 2π2πf k k h k <<==，()()()2ππ01cos 2ππ2ππf k k h k +>>-=+=+()()()02ππ1cos 2ππ2ππf k k h k <+<=+=+，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]2π,2ππk k +和2ππ,2π2π]k k ++（上各有一个交点，即()g x 在(]2π,2024π上的每一个区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上都有且只有2个零点．所以()g x 在0,2024π]（上共有2024π220242π´=个零点．综上可知，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．方法二：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos ex x g x f x x x =-=-．当π,02éùÎ-êúëûx 时，()22sin 0e x x x g x x -=¢+£，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()π0,002g g æö-><ç÷èø，所以存在唯一零点0π,02x éùÎ-êúëû，使得()00g x =．所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且仅有一个零点．当π3π2π,2π,22x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，20cos 0ex x x ><,，所以()0g x >．所以()g x 在π3π2π,2π,22k k k æù++ÎçúèûN 上无零点．当π0,2x æùÎçèû时，()22sin 0exx x g x x -=¢+>，所以()g x 在区间π0,2æöç÷èø上单调递增．又()π00,g 02g æö<>ç÷èø，所以存在唯一零点．当*π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0exx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上单调递增．又()π2π0,2π+02g k g k æö¢<>ç÷èø¢，所以存在*1π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN ，使得()10g x ¢=．即当()12π,x k x Î时，()()10,g x g x <¢单调递减；当1π,2π2x x k æùÎ+çúèû时，()()10,g x g x >¢单调递增．又()π2π0,2π02g k g k æö<+>ç÷èø，所以()g x 在区间*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点所以()g x 在区间π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．当3π2π,2π2π,2x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0e xx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递增．又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+<+<ç÷¢¢èø，所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递减：又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+>+<ç÷èø，所以存在唯一23π2π,2π2π2x k k æöÎ++ç÷èø，使得()20g x =．所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．所以()g x 在区间(]2π,2π2π,k k k +ÎN 上有两个零点．所以()g x 在(]0,2024π上共有2024π220242π´=个零点．综上所述，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．(二) 根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.【例2】（2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟）已知函数()()ln 2f x x =+(1)求曲线()y f x =在=1x -处的切线方程；(2)求证：e 1x x ³+；(3)函数()()()2h x f x a x =-+有且只有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）因为()12f x x ¢=+，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线斜率为()11112f -==-+¢，又()()1ln 120f -=-+=，所以切线方程为1y x =+.（2）记()e 1x g x x =--，则()e 1xg x ¢=-，当0x <时，()0g x ¢<，函数()g x 在(),0¥-上单调递减；当0x >时，()0g x ¢>，函数()g x 在()0,¥+上单调递增.所以当0x =时，()g x 取得最小值()00e 10g =-=，所以()e 10xg x x =--³，即e 1x x ³+.（3）()()()()()2ln 22,2h x f x a x x a x x =-+=+-+>-，由题知，()()ln 220x a x +-+=有且只有两个不相等实数根，即()ln 22x a x +=+有且只有两个不相等实数根，令()()ln 2,22x m x x x +=>-+，则()()()21ln 22x m x x -+=+¢，当2e 2x -<<-时，()0m x ¢>，()m x 在()2,e 2--上单调递增；当e 2x >-时，()0m x ¢<，()m x 在()e 2,¥-+上单调递减.当x 趋近于2-时，()m x 趋近于-¥，当x 趋近于+¥时，()m x 趋近于0，又()1e 2ef -=，所以可得()m x 的图象如图：由图可知，当10ea <<时，函数()m x 的图象与直线y a =有两个交点，所以，a 的取值范围为10,e æöç÷èø.(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a ) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m ) 与 f (a ) 异号,则在 (m ,a ) 上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x 0 落在规定区间内；确保运算可行三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.【例3】（2024届山东省烟台招远市高考三模）已知函数()()e x f x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.【解析】（1）求导知()1e xf x a =¢+.当0a ³时，由()1e 10xf x a ¢=+³>可知，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，对()ln x a <--有()()ln 1e 1e0a xf x a a --=+>+×=¢，对()ln x a >--有()()ln 1e 1e 0a x f x a a --=+<+×=¢，所以()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.综上，当0a ³时，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.（2）当3a =时，()3e xf x x =+，故原方程可化为3e 13e 3e xx xx m x +=++.而()23e 13e 3e 3e 3e 3e 3e x x x x x x xx x x x x x x +-=-=+++，所以原方程又等价于()23e 3e xx x m x =+.由于2x 和()3e3e xxx +不能同时为零，故原方程又等价于()23e 3e x x xm x =×+.即()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=.设()e xg x x -=×，则()()1e xg x x -=-×¢，从而对1x <有()0g x ¢>，对1x >有()0g x ¢<.故()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，这就得到()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =.然后考虑关于x 的方程()g x t =：①若0t £，由于当1x >时有()e 0xg x x t -=×>³，而()g x 在(],1-¥上递增，故方程()g x t =至多有一个解；而()110eg t =>³，()0e e t g t t t t --=×£×=，所以方程()g x t =恰有一个解；②若10e t <<，由于()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，故方程()g x t =至多有两个解；而由()()122222e2e e 2e 2e 12e 22x x x x xxx x g x x g g -------æö=×=×××=××£××=×ç÷èø有1222ln 1ln 222ln 2e2e t t g t t -×-æö£×<×=ç÷èø，再结合()00g t =<，()11e g t =>，()22ln 2ln 2e ln e 1t>>=，即知方程()g x t =恰有两个解，且这两个解分别属于()0,1和21,2ln t æöç÷èø；③若1t e=，则()11e t g ==.由于()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =，故方程()g x t =恰有一解1x =.④若1e t >，则()()11eg x g t £=<，故方程()g x t =无解.由刚刚讨论的()g x t =的解的数量情况可知，方程()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=存在三个不同的实根，当且仅当关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû.一方面，若关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû，则首先有()20Δ93694m m m m <=+=+，且1212119e e m t t t -=£<.故()(),40,m ¥¥Î--È+， 219e m >-，所以0m >.而方程2390t mt m--=，两解符号相反，故只能1t =，2t =23e m >这就得到203e m ->³，所以22243e m m m æö->+ç÷èø，解得219e 3e m <+.故我们得到2109e 3em <<+；另一方面，当2109e 3e m <<+时，关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根1t =，2t 22116e 13319e 3e 9e 3e 2et +×+×++===，2t 综上，实数m 的取值范围是210,9e 3e æöç÷+èø.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x ¢=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于a x ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.【例4】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =，()ln g x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---，a ÎR ，讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»，12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-，所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-，当0a =时，()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时，令()0h x ¢=得21x a=-，所以若0a >时，211a-<，所以()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数，若0<a 时，211a ->，且211x a<<-时，()0h x ¢>，21x a >-时，()0h x ¢<，所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数，综上：当0a ³时，()h x 在()1,+¥上为增函数，当0<a 时，()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>，设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+，则()()()222e 2e 12e e 2e e x x x x x x x x x x F x x x x x-+--¢=--==，因为0x >，所以e 10x x +>，设()e 2x x x j =-，则()()10e xx x j ¢=+>，则()x j 在()0,¥+上单调递增，而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø，所以存在04,15x æöÎç÷èø，使()00x j =，即00e 2xx =，所以00ln ln 2x x +=，即00ln ln 2x x =-，当00x x <<时，()0F x ¢<，则()F x 在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()0F x ¢>，则()F x 在()0,x +¥上单调递增，所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+，设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø，则()3220m t t ¢=+>，则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增，42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø，则()min 0F x >，则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立，即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研）已知函数()πln sin sin 10f x x x =++.(1)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；(2)判断函数()f x 的零点个数，并证明.【解析】（1）因为()πln sin sin 10f x x x =++，所以1()cos f x x x ¢=+，令()1()cos g x f x x x ==+¢，()21sin g x x x-¢=-，当[]1,e Îx 时，()21sin 0g x x x =--<¢，所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>，()112π11e cos e<cos 0e e 3e 2g =++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a ，使()()0g f a a =¢=又当()1,x a Î时，()()0g x f x =¢>；当(),e x a Î时，()()0g x f x =¢<；所以()f x 在()1,x a Î上单调递增，在(),e x a Î上单调递减，又因为()ππ1ln1sin1sinsin1sin 1010f =++=+，()()ππe ln e sin e sin1sin e sin 11010f f =++=++>，所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()π1sin1sin10f =+.（2）函数()f x 在()0,¥+上有且仅有一个零点，证明如下：函数()πln sin sin 10f x x x =++，()0,x ¥Î+，则1()cos f x x x¢=+，若01x <£，1()cos 0f x x x+¢=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()π1sin1sin010f =+>，11πππ1sin sin 1sin sin 0e e 1066f æö=-++<-++=ç÷èø，结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点，若1πx <£，则ln 0,sin 0x x >³，πsin010>，则()0f x >，若πx >，因为ln ln π1sin x x >>³-，所以()0f x >，综上，函数()f x 在()0,¥+有且仅有一个零点.【例2】（2024届江西省九江市高三三模）已知函数()e e (ax axf x a -=+ÎR ，且0)a ¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x x x -=+有三个不同的实数解，求a 的取值范围.【解析】（1）解法一：()()e eax axf x a -=-¢令()()e e ax axg x a -=-，则()()2e e0ax axg x a -+¢=>()g x \在R 上单调递增.又()00,g =\当0x <时，()0g x <，即()0f x ¢<；当0x >时，()0g x >，即()0f x ¢>()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.解法二：()()()()e 1e 1e e e ax ax ax ax axa f x a -+-=-=¢①当0a >时，由()0f x ¢<得0x <，由()0f x ¢>得0x >()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增②当0a <时，同理可得()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.综上，当0a ¹时，()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.（2）解法一：由()1f x x x -=+，得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()e e x xh x -=+，则()()ln h ax h x =又()e e x xh x -=+Q 为偶函数，()()ln h ax h x \=由（1）知()h x 在()0,¥+上单调递增，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解.令()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -=¢=，由()0m x ¢>，得0e;x <<由()0m x ¢<，得e x >，()m x \在(]0,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减，且()()110,e em m ==()y m x \=在(]0,1上单调递减，在(]1,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减当0x →时，()m x ¥→+；当x →+¥时，()0m x →，故10ea <<解得10e a -<<或10e a <<，故a 的取值范围是11,00,e e æöæö-Èç÷ç÷èøèø解法二：由()1f x x x -=+得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()1h x x x -=+，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增.由()()e axh h x =，得e ax x =或1e ax x -=两边同时取以e 为底的对数，得ln ax x =或ln ax x =-，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解下同解法一.【例3】（2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测）已知函数31()(ln 1)(0)f x a x a x =++>．(1)求证：1ln 0x x +>；(2)若12,x x 是()f x 的两个相异零点，求证：211x x -<【解析】（1）令()1ln ,(0,)g x x x x =+Î+¥，则()1ln g x x ¢=+．令()0g x ¢>，得1ex >；令()0g x ¢<，得10e x <<．所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e ¥æö+ç÷èø上单调递增．所以min 11()10e e g x g æö==->ç÷èø，所以1ln 0x x +>．（2）易知函数()f x 的定义域是(0,)+¥．由()(ln f x a x =+，可得()a f x x ¢=．令()0f x ¢>得x >()0f x ¢<得0<所以()0f x ¢>在æççè上单调递减，在¥ö+÷÷ø上单调递增，所以min 3()ln 333a a f x f a æö==++ç÷èø．①当3ln 3033a aa æö++³ç÷èø，即403e a <£时，()f x 至多有1个零点，故不满足题意．②当3ln 3033a a a æö++<ç÷èø，即43e a >1<<．因为()f x 在¥ö+÷÷ø上单调递增，且(1)10f a =+>．所以(1)0f f ×<，所以()f x 在¥ö+÷÷ø上有且只有1个零点，不妨记为1x 11x <<．由（1）知ln 1x x>-，所以33221(1)0f a a a a a æö=+>+=>ç÷ç÷èø．因为()f x 在æççè0f f <×<，所以()f x 在æççè上有且只有1个零点，记为2x 2x <<211x x <<<<2110x x -<-<．同理，若记12,x x öÎÎ÷÷ø则有2101x x <-<综上所述，211x x -<．【例4】（2022高考全国卷乙理）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点,求a 取值范围．的【解析】（1）当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0),11(),(0)21ex xf x f x -¢¢=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =.（2）()ln(1)e x ax f x x =++,()2e 11(1)()1e (1)ex x xa x a x f x x x +--¢=+=++,设()2()e 1xg x a x=+-1°若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x Î-=+->,即()0f x ¢>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意,2°若10a -……,当,()0x Î+¥时,()e 20xg x ax ¢=->所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x ¢>所以()f x 在(0,)+¥上单调递增,()(0)0f x f >=,故()f x 在(0,)+¥上没有零点,不合题意.3°若1a <-,(1)当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,(0)10,(1)e 0g a g =+<=>,所以存在(0,1)m Î,使得()0g m =,即()0¢=f m .当(0,),()0,()x m f x f x ¢Î<单调递减,当(,),()0,()x m f x f x ¢Î+¥>单调递增,所以当(0,),()(0)0x m f x f Î<=,当,()x f x →+¥→+¥,所以()f x 在(,)m +¥上有唯一零点,又()f x 在(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+¥上有唯一零点,(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a xÎ-=+-,()e2xg x ax ¢=-,设()()h x g x ¢=,则()e 20x h x a ¢=->,所以()g x ¢在(1,0)-上单调递增,1(1)20,(0)10eg a g ¢¢-=+<=>,所以存(1,0)n Î-,使得()0g n ¢=当(1,),()0,()x n g x g x ¢Î-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x ¢Î>单调递增,()(0)10g x g a <=+<,在又1(1)0eg -=>,所以存在(1,)t n Î-,使得()0g t =,即()0f t ¢=当(1,),()x t f x Î-单调递增,当(,0),()x t f x Î单调递减有1,()x f x →-→-¥而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x Î>,所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点,即()f x 在(1,0)-上有唯一零点,所以1a <-,符合题意,综上得()f x 在区间(1,0),(0,)-+¥各恰有一个零点,a 的取值范围为(,1)-¥-.【例5】（2024届辽宁省凤城市高三下学期考试）已知函数()1e ln xf x x x x -=--.(1)求函数()f x 的最小值；(2)求证：()()1e e e 1ln 2xf x x x +>---éùëû.【解析】（1）因为函数()1e ln x f x x x x -=--，所以()()()11111e 11e x x f x x x x x --æö=+--=+-çè¢÷ø，记()11e,0x h x x x -=->，()121e 0x h x x-¢=+>，所以()h x 在()0,¥+上单调递增，且()10h =，所以当01x <<时，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在()0,1单调递减；当1x >时，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在()1,¥+单调递增，且()10f ¢=，所以()()min 10f x f ==.（2）要证()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû，只需证明：()11e ln 02xx x --+>对于0x >恒成立，令()()11e ln 2xg x x x =--+，则()()1e 0xg x x x x¢=->，当0x >时，令1()()e xm x g x x x=¢=-，则21()(1)e 0xm x x x =+¢+>，()m x 在(0,)+¥上单调递增，即()1e xg x x x=¢-在(0,)+¥上为增函数，又因为222333223227e e033238g éùæöæöêú=-=-<ç÷ç÷êøøëû¢úèè，()1e 10g =¢->，所以存在02,13x æöÎç÷èø使得()00g x ¢=，由()0200000e 11e 0x x x g x x x x ¢-=-==，得020e 1xx =即0201x e x =即0201x e x =即002ln x x -=，所以当()00,x x Î时，()1e 0xg x x x=¢-<，()g x 单调递减，当()0,x x ¥Î+时，()1e 0xg x x x=¢->，()g x 单调递增，所以()()()0320000000022min0122111e ln 2222x x x x x x g x g x x x x x -++-==--+=++=，令()3222213x x x x x j æö=++-<<ç÷èø，则()22153223033x x x x j æö=++=++>ç÷èø¢，所以()x j 在2,13æöç÷èø上单调递增，所以()0220327x j j æö>=>ç÷èø，所以()()()002002x g x g x x j ³=>，所以()11e ln 02xx x --+>，即()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû.1.（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()hx 零点的个数.2．（2024届河南省信阳市高三下学期三模）已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--ÎR (1)若()0f x ³恒成立，求a 的值；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21e 1x x ->-，求a 的取值范围.3．（2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考）已知函数()()1e x f x ax a a -=--ÎR .(1)当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围.4．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数()e sin x f x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.5．（2024届河北省张家口市高三下学期第三次模）已知函数()ln 54f x x x =+-．(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：3()25f x x>--．6．（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知()e 1xf x ax =--，a ÎR ，e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；(3)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.7．（2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷）函数()e 4sin 2x f x x l l =-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--ÎR .(1)求l 的值；(2)求()f x 在(0,)+¥上零点的个数.8．（2024年天津高考数学真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ³在()0,x Î+¥时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．9．（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数()ex axf x =，()sin cosg x x x =+.(1)当1a =时，求()f x 的极值；(2)当()0,πx Î时，()()f x g x £恒成立，求a 的取值范围.10．（2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练）已知函数()()1ln R f x a x x a x=-+Î.(1)讨论()f x 的零点个数；(2)若关于x 的不等式()22ef x x £-在()0,¥+上恒成立，求a 的取值范围.11．（2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设()21)e sin 3x f x a x =-+-（(1)当a =()f x 的零点个数.(2)函数2()()sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ³，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围12．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0x >时，()cos f x ax x ³恒成立，求实数a 的取值范围.13．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+Î.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.14．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数(1)若，，求曲线在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k 的最大值．15．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数.(1)判断函数零点的个数，并证明；(2)证明：.322()33f x x ax b x =-+1a =0b =()y f x =()()1,1f 0a b <<1ln 1x k f f x x +æöæö>ç÷ç÷-èøèø()1,x Î+¥21()e xf x x=-()f x 2e ln 2cos 0x x x x x --->。
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。
2019年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，7)tan 255°等于()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋答案 D解析tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.2．(2019·全国Ⅰ文，11)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则等于()A．6 B．5 C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.3．(2019·全国Ⅱ文，8)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B.C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.4．(2019·全国Ⅱ文，11)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.5．(2019·全国Ⅲ文，5)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为()A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．6．(2019·北京文，6)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．7.(2019·北京文，8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A．4β＋4cos βB．4β＋4sin βC．2β＋2cos βD．2β＋2sin β答案 B解析方法一如图①，图①设圆心为O，连接OA，OB，OP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β，∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB＝×2×2sin∠AOP＋×2×2sin∠BOP＋×2β×22＝2sin∠AOP＋2sin∠BOP＋4β＝2sin∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2(sin 2β·cos∠AOP＋cos 2β·sin∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin 2β·cos∠AOP－2cos 2β·sin∠AOP＋4β＝2(1－cos 2β)sin∠AOP－2sin 2β·cos∠AOP＋4β＝2×2sin2β·sin∠AOP－2×2sin β·cos β·cos∠AOP＋4β＝4sin β(sin β·sin∠AOP－cos β·cos∠AOP)＋4β＝4β－4sin β·cos(β＋∠AOP)．∵β为锐角，∴sin β>0.∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sin β. 方法二如图②，图②设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β.∵弓形AmB的面积是定值，∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大．∵△ABP底边AB长固定，∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可．由图可知，当AP＝BP时，满足条件，此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP＝×2β·22＋2××22·sin－＝4β＋4sin β.即为阴影区域面积的最大值．8．(2019·天津文，7)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f 等于()A．－2 B．－ C.D．2答案 C解析∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.又f(x)的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝A sin 2x.由题意可得g(x)＝A sin x，g＝，即A sin ＝，解得A＝2.故f(x)＝2sin 2x.∴f ＝2sin ＝.9．(2019·全国Ⅰ理，11)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③答案 C解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.10．(2019·全国Ⅱ理，9)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是() A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|答案 A解析A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.11．(2019·全国Ⅱ理，10)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．(2019·全国Ⅲ理，12)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f(x)在上单调递增；④ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④答案 D解析如图，根据题意知，x A≤2π<x B，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A≤2π<x B，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在上单调递增，所以③正确．13．(2019·天津理，7)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f 等于()A．－2 B．－ C.D．2答案 C解析由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以g(x)＝A sin .由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝A sin x，g＝A sin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f ＝2sin ＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，15)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．答案－4解析∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.2．(2019·全国Ⅱ文，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B ＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.3．(2019·天津文，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)A＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.4．(2019·浙江，14)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案解析在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD×＝，sin∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD·cos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC ＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.5．(2019·江苏，13)已知＝－，则sin的值是____________________．答案解析＝＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.6．(2019·全国Ⅱ理，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为________．答案6解析 方法一 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos，得c ＝2 ，所以a ＝4 ，所以△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝×4 ×2 ×sin＝6 .方法二 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos，得c ＝2 ，所以a ＝4 ，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝，所以△ABC 的面积S ＝×2 ×6＝6 .7．(2019·北京理，9)函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．【思路分析】用二倍角公式可得11()cos(4)22f x x =-+，然后用周期公式求出周期即可．【解析】：2()sin (2)f x x =，11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅲ文，18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin＝b sinA . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理， 得sin A sin＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos ≠0，故sin ＝，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝a . 由正弦定理，得a ＝＝＝＋. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故<a <2， 从而<S △ABC <.因此，△ABC 面积的取值范围是.2．(2019·北京文，15)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－，得sin B＝.由正弦定理，得sin A＝sin B＝.在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A＝.3．(2019·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3c sin B＝4a sin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，又sin C≠0，所以3b＝4a.又因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a，由余弦定理可得cos B＝＝＝－.(2)由(1)可得sin B＝＝，从而sin 2B＝2sin B cos B＝－，cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin 2B cos ＋cos 2B sin ＝－×－×＝－.4．(2019·浙江，18)设函数f(x)＝sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝2＋2的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.(2)y＝2＋2＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos.因此，函数的值域是.5．(2019·江苏，15)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.因此sin＝cos B＝.6．(2019·全国Ⅰ理，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.7．(2019·全国Ⅲ理，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin ＝b sinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解(1)由题设及正弦定理，得sin A sin＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，故cos ＝2sin cos .因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理，得a＝4＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.8．(2019·北京理，15)（13分）在ABC∆中，3a=，2b c-=，1 cos2B=-．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin()B C-的值．【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；（Ⅱ）sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-，根据正弦定理可求出sin C ，然后求出cos C ，代入即可得解．【解析】：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1cos 2B =-． ∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-， 7b ∴=，25c b ∴=-=；（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=， 由正弦定理有：sin sin c b C B =，∴5sin 2sin 7c B C b === b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，11cos 14C ∴=， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-111()142=--=． 【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．9．(2019·天津理，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 ＝ ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，又sin C ≠0，所以3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝ a ，c ＝ a ，由余弦定理可得cos B ＝ ＝＝－ . (2)由(1)可得sin B ＝ ＝， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－ ， 故sin ＝sin 2B cos ＋cos 2B sin＝－ × － × ＝－ .。
(完整版)新高考真题《函数的概念与基本初等函数》小题专题训练(含答案)
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
7．【2020年高考全国I卷理数】若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
13．【2020年高考天津】函数 的图象大致为
A B
CD
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
14．【2020年高考天津】设 ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选：D．
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
A．10名B．18名
C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者x名，
专题02 函数与导数热点问题(专项训练)-2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍(原卷版)
2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍
专题02 函数与导数热点问题（专项训练）
1.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋3在x＝－1和x＝2处取得极值.
(1)求f(x)的表达式和极值；
(2)若f(x)在区间[m，m＋4]上是单调函数，试求m的取值范围.
3.已知函数f(x)＝(ax2＋x)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；
(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解.
4.(2019·合肥一中质检)已知函数f (x )＝x ＋a e x . (1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x ).
5.已知函数f (x )＝e ax －ax －1.
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)设m 为整数，且对于任意正整数n (n ≥2).若(n ！)2
n （n －1）<m 恒成立，求m 的最小值.
6.(2019·信阳二模)已知函数f (x )＝4x 2＋1x
－a ，g (x )＝f (x )＋b ，其中a ，b 为常数. (1)若x ＝1是函数y ＝xf (x )的一个极值点，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x )有2个零点，f (g (x ))有6个零点，求a ＋b 的取值范围.。
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专题2函数测试题
命题报告：
1.高频考点：函数的性质（奇偶性单调性对称性周期性等），指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质，函数的零点与方程根。
2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查函数的性质以及指数函数、对数函数的性质图像等，函数的零点问题等，题目一般属于中档题。
3.重点推荐：10题，数学文化题，注意灵活利用所学知识解决实际问题。
一．选择题（本大题共12题，每小题5分）
1（2018•长汀县校级月考）下列四个函数中，在（0，+∞）为单调递增的函数是（）
A．y═﹣x+3 B．y=（x+1）2C．y=﹣|x﹣1| D．y=
【答案】B
2. 函数f（x）=+log3（8﹣2x）的定义域为（）
A．R B．（2，4]
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，4）D．（2，4）
【答案】：D
【解析】要使f（x）有意义，则；解得2＜x＜4；∴f（x）的定义域为（2，4）．故选：D．
3. （2018•宁波期末）函数的零点所在的大致区间是（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
【答案】：C
【解析】函数是（1，+∞）上的连续增函数，
f（2）=ln2﹣3＜0；f（3）=ln3﹣=ln＜0，f（4）=ln4﹣1＞0；
f（3）f（4）＜0，
所以函数的零点所在的大致区间为：（3，4）．
故选：C．
4.（2018 •赤峰期末）已知f（x）=，则下列正确的是（）
A．奇函数，在（0，+∞）上为增函数
B．偶函数，在（0，+∞）上为增函数
C．奇函数，在（0，+∞）上为减函数
D．偶函数，在（0，+∞）上为减函数
【答案】：B
【解析】根据题意，f（x）=，则f（﹣x）===f（x），则函数f （x）为偶函数；当x＞0时，f（x）=在（0，+∞）上为增函数；故选：B．
5.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x+1，则f（1）+g（1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】：B
【解析】由f（x）﹣g（x）=x3+x+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3﹣x+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），
得f（x）+g（x）=﹣x3﹣x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=﹣1．故选：B．
6. （2018春•吉安期末）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=﹣1，当x∈（0，1）时，f（x）=3x，则f（log3162）=（）
A．B．C．2 D．
【答案】：C
【解析】∵f（x+2）f（x）=﹣1，∴f（x+4）===f（x），可得函数f（x）是最小正周
期为4的周期函数．则f（log3162）=f（4+log32）=f（log32），∵当x∈（0，1）时，f（x）=3x，log32∈（0，1），∴f（log32）=2，故选：C．
7.定义在R上的偶函数f（x），满足f（2）=0，若x∈（0，+∞）时，F（x）=xf（x）单调递增，则不等式
F（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【答案】：B
【解析】∵x∈（0，+∞）时，F（x）=xf（x）单调递增，又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，∴函数y=F（x）=xf（x）是奇函数，且在（﹣∞，0）上也是增函数，
且f（2）=f（﹣2）=0，故不等式F（x）=xf（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜0，或x＞2}，即为（﹣2，0）∪（2，+∞），故选：B．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
【思路分析】（1）若的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；
（2）令，则函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化为：y=t2﹣2at+3，，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；
（3）假设存在，由题意，知解得答案．
【解析】：（1）∵，∴，令u=mx2+2x+m，则，当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不足题意；当m≠0时，若的定义域为R，
则，解得m＞1，
综上所述，m＞1 …（4分）
（2）=，x∈[﹣1，1]，令，
则，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当时，时，；
当时，t=a时，；
当a＞2时，t=2时，h（a）=y min=7﹣4a．
综上所述，…（10分）
（3），假设存在，由题意，知
解得，∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f
（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数，
．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【思路分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；
（2）先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数g（x）在区间上的所有上界构成的集合；
（3）问题转化为在[0，+∞）上恒成立，通过换元法求解即可．
【解析】：（1）因为函数g（x）为奇函数，
所以g（﹣x）=﹣g（x），即，
即，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=﹣1．…………3分
（3）由题意知，|f（x）|≤5在[0，+∞）上恒成立，﹣5≤f（x）≤5，．∴在[0，+∞）上恒成立．
∴
设2x=t，，，由x∈[0，+∞），得t≥1．
易知P（t）在[1，+∞）上递增，
设1≤t1＜t2，，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣7，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=3，
所以实数a的取值范围为[﹣7，3]．…………12分。