李委明数量关系讲义

辆、中型车 15 元/辆、小型车 10 元/辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是 5∶
6，中型车与小型车的数量比是 4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多 270 元，这天的
收费总额是（ ）。
A. 7280 元
B. 7290 元
C. 7300 元
D. 7350 元
【例 4】(江苏 2013B-87)甲乙丙三人同去商城购物，甲花的钱的 1/2 等于乙花的钱的
二、破题密钥
①2、4、8 整除及余数判定基本法则
1. 一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被 2（或 5）整除；
2. 一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被 4（或 25）整除；
3. 一个数能被 8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被 8（或 125）整除。
②3、9 整除及余数判定基本法则
万？( )
A. 35 万
A. 两个月持平
B. 3 月份比 1 月份高 4%
C. 1 月份比 3 月份高 4%
D. 3 月份比 1 月份低 4%
【例 6】（贵州 2012－40）某调查队男、女队员的人数比是 3∶2，分别为甲、乙、丙三
个调查小组。已知甲、乙、丙三组的人数比是 10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是 3∶
1，乙组中男、女队员的人数比是 5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是（ ）。
二、破题密钥
“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果， 还可以与其它方法进行结合使用。
三、例题精析
【例 1】（深圳 2013-47）小王的旅行箱密码为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而
售额是乙和丙销售额的 1.5 倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的 5 倍，已知乙的销售额是 56
万元，问甲的销售额是：（ ）
A. 140 万元
B. 144 万元
C. 98 万元
D. 112 万元
● 题型三：比例倍数
核心提示
若 a : b m : n (m, n互质) ，则说明 a 占 m 份，是 m 的倍数；b 占 n 份，是 n 的倍数；
【示例】∵7394 奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是
11 的倍数 ∴7394 不能被 11 整除
三、例题精析
● 题型一：直接倍数
【例 1】（上海 2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中 1/4 是 2007 年以前的国内外 发行的邮票，1/8 是 2008 年国内发行的，1/19 是 2009 年国内发行的，此外尚有不足 100 张 的国外邮票。则该人共有（ ）张邮票。
A. 9
B. 12
C. 15
D. 18
● 题型二：因子倍数
【例 3】（北京 2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工
厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？
A. 400
B. 420
C. 440
D. 460
【例 4】（2012 年 421 联考－61）某公司三名销售人员 2011 年的销售业绩如下：甲的销
后的公司中拥有多少比例的股份？（ ）
A. 9%
B. 10%
C. 11%
D. 12%
【例 5】（广州 2013-30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。
经对比发现，2 月份的居民满意度是 85 分，比 1 月份上升了 20%，3 月份的居民满意度又比
2 月份下降了 20%。则 3 月份的居民满意度和 1 月份相比（ ）。
浓度的多少倍？（ ）
A. 3/2
B. 4/3
C. 6/5
D. 7/6
核心提示 使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：什么样的量可以随便设，什么样的量不行？
总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这 样的量一般需要满足两个条件：
1. 首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小； 2. 其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。 上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人的速 度为 1，那么就必须依次满足两个条件： 1. 题目中没有提及任何速度的具体数字大小； 2. 题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可
二、破题密钥
在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”， 从而避免分数，简化计算。
三、例题精析
【例 1】（重庆 2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的 2
倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的 1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯
A. 4∶9
B. 5∶9
C. 4∶7
D. 5∶7
第 04 讲 比例假设
一、题型评述
我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方 便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。
然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意 假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。
以计算出速度具体大小的。 当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为 1 或者其他数字，就不 会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和 总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为 1，或者假设总价为 1，但不能同时做 这两件事情。
【例 2】（江苏 2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为
集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。问甲仓
库原来有多少个集装箱？
A. 33
B. 36
C. 60
D. 63
【例 5】（河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把
小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假
一、题型评述
如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果 的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计 算。这种方法又被为“设 1 法”或者“设 1 思想”。
我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问 题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。
1. 一个数能被 3 整除，当且仅当其各位数字和能被 3 整除；
2. 一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字和能被 9 整除。
③7 整除判定基本法则
1. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为 7 的倍数；
2. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为 7 的倍数。
【示例】∵362 末一位“2”的 2 倍与“36”差“32”不能被 7 整除 ∴362 不能被 7 整除
【示例】∵12047 末三位“047”与“12”差“35”能被 7 整除
∴12047 能被 7 整除
④11 整除判定基本法则
1. 一个数是 11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数；
数学运算
第 01 讲 直接代入
一、题型评述
数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准 确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当 容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题 时最大的误区之一。
1/3，乙花的钱的 3/4 等于丙花的钱的 4/7，结果丙比甲多花 93 元，则三人一共花的钱是
（ ）？
A. 432 元
B. 422 元
C. 429 元
D. 430 元
【例 5】（浙江 2013-57）一个总额为 100 万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来
完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为 1/2:1/3:1/4:1/6，请问甲分到的项目额为多少
后来小王又以最初的收购价格将其卖出。问小王在这台电视机交易中的利润率为（
）。
A. 13%
B. 17%
C. 20%
D. 27%
【例 4】（新疆 2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司 30%股份的陈先生在
合并后持有新公司股份的 12%，赵先生拥有甲公司 15%的股份和乙公司 5%的股份，他在合并
C. 80 吨
D. 120 吨
【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数），余数是商的一半，
则 A 的最大值是
A. 927
B. 928
C. 929
D. 990
【例 4】（山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓
库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的
A. 720
B. 810
C. 900
D. 1080
【例 2】（北京 2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的 40%，现商场决定 将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了 54 元。问该商品原来的售价是多少元？
A. 324
B. 270
C. 135
D. 378
【例 3】（上海 2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车 30 元/