常用分布函数的数学期望与方差及级数

例1 、断调和级数

1111123n n

==++++∑∞1

……n 的敛散性。解 因为 1

111123n n ==++++∑∞

1

……n 可以按如下加括号，得，级数

....)161

15114113112111110191()81716151()4131()211(++++++++++++++++而上述加括号后的级数的各项大于级数

....212121.......)161161161161161161161161()81818181()4141(21+++=+++++++++++++++的对应项，又后一级数

112n =∑∞是发散的，所以原调和级数11n n

=∑∞

是发散的。

例2 、判断级数

231111123n n n

==++++∑∞

n

1

……n 的敛散性。 解 因为n 1n ≤n-112而等比级数1112n n -=∑∞是收敛的，且111

2

n n -=∑∞

=2，所以是收敛的。

例3 、察∑∞

=+-12

1

1n n n 的收敛性。解：由于当2≥n 时，有222)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑

∞

=-22

)

1(1n n 收敛，故∑∞

=+-1211n n n 收敛。 例4、级数

∑n

1

的发散性，可知级数

∑n

1

sin 是发散的。 增加例题：级数

∑n 1s i n = ++++n

1sin 21sin 1sin 是发散的。为111

sin

lim =∞→n

n n 根据推论以及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n 1sin 也发散。

例

5、讨论级数

+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)]

1(41[951)]

1(32[852951852515212n n 的收敛性。由于 ,143

4132lim lim

1<=++=∞→+∞→n n u u n n

n n 根据上述推论级数是收敛的。

例6、 讨论级数

)0(1

>∑-x nx

n 的收敛性。

解 因为()(),1

11

1∞→→+⋅=+=-+n x n n x nx x n u u n n n n 根据推论１，当10<x 时级数发散；

而当1=x 时，所考察的级数是

∑n ,它显然也是发散的。 若(9)中1=q ，这时用比式判别法不能对级数的敛散性

作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的。如级数

∑21

n 和

∑n 1

,它们的比式极限都是

(),n u u n

n ∞→→+11

但∑

2

1n 是收敛的(§１例4)，而∑n 1却是发散的。若某级数的(9)式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别。

例7、研究级数 ++++++++-n n n n

c b c

b c b c b bc b 1

2

2

2

1 (10)的敛散性，其中c b <<0。

解 由于

⎩⎨

⎧=+n c n b u u n n ,,1为偶数为奇数,

故有 ,lim ,lim 11b u u c u u n n n n

n n ==+∞→+∞→ 于是，当1b 时，级数(10)发散；但当c b <<1，比式判别法无法判断级数(10)的敛散

性。

例8、 讨论级数 ∑-+n n 2)1(2的敛散性。解：由于 (),2

1212lim lim =-+=∞→∞→n

n

n n n

n u 所以级数是收敛的。若在(13)式中l =1，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断．例如，对,112∑∑n n 和都有1→n n

u ()∞→n 但∑21n 是收敛的，而

∑n 1

却是发散的。若(13)式的极限不存在，则可根据根式n n u 的上极限来判断。

例9、讨论下列级数（1） ∑∞

=11

n p n ，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞

=3)

ln )(ln (ln 1n p

n n n 的敛散性。解 （1）函数()p x x f 1

=

，当0>p 时在[]+∞,1上是非负减函数。知道反常积分⎰+∞1p x

dx 在1>p 时收敛，1≤p 时发散．故由定理4得∑p x

1

去当1>p 时收敛，当10≤

论知道它也是发散的。 （2）研究反常积分

⎰

+∞

2

)(ln p

x x dx

，由于⎰⎰⎰+∞+∞+∞==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p u du x x d x x dx 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；根据定理4知级数(2)在1>p 时收敛，1≤p 时发散。 对于(3)，考察反常积分

⎰

∞

3

)

ln )(ln (ln p

x x x dx

，同样可推得级数(3)在1>p 时收敛，在1≤p 时发散。

例10、证明级数∑

∞

=+1

2

21

n n 是收敛的。 证 由于2

22n n >+，所以22

121n n <+，而级数∑∞

=121n n

为p=2 的p-级数且收敛， 故由比较审敛法，级数∑∞

=+1221

n n 是收敛的。

例11、判别下列级数∑∞

=+1

222n n n

的敛散性。

分析 这是一个典型的例题，通项2

22+n n

是关于n 的一个有理分式。应注意分母和分子中n 的最高幂次之差，通

项为关于n 的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞

=11

n n

做比较。

解 n n n n n n n 1322222

222⋅=++≥+，而级数∑∞=⋅1)132(n n 与∑∞

=1

1

n n 有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞

=+1

222n n n

是收敛的。 在例中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。