最新5高中数学导数的应用之极值和最值汇总

5高中数学导数的应用之极值和最值

利用导数求函数的极值与最值 内容再现

1、函数的单调性与其导数正负的关系：

在某个区间(),a b 内，如果 ，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；在某个区间(),a b 内，

如果 ，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；若恒有 ，则函数()y f x =在这个区间内是常函数。

2、利用函数判断函数值的增减快慢： 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。

3、判断函数极大、极小值的方法: 解方程()'00f x =，当()'00f x =时： （1）如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么()0f x 是极大值，0x 是极大值点。

（2）如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么()0f x 是极小值点。 4、（1）函数()f x 的闭区间[],a b 上的最值： 如果在闭区间[],a b 上函数

()y f x =的图像是一条 曲线，则该函数在[],a b 上一定能取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得。

（2）求函数()y f x =在区间[],a b 上的最值的步骤：求函数()y f x =在(),a b 的 ；将函数()y f x =的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 三、巩固练习

1、 已知函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，且),(0b a x ∈，则

=--+→h

h x f h x f h )()(lim 000 ( ) (A))('0x f (B))('20x f (C))('20x f - (D)0 2、函数x x y ln =在区间 ( )

(A) )1,0(e 上单调递减 (B) ),1

(+∞e

上单调递减

(C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增

3、已知a x x x f ++=233)()(R a ∈在]33[，-上有最小值3，则在]33[，-上， )(x f 的最大值是

4、已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中

,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；

（II ）求()f x 的单调区间；

（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值

五、典型例题

1、一个物体的运动方程为21s

t

t 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么

物体在3秒末的瞬时速度是（ ）

A 、 7米/秒

B 、6米/秒

C 、 5米/秒

D 、 8米/秒

D

C

x

O

A B

y 2、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm

3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 （ ） A ．长102米，宽

51

5000

米 B ．长150米，宽66米 C ．长宽均为100米

D ．长100米，宽3

200

米

4、过抛物线y=x 2-3x 上一点P 的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A ，

B 两点，则△AOB 的面积是

5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．

6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5

元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)

7、某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。

(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；

(2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。

8、用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

9、某

轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，

已知轮船平均载客人数为400

人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．

10、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比．

(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？ (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

11、用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？

六、课堂练习

1、一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=4

1t 4

-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ）

A 4s 末

B 8s 末

C 0s 与8s 末

D 0s,4s,8s 末