第六章 平面连杆机构的运动分析和设计2

❖(1) 平面连杆机构运动设计的内容包括
机构的类型选择； 机构中各个构件的运动尺寸设计。
本节：机构中各个构件的运动尺寸设计
运动尺寸设计：求杆长、固定铰链点。
❖(2) 如何求杆长
杆长：由铰链点确定
C
先求铰链点，后求杆长 b 2
❖(3) 建立设计方程 B
铰链点为未知数
1 a1
A
c
3
d 4
D
❖(4)如何建立设计方程
布尔梅斯特
布尔梅斯特（1840---1927）是一位数学家，主要研究射影几 何学。1876年有人提出了实现直线轨迹的机构设计问题和设 计方法，引起了布尔梅斯特的研究兴趣，使得他开始考虑在 一个给定的四杆机构连杆平面上是否存在轨迹为直线的点， 同时，他还开始研究更为一般的问题：任意给出的一系列平 面运动刚体的离散齐次位置是否在一个圆上。对于刚体的四 个位置问题，他提出并证明了圆点曲线和圆心点曲线的主要 特性，指出：五个刚体位置的齐次点在一个圆上。他立即将 这个理论应用于机构的设计问题，提出了确定机构杆长的方 法，并获得了成功。1888年，布尔梅斯特将研究成果总结， 出版了一本教科书。此教科书成为机构学非常重要的著作之 一，被许多学者研究和引用。
∠B1P12A=∠ C1P12D= 12 /2 连杆BC与机架AD对转动极P12所张的角度相等：
∠B1P12C1=∠ AP12D
比较：图解法与半角转动法
❖图解法（解法一）：优点是比较直观简
单，但在给定圆心点A、D的位置的情况 下确定圆点B、C就比较困难；
❖半角转动法（解法二）：无论是在哪一
种情况下作图都比较简单。
+ cos1i -sin 1i sin1i +cos1i
得刚体运动位移矩阵方程：
XB1 – XP1 YB1 – YP1
XP1
YP1
XB1 YB1
XBi
cos1i -sin1i XPi –XP1cos1i +YP1sin1i XB1
YBi = sin1i +cos1i YPi –XP1sin1i –YP1cos1i YB1
-sin 1i +cos1i
XB1 - XA YB1 - YA
❖怎样求连杆位置之间的的关系?
(10)
y B1 Bi B2 B3
1 i C1
A
O
C2 C3
B1 Bi B2
D
B3
x
连杆位置关系
C2 C3
分析二：讨论一般性
❖1. 刚体运动的位移矩阵方程 y
假设：
B1为：XB1、 YB1 Bi为：XBi 、 YBi P1为：XP1、 YP1 Pi为：XPi 、 YPi
平面连杆机构设计内容：
❖ 机构的类型选择。 ❖ 机构中各个构件的运动尺寸设计
1、机构的类型选择
多自由度机构 单自由度机构
多杆机构(六杆或八杆)
铰链四杆机构 四杆机构
带移动副的机构
2、机构中各个构件的运动尺寸设计
机构的运动尺寸：
是指对机构的运动有影响的尺寸 运动副之间的距离（如杆长） 固定铰链点的位置 滑块导路的方向
转动极的概念
刚体从第一位置运动到第二
位置，可以看成是绕着转动极 P12的转动。或刚体绕着转动极 P12从第一位置运动转动到第二 位置。
转动极P12 就是a12和d12的交点
设两个连杆位置之间的夹角是12
P12B1C1 P12B2C2
B1P12B2 C1P1C 22 12
B1P12AA1P 2B2
C1P12DD1P C 22
补充知识：Burmester理论
布尔梅斯特
生平简介
Burmester(1840.5.5～1927.4.20),德国人，几 何和运动学家。花匠之子。14岁进入机械厂。 因其聪明，被Polytechnical Preparatory School 录取，后以几何方面的博士论文获得博 士学位，在机构综合和速度分析上有重要贡献。
i
YB1 = YP1 + LPB sin 1
XBi = XPi + LPB cos i
P1 （2′）
1
YBi = YPi + LPB sin i
O
x
将 1i =i - 1 代入上式（2’）：
XBi = XPi + LPB cos (1i + 1 ) YBi = YPi + LPB sin (1i + 1 )
12 2
半角转动法
转动极: 转动极P12 就是a12和d12的交
点
动画演示
等视角定理
等视角定理：铰链四杆机构 ABCD中，两连架杆AB、CD 对转动极P12所张的角度相等 （或互为补角），并等于连杆 转角的一半；连杆BC与机架 AD对转动极P12所张的角度相 等（或互为补角）。
如图：两连架杆AB、CD对转 动极P12所张的角度相等并等 于连杆转角的一半：
1 i C1
A
C2 C3
D
x
XB1 = XA + LAB cos 1 YB1 = YA + LAB sin 1
(2)
XBi = XA + LAB cos i
(3)
YBi = YA + LAB sin i
假设：1i =i - 1
XBi = XA + LAB cos i = XA + LAB cos (1i + 1 )
第六章 平面连杆机构的运动分析和设计（2）
.
6.6 平面连杆机构的运动设计
设计要求通常用在输
出构件（连杆或连架杆） 上的点或直线的一系列有 序的位置来描述。这些点 或直线位置叫做精确点或 精确位置。
精确点或精确位置的含义是：必须保证
设计出来的机构能够到达这些点或位置，而 在精确点或精确位置之间的机构的运动情况 却不能保证。
y B1 Bi
1 i
A
O
= XA + LAB (cos1i cos 1-sin 1i sin 1 )
同理：
YBi =YA + LAB (sin1i cos 1+cos1i sin 1 )
x (4)
(5)
yB1 Bi
1
i
OA
x
由式ห้องสมุดไป่ตู้4）、(5)
y B1 Bi
B2 B3
1 i C1
A
O
C2 C3
D
可得： PiBi =
1i =i - 1
XBi – XPi YBi – YPi
P1 O
； P1B1 =
B1 Pi
1
XB1 – XP1 YB1 – YP1
Bi
i
x
分析二：讨论一般性
已知P点的位置，求解B点； 建立B1与Bi之间的关系。
Bi
XB1 = XP1 + LPB cos 1
y （1′）
B1 Pi
1
0
0
1
1
(8′) （6-32）
cos1i -sin1i XPi –XP1cos1i +YP1sin1i 令 D1i = sin1i +cos1i YPi –XP1sin1i –YP1cos1i
=
cos1i sin1i
-sin 1i +con1i
LAB cos 1 LAB sin 1
(8)
y B1 Bi
由式（2）得：
B2
LAB cos 1 = XB1 - XA LAB cos 1 = YB1 - YA
（9）
B3 1 i C1
将式（9）代入（8）得： O
A
XBi – XA YBi – YA
=
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
得： PiBi = RΘ1i P1B1
XB1 – XP1 YB1 – YP1
(6′)
(7′) （6-31′）
由式（6′）可得：
XBi YBi
=
XPi
YPi
+
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
=
XPi
YPi
–
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
ABi =
XBi – XA YBi – YA
可得：
； AB1 =
XB1 – XA YB1 – YA
ABi = RΘ1i AB1
(12) （6-31′）
(10) C2
C3
D
x
小 节:
❖矢量旋转方程式(10)给出了连架杆位置 i与
位置1之间的关系；
XBi – XA YBi – YA
=
cos1i sin1i
D
根据上式一般取：A、D、B1、C1为未知数。 一般取第一个位置为未知数,即B1、C1
❖ (5) B1、 B２、 B３之间的关系？
位移矩阵法：求B1、B２、B３之间的关系
求B1与B的其他位置的关系
令： B1为：XB1、 YB1
y B1
Bi为：XBi 、 YBi
A为：XA 、 YA
分析一
O
Bi
B2 B3
Burmester理论
当给定刚体三个位置，刚体平面上任意一点都
为圆点
当给定刚体四个位置时，圆点和圆心点为三次曲
线，称为Burmester曲线
当给定刚体五个位置时，设计问题的解是确定
的：圆点可能有4个、或者2个，或者没有解！
结论：
铰链四杆机构最多可实现五个连杆精确位置，即：铰 链四杆机构实现连杆精确位置的最大数目为 5
D
❖连杆上P、Q与铰链点A、B、C、D之间的
关系
已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、
P3Q3。
Q
C
P
B
C
b2 B 1 a1
A
c
3
d 4
D
P、Q、B、C 为同一个构件上的点，无相对运动。
Q1
P1
B1
C1
求解过程：
假设：铰链B、C
图解法求解过程：
Q1
D
P1
B1
C1
A
求解结果：四杆机构：A B1C1 D
x
XBi =XA + LAB (cos1i cos 1-sin 1i sin 1 )
(6)
YBi =YA + LAB (sin1i cos 1+cos1i sin 1 )
得：
XBi YBi
=
XA
YA
+
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
LAB cos 1 LAB sin 1
(7)
或： XBi – XA YBi – YA
6.6.2平面连杆机构运动设计的位移矩阵法
位移矩阵法
❖ 是解析法的一种； ❖ 基本思想：根据给定机构运动设计要求，
建立机构设计的数学模型，即设计方程， 再利用计算机进行求解；
❖ 设计关键：建立设计方程，求解运动参
数。
讨论：如何建立设计方程？
讨论：如何建立设计方程？
确定未知数、建立未知数之间的关系
=
cos1i sin1i
-sin 1i +con1i
XB1 - XA YB1 - YA
令：
RΘ1i =
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
平面矢量 旋转矩阵
由式（10）得：
C2 C3
D
x (10)
不含 杆长
XBi – XA YBi – YA
= RΘ1i
XB1 – XA YB1 – YA
试设计一偏置曲柄滑块机构（如图
所示），设已知其滑块的行程速比系 数K=1.5，滑块的冲程H=40mm， 偏距e=15mm
设计步骤
例6-6 设计一个铰链四杆机构ABCD，实
现连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。
分析过程
C
b2
c
❖机构的类型：
铰链四杆机构
B 1 a1
A
3
d 4
D
❖机构中各个构件的运动尺寸设计
已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q
问题：设计铰链四杆机构，求杆长、固定铰
链点位置。
❖ 怎样求杆长？
求铰链点，由铰链点求杆长
❖ 怎样求铰链点？
固定铰链点：无位置变化 其他铰链点：运动轨迹为圆 C
b2 B 1 a1
A
c
3
d
D
4
讨论：固定铰链与活动铰链的关系
B1
A
B2 B3
C1
C2 C3
多自由度机构的运动设计内容：
机构的运动尺寸 原动件的运动控制
单自由度机构的运动设计内容：
函数发生 ：连架杆之间实现一些给定的运动关系 刚体导引 ：连杆实现一些给定的刚体位置 轨迹生成 ：连杆实现一些给定的刚体上点的轨迹
6.6.1 连杆机构运动设计的图解法
例6-5
设计一个曲柄摇杆机构ABCD，要 求机构能够实现给定的行程速比系 数K，并且已知摇杆的长度及其摆 角。
（3′）
由式（3′）得：
XBi YBi
=
XPi
YPi
+
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
由式（1′）得：
LPB cos 1 = XB1 – XP1 LPB cos 1 = YB1 – YP1
LPB cos 1 LPB sin 1
(4′)
（5′）
将式（5′）代入（3′）得：
XBi – XPi YBi – YPi
(11)
讨论: 由式（10）引起的思考
XBi – XA YBi – YA
=
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
XB1 - XA YB1 - YA
❖式（10）建立了杆件
AB位置 i与位置1之间的关 系；
y B1
Bi B2
B3
❖式（10）也称为矢量旋
转方程。
1 i C1
由矢量：
A
O
分析过程：
❖ 机构类型：铰链四杆机构
曲柄摇杆机构：最短杆为连架杆
C
b2 B
1 a 1
A
c
3
d D
4
❖ 机构中各个构件的运动尺寸设计
已知：摇杆的长度
CD、摆角φ及行程速 比系数K
问题：设计曲柄摇
杆机构，求杆长、固 定铰链点位置。其中， 最短杆为连架杆
动画链接
作图过程
设计步骤 过程回放 结果校验
思考一下
杆长不变！
(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2 （i=2,3,...,n) (1)
(xCi-xD)2+(yCi-yD)2=(xC1-xD)2+(yC1-yD)2
讨论:
B1
B2
C2
C3
B1、 B２、B３哪个为未知数？
B3
B1、 B２、 B３之间的关系？
C1
A