10材料力学课程教案第4次课
材料力学教案
材料力学教案教案标题：材料力学教案教案目标：1. 理解材料力学的基本概念和原理。
2. 学习力学性能测试方法和实验技术。
3. 分析和解决材料力学问题。
教案步骤：步骤1：导入（5分钟）a. 引入材料力学的概念和重要性。
b. 激发学生对材料力学的学习兴趣。
步骤2：讲解基本概念（15分钟）a. 解释力学的基本原理和定义。
b. 介绍材料力学的相关概念，如力、应力、应变等。
c. 解释不同材料的力学性能和特征。
步骤3：示范实验（20分钟）a. 展示常见的材料力学实验仪器和装置。
b. 演示材料力学实验的步骤和操作技巧。
c. 强调实验安全和正确操作的重要性。
步骤4：实践练习（25分钟）a. 提供一些练习题，让学生应用所学知识解决问题。
b. 指导学生使用适当的公式和方法计算力学性能。
c. 鼓励学生分组合作，共同解决复杂问题。
步骤5：讨论和总结（10分钟）a. 引导学生讨论他们的解决方案和思路。
b. 提供反馈和建议，帮助学生改进解决问题的方法。
c. 总结本节课的重点和要点。
步骤6：作业布置（5分钟）a. 分发相关的阅读材料或作业题目。
b. 强调完成作业的重要性，并确定截止日期。
教案评估：1. 学生参与度：观察学生是否积极参与课堂活动和讨论。
2. 解决问题的能力：评估学生在练习和讨论中解决问题的能力。
3. 完成作业：评估学生是否按时完成作业，并分析其质量。
教学资源：1. 材料力学教材和参考书籍。
2. 材料力学实验仪器和装置。
3. 练习题和作业材料。
教学拓展：1. 引导学生进行小组研究项目，探索和应用材料力学的实际应用。
2. 组织学生参观相关的实验室或企业，了解材料力学的实际应用场景。
备注：以上教案是一个简化版本，可根据实际教学需要进行调整和补充。
材料力学教案
材料力学教案材料力学是力学的一个重要分支，它研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律。
在工程实践中，材料力学的理论知识对于材料的选择、设计和加工具有重要指导作用。
本教案将从材料的应力、应变、弹性模量、屈服强度等基本概念入手，系统介绍材料力学的相关知识，帮助学生掌握材料力学的基本原理和应用技能。
一、材料的应力和应变。
材料在受力作用下会产生应力和应变，应力是单位面积上的力，应变是材料单位长度上的形变。
材料的应力和应变之间存在着一定的关系，可以通过应力-应变曲线来描述。
了解材料的应力和应变特性对于材料的选择和设计至关重要。
二、材料的弹性模量。
材料的弹性模量是衡量材料抵抗变形能力的重要参数，它反映了材料在受力后的变形程度。
不同材料的弹性模量不同，对于工程材料的选择和设计具有重要的指导意义。
学生需要掌握不同材料的弹性模量及其在工程实践中的应用。
三、材料的屈服强度。
材料的屈服强度是材料在受力作用下发生塑性变形的临界应力值，它是衡量材料抗拉伸能力的重要参数。
了解材料的屈服强度有助于合理选择材料并预测材料在受力下的变形情况，对于工程结构的设计和安全具有重要意义。
四、材料的断裂韧性。
材料的断裂韧性是材料抗破坏能力的重要指标，它反映了材料在受力作用下的抗破坏能力。
了解材料的断裂韧性有助于预测材料在受力下的破坏模式，为工程结构的设计和安全提供重要参考。
五、材料的疲劳特性。
材料在长期受到交变应力作用下会发生疲劳破坏，了解材料的疲劳特性对于预防疲劳破坏具有重要意义。
学生需要了解材料的疲劳寿命、疲劳极限等参数，并掌握疲劳寿命预测的方法和技术。
六、材料的应用。
材料力学的理论知识在工程实践中具有广泛的应用，包括材料的选择、设计、加工和使用等方面。
学生需要通过实际案例分析和工程实践来应用所学的材料力学知识，提高解决工程问题的能力。
七、教学方法。
本教案将采用理论讲解、案例分析和实验操作相结合的教学方法，通过理论与实践相结合，帮助学生深入理解和掌握材料力学的相关知识。
材料力学教案(全套)
第一章绪论一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴了解材料力学的任务和研究内容；(2) 了解变形固体的基本假设；(3) 构件分类，知道材料力学主要研究等直杆；(4)具有截面法和应力、应变的概念。
2、教学内容(1) 构件的强度、刚度和稳定性概念，安全性和经济性，材料力学的任务；(2)变形固体的连续性、均匀性和各向同性假设，材料的弹性假设，小变形假设；(3)构件的形式，杆的概念，杆件变形的基本形式;(4)截面法，应力和应变。
二、重点与难点重点同教学内容，基本上无难点。
三、教学方式讲解，用多媒体显示工程图片资料，提出问题，引导学生思考，讨论。
四、建议学时1～2学时五、实施学时六、讲课提纲1、由结构与构件的工作条件引出构件的强度、刚度和稳定性问题。
强度：构件抵抗破坏的能力；刚度：构件抵抗变形的能力；稳定性：构件保持自身的平衡状态为。
2、安全性和经济性是一对矛盾，由此引出材料力学的任务。
3、引入变形固体基本假设的必要性和可能性连续性假设：材料连续地、不间断地充满了变形固体所占据的空间；均匀性假设：材料性质在变形固体内处处相同；各向同性假设：材料性质在各个方向都是相同的。
弹性假设：材料在弹性范围内工作。
所谓弹性，是指作用在构件上的荷载撤消后，构件的变形全部小时的这种性质；小变形假设：构件的变形与构件尺寸相比非常小。
4、构件分类杆，板与壳，块体。
它们的几何特征。
5、杆件变形的基本形式基本变形：轴向拉伸与压缩，剪切，扭转，弯曲。
各种基本变形的定义、特征。
几种基本变形的组合。
6、截面法，应力和应变截面法的定义和用法；为什么要引入应力，应力的定义，正应力，切应力；为什么要引入应变，应变的定义，正应变，切应变。
第二章轴向拉伸与压缩一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴掌握轴向拉伸与压缩基本概念；⑵熟练掌握用截面法求轴向内力及内力图的绘制；⑶熟练掌握横截面上的应力计算方法，掌握斜截面上的应力计算方法；⑷具有胡克定律，弹性模量与泊松比的概念，能熟练地计算轴向拉压情况下杆的变形；⑸了解低碳钢和铸铁，作为两种典型的材料，在拉伸和压缩试验时的性质。
《材料力学》课程教案1
《材料力学》课程教案1（一）轴向拉伸或压缩时的变形教学安排 ● 新课引入工程当中的构件要满足强度、刚度和稳定性的要求。
之前学习了轴向拉伸或压缩时杆的内力，应力，也就是强度问题。
今天转而讨论刚度问题。
工程当中构件因不满足刚度要求而失效的例子比比皆是，所谓刚度就是构件抵抗变形的能力，即一根杆件在设计好了之后，在正常的使用情况下，不能发生太大的弹性变形。
要想限制变形，首先应计算出变形。
如何计算？● 新课讲授一、纵向变形 （一）实验：杆件在受轴向拉伸时，在产生纵向变形的同时也产生横向变形。
纵向尺寸有所增大，横向尺寸有所减少。
思考：如图所示，杆件的纵向变形（axial deformation ）的大小？ 实验结论：F l ∝∆、l l ∝∆、A l 1∝∆AlF l ⋅∝∆⇒ 需引入比例常数，方可写成等式。
比例常数？ （二）推导：杆件原长为l ，受轴向拉力F 之后，杆件长度由l 变成l 1，杆件纵向的绝对变形l l l -=∆1。
为了消除杆件长度对变形的影响，引入应变的概念ε。
当变形是均匀变形时，应变等于平均应变等于单位长度上的变形量，因此l l∆=ε。
学过的有关于ε的知识，即拉伸压缩的胡克定律（Hook’s law ）：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，写成表达式即：εσ⋅=E )(p σσ<，σ（stress)，ε(strain)。
杆件横截面上的应力：AF A F N ==σ 将应力和应变两式代入胡克定律中，得到：l lE AF ∆⋅=结论：纵向变形l ∆的表达式：EAFll =∆ )(p σσ< ——胡克定律（重点）含义：①E ——弹性模量，反映材料软硬的程度。
单位MPa 。
②在应力不超过比例极限时，杆件的伸长量l ∆与拉力F 成正比，与杆件的原长l 成正比，与弹性模量E 和横截面积A 成反比。
EA ——抗拉刚度，EA 越大，变形越小。
③两个胡克定律，一个是描述应力和应变的关系，一个是表示力和变形的关系，但本质上都是一样的。
材料力学教案
材料力学教案材料力学是工程学和材料科学中的重要基础学科，它研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律。
本教案将介绍材料力学的基本概念、理论模型和应用技术，帮助学生全面理解材料力学的基本原理和应用方法。
一、材料力学基本概念。
材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科。
它包括静力学、动力学和弹性力学等内容，主要研究材料的应力、应变、弹性模量、屈服强度、断裂韧性等力学性能。
二、材料力学理论模型。
1. 应力分析。
材料在外力作用下会产生内部应力，主要包括拉伸应力、压缩应力、剪切应力等。
应力分析是材料力学的重要内容，通过分析应力分布规律可以预测材料的破坏形式和破坏条件。
2. 应变分析。
材料在外力作用下会发生变形，主要包括弹性变形和塑性变形。
应变分析是材料力学研究的重点之一，通过分析应变规律可以评估材料的变形能力和变形稳定性。
3. 弹性模量。
材料在受力时会产生弹性变形，弹性模量是衡量材料抗弹性变形能力的重要参数。
不同材料的弹性模量不同，可以通过弹性模量来评估材料的弹性性能。
4. 屈服强度。
材料在受力时会产生塑性变形，屈服强度是衡量材料抗塑性变形能力的重要参数。
不同材料的屈服强度不同，可以通过屈服强度来评估材料的塑性性能。
5. 断裂韧性。
材料在受力时会产生断裂现象，断裂韧性是衡量材料抗断裂能力的重要参数。
不同材料的断裂韧性不同，可以通过断裂韧性来评估材料的断裂性能。
三、材料力学应用技术。
1. 材料力学测试。
材料力学测试是评估材料力学性能的重要手段，包括拉伸试验、压缩试验、弯曲试验、冲击试验等。
通过测试可以获取材料的应力-应变曲线和力学性能参数，为材料设计和选择提供依据。
2. 材料力学模拟。
材料力学模拟是预测材料力学性能的重要手段，包括有限元分析、分子动力学模拟、离散元法等。
通过模拟可以预测材料的应力分布、应变分布和破坏形式，为材料设计和优化提供参考。
3. 材料力学设计。
材料力学设计是根据材料力学性能进行工程设计的重要手段，包括材料选择、结构设计、寿命评估等。
材料力学基础教案
材料力学基础教案一、课程目标本课程旨在为学生提供材料力学的基础知识，使学生理解材料在受力情况下的行为和性能，掌握材料力学的基本理论和分析方法，能够解决简单的工程力学问题，并为后续的专业课程和实际工程应用打下坚实的基础。
二、课程内容（一）绪论1、材料力学的任务和研究对象介绍材料力学在工程中的地位和作用明确研究对象为杆件2、基本假设连续性假设均匀性假设各向同性假设（二）轴向拉伸与压缩1、内力与截面法介绍内力的概念详细讲解截面法求内力的步骤2、轴力图绘制轴力图的方法和要点通过实例进行练习3、应力正应力和切应力的概念应力的计算方法4、胡克定律胡克定律的表达式弹性模量和泊松比的概念（三）剪切与挤压1、剪切的实用计算剪切面和剪力的确定剪切强度条件2、挤压的实用计算挤压面和挤压力的确定挤压强度条件（四）扭转1、外力偶矩的计算功率、转速与外力偶矩的关系2、扭矩与扭矩图扭矩的计算扭矩图的绘制3、圆轴扭转时的应力和变形横截面上的切应力分布规律扭转角的计算（五）弯曲内力1、梁的分类和受力特点简支梁、悬臂梁、外伸梁集中力、集中力偶、分布载荷2、剪力和弯矩剪力和弯矩的计算剪力方程和弯矩方程3、剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图的方法和规律（六）弯曲应力1、纯弯曲时的正应力正应力的分布规律和计算公式2、横力弯曲时的正应力考虑切应力影响的修正3、弯曲切应力切应力的分布规律和计算公式（七）弯曲变形1、挠曲线方程挠曲线的近似微分方程2、用叠加法求梁的变形常见简单载荷下梁的变形叠加原理的应用（八）应力状态与强度理论1、一点的应力状态主应力和主平面的概念2、平面应力状态分析解析法和图解法3、强度理论四种常用强度理论及其应用（九）组合变形1、组合变形的概念和类型拉伸（压缩）与弯曲的组合扭转与弯曲的组合2、组合变形的强度计算分别计算各基本变形下的应力，然后进行叠加（十）压杆稳定1、压杆稳定的概念失稳现象和临界压力2、细长压杆的临界压力欧拉公式3、压杆的稳定性计算安全系数法三、教学方法1、课堂讲授讲解基本概念、原理和公式，通过实例加深学生的理解。
材料力学性能教案
材料力学性能教案第一章：材料力学性能概述教学目标：1. 理解材料力学性能的概念及其重要性。
2. 掌握材料力学性能的主要指标。
3. 了解不同材料的力学性能特点。
教学内容：1. 材料力学性能的概念：定义、重要性。
2. 材料力学性能的主要指标：弹性模量、屈服强度、抗拉强度、韧性、硬度等。
3. 不同材料的力学性能特点：金属材料、非金属材料、复合材料等。
教学活动：1. 引入讨论：为什么了解材料的力学性能很重要？2. 讲解材料力学性能的概念及其重要性。
3. 通过示例介绍不同材料的力学性能特点。
4. 练习计算材料力学性能指标。
作业：1. 复习材料力学性能的主要指标及其计算方法。
2. 选择一种材料，描述其力学性能特点，并解释其在实际应用中的作用。
第二章：弹性模量教学目标：1. 理解弹性模量的概念及其物理意义。
2. 掌握弹性模量的计算方法。
3. 了解弹性模量在不同材料中的变化规律。
教学内容：1. 弹性模量的概念：定义、物理意义。
2. 弹性模量的计算方法：胡克定律、应力-应变关系。
3. 弹性模量在不同材料中的变化规律：金属材料、非金属材料、复合材料等。
教学活动：1. 复习上一章的内容，引入弹性模量的概念。
2. 讲解弹性模量的计算方法，并通过示例进行演示。
3. 通过实验或示例观察不同材料的弹性模量变化规律。
作业：1. 复习弹性模量的概念及其计算方法。
2. 完成弹性模量的计算练习题。
第三章：屈服强度与抗拉强度教学目标：1. 理解屈服强度与抗拉强度的概念及其物理意义。
2. 掌握屈服强度与抗拉强度的计算方法。
3. 了解屈服强度与抗拉强度在不同材料中的变化规律。
教学内容：1. 屈服强度与抗拉强度的概念：定义、物理意义。
2. 屈服强度与抗拉强度的计算方法：应力-应变关系、极限状态方程。
3. 屈服强度与抗拉强度在不同材料中的变化规律：金属材料、非金属材料、复合材料等。
教学活动：1. 复习上一章的内容，引入屈服强度与抗拉强度的概念。
材料力学电子教案
材料力学电子教案第一章：材料力学概述1.1 材料力学的定义和研究对象1.2 材料力学的发展简史1.3 材料力学的研究方法1.4 材料力学的应用领域第二章：内力、截面法和剪切力2.1 内力的概念及其计算2.2 截面法的基本原理与应用2.3 剪切力的概念及其计算2.4 剪切强度计算及剪切失效分析第三章：弯曲和扭转3.1 弯曲的基本概念3.2 纯弯曲梁的应力和应变3.3 弯曲强度计算3.4 扭转的基本概念3.5 扭转应力计算及扭转失效分析第四章：材料的基本力学性能4.1 弹性变形与弹性模量4.2 塑性变形与塑性极限4.3 材料的其他力学性能4.4 材料力学性能的测定方法第五章：应力-应变关系与胡克定律5.1 应力与应变的定义及关系5.2 胡克定律的表述及应用5.3 非线性材料的应力-应变关系5.4 弹性模量的测定方法及应用第六章：材料力学中的能量原理6.1 能量原理概述6.2 势能和弹性势能6.3 能量原理在材料力学中的应用6.4 能量原理在弹性问题求解中的应用第七章：材料力学中的强度理论7.1 强度理论概述7.2 强度条件及其应用7.3 安全系数的概念及其计算7.4 材料力学中的失效准则及应用第八章：梁的弯曲与扭转组合8.1 梁的弯曲与扭转组合问题概述8.2 纯弯曲梁的扭转应力8.3 扭转梁的弯曲应力8.4 弯曲与扭转组合问题的求解方法第九章：壳体力学9.1 壳体力学概述9.2 壳体的基本方程及其求解9.3 壳体的弯曲与轴向变形9.4 壳体的稳定性问题及其求解方法第十章：材料力学在工程中的应用10.1 材料力学在结构设计中的应用10.2 材料力学在机械设计中的应用10.3 材料力学在材料加工中的应用10.4 材料力学在其他工程领域的应用重点和难点解析1. 第一章中“材料力学的研究方法”是重点内容，因为它涉及到材料力学的基本研究方法和思维方式。
补充和说明：材料力学的研究方法包括实验研究、理论分析和数值模拟等。
《材料力学》课程教案3
《材料力学》课程教案3（三）载荷集度、剪力和弯矩的关系教学安排・新课引入1、画剪力弯矩图的重要性；2、分段列剪力弯矩方程，再画剪力弯矩图十分麻烦;3、是否可以根据外力直接且快速画出剪力弯矩图；4、检验剪力弯矩图正确与否很方便。
•新课讲授一、q(x)、Fs(x)、M(X)间的关系如图所示，dx推导：(I)取坐标系如图，X以向右为正，y轴向上为正。
(2)距原点X处取微段(微段上不能受集中力与集中力偶，只受分布载荷)长为dx。
(3)微段上的载荷集度q(x)可视为均布，(因为是微段)，且规定q(x)t为正+,q(x)I为负一。
(4)微段两侧横截面上的FS(X),M(X)均设为正方向，左边剪力弯矩为Fs(x),M(x),右边剪力弯矩相应有一个增量dFs(x),dM(x),所以右边剪力弯矩为Fs(x)+dFs(x),M(x)+dM(x)o(5)讨论微段平衡EF y=O F s(%)-[F s(x)÷dF s(Λ)]+q{x}dx=0用小)dx矛皿)二叫(工)二小)dx 2dx此⑴dxdΛ∕(x)dΛ- 三个式子即载荷集度、剪力、弯矩之间的导数关系。
导数关系的几何意义：剪力图在一点处的斜率等于该点处分布荷载集度的大小，弯矩图在一点处的斜率等于对应截面上剪力的大小，弯矩图的凹向决定载荷集度的正负。
F S (X 2)-Fs(x ↑)=∫x ~q{x]dx利用导数关系积分得： :Λ∕(X 2)-M(X ,)=J 2Fs(x)dx积分关系的几何意义：在X=/和X=玉两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。
导数关系和积分关系的几何意义用于剪力图和弯矩图的绘制与校核，一般校核时用。
二、利用导数关系推导剪力图、弯矩图的形状特征(重点、难点)ΣM c =O略去高阶微量 再取导数，得:M (x)-[A/(X )+c1M (x)]+F s (x)dx+q(x)dx-=O嚓¼(χ)夕(x) =%(x)d 2Λ∕(x)_dF s (x )2=q(6三、导数关系法（控制截面法）绘制、检验剪力弯矩图步骤（重点）（1）求梁的支座反力（悬臂梁可不求）；（2）分段，定点（其实就是定控制截面）；（3）求出这些点（或叫控制截面）的剪力和弯矩;（4）根据剪力图和弯矩图的形状特征联线。
材料力学教案
材料力学教案材料力学教案课程名称：材料力学适用年级：高中课时：3课时教学目标：1. 了解材料力学的基本概念和基本原理。
2. 掌握材料受力分析的方法和步骤。
3. 运用材料力学的知识解决实际问题。
教学内容：1. 弹簧的力学性质a. 弹性变形和塑性变形的区别b. 霍克定律的表达式和含义c. 弹性系数的计算方法2. 受力分析a. 矢量分解和合成力的概念b. 平衡条件和静力学平衡方程c. 杆件受力分析方法3. 应力和应变a. 应力和应变的定义和计算方法b. 应力-应变关系的表达式和含义c. 弹性模量和切变模量的计算方法4. 拉伸和压缩a. 拉伸和压缩的基本概念和特点b. 应力、应变和变形的关系c. 断裂应力和屈服应力的影响因素教学方法：1. 讲解法：通过讲解材料力学的基本概念、原理和公式，引导学生理解和掌握相关知识。
2. 实例法：选取一些与实际生活和工程问题相关的案例，让学生通过分析这些实例来理解和运用材料力学的知识。
3. 实验法：通过一些简单的材料力学实验，让学生亲自操作和观察，从中体会材料在力的作用下的变形和破坏规律。
教学过程：第一课时：1. 引入：通过展示一个弹簧的变形，引导学生思考弹性变形和塑性变形的区别，并引出材料力学的概念。
2. 讲解弹簧的力学性质：讲解弹性变形和塑性变形的区别，介绍霍克定律的表达式和含义，以及弹性系数的计算方法。
3. 练习：出示一些计算弹性系数的题目，让学生独立完成并检查答案。
第二课时：1. 复习：复习上节课的内容，以及弹簧的力学性质。
2. 引入受力分析：引导学生思考受力分析的重要性，并讲解矢量分解和合成力的概念。
3. 讲解受力分析方法：讲解平衡条件和静力学平衡方程的应用，以及杆件受力分析的步骤和方法。
4. 练习：出示一些受力分析的题目，让学生独立完成并检查答案。
第三课时：1. 复习：复习上节课的内容，以及受力分析的方法。
2. 引入应力和应变：讲解应力和应变的概念和计算方法。
《材料力学》课程教案2
《材料力学》课程教案2（二）拉伸、压缩的超静定问题程过主要内容和教学步骤教学反思教学安排•新课引入如图所示的两杆组成的桁架结构受力，由于是平面汇交力系，可由静力平衡方程求出两杆内力。
如果为了提高构件安全性，再加一个杆，三杆内力还能由静力平衡方程求出吗？•新课讲授一、静定结构（一）提出问题1和2两杆组成桁架结构受力如图所示，角度己知，两杆抗拉刚度相同，ElA=E2A2,求两杆中内力的大小。
（二）分析：求内力n截面法（1截2代3列平衡方程）Σx=O=>FNISEa-FN*。
1。
=0Ey=On F Nl Cosa+F N2Cosa+F N3-F=0两个方程，两个未知数，可以求解。
引出静定结构：约束反力（轴力）可以由静力平衡方程完全求出。
二、超静定结构和超静定次数（一）继续提问在现实中为了增加构件的安全性，往往可以多加一个杆，在问题一的基础上在中间再加一个3杆，抗拉刚度为E t A3，如图所示，求3杆中内力的大小。
（二）分析：求内力n截面法（1截2代3列平衡方程）①静平衡方程：平面汇交力系，只能列两个平衡方程点=On F N]Sina-F N2Sina=0Ey=O=F N∖&«。
+FNICOSa+%3-尸=°两个方程，三个未知数，解不出。
引出超静定结构：约束反力（轴力）不能由静力平衡方程完全求出。
超静定次数：约束反力（轴力）多余平衡方程的个数。
上述问题属于一次超静定问题。
三、超静定结构的求解方法（一）继续提问，引导学生深入思考：超静定到底能不能求解？实际上F-定，作用于每个杆上的力都是确定的。
还需再找一个补充方程，材料力学是变形体，受力会引起变形，力和力的关系看不出，先把变形关系找到，再转化成力的关系。
（重点）②几何方程一一变形协调方程：要找变形关系，关键是画变形图（难点）。
节点在中间杆上，左右两杆抗拉刚度相同，角度相同，即对称，因此中间杆仅沿竖直方向产生伸长，确定最终位置。
材料力学教案范文
材料力学教案范文一、教学目标：1.认识材料力学的基本概念和基本原理；2.理解材料力学与工程实践的关系；3.掌握材料的力学性质，如强度、刚度、韧性等；4.培养学生分析和解决材料力学问题的能力；5.提高学生的实验能力和数据处理能力。
二、教学内容：1.材料力学的基本概念和基本原理：（1）材料的概念、分类及其应用；（2）力学的基本概念和基本原理；（3）材料力学与工程实践的关系。
2.材料的力学性质：（1）应力与应变的概念和计算方法；（2）材料的强度、刚度、韧性、脆性等性质；（3）材料静力学与动力学的基本原理。
3.材料力学问题的分析和解决方法：（1）材料力学问题的基本分析方法；（2）材料力学问题的解决方法；（3）材料力学问题的实例分析。
4.实验与实践：（1）材料力学实验的基本原理和方法；（2）实验数据的处理和分析。
三、教学方法：1.教师讲授+学生自主学习的方法；2.理论与实验相结合的方法；3.个案研究和问题驱动的教学方法。
四、教学过程：1.导入（10分钟）引导学生回顾前一堂课的内容，并通过一个实例引出本堂课的主题，以激发学生的兴趣。
2.理论授课（30分钟）根据教学内容，向学生讲授材料力学的基本概念和基本原理，并结合实例进行讲解。
重点讲解应力、应变、刚度、强度、韧性等概念，并介绍计算方法和相关公式。
3.问题分析与解决（30分钟）向学生提供一些材料力学问题的案例，并引导学生运用所学知识进行分析和解决。
鼓励学生提出自己的想法和解决方法，并进行讨论和交流。
4.实验操作（40分钟）组织学生进行材料力学实验操作，引导学生掌握实验方法和数据处理技巧。
教师和助教全程指导学生，确保实验安全和数据准确。
5.实验报告和讨论（30分钟）学生撰写实验报告，包括实验目的、原理、方法、数据和结果的分析。
学生向全班展示自己的实验结果，并进行讨论和评价。
六、课堂作业（10分钟）布置与本课内容相关的课堂作业，鼓励学生独立思考和解决问题。
并要求学生在下一次上课前完成作业，并准备分享自己的思考结果。
材料力学电子教案
材料力学电子教案第一章：材料力学概述1.1 课程介绍介绍材料力学的基本概念、研究对象和内容强调材料力学在工程领域的重要性1.2 材料的力学性能介绍材料的弹性、塑性、韧性、硬度等力学性能解释各种力学性能指标的定义和意义1.3 应力与应变定义应力、应变、泊松比等基本概念解释应力-应变关系的图形和特点第二章：弹性变形2.1 弹性理论基础介绍弹性模量、剪切模量等基本弹性参数解释弹性矩阵和弹性方程的定义和应用2.2 拉伸和压缩分析拉伸和压缩试验的应力-应变关系计算拉伸强度、压缩强度等指标2.3 弯曲和扭转分析弯曲和扭转试验的应力-应变关系计算弯曲强度、扭转刚度等指标第三章：塑性变形3.1 塑性理论基础介绍塑性变形的基本概念和特点解释塑性极限、塑性应变等参数的定义和计算方法3.2 拉伸和压缩塑性变形分析拉伸和压缩试验的应力-应变关系计算屈服强度、伸长率等指标3.3 弯曲和扭转塑性变形分析弯曲和扭转试验的应力-应变关系计算屈服强度、挠度等指标第四章：材料的高温力学性能4.1 高温弹性变形介绍高温下材料的弹性性能变化分析高温下弹性模量的变化规律和影响因素4.2 高温塑性变形介绍高温下材料的塑性性能变化分析高温下塑性极限、屈服强度等指标的变化规律和影响因素4.3 高温韧性介绍高温下材料的韧性变化分析高温下韧性的评价方法和指标第五章：材料的疲劳与断裂5.1 疲劳基础介绍疲劳现象和疲劳寿命的概念解释疲劳循环应力、疲劳极限等参数的定义和意义5.2 疲劳强度计算介绍疲劳强度的计算方法和疲劳寿命的预测模型分析影响疲劳寿命的因素和提高疲劳强度的方法5.3 断裂力学基础介绍断裂力学的基本概念和断裂韧性解释应力强度因子、裂纹扩展速率等参数的定义和计算方法第六章：材料力学在结构分析中的应用6.1 梁的弯曲介绍梁的弯曲理论，包括剪力、弯矩和曲率的关系分析梁的弯曲强度和稳定性问题6.2 杆件的拉伸和压缩分析杆件在拉伸和压缩状态下的应力分布计算杆件的拉伸强度和压缩强度6.3 平面应力问题和空间应力问题解释平面应力问题和空间应力问题的概念分析应力转换和应力解的基本原理第七章：材料力学在材料设计中的应用7.1 材料设计的基本原则介绍材料设计的目标和基本原则解释材料设计的基本流程和方法7.2 材料的力学性能设计分析材料的力学性能对材料设计的影响介绍提高材料力学性能的设计方法和策略7.3 新型材料的力学性能研究介绍新型材料的研究和发展趋势分析新型材料在材料力学性能方面的优势和应用前景第八章：实验技能与数据分析8.1 实验设备与方法介绍材料力学实验设备的使用和操作方法解释实验数据的采集和处理流程8.2 材料力学实验项目分析常见的材料力学实验项目及其目的和意义介绍实验结果的评估和分析方法8.3 数据分析与处理介绍数据分析的基本方法和技巧解释数据处理在材料力学研究中的应用和重要性第九章：材料力学在工程中的应用9.1 土木工程中的应用分析材料力学在土木工程中的应用案例介绍材料力学在结构设计、桥梁工程等方面的应用9.2 机械工程中的应用分析材料力学在机械工程中的应用案例介绍材料力学在机械零件设计、材料选择等方面的应用9.3 航空航天工程中的应用分析材料力学在航空航天工程中的应用案例介绍材料力学在飞行器结构设计、航天材料选择等方面的应用第十章：材料力学的未来发展10.1 新型材料的研究与发展介绍新型材料的研究方向和发展趋势分析新型材料在材料力学性能方面的创新和突破10.2 材料力学与其他学科的交叉研究介绍材料力学与其他学科的交叉研究领域分析交叉研究对材料力学发展的影响和意义10.3 材料力学的挑战与机遇分析材料力学面临的挑战和问题探讨材料力学的未来机遇和发展方向重点和难点解析1. 弹性变形和塑性变形的理解和区分。
高教版刘鸿文编《材料力学》授课教案(A4纸5号字56页)
讲授为主，加上适当形象具体的工程例子，生动的图片及动画等以充分激发学生对本门 课的兴趣。
第二章 轴向拉伸与压缩 剪切
本章包含有 5 大部分内容：轴向拉压时的应力及强度计算；轴向拉压时材料的力学性能； 轴向拉压时的变形，简单静不定问题求解及应力集中的概念；剪切及强度计算；轴向拉伸 与压缩时低碳钢及铸铁的力学性能（实验）；并安排一次习题讨论课（2 学时），完成本章共 需 14 学时。
三． 基本概念： 1． 内力： 内力的概念、，内力的确定、内力的符号。 2． 内力图：内力图的概念、内力图的作法、作内力图应注意的方面。 3． 应力：应力的概念、应力的计算、应力的符号、应力的单位、正应力及剪应力。
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高教版刘鸿文编《材料力学》授课教案
绪论
介绍材料力学的对象、任务、内容及工程应用等，完成本内容需 2 学时
一．教学目的
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内力：在外力作用下，构件内部两部分间的附加的相互作用力称为内力。 即由于抵抗外力作用导致变形而产生的附加的部分才称为内力。 内力是成对出现的，大小相等，方向相反，分别作用在构件的两部分上，只有 把构件剖开，内力才“暴露”出来。
4．应力、正应力和剪应力 应力：在外力作用下，根据连续性的假设，构件上任一截面上的内力是连续分布的， 截面上任一点的内力的密集程度（内力集度），称为该点的应力。 如上图（a）所示，m-m 截面上作一点 C 处的应力用 p 表示
材料力学教案【范本模板】
第一章绪论及基本概念一、教学目标和教学内容教学目标：明确材料力学的任务，理解变形体的的基本假设，掌握杆件变形的基本形式. 教学内容：错误!材料力学的特点○，2 材料力学的任务错误!材料力学的研究对象错误!变形体的基本假设错误!材料力学的基本变形形式二、重点难点构件的强度、刚度、稳定性的概念；杆件变形的基本形式、变形体的基本假设。
三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时0。
5学时五、讲课提纲1、材料力学的任务材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性计算的学科。
工程中各种机械和结构都是由许多构件和零件组成的。
为了保证机械和结构能安全正常地工作,必须要求全部构件和零件在外力作用时具有一定的承载能力，承载能力表现为1.1强度是指构件抵抗破坏的能力。
构件在外力作用下不被破坏，表明构件具有足够的强度。
1。
2刚度是指构件抵抗变形的能力.构件在外力作用下发生的变形不超过某一规定值，表明构件具有足够的刚度.1。
3稳定性是指构件承受在外力作用下，保持原有平衡状态的能力,构件在外力作用下，能保持原有的平衡形态，表明构件具有足够的稳定性。
1.4材料力学的任务：以最经济为代价，保证构件具有足够的承载能力。
通过研究构件的强度、刚度、稳定性，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供计算理论。
2、材料力学的研究对象:可变形固体♦均匀连续性假设: 假设变形固体内连续不断地充满着均匀的物质,且体内各点处的力学性质相同.♦各向同性假设: 假设变形固体在各个方向上具有相同的力学性质。
♦小变形假设: 假设变形固体在外力作用下产生的变形与构件原有尺寸相比是很微小的，称“小变形”。
在列平衡方程时，可以不考虑外力作用点处的微小位移,而按变形前的位置和尺寸进行计算。
3、杆件的几何特征3。
1轴线：截面形心的连线3。
2横截面:垂直于轴线的截面3。
3杆的分类：4、杆件变形的基本形式杆件在不同受力情况下，将产生各种不同的变形，但是，不管变形如何复杂,常常是四种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲)或是它们的组合。
材料力学电子教案
《材料力学电子教案》的运行环境 材料力学电子教案》
1. 硬件环境 ① 主机为586或更高档配置的微机； 主机为586或更高档配置的微机 或更高档配置的微机； ② 内存不低于128MB，建议256MB; 内存不低于128MB，建议256MB; ③ 硬盘有500MB以上的可用空间； 硬盘有500MB以上的可用空间 以上的可用空间； ④ Windows 2000(Windows XP）支持的彩色显示器和鼠标； XP）支持的彩色显示器和鼠标； ⑤ 光驱、声卡、音箱等多媒体配置。 光驱、声卡、音箱等多媒体配置。 2. 软件环境 ① 中文Windows 2000（Windows XP)、Office 2003版本； 中文Windows 2000（ XP)、 2003版本 版本； ② 彩色显示不低于16位真彩色； 彩色显示不低于16位真彩色 位真彩色； ③ 公式编辑器版本3.0或以上； 公式编辑器版本3.0或以上 或以上； ④ Flash版本不低于5.0版本。 Flash版本不低于 版本 版本不低于5.0版本。
《材料力学》教案
《材料力学》课程授课教案课程编号：B03086课程中文名称：材料力学/ Material Mechanics课程总学时/学分： 76/4 （其中理论 60 学时，实验 16 学时）适用专业：过程控制专业、材料成型专业一、课程地位本课程是机械及土木类专业的主要技术基础课，其目的是掌握最基本的杆、杆系、刚架结构的计算原理和方法，了解各类结构的内力分布特征，为机械和土木类工程后续课程如结构力学、弹性力学、机械制造及设计类课程、混凝土结构设计、钢结构等打好力学基础，并培养结构分析与计算方面的能力，该课程须先修完高等数学、工程数学、大学物理、理论力学课程后学习。
二、教材及主要参考资料教材：刘鸿文主编《.材料力学》(I、 II).第四版高等教育出版社 2004年1月主要参考资料：1. 孙训方等编《.材料力学》(I、 II).第四版高等教育出版社2、胡增强编《材料力学学习指导》高等教育出版社3、顾志荣、吴永生编《材料力学学习方法及解题指导》同济大学出版社4、苟文选主编《材料力学导学、导教、导考(上、下册) 》西北工业大学出版社四、课时分配五、考核方式与成绩核定办法1. 考核方式：期末笔试+平时考核2. 成绩核定办法：笔试占70%，平时占30%六、授课方案第一章绪论1. 教学要求了解材料力学的任务，了解杆件变形基本形式。
掌握可变形固体的性质及其基本假设，熟练掌握应力、应变概念，2. 教学重点与难点重点：变形固体的性质及其基本假设、切应变。
难点：切应变概念。
3. 教学策略多媒体加板书讲授、课堂提问、练习，注意受力分析多采用板书讲授为好4. 参考书目：1、胡增强编《材料力学学习指导》高等教育出版社2、顾志荣、吴永生编《材料力学学习方法及解题指导》同济大学出版社3、苟文选主编《材料力学导学、导教、导考(上、下册) 》西北工业大学出版社5. 教学内容：1．1材料力学的任务为保证工程结构或机械的正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。
材料力学性能教案
材料力学性能教案一、教学目标1. 让学生了解材料力学性能的概念及其重要性。
2. 使学生掌握材料拉伸、压缩、弯曲等基本力学性能的测试方法。
3. 培养学生分析、解决材料力学性能问题的能力。
二、教学内容1. 材料力学性能的概念与分类2. 材料拉伸性能测试方法及设备3. 材料压缩性能测试方法及设备4. 材料弯曲性能测试方法及设备5. 材料力学性能测试数据的处理与分析三、教学重点与难点1. 教学重点：材料力学性能的概念、分类、测试方法及设备。
2. 教学难点：材料力学性能测试数据的处理与分析。
四、教学方法1. 采用讲授法、实验法、讨论法相结合的教学方法。
2. 以实物、模型、图片等为辅助教学手段，增强学生对力学性能测试设备的认知。
3. 组织学生进行实验操作，培养学生的动手能力。
五、教学安排1. 第一课时：介绍材料力学性能的概念与分类。
2. 第二课时：讲解材料拉伸性能测试方法及设备。
3. 第三课时：讲解材料压缩性能测试方法及设备。
4. 第四课时：讲解材料弯曲性能测试方法及设备。
5. 第五课时：讲解材料力学性能测试数据的处理与分析。
六、教学评估1. 课堂提问：检查学生对材料力学性能概念的理解和掌握。
2. 实验报告：评估学生在实验中对力学性能测试方法的运用和数据处理能力。
3. 课后作业：巩固学生对材料力学性能测试方法的记忆和理解。
七、教学资源1. 教材：提供相关章节，供学生预习和复习。
2. 实验设备：确保实验课时，学生能够亲身体验力学性能测试过程。
3. 网络资源：为学生提供额外的学习资料和研究工具。
八、教学拓展1. 邀请行业专家进行讲座，分享实际工作中的材料力学性能应用案例。
2. 组织学生参观实验室或相关企业，加深对材料力学性能测试方法的了解。
3. 鼓励学生参与学术研究，提高对材料力学性能研究的兴趣。
九、教学反思1. 课后收集学生反馈，了解教学效果，及时调整教学方法和内容。
3. 关注学生的学习进度和需求，不断优化教学策略。
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§2.7 失效、安全因数和强度计算一．失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。
①脆性断裂①塑性变形②弹性变形过大 ②冲断（冲击、撞击） ③疲劳③失稳④蠕变（高温） ④腐蚀（等等）二．破坏准则：就强度而言 塑性材料：σ=σs 脆性材料：σ=σb 强度条件：σ≤[σ] σ——工作应力 [σ]——许用应力ssn σσ=][（塑性材料）bbn σσ=][（脆性材料）三．安全因数：（1）n s 、n b 称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的构件：n s =1.2~2.5 n b =2.0~3.5（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32）①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性） ②载荷情况（静载、动载，估计准确度） ③简化过程，计算方法精确度④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。
⑤设备机动性、自重的要求。
⑥其它尚无考虑的因素。
综合考虑后确定。
四．强度条件][σσ≤=NAF①强度校核：认为安全5%100][][<⨯-σσσ 强度计算 ②设计截面：][σN≥F A ③确定许用载荷：A F N ][σ≤例2.7.1 已知F =130kN α=30°AC 为钢杆：d =30mm [σ]s =160MPa BC 为铝杆：d =40mm [σ]a =60MPa试校核结构的强度。
解：（1）求各杆轴力F NAC ，F NBCACBC AC BC x F F F F F ..0sin sin 0N ⋅N N ⋅N ==-=∑αα0cos cos 0.=-+=∑N ⋅N F F F Fy BC AC αα1.752/32130cos 2..N ====N αF F F BC AC kN（2）求各杆应力 2.106430101.7523.=⨯⨯==N πσAC AC ACA F N/mm 2 8.594/40101.7523.=⨯⨯==N πσBC BC BCA F N/mm 28.59=MPa a ][σ<∴安全例2.7.2 图示托架，已知：F =60kN ，α=30° AC 为圆钢杆[σ]s =160MPa BC 为方木杆[σ]w =4MPa 试求钢杆直径d ，木杆截面边长b解：（1）求各杆轴力N⨯=⨯===-=∑432210125.01060sin 0sin 0ααF F F F F yN⨯===-=∑42112104.10cos 0cos 0ααF F F F F y（2）设计截面 AC 杆：[]sF A σ11≥[]sF d σπ124≥[]8.28160104.104441=⨯⨯⨯=≥πσπsF d mmBC 杆：[]wF A σ22≥[]wF b σ22≥[]1734101242=⨯=≥wF b σmm例2.7.3 滑轮结构已知AB 为圆钢杆d =20mm ，[σ]s =160MPa BC 为方木杆a =60mm ，[σ]w =12MPa 试求此结构的许用载荷W解：（1）求各杆的轴力与W 的关系1212030cos 30cos 0F F F F F x ==︒-︒=∑WWF F W F F F y 260cos 220260cos 60cos 02121=︒===-︒+︒=∑（2）分别按各杆强度条件确定WAB 杆：[]s A F σ≤11[]s A Wσ≤12 ∴[]1.25101.2524201602321=⨯=⨯⨯=≤N A W s πσkNBC 杆：[]W A F σ≤22[]W A Wσ≤22 ∴[]6.21106.21260122322=⨯=⨯=≤N A W W σkN取[W ]=21.6kN§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形1．轴向变形AF A F l ll l l ==∆=-=∆N σε1胡克定律：llE AF E ∆=→=N εσ ∴EAlF l N =∆(胡克定律的另一种形式) EA ——杆件抗拉（或抗压）刚度2．横向变形bbb b b -=∆='1ε试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数。
μεε='μ——横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数） ∴-='εμε3．渐变杆轴力变化时变形计算 微段伸长：()()()x EA xx F l d d N =∆杆件伸长：()()x EA xx F l l d N ⎰=∆例1 除梯杆、求总变形总l ∆ 已知：A 1=400mm 2l 1=200mm A 2=800mm 2 l 2=200mm E =200GPa解：（1）求各段轴力并作轴力图（2）求各段变形及总变形1.0400102002001040331111=⨯⨯⨯⨯==∆N EA l F l mm 025.0800102002001020332222=⨯⨯⨯⨯==∆N EA l F l mm 075.0025.01.021=-=∆+∆=∑=∆N l l A E l F l ii ii 总mm例2 求节点A 的位移已知：F =10kN α=45°AB 为钢杆E 1=200GPa A 1=100mm 2 l 1=1000mm AC 为松木杆E 2=10GPa A 2=4000mm 2 l 2=707mm 解：（1）求轴力45045sin 01=-︒=∑F F F y14.1421045sin 1==︒=FF kN (拉)045sin 012=︒-=∑F F F x102114.1445cos 12=⨯=︒=F F kN(压)（2）轴向变形707.0100102001001014.143311111=⨯⨯⨯⨯==∆A E l F l mm 177.04000101070710103322222=⨯⨯⨯⨯==∆A E l F l mm（3）A 点位移31A A00.145cos AA 15=︒∆=l mm177.0A A 254=∆=l mm∴ 177.15454=+=A A AA AA mm ∴193.1177.0177.12243243=+=+=A A AA AA mm例3 结构如图CD 为刚杆AB 杆为钢杆，d =30mm ，a =1m ，E =210GPa（1）试验测得标距S =20mm 内的伸长变形ΔS =14.3×10-3mm ，试求F 力为若干。
（2）若AB 杆的材料[σ]=160MPa ，试求许用载荷[F ]，及此时D 点的位移δD解：（1）求AB 杆的轴力F N∵EASF S N =∆∴203.1443010210·23⨯⨯⨯⨯=∆=N πSSEA F1.106101.1063=N ⨯=kN求载荷F02··0=-=∑M N a F a F C5321.1062===N F F kN （2）求[F ][][]1131011343016032=⨯=⨯⨯==N πσA F kN[][]5.562==N F F kN（3）求δD∵[]762.030102104100010113233=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==πδEA aF NB ∴524.1762.022=⨯==B D δδmm§2.9 轴向拉伸或压缩的应变能1．变形能（应变能）固体受外功作用而变形，在变形过程中，外力所作的功转变为储存于固体内的能量，固体在外力作用下，因变形而储存能量称为变形能或应变能。
变形能有弹性变形能与塑性变形能。
当外力逐渐减小，变形逐渐减小，固体会释放出部分能量而作功，这部分能量为弹性变形能。
2．轴向拉（压）时的应变能()()⎰∆∆=∆=10d d d l l F W l F W线弹性应变能：（三角形面积）V εlF W V lF W ∆==∆=2121ε胡克定律EA Fll =∆，则EAlF l F W V 2212=∆==ε 3．应变能密度（比能） 力（σz y d d ）位移εdxd 单元体内应变能：V x z y V x z y W d d d d d d d d d d d d 111000⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰⎰εεεεεσεσεσ d V ——单元体的体积单位体积内的应变能：⎰==10d d d εεεεσVV V 结论：V ε为应力—应变曲线（σ-ε）下的面积 线弹性应变能密度：σεε21=v由胡克定律：σ=E ε，则EE v 222122σεσεε===注：v ε的单位为J/m 3以比例极限σp 代入上式可求出的应变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。
Ev P P 2212σεσε==例1 利用功能原理求A 点的垂直位移δ 已知：F =10kN α=45°杆（1）为钢杆E 1=200GPa ，A 1=100mm 2，l 1=1000mm 杆（2）为木杆E 2=10GPa ，A 2=4000mm 2，l 2=707mm 解：（1）求轴力045sin 01=-︒=∑N F F F y14.1445sin 1=︒=N FF kN1045cos 012=︒-=∑N N F F F x kN（2）求位移（视作弹性杆系）V ε=W22222111212221A E l F A E l F F N N +=δ ()()3323323222221112110104000101070710101001020010001014.14/⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N N F A E l F A E l F δ =1.18mm（3）此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。
能量法求位移见下册13章。
§2.10 拉伸、压缩超静定问题 一． 超静定问题图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即E 1A 1=E 2A 2，F 、α、l 、E 3、A 3已知，试求三杆内力F N1、F N2、F N3。
解：（1）静力平衡方程⎪⎭⎪⎬⎫=-+=∑==-=∑N N N N N N 0cos 200sin sin 0132112F F F F F F F F F y x ααα （a ） 利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超静定问题。
此问题称一次静不定问题，未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次数。
二． 超静定问题解法 （1）建立足够的补充方程（a ）静力学方面——平衡方程 （b ）几何学方面——变形协调条件 （c ）物理学方面——物理条件 （b ）（c ）补充方程。
（2）变形协调条件αcos 31l l ∆=∆（b ）（3）物理条件⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆=∆N N 3333311111A E l F l A E l F l （c ）式（c ）代入式（b ）αcos 33331111A E l F A E l F N N = ∵ l 3=ll 1=l /cos α，故3331111cos /1A E lF A E F N N =α（d ）式（d ）为补充方程。