模糊控制的数学基础

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2.2 普通集合
1）集合的概念
* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集 合。例如： “内蒙古科技大学的学生” 可以作为一个集合。集合通常用大写 字母A，B，……，Z来表示。 * 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也 称为个体。通常用小写字母a， b，……，z来表示。 * 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域， 也叫全集合。 * 空集 不包含任何元素的集合，称为空集， 记做Φ。 * 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称 为集合的子集。
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~
AA
~ ~
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2.3 模糊集合
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2.3 模糊集合
例2.3.3：设论域U={a, b, c, d, e}上有两个模糊集分别为：
A
~
0.5 0.3 0.4 0.2 0.1 a b c d e
0.2 0.8 0.1 0.7 0.4 a b c d e
B
~
求 A B
~ ~
A B
~ ~
A
~
A B
50 x
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2.3 模糊集合
(2) 模糊集合的表示法：
1） Zadeh表示法
当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：
5
2.2 普通集合
* 集合的直积
设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为
X Y {( x, y) | x X , y Y }
具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所 有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。
4） 集合的特征函数
设x为论域X中的元素， A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以 用集合A的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于 集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果xool of Information Engineering, Inner Mongolia University of Science and Technology
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2.2 普通集合
3）集合的运算
* 集合交 设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的 集合P称为X，Y的交集，记作 P=X∩Y
X P Y
* 集合并
设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的 集合Q称为X，Y的并集，记作 Q=X∪Y
X Q
Y
* 集合补
在论域Y上有集合X，则X的补集为
Y X
X
X {x | x X }
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~
A
~
A
例2.3.1 论域为15到35岁之间的人，模糊集 的隶属函数可定义为
表示“年轻人”，则模糊集
1 15 x 25 1 25 x 35 2 A ( x) x 25 ~ 1 5
则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：
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2.3 模糊集合
（4）模糊运算的性质：

交换率 结合率 分配率
~
A B B A，A B B A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A ( B C ) ( A B) C，A ( B C ) ( A B) C
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A ( B C ) ( A B) ( A C )
A (30) 0.5
~
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例，令X = R 为人类年龄的论域,模糊集合 B = “年 龄在50岁左右”则表示为: 1 B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x ) x 50 4 1 ( ) 10
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2.3 模糊集合
3）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。
假设年龄的论域为U=[15，35]，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A ( B C ) ( A B) ( A C )
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

传递率 幂等率 摩根率 复原率
B C ，则 A C A B，
~ ~
~
~
~
~
A A A ，A A A
~ ~
~ ~
~
~
A B A B ， A B A B
~ ~
0.5 0.2 0.3 0.8 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 a b c d e a b c d e
0.5 0.2 0.3 0.8 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0.4 0.5 0.8 0.4 0.7 0.4 a b c d e a b c d e
A B
~ ~
A
~
1 0.5 1 0.3 1 0.4 1 0.2 1 0.1 0.5 0.7 0.6 0.8 0.9 a b c d e a b c d e
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A （x1 , A ( x1 ))，（x2 , A ( x2 ))， ，（xn , A ( xn )) ~ ~ ~ ~
A （ A ( x1 )， A ( x2 )， ， A ( xn ) ）
~
~ ~ ~
或简化为：
对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为 高个子 (172 ,0.8), (165 ,0.78), (175 ,0.85), (180 ,0.9), (178 ,0.88) 或 高个子 0.8,0.78,0.85,0.9,0.88
A
~
A ( x1 )
~
x1

A ( x2 )
~
x2

A ( xn )
~
xn
注意：式中的“＋”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。 例2.3.2 假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、 178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、 0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为 高个子
~ ~ ~
D A B
~ ~ ~
D ( x) A ( x) B ( x)
~ ~ ~
A
~
A ( x) 1 A ( x)
~ ~
( x) 成立，则称 A 和 B相等，记作 A B 若 x U ，总有 A ( x) B 。 ~ ~ ~ ~
~ ~
包含
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2.3 模糊集合
（3) 模糊集合的运算
模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。
( x) 和 B为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为 A ( x) 和 B 假设 A ~ ~ ~ ~
模糊集交 模糊集并 模糊集补 相等
C A B
~ ~ ~
C ( x) A ( x) B ( x)
( x) B ( x) 成立，则称 A 包含 B ，记作 A B 若 x U ，总有 A 。 ~ ~ ~ ~ ~ ~
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0.8 0.78 0.85 0.9 0.88 172 165 175 180 178
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2.3 模糊集合
2）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表 示为：
1 1 年轻 ( x) 2 x 25 1 5
年轻 （ x）
15 x 25 25 x 35
该隶属函数的形状如图
1
0
15
25
35
x
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