数字信号处理第三章作业.pdf

数字信号处理第三章作业

1．(第三章习题3)在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期性序列，确定这个两个序列的周期卷积的结果3()x n ，并画出草图。

2．(第三章习题5)如果()x n 是一个具有周期为N 的周期性序列，它也是具有周期为2N 的周期性序列。令~1()X k 表示当()x n 看做是具有周期为N 的周期性序列的DFS 系数。而~2()X k 表示当()x n 看作是具有周期为2N 的周期性序列的DFS 系数。当然~1()X k 是具有周期为N 的周期性序列，而~2()X k 是具有周期为2N 的周期性序列，试根据~1()X k 确定~2()X k 。

3．(第三章习题6)

（a ）试证明下面列出的周期性序列离散傅里叶级数的对称特性。在证明中，可以利用离散傅里叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质③时可以利用性质①和②。 序列

离散傅里叶级数 ① *()x n

~*()X k - ②*()x n -

~*()X k ③Re ()x n ⎡⎤⎣⎦

~

e ()X k ④Im ()j x n ⎡⎤⎣⎦ ~()o X k

（b ）根据已在（a ）部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅里叶级数的下列对称性质成立。

①~~Re ()Re ()X k X k ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

②~~Im ()Im ()X k X k ⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

③~~()()X k X k =- ④~~arg ()arg ()X k X k ⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

4．(第三章习题7)求下列序列的DFT

(a) {}11

1-，，，-1 (b) {}1

j 1j -，，，- (c) ()cn 0n 1x n N =≤≤-，

(d) 2n ()sin 0n 1x n N N π⎛⎫=≤≤- ⎪⎝⎭

， 5．(第三章习题8)计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长度为N ）

1

0)()(0)

()()()

()()(00-≤≤=<<-==N n a n x c N n n n n x b n n x a n δδ 6．(第三章习题9)在图P3-4中表示了一有限长序列)(n x ，画出序列)(1n x 和)(2n x 的草图。（注意：)(1n x 是)(n x 圆周移位两个点）

)())(()()

())2(()(442441n R n x n x n R n x n x -=-=

7．(第三章习题10)在图P3-5中表示了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。

11．有限长序列的DFT 对应于序列在单位圆上的z 变换的取样。例如一个10点序列)(n x 的DFT 对应于图P3-6-1表示的10个等间隔点上)(z X 的取样。我们希望找出在图P3-6-2所示的围线上)(z X 的等间隔取样，即)]10()102[(5.0|)(ππ+=k j e z z X 。证明如何修改)(n x 以获得一个序列)(1n x 致使)(1n x 的DFT 对应于所希望的)(z X 的取样。

8．(第三章习题13)列长为8的一个有限长序列列具有8点离散傅里叶变换X(k)，如图P3-7-1所示。列长为16点的一个信号的序列y(n)定义为：

n n ⎧ ⎪⎨⎪

⎩n x()为偶数y(n)=2

0为奇数 试从P3-7-2的几个图中选出相当于y(n)的16点离散傅里叶变换序列图。

9．(第三章习题14)图P3-8表示一个四点序列x(n)

(a)试绘出x(n)同x(n)线性卷积略图

(b)试绘出x(n)同x(n)四点圆周卷积略图

(c)试绘出x(n)同x(n)十点圆周卷积略图

(d)若x(n)同x(n)的某个N点圆周卷积同其线性卷积相同，试问此时N点的最小值是多少？

10. (第三章习题15)研究两个有限长序列x(n)和y(n)，此二序列当n<0时皆为零，并且

各作其20点DFT，然后将两个DFT相乘，再计算其乘积序列的逆DFT，设r(n)表示逆DFT，试指出r(n)哪些点对应于x(n)与y(n)作线性卷积应得到的点。

11.(第三章习题16)现有一为随机信号谱分析所使用的处理器，该处理器使用的取样点数必须是2的整数次方，并假设没有采取任何特特殊的数据处理措施。已给条件是：(1) 频率的分辨率5Hz，(2)信号的最高频率 1.25kHz，要求确定下列参量：(a)最小记录长度；(b)取样点间的最大时间间隔；(c)在一个记录中的最少点数。