上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库4

是否总是存在这样一个价格向量呢？答案是肯定的。 因为根据 C-D 效用函数的性质，消费者会将收入按照特定的比例分配到各商品上
(参考第 6 题的说明)。所以，不论 x ( x 是向量)是什么，总可以用那特定比例的 收入除以 xi ，得到对应的价格 pi 。在这个价格 p 下，选择 x ，消费者必定实现效 用最大化，即有 u(x) = v( p, px) 。
(2)是否总是存在一个价格向量 p 使得 v( p, px) = u(x) ？如果是，请证明；如果不
是请举一个反例。
证明：(1)根据定义，间接效用函数是效用最大化的值函数，即
v( p, px) = max u(x′)
s.t. px′ ≤ px 。
因为 x 是可行的，所以总有 v( p, px) ≥ u(x) 。
∂x1h ∂x2h
/ /
∂p3 ∂p3
⎤ ⎥ ⎥
∂x3h / ∂p3 ⎥⎦
Slutsky 矩阵满足三个性质：半负定、对称、σ ( p, u) ⋅ p = 0 。
i.半负定因为 Dp xh ( p,u) = Dp2e( p, u) ，而 e( p,u) 是价格的凹函数。
ii.对称因为 ∂xih
/
∂p j
n ∂xkh i=1 ∂pi
pi
=
0 ⋅ xkh ( p,u)
=
0。
⎡−10
解（2）：用待定系数法。设这个矩阵为：
⎢ ⎢
c
⎢⎣ 3
所以 a = d ， c = e ， f = −10 。
再由于σ ( p,u) ，可得这个矩阵为：
⎡−10 −4
⎢ ⎢
−4
−4
⎢⎣ 3 2
a b⎤
−4
d
⎥ ⎥
。根据
Slutsky
∑ 对 t 求导数得： g '(t) =
n i =1
∂f (tx) ∂xi
xi
=
kt k−1
f
(x) 。特别地取 t
=1有
∑n i =1
∂f (x) ∂xi
xi
=
kf
(x) 。
C. 事实上，上述定理的逆命题也成立：如果对于定义域上所有的 x ，都有
∑n i =1
∂f (x) ∂xi xi
=
kf
(x) ，则
4. 斯勒茨基方程
在一个有三个商品的经济中，消费者拥有财富 w ，他对第一、二种商品的需求函数为：
x1
= 100
−
5
p1 p3
+β
p2 p3
+δ
w p3
； x2
=α +β
p1 + γ p3
p2 p3
+δ
w p3
。
其中，这些希腊字母代表非零的常数。
（1）怎样求第三种商品的需求函数？
2/6
（2）第一，第二种商品的需求函数是齐次的吗？ （3）如果这些需求函数是由效用最大化得到的，那么这些希腊字母满足怎样的要求？
(2) 并不总是存在一个价格向量 p 使得 v( p, px) = u(x) 。
反例： u(x) = max(x1,..., xn ) ， x = (1,...,1) 。
∑ ∑ 这是因为，对于所有的 p >> 0 ，都有 u( pi , 0,..., 0) = pi > 1 = u(x) ，而
p1
p1
∂xi
∂xi
∂xi
∑ B. 欧拉定理：对于 k 次齐次函数 f (x) ，都有
n i =1
∂f (x) ∂xi
xi
=
kf
(x) 。
证明：定义关于 t 的函数 g(t) = f (tx) ，对于所有的正数 t 都有：
g(t) = f (tx1, tx2 ,..., txn ) = tk f (x1, x2 ,..., xn )
⇒
x1* =
y + cp2 2 p1
， x2* =
y − cp2 2 p2
。
（3）将
x1
*，
x2
* 带入 u(x1,
x2 )
得到 v( p,
y)
，即 v(
p,
y)
=
u ( x1*,
x2 *)
=
( y + cp2 )2 4 p1 p2
。
⇒ e( p,u) = 2
p1 p2u − cp2 。（ v =
( y + cp2 )2 4 p1 p2
说明：1、如果偏好满足局部非餍足性，那么瓦尔拉斯法则就会成立，即花光收入。 2、如果偏好满足严格单调性，则必定满足局部非餍足性。相对于局部非餍足性，严 格单调性表明了效用增加的方向。
3、显示偏好弱公理是说，对于任意给定价格 p 和 p ' ，消费者的选择分别是 x 和 x ' 。 如果 p ⋅ x ≥ p ⋅ x ' ，即 x 直接显示偏好于 x ' ，则必定有 p '⋅ x ' < p '⋅ x ——即不能有 p '⋅ x ' ≥ p '⋅ x ，也就是不能有 x ' 直接显示偏好于 x 。
∑ 解：（1）通过瓦尔拉斯法则，即
3 i =1
pi xi
=
w ，即可求得第三种商品的需求函数。
（2）容易证明，第一，第二中商品的需求函数是零次齐次的。
（3）因为 Slutsky 矩阵满足对称性。所以有 ∂x1h / ∂p2 = ∂x2h / ∂p1 。 由 Slutsky Equation ∂xih / ∂p j = ∂xi / ∂p j + x j i∂xi / ∂w
2. 效用最大化
假设消费者的偏好可以用以下效用函数表示
u(x1, x2)= x1 (x2+c) ，其中 c>0 是给定的参数 （1） 画出一组表示该偏好的无差异曲线； （2） 计算该消费者的马歇尔需求函数； （3） 计算该消费者的间接效用函数和支出函数；
解：（1）令 x1(x2 + c) = u ，那么 x1 就是 x2 的函数，做出其图像即可为无差异曲线。
（2）
max
{x1 ,x2 }
u
(
x1
,
x2
)
s.t. p1x1 + p2 x2 = y
所以 L = u(x1, x2 ) − λ( p1x1 + p2 x2 − y) = x1(x2 + c) − λ( p1x1 + p2 x2 − y)
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由两个一阶条件 ∂L / ∂x1 = 0 ， ∂L / ∂x2 = 0 以及预算约束 p1x1 + p2 x2 = y
证 明 ： 因 为 f (tx1, tx2 ,..., txn ) ≡ tk f (x1, x2 ,..., xn ) ， 两 边 对 xi 求 偏 微 分 得 到 ：
∂f (tx) t = tk ∂f (x) ，因为 t > 0 ，所以有： ∂f (tx) = tk−1 ∂f (x) ，即得证。
∂xi
∑ 解：（1）根据瓦尔拉斯法则
3 i =1
pi
xi
=
w ，他对第三种商品的需求函数为 x3( p, w) =
w p3
。
（2）注意到，
x1
(α
p,
α
w)
=
α α
p2 p3
=
p2 p3
=
x1( p, w) ，
x2 (α
p,α w)
=
− α p1 α p3
=
−
p1 p3
=
x2 ( p, w)
x3
(α
p,
α
作业二
1．需求
考虑一个只有三个商品的经济。假设消费者对两种商品的需求函数是 x1( p, w)
=
p2 p3
，
x2 (
p,
w)
=
−
p1 p3
。消费者的需求函数满足瓦尔拉斯法则。
（1）求他对第三种商品的需求函数；
（2）此需求函数 x( p, w) 是不是零次齐次的？
（3）此需求函数 x( p, w) 是否满足显示偏好弱公理？
w)
=
α α
w p3
=
w p3
= x3 ( p, w) 。
因此，此需求函数 x( p, w) 是零次齐次的。
（3）从一个例子可以看出此需求函数不满足显示偏好弱公理：
p = (1, 2,1) ， w = 1 ； p′ = (1,1,1) ， w′ = 2 ，则
x( p, w) = (2, −1,1) ， x( p′, w′) = (1, −1, 2) 。因此，
β + (α + β p1 + γ p2 + δ w ) δ = β + (100 − 5 p1 + β p2 + δ w ) δ 。
p3
p3
p3
p3 p3 p3
p3
p3
p3 p3
令 p3 = 1，则 (β + αδ ) + βδ p1 + γδ p2 + δ 2w = (β +100δ ) − 5δ p1 + βδ p2 + δ 2w 于是，α = 100 ， β = −5 ， γ = −5 。
∑( pi , 0,..., 0) 是可行的。 p1
说明：1、本题的关键在于读懂题目。第二问“是否总是存在一个价格向量 p 使得……”隐 含的意思就是：对于所有的效用函数和 x 。 也有同学举的反例为 u = min{x1, x2}，当 x1 ≠ x2 时总有严格大于号成立。
2、如果本题将效用函数限定于柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）形式，那么是否还
p n
i=ห้องสมุดไป่ตู้ i
∂xkh ∂pi
= 0。
而希克斯需求函数零次齐次函数（因为最小化问题 min p ⋅ xh ,s.t. u(xh ) ≥ u 的解和
最小化问题 min(tp) ⋅ xh ,s.t. u(xh ) ≥ u 的解是相同的，所以 xh ( p, u) = xh (tp,u) ），
∑ 所有由欧拉定理有对于任意的 k = 1, 2,..., n
n i =1
∂xkh ∂pi
pi
=
0⋅
xkh ( p, u)
=
0
，k
= 1, 2,3.
2、效用函数 u(x1, x2 ) = f (x1) + x2 （其中 f (x1) 不是 x1 的线性函数）被称为拟线性
效用函数(quasi-linear)。拟线性效用函数的重要特点就是：（当收入足够大时）收入
的增加导致消费者总是把增加的收入都用于购买第 2 种商品。你可以这么理解：第
二种商品的边际效用总是 1，而第一种商品的边际效用是递减的（我们假定 f (x1) 不
是 x1 的线性函数，并且满足一阶导数递减），所以增加的收入会都用在第二种商品
上。
5. 斯勒茨基方程
（1）证明 pσ(p.u)=0.其中 p=(p1, p2,.., pn), σ(p.u)是一个理性的消费者的 Slutsky 替代矩 阵；
矩阵是对称的，
e f ⎥⎦
3⎤
2
⎥ ⎥
。
−7 / 6⎥⎦
说明：1、定义在 n 上的实值函数 f (x) 对于所有的正数 t 都满足 f (tx) ≡ tk f (x) ，则称 f (x)
是 k 次齐次函数。齐次函数的性质包括： A. 欧拉公式：如果 f (x) 是 k 次齐次函数，则其偏导数是 k −1次齐次函数。
∂xih ∂pk
= 0。
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其中 ∂xih 为 Slutsky 替代矩阵σ(p.u)的第 i 行第 k 列的元素。 ∂pk
由于 Slutsky 替代矩阵是对称的，所以有 ∂xih = ∂xkh 。 ∂pk ∂pi
∑ 即要证 pσ(p.u)=0，即要证对于任意的 k = 1, 2,..., n 都有
=
∂2e( p, u) / ∂pi∂p j
=
∂2e( p,u) /
∂p j∂p2
=
∂x
h j
/
∂ pi
iii. σ ( p, u) ⋅ p = 0 因为 xh ( p, u) 对 p 是零次齐次；欧拉定理表明对于 k 次齐次函数
∑ ∑ f (x) ，都有
n i =1
∂f (x) ∂xi
xi
=
kf
(x) 。所以
p′ix( p′, w′) = w′ = 2 = p′ix( p, w) ，即 x( p′, w′) 直接显示偏好于 x( p, w) ，且
pix( p, w) = w = 1 = p′ix( p′, w′) ，即 x( p, w) 直接显示偏好于 x( p′, w′) ，
所以此需求函数违背了显示偏好弱公理。
⇒
y=2
p1 p2v − cp2 再换符号）
说明：(3)问也可以由支出最小化求出希克斯需求函数，再得出支出函数。 具体可以参考 L_4_Consumer_Duality 第六页的例子。
3. 间接效用函数 假设 u 是一个效用函数，而 v 是对应的间接效用函数。 证明：(1)对于所有的价格向量 p >> 0 和可行的消费束 x >> 0 ，都有 v( p, px) ≥ u(x) ；
f
(x)
是k
次齐次函数。有时候，B
和
C
合称欧拉定理。
其证明可以参考 Jehle 和 Reny 教材的附录。
（2）下面的矩阵是某一理性消费者的替代矩阵。价格分别为 p1 = 1， p2 = 2 ， p3 = 6 。
求矩阵中剩余的几个位置的值。
⎡−10 ? ?⎤
⎢ ⎢
?
−4 ?⎥⎥
⎢⎣ 3 ? ?⎥⎦
∑ 证（1）：要证明 pσ(p.u)=0，即要证明对于任意的 k = 1, 2,..., n 都有
p n
i=1 i
又由于 Slutsky 矩阵半负定的，所以其对角线上的元素非正。从而可以得出 δ = 0 。
说明：Slutsky 矩阵是希克斯需求函数对价格求偏导数得到的矩阵。即
σ
(
p, u)
=
Dp
xh
(
p, u)
=
⎡⎢⎢∂∂xx12hh
/ /
∂p1 ∂p1
⎢⎣∂x3h / ∂p1
∂x1h / ∂p2 ∂x2h / ∂p2 ∂x3h / ∂p2