数学物理方法第11章(1)
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否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解 故得
（11.2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（11.2.７）这样简单的 结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程 （11.2.5）
（11.2.7）
定义：
本征值 不能任意取，只能根据边界条件（11.2.7）取 某些特定值。 本征函数 不同 （11.2.5）所对应的解 本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题
11.2直角坐标系中的分离变量法
11.2.1 分离变量法介绍
例11.2.1：具体考虑长为
由振动
，两端固定的均匀弦的自
泛定方程 边界条件
初始条件
（11.2.１）
（11.2.２）
（11.2.３）
【解】
用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：
第一步：分离变量
变量分离形式的试探解 代入（11.2.１）和（11.2.２）
第十－章 分离变量法解一维有界定解问题 本章中心内容
用分离变量法求解一维有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、
解题步骤及其核心问题---本征值问题
问题的引入
utt a 2u xx u x,0 x ut x,0 x
l nπ
（11.2.8）
n π n 2 l
与
2
2
(n 1,2,3,)
n 对应的函数为
nπx X n ( x) C2 sin l
（11.2.9）
（11.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作
本征函数．方程（11.2.5）和条件（11.2.7）则构成
本征值问题或固有值问题．
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值
，由方程（11.2.4）求出相应的
（11.2.10）
方程的解：
（11.2.11）
其中
A和 B
是待定常数．
（11.2.9）和（11.2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（11.2.11）
线性叠加后的解
（11.2.13）
11.1 分离变量理论 11.1.1 偏微分方程变量分离及条件
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？
对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：
（11.1.1）
(11.1.2)
假设 （11.1.2）的解有下列分离的形式 (11.1.3)
其中
分别是单个变量的二次可微函数。
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
11.2.2. 解的物理意义
特解 (11.2.11) 改写为
(11.2.16)
驻波
n π x 振幅: N n sin l
频率: n
初位相:
n
波节:
波腹:
n为1,2，3的驻波形状
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, 也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
(11.2.4) (11.2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
(11.2.6)
T (t ) 0
代入 (11.1.2)即有
(11.1.4)
讨论:
1. 常系数偏微分方程
若（11.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的 代表 除以XY, 则
，将方程两边同
要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖 于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得 到两个常微分方程
2. 变系数偏微分方程
对于变系数函数 ，假设存在某一个函数 后变为可分离的形式
图11.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相 的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
中最小的一个 相应的
称为基频，
称为基波．
称为谐频，
相应的
称为谐波．
基波的作用往往最显著．
x , t 0 x x
行波法
达朗贝尔公式
u x, t
x at x at
2
1 x at d 2a x at
分离变量法（又称为本征函数展开法）是 解偏微分方程定解问题最常用的重要方 法． 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题．
求解（11.2.5），将
三种可能逐一加以分析 （１） （11.2.5）的解为
和
由（11.2.７）确定，即有
由此解出
来自百度文库
被排除
（２）、
方程（11.2.5）的解是
和
由（11.2.7）确定，即
解出
也被排除．
（３）
（11.2.5）的解
和
由（11.2.7）确定，即
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C1 0, sin l 0
附录: 二阶常系数微分方程：
2
y py qy 0
'' '
特征方程： r pr q 0
根的三种情况：
r1 r2 r1 r2 r r i
y C1e r1x C2e r2 x 得常系数微分 rx rx y C1e C2 xe 方程的通解： y e x (C cos x C sin x) 1 2
，使得方程除以
上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个常微分方程
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 中适当的 函数才能实施变量分 离．
11.1.2 边界条件可实施变量分离的条件
一维的情形（设在边界点 三类边界条件为 第一类边界条件 处），常见的
第二类边界条件
第三类边界条件
假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：
求定解问题的不恒等于零的解 须 因此得
可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离 出单变量未知函数的边界条件．此外，进行 分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐 标系，球坐标系以及柱坐标系．
这就是满足(11.2.1)和条件（11.2.2）的通解
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(11.2.3)确定叠加系数
（11.2.14）
可确定待定系数:
(11.2.15)
至此，定解问题（11.2.1）-(11.2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制
（11.2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（11.2.７）这样简单的 结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程 （11.2.5）
（11.2.7）
定义：
本征值 不能任意取，只能根据边界条件（11.2.7）取 某些特定值。 本征函数 不同 （11.2.5）所对应的解 本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题
11.2直角坐标系中的分离变量法
11.2.1 分离变量法介绍
例11.2.1：具体考虑长为
由振动
，两端固定的均匀弦的自
泛定方程 边界条件
初始条件
（11.2.１）
（11.2.２）
（11.2.３）
【解】
用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：
第一步：分离变量
变量分离形式的试探解 代入（11.2.１）和（11.2.２）
第十－章 分离变量法解一维有界定解问题 本章中心内容
用分离变量法求解一维有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、
解题步骤及其核心问题---本征值问题
问题的引入
utt a 2u xx u x,0 x ut x,0 x
l nπ
（11.2.8）
n π n 2 l
与
2
2
(n 1,2,3,)
n 对应的函数为
nπx X n ( x) C2 sin l
（11.2.9）
（11.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作
本征函数．方程（11.2.5）和条件（11.2.7）则构成
本征值问题或固有值问题．
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值
，由方程（11.2.4）求出相应的
（11.2.10）
方程的解：
（11.2.11）
其中
A和 B
是待定常数．
（11.2.9）和（11.2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（11.2.11）
线性叠加后的解
（11.2.13）
11.1 分离变量理论 11.1.1 偏微分方程变量分离及条件
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？
对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：
（11.1.1）
(11.1.2)
假设 （11.1.2）的解有下列分离的形式 (11.1.3)
其中
分别是单个变量的二次可微函数。
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
11.2.2. 解的物理意义
特解 (11.2.11) 改写为
(11.2.16)
驻波
n π x 振幅: N n sin l
频率: n
初位相:
n
波节:
波腹:
n为1,2，3的驻波形状
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, 也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
(11.2.4) (11.2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
(11.2.6)
T (t ) 0
代入 (11.1.2)即有
(11.1.4)
讨论:
1. 常系数偏微分方程
若（11.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的 代表 除以XY, 则
，将方程两边同
要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖 于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得 到两个常微分方程
2. 变系数偏微分方程
对于变系数函数 ，假设存在某一个函数 后变为可分离的形式
图11.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相 的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
中最小的一个 相应的
称为基频，
称为基波．
称为谐频，
相应的
称为谐波．
基波的作用往往最显著．
x , t 0 x x
行波法
达朗贝尔公式
u x, t
x at x at
2
1 x at d 2a x at
分离变量法（又称为本征函数展开法）是 解偏微分方程定解问题最常用的重要方 法． 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题．
求解（11.2.5），将
三种可能逐一加以分析 （１） （11.2.5）的解为
和
由（11.2.７）确定，即有
由此解出
来自百度文库
被排除
（２）、
方程（11.2.5）的解是
和
由（11.2.7）确定，即
解出
也被排除．
（３）
（11.2.5）的解
和
由（11.2.7）确定，即
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C1 0, sin l 0
附录: 二阶常系数微分方程：
2
y py qy 0
'' '
特征方程： r pr q 0
根的三种情况：
r1 r2 r1 r2 r r i
y C1e r1x C2e r2 x 得常系数微分 rx rx y C1e C2 xe 方程的通解： y e x (C cos x C sin x) 1 2
，使得方程除以
上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个常微分方程
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 中适当的 函数才能实施变量分 离．
11.1.2 边界条件可实施变量分离的条件
一维的情形（设在边界点 三类边界条件为 第一类边界条件 处），常见的
第二类边界条件
第三类边界条件
假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：
求定解问题的不恒等于零的解 须 因此得
可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离 出单变量未知函数的边界条件．此外，进行 分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐 标系，球坐标系以及柱坐标系．
这就是满足(11.2.1)和条件（11.2.2）的通解
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(11.2.3)确定叠加系数
（11.2.14）
可确定待定系数:
(11.2.15)
至此，定解问题（11.2.1）-(11.2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制