数学物理方法第11章(1)

11.1 分离变量理论 11.1.1 偏微分方程变量分离及条件
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？
对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：
（11.1.1）
(11.1.2)
假设 （11.1.2）的解有下列分离的形式 (11.1.3)
其中
分别是单个变量的二次可微函数。
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
11.2.2. 解的物理意义
特解 (11.2.11) 改写为
(11.2.16)
驻波
n π x 振幅: N n sin l
频率: n
初位相:
n
波节:
波腹:
n为1,2，3的驻波形状
否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解 故得
（11.2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（11.2.７）这样简单的 结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程 （11.2.5）
（11.2.7）
定义：



本征值 不能任意取，只能根据边界条件（11.2.7）取 某些特定值。 本征函数 不同 （11.2.5）所对应的解 本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题
l nπ
（11.பைடு நூலகம்.8）
n π n 2 l
与
2
2
(n 1,2,3,)
n 对应的函数为
nπx X n ( x) C2 sin l
（11.2.9）
（11.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作
本征函数．方程（11.2.5）和条件（11.2.7）则构成
一维的情形（设在边界点 三类边界条件为 第一类边界条件 处），常见的
第二类边界条件
第三类边界条件
假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：
求定解问题的不恒等于零的解 须 因此得
可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离 出单变量未知函数的边界条件．此外，进行 分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐 标系，球坐标系以及柱坐标系．
代入 (11.1.2)即有
(11.1.4)
讨论:
1. 常系数偏微分方程
若（11.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的 代表 除以XY, 则
，将方程两边同
要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖 于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得 到两个常微分方程
2. 变系数偏微分方程
对于变系数函数 ，假设存在某一个函数 后变为可分离的形式
本征值问题或固有值问题．
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值
，由方程（11.2.4）求出相应的
（11.2.10）
方程的解：
（11.2.11）
其中
A和 B
是待定常数．
（11.2.9）和（11.2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（11.2.11）
线性叠加后的解
（11.2.13）
求解（11.2.5），将
三种可能逐一加以分析 （１） （11.2.5）的解为
和
由（11.2.７）确定，即有
由此解出
被排除
（２）、
方程（11.2.5）的解是
和
由（11.2.7）确定，即
解出
也被排除．
（３）
（11.2.5）的解
和
由（11.2.7）确定，即
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C1 0, sin l 0
第十－章 分离变量法解一维有界定解问题 本章中心内容
用分离变量法求解一维有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、
解题步骤及其核心问题---本征值问题
问题的引入
utt a 2u xx u x,0 x ut x,0 x
，使得方程除以

上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个常微分方程
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 中适当的 函数才能实施变量分 离．
11.1.2 边界条件可实施变量分离的条件
11.2直角坐标系中的分离变量法
11.2.1 分离变量法介绍
例11.2.1：具体考虑长为
由振动
，两端固定的均匀弦的自
泛定方程 边界条件
初始条件
（11.2.１）
（11.2.２）
（11.2.３）
【解】
用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：
第一步：分离变量
变量分离形式的试探解 代入（11.2.１）和（11.2.２）
x , t 0 x x
行波法
达朗贝尔公式
u x, t
x at x at
2
1 x at d 2a x at
分离变量法（又称为本征函数展开法）是 解偏微分方程定解问题最常用的重要方 法． 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题．
附录: 二阶常系数微分方程：
2
y py qy 0
'' '
特征方程： r pr q 0
根的三种情况：
r1 r2 r1 r2 r r i
y C1e r1x C2e r2 x 得常系数微分 rx rx y C1e C2 xe 方程的通解： y e x (C cos x C sin x) 1 2
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, 也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
(11.2.4) (11.2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
(11.2.6)
T (t ) 0
这就是满足(11.2.1)和条件（11.2.2）的通解
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(11.2.3)确定叠加系数
（11.2.14）
可确定待定系数:
(11.2.15)
至此，定解问题（11.2.1）-(11.2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制
图11.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相 的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
中最小的一个 相应的
称为基频，
称为基波．
称为谐频，
相应的
称为谐波．
基波的作用往往最显著．