二次根式的基本定义

知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：

形如 占 的式子叫二次根式，其中」叫被开方数，只有当」是一个非负数时, ■/-:才有意义. 注意理解：

1、 定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从

化简结果上判断，如都是二次根式。

2、 被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或 等于0.

3、 如果是给定的式子，-就是有意义的。、

4、 形如b 「（a 」「的式子也是二次根式，b 与「是相乘关系，当b 是分数时, 写成假分数。

5、 式子（^'二表示的是非负数。

6 +b （^，::

和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根式定义：

变式练习：

1、已知：

"是 整数，

则满足条件的最小正整数

n 的值是(

)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 5 2、二次根式匚山是一个整数，那么正整数a 最小值是

______________________ 1、 二次根式具有双重非负性。 -(a 」「 0

2、 如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式

中的被开方数是非负数，分式中的分母不为 0.

3、 如果式子中含有零指数幕或负整数指数幕，有意义的条件是，度数不为

0.

巫 + 1

【例1】下列各式

；,2

二,3) - .x 2 2,4)、、4,5), (一；)2

。・,7) a 2—2a 1， 其中是二次根式的是 _____________ （填序号）. 变式练习：

1、 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A 、、a

B 、：

C 、、. a 1

D 、 2、 在庙、荷b 、J x+1、J 1+X 2

3、 下列的式子一定是二次根式的是（

A. J-x-2

B .护

3

中是二次根式的个数有 ）

C.

D.::

A. 6

B. 3

C. 48

D. 2

【例3】来式子［一：有意义的x的取值范围是___________________ 源:学*科*网Z*X*X*K］

变式练习：

2 / 6

二次根式整数部分小数部分：已知a是、、5整数部分，b是5的小数部分，求a •二的值。

b + 2

1、若,3的整数部分是a,小数部分是b,则...3a_b二 _________________ 。

2丄1

2、若.J7的整数部分为X，小数部分为y，求x-的值. 二次根式性质：

1.非负性：.a(a_O)是一个非负数.

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.

2. (.. a)2 = a@ 亠0).

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a =(.,a)2(a_ 0)

3. .. a2斗步a(a—°)

—(a v0)

注意：(1)字母不一定是正数.

(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.

(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.

, ____________ 2005

4、若 lb*2 3与J a+2b+4互为相反数，则b )二 --------------------------------

【例6】如果• i '

= 2- x ,那么x 取值范围是( )

A. x<2

B. XV 2

C. x>2

D. x>2

【例7】化简二次根式a -a

2

2 4

的结果是

(A ) .-a —2 (B) 一 .. _a —2 (C) .a —2 (D) _ .a —2

变式练习：

1、把二次根式a j —丄化简，正确的结果是(

)

\ a

3、若化简「一勺一 ■■■■■■■■ ■■的结果为2x-5，则x 的取值范围是(

A 、任意实数

B 、「一儿亠“

C 、x 亠■

D x -: 4、若实数a 、b 、c 在数轴的位置，如图所示，贝

U 化简

I w

+ 灯-也-屮 ________________ . ~J

I *

5、已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简:

!'-|a-b|

.

-5 -4 -3 -2^-1 0 1 *2 "3 4 5^^

&已知，匕］丨=匚求土,吐的值。 最简二次根式：

(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不 含能开得尽方的数或因式，(被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2, 都是1); 分母中不含根号. 化最简根式时注意： 3 被开方数是带分数的要化成假分数。

4 被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。 同类二次根式(可合并根

式)：

A.庐

B. —Q -a

C. —^3

1 2 1

2 1

Cl + ~2 + 2

a +_

2'

2、已知O V av 1，化简、

a +P a

D. •、 a