九年级数学胡不归与阿氏圆

最值问题“AP+k•PB”最小值 模型一 胡不归型（“AP+k•PB”型）（动点P 在直线上运动）

例题1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=600，M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点，则AM+

2

1

BM 的最小值 . 例题2.如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为_______

总结：

第一步：将所求线段和改写为PB m n PA

的形式（m

n

＜1） 第二步：在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sinα=

m

n

第三步：过A 作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值 第四步：计算（本步骤最难）

变式练习 1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC ＝150°，则线段AP ＋BP ＋PD 的最小值为

2.如图，在ACE ∆中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。 （1）试说明CE 是⊙O 的切线。

（2）若ACE ∆中AE 边上的高为h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB; （3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当

2

1

CD+OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长。

（3）如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，2），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A→D→C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______

（4）.二次函数c x ax y +-=22

图象与x 轴交于A 、C 两点，点C （3，0），与y 轴交于点B （0，-3）。 （1）=a ，=c ；

（2）如图①，P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD ，求PC PD +2的最小值。

D P

（3）如图②，点M 在抛物线上，若3=MBC S △，求点M 的坐标。

模型二阿氏圆型（“AP+k•PB”型）（动点P 在圆上运动）

阿氏圆基本解法：构造相似(且一般为子母型相似)

阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +（这个式子姑且称为阿圆问题的一般式，有时需要提取系数转化成一般式）

第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP 、OD ； 第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度；

第三步：计算这两条线段长度的比

OP

m OD =； 第四步：在OD 上取点M ，使得OM

m OP

=；

第五步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．

例题 一 向内构造类型

1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，12AP BP + 最小值__________.1

3

+BP AP 最小值__________.

x

y

x

y

M

C

B

A

P

C

B

A

P

C

D

A

P

E

B

(第1题) （第2题） （第3题） 2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2

2

PA PC +

的最小值是 ． 3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则

3

2

PB PD +

的最小值为 ． 4．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为上一动点，

求

PC +PD 的最小值______________．

5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12

PD PC +24PD PC +的最小值，1

2

PD PC -

的最大值． （2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23

PD PC +

的最小值,2

3

PD PC -

的最大值,23+PC PD 的最小值． （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，求

12PD PC +的最小值和1

2

PD PC -的最大值．3+PC 的最小值 D

A

C

D

A C

D

A

B

B

B

P P

P

C

图1 图2 图3

变式练习一：

1.如图，已知AC=6,BC=8,AB=10, ○C 的半径为4，点D 是○C 上的一个动点，连接AD ，BD ，则1

2

AD BD +

的最小值_________.2

3

+

BD AD 的最小值_______ 2.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D 是△ABC 内一动点，且满足CD=2,则2

3

AD BD +的最小值____________.1

2

+

BD AD 的最小值_______ 3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3,CB=4. ○C 的半径为2，点P 是○C 上一动点，则12

AP BP +的最小值______________2

3

+

PB PA 的最小值_______

4.

如图，○O

,MO=2,∠POM=90°，Q 为○

O 上一动点，则PQ+

2

QM 的最小值

____________.+

MQ PQ 的最小值_______ 5.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，○B 的半径为2，P 为○B 上一动点，则PD+

1

2

PC 的最

小值_______.6

+

PC PD 的最小值_______ 6.在△ABC 中，AB=9,BC=8,∠ABC=60°，○A 的半径为6，P 是○A 上一动点，连接PB,PC ，则3PC+2PB

的最小值_____________+PB 的最小值_______