单色光波场的一般数学描述
光学信息第二章1-2
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由 于波长λ极小，k 2 很大，上式中第二项不能 省略
coscos平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况考虑cosexpcos复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差的两相邻等相位线的间距x表示则有x方向的空间频率用表示单位因此y方向的空间频率cos传播方向余弦为cos0的单色平面波在xy平面上的复振幅分布可用xy方向的空间频率来表示
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x 不再和单色平面波 , fy) 述。但空间频率 exp j2 ( f x x 也就不再对应沿某一 f y y) 有关， 方向传播的平面波。
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 代表了一个传播方向余弦为 (cos , cos ) 的单色平面波。 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分 cos 布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 f z 有 U ( x, y, z ) a exp j 2 ( f x x f y y f z z ) • 由 cos2 cos2 cos2 1 有 f 2 f 2 f 2 1 x y z 2
2.2
一、什么是单色光波
§2—2 单色光波及其描述一、什么是单色光波波动的特征●波，振动的传播。
振动在空间的传播形成物理量在空间的分布，形成波场。
间的分布形成波场●波动的最基本特征是具有周期性光波场具有时间和空间两重周期性•波场中任一点：具有振动的周期性，即时间周期性，的周期性即时间周期性用振动的周期T描述。
•任一时刻：波场具有空间分布的周期性，即物理量在空间作周期分布，用波长λ描述。
单色光波可用下列波函数表示[]⎪⎨⎧-=)(cos )(0p t p E E ϕω 具有下述性质的波场为定态波场：[]⎪⎩-=)(cos )(0p t p H H ϕω•（1）空间各点的振动是同频率的简谐振动；•（2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布定的振幅分布；•（3）初始相位的空间分布与时间无关；•（4）光波的波列在空间上无线延伸光源发光时间无限长；（4）光波的波列在空间上无线延伸，光源发光时间无限长；•满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波列。
但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时，可将其当作无限长波列处理。
任何复杂的非单色波都可以分解为系列单色波的叠加•任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。
光波是电磁波（矢量波），电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢等物理量，都是矢量。
cos (t E t E ω-= 电场分量的振幅磁场分[])()),(0p p p ϕ振幅、磁场分量的振幅、波长、频率、速度等物理量是标量。
二、有关光波的几个概念⎧⎤⎡z 一列沿z轴正向传播的平面简谐电磁波可表示为⎪⎪⎪⎨⎤⎡-⎥⎦⎢⎣+-=E z v t p E E ϕω)(cos )(0 ⎪⎩⎥⎦⎢⎣+=M v t p H H ϕω)(cos )(0 E 、H 、V 三者相互垂直三者相互垂直，，构成右手系成右手系。
光波是横波光波是横波，，有两个偏振态有两个偏振态。
电场和磁场的振幅都是常并且相互成比例。
信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]
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2015/11/18§2‐1 二维光场分析1. 光振动的复振幅表示单色光场中某点在某一时刻的光振动可表示成：()()(),cos 2πνφu P t A P t P =-⎡⎤⎣⎦(){}[2πνφ()],Re ()j t P u P t A P e--=用复指数函数表示上式：{}φ()2πνRe ()j P j tA P ee-=2015/11/18令-—复振幅()()()exp φU P A P j P =⎡⎤⎣⎦复振幅包含了点P处光振动的振幅和初相位，——是位置坐标的复值函数，与时间无关——定态光场(){}φ()2πν,=Re ()j P j tu P t A P ee-00注：平方根二项式展开1 112b b +=+-2015/11/18)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=线性位相因子和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分。
Cy x =+βαcos cos 等相位线方程为可见，等位相线是一些平行直线。
2015/11/18π2yx-虚线表示相位值相差的一组波面与平面的交线，——等相位线.2015/11/18如何理解空间频率、空间周期？2015/11/18若假设波矢k位于平面0x z exp[cos ]A jkx α=)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=——一列沿波矢k方向传播的平面波2015/11/18空间频率与平面波的传播方向有关，——波矢量与轴的夹角越大，则λ在轴上的投影就越大，即在某方向上的空间频率就越小，——空间频率的最大值是波长的倒数。
2015/11/18尽管各方向的空间频率不同——沿波的传播方向波场的空间周期恒为。
空间频率恒为λλ/1=f。
ch2-2单色波及其描述
§2—2 单色光波及其描述一,什么是单色光波波动的特征 波,振动的传播.振动在空间的传播形成物理量在空 间的分布,形成波场. 波动的最基本特征是具有周期性光波场具有时间和空间两重周期性 波场中任一点:具有振动 的周期性,即时间周期 性,用振动的周期T描述. 任一时刻:波场具有空间 分布的周期性,即物理量 在空间作周期分布,用波 长λ描述.单色光波可用下列波函数表示 v v E = E0 ( p ) cos[ωt ( p )] v v H = H 0 ( p ) cos[ωt ( p )] 具有下述性质的波场为定态波场: (1)空间各点的振动是同频率的简谐振动; (2)波场中各点扰动的振幅不随时间变化,在空间形成一个稳 定的振幅分布; (3)初始相位的空间分布与时间无关; (4)光波的波列在空间上无线延伸,光源发光时间无限长; 满足上述要求的光波应当充满全空间,是无限长的单色波列. 但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时,可将其当作无限 长波列处理. 任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加.光波是电磁波(矢量波),电场分量,磁场分 量,波的传播方向即波矢等物理量,都是矢量.v v E ( p , t ) = E 0 ( p ) cos [ω t ( p ) ]电场分量的 振幅,磁场分 量的振幅,波 长,频率,速 度等物理量是 标量.二,有关光波的几个概念一列沿z轴正向传播的平面简谐电磁波可表示为v v z E = E 0 ( p ) cos ω (t ) + E v v v H = H ( p ) cos ω (t z ) + 0 M v E,H,V三者相互垂直,构 成右手系.光波是横波, 有两个偏振态. 电场和磁场的振幅都是常 数,并且相互成比例. E与B同相位.平面单色光波示意图2π时间内的频率,圆频 率(角频率) 2π 长 度 内 的 频 率 , 角波数,波矢 波的相位,与时间和空 间相关ω = 2πν = 2πc λk = 2π / λxr r1r K ( P , t ) = ω t kx + 0振动取决于相位,所以振动 的传播就是相位的传播. yr r2 z波矢的方向角表示 在数学中常用方向余弦表示矢量的方向,即用矢量与坐标轴间 的夹角表示 在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角表示矢量的方向Xv k0 θ2βYθ3 αθ1γZr r r r k = k (cos αex + cos βe y + cos γez ) r r r r k = k (sin θ1ex + sin θ 2 e y + sin θ 3ez )波面:波场空间中相位相同的曲面构成光波的等相位 面,也称波阵面. 波前:光波场中的任一曲面,如物平面,像平面,透镜 平面,以及波场中任意被考察的平面. 等幅面:振幅相等的空间点构成的曲面. 波线:能量传播的路径. 在各向同性介质中,波线与波面垂直,与波矢的方向相 同;几何光学中,波矢就是光线. 共轭波:复振幅互为共轭的波. 互为共轭的波,其传播方向应该是相关联的.一般来 说,共轭波是原波的逆行波,但是若考虑某一平面的复 振幅分布,则产生其共轭复振幅的共轭波有两个.三,平面单色波和球面单色波的物理描述可根据波面的形状将光波分类:平面波,球面波,柱面波等. 位相相同的空间点应满足下述方程(相同时刻): ( p ) = Const .波场空间中任意一点P的位置矢量场点:r r r P ( x , y , z ) = xe x + ye y + z e z波线波面平面波柱面波球面波1. 平面波:波面是平面 振幅为常数 空间相位为直角坐标的线性函数r r ( p) = k r + 0 = k x x + k y y + k z z + 0波面r r k r = Const.满足上式的点构成与波矢垂直的一系列平面波场中一点(x,y,z)处的相位为 ( x, y, z ) = k ( x sin θ 1 + y sin θ 2 + z sin θ 2 ) + 0通常取一平面在z=0处,则该平面上的相位分布为 ( x, y,0) = k ( x sin θ 1 + y sin θ 2 ) + 0XOY平面OZ如果平面波沿z向传播,则其波面垂直于z轴.轴上某 一点z处的波面在t时刻的位相为 ( z , t ) = kz ωt + 0在下一时刻,t ′ = t + dtz ′ = z + dz设该波面的位置为kz ωt + 0 = k ( z + dz ) ω (t + dt ) + 0kdz = ωdt相速度 (沿+z向传播)dz ω 2πν = = = νλ v= dt k 2π λ如果波面的表达式为 (t , z ) = kz ωt + 0其相速度为dz ω v= = = νλ dt k向-z方向传播2. 球面波:波面是球面波面为球面,从点源发出或向点源汇聚; 振幅沿传播方向正比于1/r. x K P(x,y,z)Eo (r ) = A0 / rO∑0z ∑如果波源为O(0,0,0),波面为 ( p ) = kr ωt + 0 kr ωt + 0 = k (r + dr ) ω (t + dr ) + 0dr ω v= = dt k从原点发出的发散球面波如果波面为 ( p) = kr ωt + 0向原点汇聚的球面波ω dr = v= dt k(0,0,z0)发出的球面波在(x,y,0)平面的振动为E+ ( x, y,0) =A0 x + y + z02 2 2cos[k x 2 + y 2 + z0 ωt + 0 ]2(0,0,-z0)出发出的球面波在(x,y,0)平面上的振动亦为 A0 2 2 2 E ( x , y ,0 ) = cos[k x + y + z0 ωt + 0 ] 2 2 2 x + y + z0向(0,0,z0)点汇聚的球面波为E *+ ( x, y,0) = A0 x + y + z02 2 2cos[ k x + y + z0 ωt + 0 ]2 2 2向(0,0,-z0)点汇聚的球面波为E * ( x, y,0) = A0 x + y + z02 2 2cos[k x 2 + y 2 + z0 ωt + 0 ]2四.光波的复振幅描述可以用复指数的实部或虚部表示余弦或正弦函数,所 以可以用复数来描述光波的振动r r i [ ω t ( p )] E ( p , t ) = E 0 ( p )e上式中的实部是正态光场的波函数,复数波函数也可 以等价地来描述单色光波.同样单色光波的标量波函 数也可写成复数形式~ i[ωt ( p )] i ( p ) i ωt E ( p , t ) = E0 ( p ) e = E0 ( p ) e e定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中. 定态部分,即与时间无关部分为,定义为复振幅~ i ( p ) E ( p ) = E0 ( p ) e复振幅包含了振幅和位相,直接表示了定态光波在空间P点 的振动,或者说复振幅表示了波在空间的分布情况. 单色平面光波的复振幅rr ~ E ( p) = E0 ( p )e i ( k r 0 ) = E0 ei [k ( x cosα + y cos β + z cos γ ) 0 ]单色球面光波的复振幅A0 i ( krrr 0 ) ~ E ( p) = e r光强的复振幅表示能流密度(即坡印廷矢量)的瞬时值如光波做简谐振动,E0为简谐振动的振幅,则有r r r r 2 n r2 S = S = E × H = ε r ε 0 μ r μ0 | E | = E cμ0r2 1 2 E = E0 2即r I= S =I = E02n 2 2 E0 ∝ nE0 2cμ 0在均匀介质中,通常取 光波场在P点的强度~ ~* I ( P) = E ( p) = E ( p) E ( p)2 0五,波的位相与光程 平面波,在一维情况下,位相为 ( p ) = kx + 0kx = 2πk =2πλ0nx =2πλ=2π nλ0λ0nsns为介质中波的光程位相由光程决定 即同一时刻,空间中光程相同的点,其位相也相同, 振动也相同. 波在不同媒质中,光程改变,产生折射,方向和波面 都会发生改变.棱镜,透镜的原理都可以从光程的变 化进行解释.反射和折射时波面的变化n1n2光波经过棱镜和透镜时波面的变化。
光波的数学描述
故可将复振幅波动方程化简为
( k ) U
其中 k 称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为
ReaP e
e
将花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量
jφP U Pa Pexp
称为单色光场中点的复振幅，它包含了点光振动的振幅和初位相， 仅仅是位置坐标的复值函数，与时间无关 光强可用复振幅表示成 I P U P UU *
亥姆霍兹方程
标量波动方程
作为空间和时间函数的电场或磁场分量 上满足标量波动方程
u
u
，在任一空间无源点
式中
x y z
v t
u
是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度 而
v
εμ
、 为介质的介电系数和磁导率。
满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波 都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波 的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
A a exp( jkz cos cos )
平面波的位相因子和等位相线
和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无 关的两部分
与坐标 x y 有关的 exp[ jk ( x cos y cos )]是表征平面波特点的线 性位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子， 就可以认为有一个方向余弦为 cos , cos 的平面波经过这个平 面
3.1 标量衍射理论
1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理 论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间 周期 频率 圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T
1
空间 单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。
第二部分光波的数学表述及叠加原理-
激光光波的波面（等相位面）是球面，但其
球面半径 R 随距离 z 而变；当 z = 0 或 z
时， R都为无穷大，即为平面波。
激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强
在中心（x=y=0）处最大，为（W0/W）。随着 x、y
增大，场强减小。当 x2+ y2= W2 时，场强降低到中心
EE2E 2E
对于E，微分方程为
2E
1 c2Biblioteka 2E t22E1 c2
2E t2
设波长为λ，传播方向为 z，则上式的解为：
ΕE0cos2(zct)/a E0co(skzt)a
k2/,kc
定义一矢量 k，其大小等于k，方向为波的传播 方向，则可推广到任意方向传播的波。
§2.4 光波的能量和动量 光强是和电磁场的能流有关的物理量。电 磁波的能量守恒表现为单位时间内流出（入） 闭合体积的电磁波能量等于单位时间内闭合体 积内的能量减少（增多）
一、电磁波的能量
电场能量与磁场能量体密度分别为：
we1DE10rE2
2
2
wm1BH10rH2
2
2
电磁场能量体密度为：
E E 0 ex i(k p r a [t)
E E 0 ex i(k p r a [t)]
k ' /v ,v 1 / 0 r0 r c/ rr
4、在介质中的参量
光波的传播速度 vc/ rr c/n
光波的角波数 光波的波长
介质的折射率
k/v/(cn)nk
2、物态方程
D0rE
H ( 1 )B
0r
εr为该介质的相对介电常数，μr为相对磁导率，jc 与介质
ch2-2单色波及其描述
k =
2π
λ0
nx =
2π
λ
=
2πn
λ0
λ0
ns
ns为介质中波的光程
相位由光程决定
• 即同一时刻，空间中光程相同的点，其相位也相同，振动也相 同。 • 波在不同媒质中，光程改变，产生折射，方向和波面都会发生 改变。棱镜、透镜的原理都可以从光程的变化进行解释。
反射和折射时波面的变化
n1
n2
光波经过棱镜和透镜时波面的变化
复振幅包含了振幅和相位，直接表示了定态光波在空间 P 点的振 动，或者说复振幅表示了波在空间的分布情况。 单色平面光波的复振幅
~ E ( p ) = E0 ( p )ei ( k ⋅r −ϕ0 ) = E0 ei [k ( x cosα + y cos β + z cos γ ) −ϕ0 ]
单色球面光波的复振幅
~ i ϕ ( p ) − i ωt − i[ωt −ϕ ( p )] E ( p , t ) = E0 ( p ) e e = E0 ( p ) e
• 定态光波的频率都是相等的，可以不写在表达式中。 • 定态部分，即与时间无关部分为，定义为复振幅
~ iϕ ( p ) E ( p ) = E0 ( p ) e
4.2 光波场的数学描述
（Electromagnetic theory of wave optics） §4.2 光波场的数学描述
一、波线和波面 波面：光场中具有相同相位的点所组成的面成为波 阵面或波面。平面波、球面波、柱面波等。 光线：代表光的传播方向和光能量传播方向的曲线
物理科学与信息工程学院 1
和相位 t k r 表征。各点的相位包含一个共
我们感兴趣的是各点相位的相对值，即
A(r )
k r
k r
项，
描述了同一时刻t各点相位的相对关系。
只要知道了 的空间分布，光场即可 完全确定，前面的光波的复振幅包含了振幅和相位 的这两个特征量，所以只要知道了光场的复振幅分 布，光场也就完全确定了。
式中A0是距点光源单位长距离处的光振幅。
3. 单色柱面波
柱面波是一个无限长的线光源 发出的光波，它的波面具有柱 面的形状。
物理科学与信息工程学院 9
用与球面波同样的方法可以证明，柱面波的波动 方程可以写成：
A0 E cos(t kr) r
光波到达的整个空间称为光场。由前面的讨论可 以看到，要描述光场就必须同时给定空间各点光 振动的振幅和相位。平面波、球面波和柱面波三 种单色波的波动方程可以统一写成：
若平面波沿Z方向传播，则波动方程可表示为
E E0 cos(t kz 0 ),
单色平面波的振幅和传播方向均保持不变。
物理科学与信息工程学院 5
在波场中相位相同的点所组成的曲面成为波振面 或波面。平面波的波面为平面。
波面
物理科学与信息工程学院 6
2. 单色球面波
球面波是波动的另一种简单形式。从点光源发出的 光在各向同性的均匀介质中传播时，其波面是以点光 源为中心的球面，具有球对称性。
高二物理竞赛课件光波的数学描述
于角谱的模和幅角。
惠更斯—菲涅耳原理
“波前上的每一个面元都可以看作是一个次 级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且， “后一时刻的波前的位置是所有这些子波前 的包络面。”
——《论光》,惠更斯 , 1690
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作 是一个频率（或波长）与入射波相同的子波 源；在其后任何地点的光振动，就是这些子 波叠加的结果。”
dS
h P, P0
1 K e jkr
j
r
U P U P0 h P, P0 dS
若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为
U x, y U x0 , y0 h x, y; x0, y0 dx0dy0
这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此光波的传播现象可以 看作是一个线性系统！
在傍轴近似下，K 1 ，则上述线性系统的脉冲响应函数简化为，物理意义
h x, y; x0, y0
1 j
e jkr r
1 j
exp
jk
z2
x
x0
2
y
y0
2
z2 x x0 2 y y0 2
h x x0, y y0
脉冲响应函数具有空间不变的函数形式，也就是说光波在衍射孔径后的传播现象 可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。
r
2
r
dS
其中，P是照明孔径的点光源，P0是孔径上某 一点，P为孔径后面某一观察点，r和r分别P 和P到P0的距离（图3-3）。上式称为菲涅耳— 基尔霍夫衍射公式，它为惠更斯—菲涅耳原 理提供了更可靠的波动理论基础。
光波场的数学描述
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l
等位相面与x-z平面相交 形成平行直线
沿x方向的等相线 间距:
z
2p l X k cos a cos a
复振幅分布:
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
U ( x, y,) exp( j
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
1 cos a fx X l
Y = ∞, fy=0 复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
平面波的空间频率: 一般情形
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
P点处的复振幅:U ( P )
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0,Fra biblioteky0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
光波的数学描述
将U(P)exp(-j2pn t)代入波动方程
光波的数学表述及叠加原理_2023年学习资料
单色平面波-波峰-Eo-Eol-k-波谷
3.用指数复函数来表示简谐波：-E=Eoexp{kr-ot+a]}-=Eoexpik.r+a]expiwt =Uk·rexp-iwt-复振幅complex amplitude:-Uk·r=Eo explk·r+a] 相位因子：expkr+a]-用复函数表示波动，在运算中带来方便，只有-复函数中E的实数部分才代表真正的物理 。
偏振面为oxz平面的偏振光-X-沿z轴传播的单色平面波的简谐波动形式：-Exz,t=Aexpilkz+at]-E乙，t=0-Bz,t=A/cexpikz+a-ot-Bxz.
§2.2球面波及高斯波-单色平面波并不是Maxwell方程组唯一的-解，一些在光学中经常遇到的波如：球面波 -高斯波也是它的解。-一、球面波与高斯波的产生及特点-1.产生：从点光源发出的传播到不太远距离处的光波-2 特点：等相位面和等振幅面都为球面-1.产生：从激光器发出的光波（激光）-2.特点：等相位面上的光强-振幅呈 斯函数分布
激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强-在中心x=y=0处最大，为W,W。随着x、y-增大，场强减小。 x2+y2=W2时，场强降低到中心-处的1/e,W为光束的宽度。激光束的宽度在=0时-最小，W为光束的腰。 x,y-3=乙2处-2=31处-的波面-e-l-Wo-0/2-Z1-Z2-z=0处的-光场振幅降为-光场振 分布-el处的轨迹
直角坐标系中的球面波-Px,y-R-P。0,0,-R-[R2+x2+y2]V2-x2+y212-Po
[R2+x2+y2]V2-Px,y-x2+y212-Po-0-在oxy平面上的某点Px,y受到的该球面-波 扰动所具有的复振幅为-Ux,y=A/PoPexplk.PoP+a]-由于R=|PoO,R>x2+y22-8 '-≈R1+-=R+-2R2
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在 z=z0 平面上的复振幅分布为：
exp( j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
exp
j2
cos
x cos
exp jk x cos y cos
等相位线方程 x cos y cos C
等相位线是一族等间距的平行直线。
1.7.2 平面波的空间频率
U
x,
y, z
a
exp
j2
cos
x cos
y cos
z
a exp j2 fx x fy y fz z
x方向：空间频率
x x0 2 y y0 2 c 等相位线是z=z0平面上, 以(x0,y0)
c是任意常数 为圆心的同心圆环族。(内疏外密)
2 单色平面波 在整个空间中:
U x, y, z a exp j kx cos ky cos kz cos
U x, y, z a exp jkz 1 cos2 cos2
fx
kx
2
cos
，
空间周期 dx
1 fx
cos
y方向：空间频率 f y
ky
2
cos
，
空间周期
dy
1 fy
cos
z方向：空间频率
fz
kz
2
cos
，
空间周期
dz
1 fz
cos
2
f
2 x
2
f
2 y
2
f
2 z
1
U x, y, z a exp j2
xfx yf y
exp
由衍射的角谱理论有:
cos Az (
,
cos
)
cos A0(
,
cos
) exp
jkz
1
cos2
cos2
2.3.2 夫琅和费衍射
近似条件：2
x02
y02
2 max
2z
2
z 1
2
x02 y02
2 max
则脉冲相应为：
h( x,
y; x0 ,
y0 )
exp( jkz)
j z
exp
ux
vy
合成光波场的复振幅分布：
N
U (x, y) Un (x, y) n1
N
a(un , vn ) exp j2 unx vn y , n1
un
cosn
,
vn
cos
n
U (x, y) a(u,v) exp j2 ux vydudv ,
u cos , v cos
❖与前面讲过的FT和IFT相联系，则更易理解，物理意
( x
x0 )2 ( y 8z4
y0 )2 2
h(x
x0 ,
y
y0 )
exp( jkz j z
)
exp
jk
x
x0 2
2z
y
y0 2
2.2 衍射的角谱理论 2.2.1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数
在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j2 ( fx x f y y) exp j2 (ux vy)
义更清楚：
F(u,v) f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy
f (x, y) F(u, v) exp[ j2 (ux vy)]dudv
F (u, v) 称为空间频谱，
F (cos , cos )
称为角谱。
第2章 光波衍射的线性系统分析（标量衍射角谱理论） ——标量波衍射理论
2.1.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
h( x x0 , y
y0 )
1
j
z
exp
jk
z2
(x
x0
)2
(
y
y0 )2
1
r
z2 ( x x0 )2 ( y
y0 )2
z
1
(
x
x0 z2
)2
(
y
y0 z2
)2
2
z
1
(x
x0 )2 ( 2z2
y
y0 )2
Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 数的频谱，传递函数为：
H
(u,
v)
exp
jkz
1
u2
v
2
0
当u2
v2
1 2
其它
2.2.3 衍射孔径对角谱的作用（影响）
2.3 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
2.3.1 菲涅耳衍射
近似条件: z3 (1) 空域表示
1
8
( x
x0 )2
1.7.1 单色光波场的一般数学描述
实波函数： u(r,t) a (r) cos (r) t
复波函数： u(r,t) a(r) exp j (r) t
a(r) exp j(r) exp jt
复振幅：
U (r) a(r) exp j(r)
k 2
(r) k r 0
1 球面波复振幅：
U (r) U (x, y, z) a exp j(r)
a
exp
j
k r
a exp j kx x ky y kz z
a exp j k cos x k cos y k cos z
a
exp
j2
cos
x
cos
y
cos
z
a exp j2 fx x fy y fz z
干涉、衍射满足：1.衍射孔径比波长大得多， 2.观察点离衍射孔不太贴近。
2.1 光波衍射的线性系统分析-基尔霍夫波衍射理论 2.1.1 惠菲原理与基尔霍夫衍射公式 2.1.2 惠菲原理与叠加积分 2.1.3 相干光场在自由空间的平移不变性
设点源S与场点Q距 衍射屏足够远（即z0, z 足够大），且观察范围 较小, 即:
x x0 2 y y0 2 z02 ]
如果在 z=z0 平面上，观察考察的区域较小，且z0较大时，
则在z=z0平面上的波前函数可表示为：
U (x,
y,
z0 )
a z0
exp(
jkz0 ) exp
jk
x
x0 2
2z0
y
y0
2
上述近似称为 傍轴近似；
等相位面与z=z0平面的交线（等相位线）的方程为：
( x2 y2 )max z2
S
h(Q, P) 1 exp( jkr)
j r
(x0,y0) P
r0
(x,y)
rQ
z U ( x0 , y0 )
U(x, y)
h( xo , yo; x, y)
1
j
z
exp
jk
z2
(
x
xo
)2
(
y
yo
)2
h( x x0 , y y0 )
U( x, y) U0( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0 U0( x, y) h( x, y)
j
2
z
1
2
f
2 x
2
f
2 y
U0
x,
y,
0
exp
j
2
z
在波矢方向上:
1
2
f
2 x
2
f
2 y
f
f
2 x
f
2 y
f
2 z
1
k
2
在与波矢方向夹角为 的方向：
d 1
f
f cos d
cos
k
r 0 k
r
cos
0
2
cos
r 0
1.7.3 复振幅分布的空间频谱(角谱)
❖单色平面波复振幅分布与空间频谱(角谱)
y
正好是线性平移不变系统的本征函数。
2.2.2 平面波角谱的传播
cos cos
cos cos
Az ( , ; z) A0( , ;0)exp
jkz
1 cos2 cos2
Az (u,v) A0(u,v)exp jkz 1 (u)2 (v)2 A0(u,v)H(u,v)
jk
x2 y2 2z
exp
j2 ( x z
x0
y z
y0 )
则衍射的光场分布为:
不再具有平移不变性
U( x, y) U0( x0 , y0 )h( x, y; x0 , y0 )dx0dy0
exp( jkz) j z
exp
jk
x2 y2 2z
FT
U0 ( x0 , y0 )
U ( x,
y)
exp( jkz)
j z
exp
jk
x2 y2 2z
FT
U0 ( x0 ,
y0 )exp
jk
x02 y02 2z
u x z , v y z 菲涅耳衍射的FT表示
(2) 空间频谱或角谱表示 传递函数:
H(u,v) exp( jkz)exp jz(u2 v2 )
a exp j2 ux vy wz
z=z0的平面上:
U (x, y, z0 ) a exp( j2
cos