北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案

【考纲要求】
1. 会求一些简单函数的定义域和值域；
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】
【考点梳理】 1．单调性
（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。

（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差
)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的
正负符号；⑤根据定义下结论。

复合函数分析法
设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

如下表：
()u g x =
()y f u =
[()]y f g x =
增
增
增
函数的基本性质 奇 偶 性
单 调 性
周 期 性
增 减 减 减 增 减 减
减 增
导数证明法
设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数）
，则'()0('()0)f x f x ≥≤。

图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

2、奇偶性 (1)定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔
)
()
(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔
)
()
(x f x f -=1 (f(x)≠0) (2)奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. 【典型例题】
类型一、求（判断）函数的单调区间
例1.证明函数()(0)a
f x x a x
=+>在区间)+∞是增函数。

解：设21x x a <<，
2
12
22
111
22112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 2
1211221121221)
)(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=
21x x a << 012>-∴x x
a x x >21 0)()(12>-∴x f x f
∴函数()(0)a f x x a x
=+>在区间(,)a +∞是增函数。

举一反三：
【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21
y x
=. 解：(1)⎩
⎨
⎧-<---≥+=)1x (1x )
1x (1x y 画出函数图象，
∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=
-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，u
y 1=在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=
,21,21,121在x y 上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2
x 1
y =
单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).
类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a 2
-a+1)与3()4
f 的大小.
解：
22133
a -a+1=(a-)+>0244
≥
又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则2
3
(-1)()4
f a a f +≤. 例3. 已知二次函数f(x)=x 2
-(a-1)x+5在区间1
(
,1)2
上是增函数，求：(1)实数a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)∵对称轴-1
2
a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需
-11
222
a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22
-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
[)f(2)7,+∴∈∞.
举一反三：
【变式】已知函数32
,2
()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是________. 解：2
()(2)f x x x
=
≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.
类型三、判断函数的奇偶性 例4. 判断下列函数的奇偶性：
(1)()(f x x =+
(2)()f x =(3)f(x)=x 2
-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)()|2|-2
f x x =+
(6)22-(0)
()(0)
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩ (7)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈
解析：(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域[)1+∞，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2
-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2
-4|x|+3为偶函数 ；
(4)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(5)[)(]2-1x 1
1-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨
⎨≠≠≠±⎩⎩且
()(2)-2f x x x
∴==
+
(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；
(6)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (7)
11
(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22
f x
g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.
举一反三：
【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例5. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x 2
-x ，求当x ≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.
解析：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x>0时，-y=(-x)2
-(-x)
即y=-x 2
-x 又f(0)=0，22-x -x x 0f(x)=x -x x<0
⎧≥⎪∴⎨⎪⎩，如图
举一反三：
【变式】定义在[－1，1]上的函数y ＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a 2
－a －1)＋f(4a －5)＞0，求实数a 的取值范围. 解析：
2222(1)(45)()(1)(45)
111
333145112145
333
12
f a a f a f x f a a f a a a a a a a a a a -->--∴-->-+⎧-<--<-+⎪
∴-<-<≤<
⎨⎪--<-+⎩
-+∴≤<
由题得函数是奇函数 解之得的取值范围为。