北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案
北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案
【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质.3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1.如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ⎫=⇒=⎬=⎭3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即0N >；(2)1的对数为0，即log 10a =；(3)底的对数等于1，即log 1a a =.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数图象与性质对数运算性质 对数函数的图像与对数的概念 指对互化运算以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、(1)()log log log a a a MN M N =+；推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N=-； (3)log log a a M M αα=.(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:(1) )(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即aM b c c log log =， 即)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1log ≠>≠>=b b a a ab b a . 考点二、对数函数及其图像、性质1.函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的图像过点(1，0)(3)当a>1时，0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>⎧⎪<<==⎨⎪><<⎩当时，【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1)2log 83=；(2)13log 92=-；(3)3log3x =；(4)45625=；(5)1133-=；(6)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】(1)328=；(2)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)33x =； (4)5log 6254=；(5)31log 13=-；(6)14log 162=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x 的值： (1)642log 3x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2-ln e x =【解析】(1)2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====；(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 (3)10x =100=102，于是x=2；(4)由222ln ln 2x e x x e ee x --=-===-，得，即所以. 类型二、对数运算法则的应用例2.求值(1) log 89·log 2732 (2)91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (3))36log 43log 32(log log 42122++ (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 【解析】(1)原式=91035322log 3log 532233=⋅=⋅. (2)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=--- (3)原式=1222223log (5log log 6)4-++ 22223log (5log log 6)log 834=-+== (4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251(3log 5log 5log 5)(3log 2)3=++52133log 2log 5133=⋅= 举一反三：【变式】已知：log 23=a ， log 37=b ，求：log 4256=?【解析】∵ 3log 12log 23= ∴a12log 3=， 33342333log 56log 7log 8log 56log 42log 7log 6+==+3333log 73log 2log 71log 2+=++ 13113+++=+++=a ab ab a b ab 类型三、对数函数性质的综合应用例3.已知函数)2(log )(221x x x f +-=（1）求函数)(x f 的值域；（2）求)(x f 的单调性【解析】222221122212212212(1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10log (-2)[0,).(2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v uu x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴由题得当时，函数的值域为设函数在（）上是增函数，在（）上是减函数。
北京市第四中学高三数学总复习 导数函数的综合 知识讲
高考冲刺：导数与函数的综合【高考展望】1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用， 5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】考点一、求切线方程的一般方法，可分两步： （1）求出函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '；（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 【高清课堂：导数的应用（理）394572知识要点】考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当'()0f x >时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当'()0f x <时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有'()0f x =时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，'()0f x >是f(x)在(a ，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而f(x)在R 上递增。
②学生易误认为只要有点使'()0f x =，则f(x)在(a ，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有'()0f x =，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
北京四中高中数学 函数及其表示方法基础知识讲解 新人教A版必修1
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；{|}(,);x a x b a b(]x a x b a b≤<=；{|},{|},x a x b a b<≤=；[)(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y是x的函数？（1）222;+=x y（21;（3）y=【答案】（1）不能（2）能（3）不能【解析】（1）由222,x=时，由它所确定的y x y+=得y=y是x的函数，如当1值有两个，即y=1±.（2）1,=得2(11y =+，∴当x 在{}|1x x ≥中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数.（3）由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ∈∅， 故由它不能确定y 是x 的函数.【总结升华】判断由一个式子是否能确定y 是x 的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x 的取值的集合中任意一个x 的值，由式子是否可确定唯一的一个y 的值与之对应，也可以看由式子解出的x 的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值.【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例2】例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g =（2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g +=（4）|x |)x (f =；2x )x (g =【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是{}|0,x x x R ≠∈，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数；(3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则f ，其中核心是对应法则f ，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数； (2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)2-1()-3x f x x =；(2)()f x =(3)()f x =. 【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（1）(,()-∞⋃⋃+∞（2）8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）(]6,2-【解析】 (1)21()3x f x x -=-的定义域为x 2-3≠0，(,()x ∴≠∴-∞⋃⋃+∞定义域为：；(2)88()-80,,33f x x x ⎡⎫=≥≥∴+∞⎪⎢⎣⎭3得，定义域为；(3)(]202() 6,260-6x x f x x x -≥≤⎧⎧=∴-⎨⎨+>>⎩⎩得定义域为. 【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞； (3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2-46x+40，4x 2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x 2-46x+40；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2×(2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为()(())g f x g x f g x −−→−−→，类似的g(f(x))为()(())f g x f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；2-2(2)()-23; (3)()3x f x x x f x x =+=+. 【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）)2,⎡+∞⎣；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．【解析】(1)法一：配方法求值域． 2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．(2))22-23(-1)22,2,y x x x ⎡=+=+≥+∞⎣值域为； (3)-23-5551-,0,13333x x y y x x x x +===≠∴≠++++Q ，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3．【解析】（1）0,11≥Q，即所求函数的值域为[)1,+∞； （2）213x y x +=-2672(3)772333x x x x x -+-+===+---，703x ≠-Q ，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠； （3）2211x y x -=+2211x =-++ Q 函数的定义域为R22211,021x x ∴+≥∴<≤+，221111x ∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-．（4）y ==Q20(2)99x ≤--+≤Q∴所求函数的值域为[]0,3．类型四、映射与函数【高清课程：函数的概念与定义域 例1】例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)x n f x x n =⎧=⎨=+⎩．（4）是映射，也是函数．（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．【答案】（1）2()483f x x x =++；（2）2()243f x x x =-+；（3）2()2f x x x=---． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.(1)用代入法，22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++．(2)法一：换元法令1t x =+，则1x t =-，所以22()2(1)1243f t t t t =-+=-+即：2()243f x x x =-+.法二：凑配法 2(1)21f x x +=+=22(1)4(1)3x x +-++，所以2()243f x x x =-+．(3)Q 1()2()32f x f x x -=+ ①，用1x 代替上式中的x ，得13()2()2f f x x x -=+ ② 由①②联立，消去1()f x，得 2()2f x x x=--- 故所求的函数为2()2f x x x=---．【总结升华】（1）由()y f x =求[]()y f g x =，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出()y f x =的解析式．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x 2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+21x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；【总结升华】求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x+=-；（3）2|2|1y x x =-+． 【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
北京四中高中数学 指数函数、对数函数、幂函数综合基
指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【知识框图】【要点梳理】要点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n n n a a =；当n ,0,,0;n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)nna a =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m n mna aa m n N n =>∈>；()10,,,1mnm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)r s r sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr r ab a b =要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.要点三、对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四、对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a 逐渐减小.要点五、反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 要点六、幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.化简与计算下列各式 （1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--． 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】（1）1615；（2）100；(3)2a ． 【解析】 (1)原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1+11610-=1615；(2)原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =5937100331648++-+=100(3) 原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)133241116()()8()100481----+⋅；. 【答案】（1）-27；（2【解析】(1)1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=-⎪⎝⎭；133⎫=1)1)=-=-=例2．已知：4x=，求：111244311422111x x xxx x x-+⋅⋅+++的值.【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法.【答案】2【解析】111244311422111x x xxx x x-+⋅⋅+++11441411122411111x xxxxx x⎛⎫+⎪-⎝⎭=⋅⋅+⎛⎫++⎪⎝⎭1111442211122211111111x x xx x xx x x--=⋅⋅+=+=-+=++∴当4x=时，111112442231142211421x x xx xx x x-+⋅⋅+===++.【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．11112222a b a b a b⎛⎫⎛⎫+-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2111122222a b a a b b⎛⎫±=±+⎪⎝⎭;112112333333a b a a b b a b⎛⎫⎛⎫±+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭m例3.计算(1)2221log log12log422-； (2)33lg2lg53lg2lg5++；(3)222lg5lg8lg5lg20lg23+++．【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14．【解析】(1)原式=122221log 12log log 22-⎛⎫===-； (2)原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++ =()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1(3)原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++=()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧. 【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）A.0B.1C.2D.4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==．【变式2】(1)2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；(2)3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 【答案】(1)2；(2)54． 【解析】(1) 原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；(2) 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例4.已知函数3log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 则1(())9f f =( )A.4B.14C.-4D.-14【答案】B【解析】1)12(log )2(23=-=f ，0((2))22f f e ==.【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值. 举一反三：【变式一】已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（ ）．A.12B. 45 C. 2 D. 9 【答案】C ．【解析】1,()21,(0)2x x f x f <=+∴=Q ，由((0))4f f a=，则有(2)4f a =．21,(),442x f x x ax a a ≥=+∴=+Q ，2a ∴=，选C ．例5.函数1()f x x=的定义域( ) ． A.(][),42,-∞-+∞U B.()()4,00,1-U C.[)(]4,00,1-U D. [)()4,00,1-U 【答案】D【解析】220,320,340,0.x x x x x ≠⎧⎪-+≥⎪⎨--+≥>【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零． 【高清课堂：幂指对综合377495 例4】 例6．函数1-xA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出2(0)xy x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||2x y =的图象，再把||2x y =的图象右移一个单位，得到12-=x y 的图象，故选B【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】例7. 函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
北京四中七年级上册数学一次函数的图象和性质--知识讲解(基础)
一次函数的图象和性质—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此b ＝2，可以设函数的解析式为2y kx =+，再利用过点（1.5，0），求出相应k 的值.【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.解：设函数的解析式为y kx b =+.Q 它的图象过点（1.5，0），（0，2）41.50322k b k b b ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴ ∴该函数的解析式为423y x =-+. 【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数2y x =的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】 23y x =-；提示：设一次函数的解析式为y kx b =+，它的图象与2y x =的图象平行，则2k =，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋b ．解得3b =-．∴ 一次函数解析式为23y x =-．【变式2】（1）已知直线(0)y kx b k =+≠，与直线2y x =平行，且与y 轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．（2）若直线(0)y kx b k =+≠与31y x =+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．【答案】（1）22y x =-；（2）32y x =+或3y x =.提示：（1）因为所求直线与2y x =平行，所以2y x b =+，将（0，－2）代入，解得2b =-，所以22y x =-.（2）由题意得3k =，假设点（1，4）在31y x =+上面，那么点（1，5）或（1，3）在直线3y x b =+上，解得2b =或0b =.所求直线为32y x =+或3y x =.类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x (度)与应付电费y (元)的关系如图所示．根据图象求出y 与x 的函数关系式．【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．【答案与解析】解：根据图象，当0≤x ≤50时，可设解析式为y kx =，将(50，25)代入解析式，所以12k =，所以12y x =； 当x ＞50时可设解析式为y ax b =+，将(50，25)，(100，70)代入解析式得502510070a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得0.920a b =⎧⎨=-⎩，所以0.920y x =-．所以当0≤x≤50时函数解析式为1 2y x=；当50x>时函数解析式为0.920y x=-．∴所求的一次函数解析式为：1(050)20.920(50)x xyx x⎧≤≤⎪=⎨⎪->⎩．【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数()()243y m x n=++-．（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围.【答案与解析】解：（1）240m+>，即m＞－2，n为任何实数时，y随x的增大而增大；（2）当m、n是满足24030mn+≠⎧⎨-=⎩即23mn≠-⎧⎨=⎩时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，则24030m n +>⎧⎨->⎩，即23m n >-⎧⎨<⎩． 【总结升华】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k ＞0，b ＜0时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k ＜0，b ＞0时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k ＜0，b ＜0时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①y 随着x 的增大而增大②与x 轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =+【答案】C ；【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①y 随着x 的增大而增大②y 与x 轴的正半轴相交．C 中当k ＞0，b ＜0，y 的值随x 的值增大而增大，且与x 的正半轴相交，符合条件．故选C ．【总结升华】根据k ，b 的正负来确定一次函数图象所处的象限.举一反三： 【变式】函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（ ）．【答案】B ；提示：不论k 为正还是为负，k 都大于0，图象应该交于x 轴上方，故选B.。
高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案
函数的基本性质（基础）【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
人教版北京市第四中学高中数学3函数的基本性质(单调性) (共13张PPT)教育课件
-1 o 1
x
10
练习:P44 强化训练8
已知函数 f(x)x22xa,x[1,) x
(1)当 a 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; 2
(2)若对任意 x [1, ),f(x)0恒成立,
求实数的取值范围.
11
单调函数的应用
一.根据自变量的大小关系得函数值的大小:
f (x)
4.已知 f ( x ) 为单调函数,利用 " x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 或 f ( x 1 ) f ( x 2 ) )
的“正逆互推”关系求解参数.
3
一.复习巩固
证明下列函数的单调性:
1. f ( x) x 3 1( x R ) 2. f ( x) 1 x (1, )
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
北京四中高考数学总复习 定积分和微积分基本定理知识梳理教案
定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分，利用定积分求面积。
【知识网络】 【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式11()()nnn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()ba f x dx ⎰，即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.要点二、定积分的性质（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）， （2）[]1212()()()()bbba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，（3）()()()bcba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中bc a <<）， （4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0bb f x dx -=⎰；若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.要点三、微积分基本定理如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F xc f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()b a F x .因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义 设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续.在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bba a S f x dx f x g x dx ==-⎰⎰； 2. 如图，由三条直线x a =，xb =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =()(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb b aaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰；3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b=()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()b b b aaaS f x dx f x f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()ba S v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π0)cos (sin dx x x ； （2）dx xx x ⎰+-212)1(； （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x，∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰. （3）∵(sin )cos '+=+x x x e x e ，∴001(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰；【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。
北京四中数学必修四正弦函数、余弦函数的性质基础版
正弦函数、余弦函数的性质编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R （2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．要点诠释：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =【答案】2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得1cos 12x -≤≤． 画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．举一反三：【变式1】求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴52266k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭． 例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x （2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）cos 2cos 1x y x -=-．【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 （1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sinx ≤5，∴函数的值域为[1，5]．（2）∵66x ππ-≤≤，∴20233x ππ≤+≤． ∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴02sin 223x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]．（3）∵cos 2cos 1111cos 1cos 11cos x x y x x x---===+---， 当cos x=－1时，min 13122y =+=，∴函数的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．举一反三：【变式1】 求y=cos 2x+4sin x ―2的值域． 【解析】y=cos 2x+4sin x ―2=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]． 类型二：正弦函数、余弦函数的单调性 例3．求2sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调区间． 【思路点拨】要将原函数化为2sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭再求之. 【解析】∵2sin 2sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数2sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递增区间就是函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间．∴322242k x k πππππ+≤-≤+（k ∈Z ），得372244k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ）．∴函数2sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递增区间为372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．【总结升华】函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间的确定，基本思想是把ϕω+x 看作一个整体．举一反三：【变式1】求函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间． 【解析】已知函数sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．欲求该函数的单调递减区间，只需求sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间．由222232k x k πππππ-≤-≤+（k ∈Z ），解得51212k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）． 所以原函数的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性 例4．判断下列函数的奇偶性：（1）5())2f x x π=+；（2）()f x =；【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()f x x =，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．【解析】（1）函数定义域为R ，且5()22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然有()()f x f x -=恒成立．∴函数5()22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数．（2）由2sin x －1＞0，即1sin 2x >，得函数定义域为52,266k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证()f x -是否等于()f x -或()f x ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． 举一反三：【变式】关于x 的函数)(x f =sin(x+ϕ)有以下命题： ①对任意的ϕ，)(x f 都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使)(x f 是奇函数； ④对任意的ϕ，)(x f 都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】当ϕ=2k π，k ∈Z 时，)(x f =sinx 是奇函数. 当ϕ=2(k+1)π，k ∈Z 时x x f sin )(-=仍是奇函数. 当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，)(x f =cosx ，当ϕ=2k π-2π，k ∈Z 时，)(x f =-cosx ，)(x f 都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使)(x f 恒等于零.所以)(x f 不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.【解析】①，k π(k ∈Z )；或者①，2π+k π(k ∈Z )；或者④，2π+k π(k ∈Z )类型四：正弦函数、余弦函数的对称性 例5．求函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴方程． 【解析】 令26t x π=+，则3sin 23sin 6y x t π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的对称轴方程是2t k ππ=+（k ∈Z ），即262x k πππ+=+（k ∈Z ），解得26k x ππ=+（k ∈Z ）． ∴函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴方程是26k x ππ=+（k ∈Z ）． 【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】 【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）sin()4y x =+π；（2）cos(2)3y x =-π.【解析】（1）令4t x π=+，则3sin 3sin 4y x t π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的对称轴方程是2t k ππ=+（k ∈Z ），即42x k πππ+=+（k ∈Z ），解得4x k ππ=+（k ∈Z ）．∴函数sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴方程是4x k ππ=+（k ∈Z ）．同理，对称中心的横坐标为4x k ππ+=，4x k ππ∴=-，即对称中心为,04k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭． （2）令23t x π=-，则3sin 23sin 3y x t π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ），即23x k ππ-=（k ∈Z ），解得26k x ππ=+（k ∈Z ）． ∴函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴方程是26k x ππ=+（k ∈Z ）．同理，对称中心的横坐标为232x k πππ-=+，5212k x ππ∴=+，即对称中心为5,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭（k ∈Z ）． 类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例6．求下列函数的周期： （1）sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）cos 2y x =；（3）3sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （4）112sin cos 2326y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）①令3z x π=+，而sin(2)sin z z π+=，即(2)()f z f z π+=．(2)33f x f x πππ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．∴T=2π．②令z=2x ，则()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+， 即()()f x f x π+=，∴T=π． ③令23x z π=+，则4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)2323x x f x z z f x ππππππ+⎛⎫⎛⎫==+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴T=4π ④∵原式111112sin cos 2cos cos cos 22626262626x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴2412T ππ==． 举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）|sin |y x =；（2）sin ||y x =； （3）sin(2)3y x =-π.【答案】（1）是 T π= （2）不是 （3）22T ππ== 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例7．已知函数12()log |sin |f x x =．（1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性；（3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间．【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将12()log |sin |f x x =看成是由12log y u =，u=|t|，t=sinx 复合而成．【解析】 （1）由|sin |0x >，得sin 0x ≠，∴x ≠k π，k ∈Z ．∴函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}． ∵0|sin |1x <≤，∴12log |sin |0x ≥，∴函数的值域为{y|y ≥0}．（2）∵1122()log |sin()|log |sin |()f x x x f x -=-==，∴函数()f x 是偶函数．（3）∵1122()log |sin()|log |sin |()f x x x f x ππ+=+==，∴函数()f x 是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|， 当,2x k k πππ⎛⎤∈+⎥⎝⎦时，sin x ＞0，t=|sin x|为增函数；当,2x k k πππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，sin x ＜0，t=|sin x|为减函数． 又∵函数12log y t =为减函数，高中数学-打印版 精校版 ∴函数()f x 的单调增区间为,2k k πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ；单调减区间为,2k k πππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z ．举一反三：【变式】已知函数11cos |cos |22y x x =+． （1）画出函数的简图；（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；（3）指出这个函数的单调增区间．【解析】 （1）11cos |cos |22y x x =+ cos , 2,2()2230, 2,2()22x x k k k Z x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎤∈-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈++∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩．函数图象如右图所示．（2）由图象知函数的周期是2π．（3）由图象知函数的单调区间为2,22k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化．。
北京四中高考数学总复习 三角函数的最值与综合应用(基础)知识梳理教案
【考纲要求】1、能求三角函数的值域与最值；2、能利用三角函数的图象与性质解题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、三角函数的最值求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：涉及正、余弦函数以及sin cos )a b θθθϕ+=+，其中tan baϕ=，都可以考虑利用有界性处理.22sin sin cos cos y a x b x x x C =+++型，经过降次、整理，得到sin 2cos2)y A x B x C x C ϕ=++=++，其中tan BAϕ=，再利用有界性处理.形如2sin sin y a x b x c =++或2cos sin y a x b x c =++的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解.形如sin cos x x ±，sin cos x x ⋅在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sin cos t x x =+，则21sin cos 2t x x -⋅=，把三角问题化归为代数问题解决.形如sin cos a x cy b x d +=+型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）.形如ax x+型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解.要点诠释：三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法.三角函数的最值三角函数在实际生活中的应用三角函数的最值与综合应用考点二、sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质 1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】类型一：三角函数的最值 例1．求函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值. 【解析】原式1cos cos cos sin 62x x x x x π⎫⎛⎫=⋅-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sin cos 2x x x =+sin 24x =+11(sin 22)sin 244423x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，故所求函数最大值为24+. 【总结升华】运用三角函数公式化简成22sin sin cos cos y a x b x x x C =+++，通过二倍角降次，整理成)y x C ϕ=++型，再利用有界性处理.举一反三：【变式1】求函数cos y x x =+[0,]x π∈的值域. 【答案】[1,2]-【解析】)6sin(2cos sin 3π+=+=x x x y∵[0,]x π∈， ∴ ]67,6[6ππ∈π+x .由正弦函数图象可知： 当26π=π+x 即3π=x 时，max 2y =；当π=π+676x 即x π=时，min 1y =-. 所以函数值域为[1,2]-.【变式2】函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．12+ C ．32D ．【答案】C【解析】1cos 21()2sin 22262x f x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭。
北京四中高考数学总复习 三角函数的概念知识梳理教案 理
三角函数的概念【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 三角函数的概念角的概念的推广、弧度制正弦、余弦的诱导公式同角三角函数的基本关系式任意角的三角函数第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π= ；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc ryα=. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：222si ncos 1α+α=α=.2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα. 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sin cos =α+α，221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点五、诱导公式1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角. 方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。
2024高考数学基础知识综合复习第4讲函数的概念与性质课件
1 2
f(x1)-x1<f(x2)-x2,从而说明 y=f(x)-x 是(0,+∞)内的增函数;又如当 0<x1<x2
( 1 ) ( 2 )
1
2
2 ( 1 )- 1 ( 2 )
时,
>0,则可转化为 -
1 - 2
1 2
( )2
的定义域为(0,+∞),g(x)= 2 的定义域为(0,+∞),f(x)=
=1,
( )
以这两个函数是同一函数,故 C 正确;对于
( )2
C,f(x)=
g(x)=
2
( )
=1,所
2 -16
D,f(t)= -4 的定义域为(-∞,4)∪
2 -16
(4,+∞),g(t)=t+4(t≠4)的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞),f(t)= -4 =t+4,所以这两个函
数是同一函数,故 D 正确.故选 CD.
归纳总结决定一个函数的三要素:定义域、值域、对应法则,值域可由定义
域和对应法则决定,因此当且仅当定义域、对应法则相同的函数才是同一
个函数.
考向2
函数的定义域和值域
例 2(2022 浙江学考)函数
A.{x|x>2}
C.{x|x≠2}
解析 要使
∴函数
1
f(x)= 的定义域是(
4
典例 4(2022 浙江学考)已知函数 f(x)=
则 f(-1)=___________,
log 2 , ≥ 1,
2
f[f(-1)]=____________.
北京四中高考数学总复习 函数及表示知识梳理教案
【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．【知识网络】【考点梳理】1、映射的定义设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的 任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射， 记作:f A B →。
映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。
2、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：)(x f y =.其中x 叫做自变量 ，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。
3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。
4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
映射函数及其表示函数三要素 函数的表示5、区间的概念和记号设,a b R ∈，且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。
（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。
（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为),[b a 和],(b a 。
这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。
北京四中高中数学精品全套-高考总复习函数的概念和性质(01函数及解析式、02函数的基本性质)- 2页
函数及其解析式 北京四中 苗金利一、知识要点1．函数是高中数学最重要、最基础的内容，函数思想方法自始至终贯穿于代数教材全过程，可以毫不夸张的说，“函数”在数学教材中扮演“统帅”的角色。
2．函数是学习高等数学的基础，应深入理解函数的有关概念，灵活运用函数的解析式去分析问题。
3.函数的定义4. 函数的解析式二、 典型例题例1、判断下列从A 到B 的对应是否为映射，是否为一一映射？（1）{|A αα=为三角形的内角}，{|}B y y R =∈，对应法则：tan y α=；（2）{|}A m m Z =∈，{|01}B y y y ===或，对应法则：0(2,)1(21,)m n n Z y m n n Z =∈⎧=⎨=+∈⎩； （3）{|01}A x x =<<，{|01}B y y =<<，对应法则：y x（4）{|01}A x x =≤≤，{|0}B ααπ=≤<，对应法则：sin .x α=例2、设()f x 是一次函数，,(())94x R f f x x ∈=+，求函数()f x 。
例3、（1）将函数y ＝3x 2－4x －12的图象沿向量a →＝（－2，3）平移后的 解析式为____________；（2）函数y =f （x ）与14y x =的图象关于直线x=1对称，则f （x ）= ____________。
例4、设2111(1)1(0)f x x x x +=++≠，求函数(1)f x -.例5、函数1()21,()1,()32,,()2f x xg x x x x x R F x ϕ=+=-=-+∈ 表示(),(),()f x g x x ϕ中的最小值，求函数()F x 。
例6、已知1()()lg 1(0)f x f x x x=⋅+>，求()f x 。
函数的基本性质北京四中 苗金利一、知识要点1．函数的单调性、奇偶性、周期性2. 函数性质的考查经常以选择题、填空题的形式出现，一般在试题的前几个题中。
北京四中高考数学总复习 二次函数与幂函数(基础)知识梳理教案
【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数1(1,2,3,1,)2y x αα==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。
（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：2y ax bx c =++（0≠a ），顶点式：2()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数 二次函数幂函数常数函数二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令1()2x p q =+.（1） （2） （3） （4）（1）若2bp a-<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；（4）若2bq a≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。
考点二、幂的运算 (1)mnmnaa = ，1nn aa -=，m n m n m na a a -11==(,1)m n N n +∈>、 ； (2)()(,1)nna a n N n =∈> ，(1,nn a a n n =>为奇数），(0)((0)nn a a a a n a a ≥⎧=⎨-<⎩＝是正偶数） 。
北京四中高考数学总复习 函数的图象(基础)知识梳理教案
函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。
6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。
【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a+=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点．(2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。
北京四中高考数学总复习 三角函数的性质及其应用(基础)知识梳理教案
三角函数的性质及其应用【考纲要求】1、了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法1.五点作图法：作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π、π、32π、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
2．图象变换法：（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x =的图象； （2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到sin()y A x ϕ=+的图象；（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。
要点诠释：由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别.考点二、sin()y A x ωϕ=+的解析式 1. sin()y A x ωϕ=+的解析式sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T πω=叫做周期，12f T ωπ==叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相.2. 根据图象求sin()y A x ωϕ=+的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)ϕω-. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2Tπω=算出ω，然后将第一零点代入0x ωϕ+=求出ϕ. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A].2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A 当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈). 要点诠释：①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ωϕ=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ωϕ+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。
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【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性增 减 减 减 增 减 减减 增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。
2、奇偶性 (1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解：(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔)()(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔)()(x f x f -=1 (f(x)≠0) (2)奇(偶)函数图像的特征(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. 【典型例题】类型一、求（判断）函数的单调区间例1.证明函数()(0)af x x a x=+>在区间)+∞是增函数。
解：设21x x a <<，2122211122112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 21211221121221))(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=21x x a << 012>-∴x xa x x >21 0)()(12>-∴x f x f∴函数()(0)a f x x a x=+>在区间(,)a +∞是增函数。
举一反三：【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21y x=. 解：(1)⎩⎨⎧-<---≥+=)1x (1x )1x (1x y 画出函数图象，∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，uy 1=在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=,21,21,121在x y 上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x 1y =单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a 2-a+1)与3()4f 的大小.解：22133a -a+1=(a-)+>0244≥又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则23(-1)()4f a a f +≤. 例3. 已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间1(,1)2上是增函数，求：(1)实数a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)∵对称轴-12a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需-11222a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7[)f(2)7,+∴∈∞.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 解：2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型三、判断函数的奇偶性 例4. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+(2)()f x =(3)f(x)=x 2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)()|2|-2f x x =+(6)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩ (7)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈解析：(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域[)1+∞，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ；(4)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；(6)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (7)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例5. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x 2-x ，求当x ≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解析：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x 2-x 又f(0)=0，22-x -x x 0f(x)=x -x x<0⎧≥⎪∴⎨⎪⎩，如图举一反三：【变式】定义在[－1，1]上的函数y ＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a 2－a －1)＋f(4a －5)＞0，求实数a 的取值范围. 解析：2222(1)(45)()(1)(45)11133314511214533312f a a f a f x f a a f a a a a a a a a a a -->--∴-->-+⎧-<--<-+⎪∴-<-<≤<⎨⎪--<-+⎩-+∴≤<由题得函数是奇函数 解之得的取值范围为。