多项式整除性
数学中的多项式函数与整除性理论
数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。
本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。
1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。
即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。
多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。
多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。
（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。
（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。
每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。
2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。
在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。
（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。
多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。
（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。
最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。
（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。
如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。
即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。
如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。
多项式与多项式之间的关系
多项式与多项式之间的关系
多项式与多项式之间的关系可以从多个角度来探讨。
以下是一些可能的关系：
1. 整除关系：如果一个多项式 f(x) 能够被另一个多项式 g(x) 整除，即 f(x)
= g(x)q(x) + r(x)，其中 q(x) 和 r(x) 是多项式，且 r(x) 的次数小于 g(x) 的
次数，则称f(x) 能够被g(x) 整除。
这种关系是多项式之间的一种重要关系，可以用于简化多项式。
2. 相等关系：如果两个多项式 f(x) 和 g(x) 对于所有的 x 都相等，即
f(x)=g(x)，则称 f(x) 和 g(x) 相等。
这种关系表明两个多项式具有相同的数
学形式，但系数可能不同。
3. 线性相关关系：如果存在不全为零的常数 c1, c2, ..., cn，使得 c1f1(x) +
c2f2(x) + ... + cnfn(x) = 0，则称多项式 f1(x), f2(x), ..., fn(x) 线性相关。
这种关系表明这些多项式之间有一定的依赖关系。
4. 根的关系：如果一个多项式的根是另一个多项式的根，则这两个多项式之间存在根的关系。
这种关系在解决方程组、求根等问题中有重要应用。
5. 因式分解关系：如果一个多项式可以被写成其他多项式的乘积，则这些多项式之间存在因式分解关系。
这种关系在化简多项式、求值、求解不等式等问题中有重要应用。
以上是一些常见的多项式与多项式之间的关系，它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
5：域的特征和多项式的整除性
作业:253页,1,7
3. 设F是一个域。求证：多项式环F(x,y)中所有 常数项为0的多项同式作成一个理想，不是主理 想。 证明：设所有常数项为0的多项式集合为N。 (1)若f,g N,则f-g常数项仍为0，故f-g N (2)取 fN，任取gF(x,y)，则g· f常数项仍为0， 故g· fN。因而N为理想。 现证N不是主理想，
第七章
多项式
有限域 素域
§7.1
域的特征
1、 若有壹交换无零因子环的任意理想是 主理想，则称主理想环。 试证整数环I是主理想环。 （主理想是理想，但理想未必是主理想。 例如：所有两个文字的多项式，按多项式加乘是 环，所有常数项为0多项式是理想。但不是主理 想，所有各项中均有文字x的多项式是主理想 Xf[X，Y]）
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P 见性质6.6.13。
例：{ 因为
0,1, 2, 3, 4 }之特征为5
11111 0
。
22222 442 32 0 33333 113 0 44444 334 14 0
7、（定理7.1.1） 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1<h<p ，1<k<p 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中 无零因子，则（he），（ke）必有一 为 零 ， 但 P 为 周 期 ， 而 k<p ， h<p ， 矛盾
1. 在R17中3/4等于什么？
解：在R17中4131(mod17)， 故4-1=13，所以3/4=34-1=313=5。
§7.2
多项式的整除性
我们取定一个域F而研究F上面的一个文字的多项 式。一个文字х是一个抽象的符号，F上面一个 文字х的多项式就是呈如下形式的式子： a0хn + a1хn-1 + … + an-1х + an （1） 其中n，n-1，…是非负整数，而系数a0，a1，…， an都在F内。 х的多项式可以用ƒ（х），g（х）等代表。 在（1）式中，若n=0，则此多项式只有一个“常 数项”a0，这时，可将其看作是F中的元素a0。 多项式中，系数是0的项可以删去。另一方面，也 可以添上一些系数是0的项。例如，2х2+0х-1 可以写成2х2-1，0х3+2х2-1，等等。
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
多项式的整除性
4.3 多项式的整除性教学内容：4.3多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。
理解和掌握带余除法。
授课时数：2学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明）教学过程：在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。
一、多项式整除的概念及性质1. 定义定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。
此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是)(x f 的倍式。
如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x .由定义1知：1︒0|)(],[)(x f x F x f ∈∀;特别地，0|0.2︒)(|,x f c F c ∈∀.3︒,c d F ∀∈,0≠c ，有d c |.如2|0。
4︒高次多项式不能整除低次多项式。
课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？2）能被任何多项式整除的多项式是什么？2. 整除的基本性质我们可以将整数的整除性质平移过来1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ;2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±;3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ；4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ∀∈= 则|)(x h ∑=n i i i x f x c 1)()(； (整除倍式和)5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈;6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =.二.带余除法⒈ 实例（中学中的多项式除多项式）例2 322()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
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若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
多项式与整数的整除性比较
多项式与整数的整除性比较
在高等教育教学中，多项式与整数在其整除性上有所区别。
多项式整除性
是指两个多项式之间，除以较大多项式可以得到小多项式，除数与被除数一致。
而整数整除性则指，将一个整数除以另一个整数，其商数仍是整数，余数也是整数。
由于多项式的特殊性和整数的法则，多项式与整数的整除性也有着多种不同。
首先，多项式整除性涉及被除数的最高次数，这与整数的最高次数是不同的，整数的最高次数不用考虑。
其次，多项式整除性在分子条件上定义，即可以根据不同的分子条仾多项式进行除法操作。
但是对于整数来说，其除法只有一种方法。
最后，多项式整除性中需要将某些减被除数提取出来进行计算，而在整数整除性中，整个计算都是建立在原始被除数的基础上的。
以上就是多项式与整数的整除性比较，两者在其整除性上有着明显的差异，这些差异在计算中也会产生影响。
因此，对于不同计算任务，应根据需求选择合适的整除模式以进行计算，以提升计算效率。
多项式整除次方证明
多项式整除次方证明假设存在两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，其中 $g(x)$ 是$f(x)$ 的因式，即 $f(x)$ 可以被 $g(x)$ 整除，即 $f(x) =g(x)q(x)$，其中 $q(x)$ 是一个多项式。
假设 $g(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，则我们可以把 $g(x)$ 写成$g(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 的形式，其中$a_n \neq 0$。
那么现在我们要证明的是，$f(x)$ 的 $m$ 次方（$m > n$）也可以被 $g(x)$ 整除。
我们把 $f(x)$ 的 $m$ 次方写成 $(g(x)q(x))^m$ 的形式：$$(g(x)q(x))^m = g(x)^m (q(x))^m$$我们可以看出，$g(x)^m$ 是一个 $mn$ 次多项式，而$q(x)^m$ 是一个 $m$ 次多项式。
因此，$(g(x)q(x))^m$ 是一个$mn$ 次多项式。
现在，我们需要证明 $(g(x)q(x))^m$ 能够被 $g(x)$ 整除，即存在一个多项式 $p(x)$，使得 $(g(x)q(x))^m = g(x)p(x)$。
我们可以将 $g(x)p(x)$ 展开成：$$g(x)p(x) = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0) (b_k x^k + b_{k-1} x^{k-1} + \cdots + b_0)$$其中 $k = mn - n$，即 $p(x)$ 是一个 $k$ 次多项式。
我们需要证明的是，$(g(x)q(x))^m$ 在展开后，每一项的次数都是$n$ 的倍数（因为 $g(x)$ 除完之后，剩下的次数必须是 $n$ 的倍数）。
因此，我们只需要证明，$g(x)p(x)$ 在展开后，每一项的次数都是 $n$ 的倍数。
考虑 $g(x)p(x)$ 中某一项的 $x$ 次数为 $i$，$0 \leq i \leq k+n-1$。
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
多项式的整除
证明：由f(x)=
1 c
(cf(x)),可得。
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F)
g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
若是 r(x)r(x)0 那么，
q(x)q(x)0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r(x)r(x)0
因而 q(x)q(x)0
即 r(x ) r(x )q ,(x ) q (x )
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。
若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).
若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，
（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，
（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
则有：f(x)=cg(x).
说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）
多项式的整除性和带余除法
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.
当g(x)≠0时,由带余除法定理得到
Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除
其中q(x)通常称为g(x)除f (x)的商,
r(x)称为g(x)除f (x)的余式.
• Definition5.(整除的定义)
• 称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果 存在P[x]上的多项式h(x), 使得
f (x) g(x)h(x)
成立.
用g(x) | f (x)表示g(x) 整除 f (x),
解 : 作综合除法:
3 | 1 0 2 5 94
3 9 33 114
1 3 11 38 20 所以 q(x) x3 3x 2 11x 38
r f (3) 20
EXERCISES2. 设f (x) 2x3 x 2 3x 5 用综合除法求 f (2). EXERCISES3. 求用 (x i) 除 f (x) x 4 2ix3 (1 i)x 2 3x 7 i 的商式与余数. *结论 : f (c) 0 (x c) | f (x)
f(x)的余式为零.
• 整除性的几个常用性质:
Байду номын сангаас
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除
• 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则
两个多项式整除的特征
两个多项式整除的特征下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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初三数学上册综合算式专项练习题多项式的整除性
初三数学上册综合算式专项练习题多项式的整除性多项式的整除性是初三数学上册综合算式中的一个重要内容。
了解并掌握多项式的整除性可以帮助我们更好地解题，提高数学能力。
本文将对初三数学上册综合算式中多项式的整除性进行详细讲解。
一、多项式的整除性概念及性质多项式是由一些项相加或相减而成的代数式，如：\[6x^3 + 5x^2 - 2x + 1\]多项式的整除性指的是，如果一个多项式 f(x) 能够被另一个多项式g(x) 整除，即 f(x) 能被 g(x) 整除，我们用 g(x) | f(x) 表示。
那么就存在一个多项式 q(x)，使得 f(x) = g(x) * q(x)。
多项式的整除性有以下几个性质：1. 0 多项式的整除性：对于任意非零多项式 f(x)，都满足 0 多项式 |f(x)。
2. 单项式的整除性：对于单项式 ax^n，其中 a 是任意非零实数，n是任意非负整数，任意多项式 f(x) 都能被 ax^n 整除。
3. 高次多项式的整除性：对于多项式 f(x) 和 g(x)，如果 f(x) 能够被g(x) 整除，那么 f(x) 的次数一定大于或等于 g(x) 的次数。
4. 整数倍关系：如果一个多项式 f(x) 能够被另一个多项式 g(x) 整除，那么对于任意非零常数 c，c*f(x) 也能被 g(x) 整除。
了解了多项式的整除性的概念和性质后，我们可以通过综合算式中的练习题来进一步理解和应用。
二、综合算式练习题解析下面我们来看几个综合算式练习题，以帮助加深对多项式的整除性的理解。
1. 如果 (3x - 5) 是多项式 (3x^2 - 2x + 1) 的因式，那么 (3x - 5)^2 是多项式 (3x^2 - 2x + 1)^2 的因式吗？解析：首先，我们需要判断 (3x - 5)^2 能否整除 (3x^2 - 2x + 1)^2。
根据多项式的整除性性质可知，多项式的次数必须满足次数大于或等于被除式的次数。
多项式与整数的整除性比较_邵逸民
p 与 a 的关系: 或者 p| a, 或者( p, a) = 1
若 p| ab, 那么 p| a, 或者 p| b 每个大 于1 的整 数 a 都可 以 表示 为: a = pm1 1 pm22 ,pmr r
这里, pi ( x ) 是数域 F 上首项系数为1的不可约多项式, 且两两互异, c 是 f ( x ) 的首项系数, ri 正 整数( i= 1, 2, ,, t) 。pi 是两两互异的质数, mi 是正整数( i= 1, 2, ,, r) 。
第 19 卷第 3 期 2002 年 9 月
苏州教育学院学报 Journal of Suzhou Education College
Vol. 19. No. 3 Sep. 2002
多项式与整数的整除性比较
邵逸民
( 苏州教育学院 数学系, 江苏 苏州 215002)
一元多项式理论是高等代数中的一个重要内容。同时, 它与初等数学知识联系紧密。对相关 内容作一分析、对比, 可以加深对这一理论的理解。本文通过对多项式与整数的整除性概念、公约 数与公因式及因式( 数) 分解定理等方面加以比较、分析, 并略举几例说明它们之间的联系。
72
不可约多项式1p( x) 2
质数1p2
性质1 性质2 性质3
P( X) 与 f ( x) 的关系; 或者 p( x ) | f( x) , 或者
( p( x) , f( x) ) = 1 若 p( x) | f( x) g( x) , 则 p( x) | f ( x) , 或者 p( x) | g(x) 数域 F 上任一次数大于零的多项式 f( x) 都 有唯一分解式: f( x) = cpr11 ( x) p2r2 ( x) ,prtt( x)
多项式的整除性
1.3多项式的整除性1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+(1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=-(2) 221391731391732488824888()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =--++=--=+2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++,得2153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-=3.下列命题是否成立,为什么?(1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾;(2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x + (3) 不成立,例如22(),(),()h x x f x x g x x ===,但222|x x ,即()|()()h x f x g x (4)成立,由于()(),()()f x g x f x g x ∂=∂,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|()g x f x 成立.(),()f xg x 被()h x 除得的余式相等.()⇒设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中1100()()()r x or r x h x =≤∂<∂和2200()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是1212()()()[()()][()()]f x g x h x q x q x r x r x -=-+-,由()[()()]h x f x g x -⇒ 12()()()h x r x r x -但1212[()()]m ax{(),()}()r x r x r x r x h x ∂-≤∂∂<∂,这显然不可能,除非120()()r x r x -=,即12()()r x r x =()⇐设12()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中 00()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是12()()()[()()]f x g x h x q x q x -=-()[()()]h x f x g x ⇒-5.常数,,a b c 满足什么条件时,21()g x x ax =++能整除4()f x x bx c =++?2222121()()()()f x g x x ax a b a a x c a =-+-++-++- 所以222010,b a a c a +-=+-=所以221a b c a +=+=1()()()()()g x h x f x q x p x =,2()()()f x h x p x = 所以2112()()()()()()()()()()g x h x h x p x q x p x g x q x p x p x =⇒=()()q x g x ⇒7.证明：对任意非负整数n,都有222111|()n n x x x x ++++++n 用数学归纳法: 当0n =时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n 的非负整数成立,那么在1n +时,3232212121111()[()]()[()]n n n n n xx x xx x x x +++++++=+++++-221212111[()]()()n n n x x x x x x +++=++++++由归纳假设有222111|()n n x x x x ++++++,同时2212111|()()n x x x x x ++++++所以232311|()n n x x xx ++++++8.设k 是任意正整数,证明|()|()kx f x x f x ⇔,下面证明必要性用反证法:若|()x f x ,则10()(),f x xf x c c =+≠,那么1()[()]()kkkf x xf x c xg x c =+=+,由|()|k kx f x x c ⇒矛盾.9.证明：|()()x f x f x ⇔的常数项为011100(),n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠ 于是由于111|nn n n x a x a xa x --+++ ,1110|()n n n n x f x a x a xa x a --=++++所以111000|()()|n n n n x f x a x a x a x x a a ---+++⇒⇒= 反过来,若00a =,显然有|()x f x 10.证明：11||d n x x d n --⇔()⇐设n dq =,则1211111()()[()()]n dq d q d d q d q x x x x x x ---=-=-=-+++11|dnx x ⇒--()⇒若|d n ,设0,n dq r r d =+<<,于是 11111()()ndq rdqr r r r dqrx xxx x x x xx +-=-=-+-=-+-由于111111|,|[()]|d n d r d q d r x x x x x x x ----⇒--,但0r d <<,这显然不可能.所以,必然有0r =,即|d n .。
高等代数第五版第二章 多 项 式
第二章 多 项 式§2.1 一元多项式的定义和运算2.1.1 教学目的2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。
2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。
2.1.2 教学重点多项式的概念，多项式的运算法则和性质。
2.1.3 教学难点对多项式形式表达式的理解。
2.1.4 教学过程本节所说的R ，指的是含1的数环。
一、一元多项式的一些基本概念Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。
在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示.Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x).如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0，n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。
非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。
二、多项式的运算 （一）运算的定义设nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(， 或∑==ni ii x a x f 0)(mm x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==mj j j x b x g 0)(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义：一）加法f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n当m<n 时取b m+1=…=b n =0，或∑=+=+ni ii i x b a x g x f 0)()()(. 二）减法设f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ，把－f(x)=－a 0－a 1x －…－a n x n 叫f(x)的负多项式，则定义：f(x)－g(x)=f(x)+(－g(x))，或∑=-=-n i ii i x b a x g x f 0)()()(1）在Def1中文字x 不一定代表“数”，可以是一个矩阵A ，或一个变换等，因此不能把x 当作“未知数”2）“n 为非负整数”说明表达式x 1x ,x 1+等都不是多项式。
单位根在多项式整除性中的应用
单位根在多项式整除性中的应用.pdf摘要：多项式整除是用来计算多项式除法的技术。
它主要应用于科学和工程，用于从多项式中求解系统，以及多项式拟合。
本文探讨了加强欧几里得乘法单位根在多项式整除法中的应用。
我们把增强的欧几里得乘法单位根应用于最小欧几里得算法的循环测试。
我们还探讨了在这种情况下改善运行时间的途径，以及在其他情况下提高算法的效率。
同时，我们也介绍了增强的欧几里得乘法单位根应用于索那里病毒破解的算法。
最后，我们分析了该算法的运行效率，和它在多项式整除性中发挥的作用。
Abstract: Polynomial division is a technique used to compute polynomial division. It is mainly used in science and engineering for solving systems from polynomials and for polynomial fitting. This paper explores the application of amplified Euclidean multiplication unit roots to polynomial division. We apply the amplified Euclidean multiplication unit root to the loop test of minimal Euclidean algorithm. We also explore the ways in which to improve the running time in such a scenario and ways to improve the efficiency of the algorithm in other situations. We also introduce the application of amplified Euclidean multiplication unit roots to the algorithm for cracking the SAC virus. Finally, we analyze the efficiency of the algorithm, and its role in polynomial divisions.。
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1.实例（中学中的多项式除多项式）
例 2 f ( x) x3 2x2 x 6, g( x) x2 x 1，
求 g( x)除 f ( x)所得商式q( x)及余式r( x)。
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解
x2
x2 1 x32x2x6
x3
x
2x2 6
2x2 2
而( f (x))有限，因此在进行了有限步后，必有 fk ( x)
适合 fk ( x) 0或( fk ( x)) ( g( x))。于是可得到
一串等式：
f ( x) g( x) a0b01 xnm f1( x), f1( x) g( x) a10b01 xn1m f2( x), LLLLLLLLLLLL
3）若h( x) | f ( x),则对任意 g( x),有 h( x) | f ( x)g( x)；
4）若h( x)| fi ( x),ci ( x) F ( x),i 1,2,3,L , n,
n
则h( x) | ci ( x) fi ( x)； (整除倍式和) i 1
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5） f (x) F[x],c F,c 0 c | f (x);cf (x) | f (x). 6）若 f ( x) | g( x), g( x) | f ( x),,则存在c F ,c 0,
问题2 数域F上的多项式环中对于多项式的除 法是否封闭？
例如 f(x)2x2x; g(x)2x3x2; f(x),g(x)F[x]f(x)1F[x] g(x) x
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关于一个多项式能否除尽另一个多项式的 研究，即多项式整除性的研究在多项式理论中 占有重要的地位。
一、多项式整除的概念及性质
由此可得 前页 后页 返回
2.带余除法定理
定理 4.3.1 （带余除法定理）设 f ( x), g( x) F[x], g( x) 0,则有
1）在F[x]中存在一对多项式q( x),r( x),，使得 f ( x) g( x)q( x) r( x) （1）
这里r( x) 0或者(r( x)) (g( x))。 2）满足（1）的 q(x),r(x)由 f(x),g(x)唯一确定。
考 2）能被任何多项式整除的多项式是什么？ ？
2.整除的基本性质
将整数的整除性质推广过来得
1）若 f ( x) | g( x), g( x) | h( x),则 f ( x) | h( x);
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2）若h( x) | f ( x),h( x) | g( x),则 h( x) | ( f ( x) g( x));
对 定
1 (h( x)) (g( x)).
义
2 c F ,c | f ( x).特别地，0 | 0；
的
加
3 c,d F ,c 0，有c | d .如2 | 0。
深
理
4高次多项式不能整除低次多项式。
解
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例 1 ( x 1 ) |( x 2 1 ) ( x ;1 ) |( x 2 1 ) ( x 2 ; 1 )( x 1 ); 1）能整除任何多项式的多项式是什么？ 思
f1(x)a1x 0n 1a1x 1n 1 1a1(n 1 1)xa1n 1 (nn 1m )
令 f2( x) f1( x) g( x) a10b01xn1m , 则 f2( x) 0，或( f2( x)) ( f1( x))。
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重复对 f1( x)的同样讨论，由于
( f ( x)) ( f1( x)) ( f2( x)) L ，
1.定义 定 义 1 设 f ( x), g( x) F[x] . 如 果 存 在 h( x) F[x],使得 g( x) f ( x)h( x),则称 f ( x)整 除（能除尽） g( x),记作 f ( x) | g( x)。
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此时说 f (x)是 g(x)的因式， g(x)是 f (x)的倍 式。如果满足条件的 h( x) 不存在，即对任意 h( x) F[x], g( x) f ( x)h( x),则称 f ( x)不能整 除 g( x), 记作 f ( x) g( x).
f1 ( x)
由中学的知识，得
4 f2(x)r(x)
f1(x) f (x) g(x) x, r(x) f2 (x) f1(x) g(x) 2, f (x) g(x) x r(x) g(x) 2 g(x)( x 2) r(x).
故 q(x) x 2, r(x) 4 ，(r( x)) (g( x))。
4.3 多项式的整除性 教学内容：4.3 多项式的整除性 教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。
理解和掌握带余除法。 授课时数：2 学时 教学重点：多项式整除的概念及基本性质 教学难点：带余除法定理及证明 教学过程：
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问题1 整数环中对于除法运算是否封闭？
例如 2,3∈Z,但2÷3 Z.
若 f1( x) 0, f ( x) g( x) a0b01xnm，则 q( x) a0b01xnm，而r( x) 0。
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若 f1( x) 0，而( f1( x)) ( g( x))，由 f ( x) g( x) a0b01xnm f1( x),
知 q( x) a0b01xnm，r( x) f1( x)。 若 f1( x) 0，且( f1( x)) ( g( x))。设
证明 1）若 f ( x) 0或者o( f ( x)) o(g( x))，则有
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f(x ) g (x ) g 0 f(x ) . 2）现在设o( f ( x)) o( g( x)),记为
f ( x) a0 xn a1 xn1 L an1 x an , g( x) b0 xm b1 xm1 L bm1 x bm . 这里a0 0,b0 0,并且n m.令 f1( x) f ( x) g( x) a0b01xnm , 则 f1( x) 0，或( f1( x)) ( f ( x))。