高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
高等代数第三版
显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
qx 0, r x f x （ii）若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ，并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章 多项式
则f1 x 有以下性质：
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ，于是
第一章 多项式
3、多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
大学 代数方法 第一章 多项式
x 2 x 1 与 f ( x) 在复数域内无公共根，从而 x 2 x 1 与 f ( x) 在复 证明 可以证明 x 2 x 1 的根满足 x2 x 1 0 数域内互素，因而在任何数域内都互素。事实上，
设 f ( x) ( x 1) g1 ( x) r1 ， f ( x) ( x 1) g 2 ( x) r2 ， 则 f ( x 3 ) ( x 3 1) g1 ( x 3 ) r1 因而有 f ( x 3 ) xg( x 3 ) ( x 3 1) g1 ( x 3 ) r1 x( x 3 1) g 2 ( x 3 ) r2 x ，
多项式理论是高等代数的重要内容之一， 虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自 成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本 内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重 要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决 实际问题时常要用到。因此，在学习这部分内 容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和 计算。
重点、难点解读
( x 2 x 1)[( x 1)q1 ( x 3 ) x( x 1)q2 ( x 3 )] (r2 x r1 )
由 x 2 x 1 | f ( x 3 ) xg( x 3 ) 得 r2 x r1 0 所以 r1 r2 0 ，故 x 1 | f ( x) ， x 1 | g ( x) 。
x （ m, n, p 是 例9、 证明 x x 1 x x 三个任意的正整数）。 分析 用带余除法及待定系数法不易证明时，可以 考虑采用因式定理来证明，即 x a f x 的充分必要 条件是 f a 0. 证 可求得 x 2 x 1 的根为
2 3m
2 2 由归纳假设当 ( x x 1) | f n 1 ( x) 时，必有 ( x x 1) | f n ( x) 。
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
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f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
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§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。
考试要求1。
掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。
2。
掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。
3。
掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。
4。
理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。
5。
了解不可约多项式的概念及其性质。
6。
了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。
(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
考试要求1。
理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
2。
会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。
(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1。
理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2。
理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。
3。
理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4。
理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。
5。
理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。
6。
掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。
掌握方阵的多项式概念。
7。
高等代数--第八章 多项式_OK
因此有
但是 (q(x) q(x)) (g(x)) (r(x) r(x))
矛盾。这就证明了
(g(x)) (r(x) r(x))
q(x)称为g(x)除f(x)的商，r(x)为余式
q(x) q(x),r(x) r(x)
25
例题
f 3x3 4x2 5x 6, g x2 3x 1
an ：首项系数；
n为（1）的次数，记为 ( f (x)) 。 零多项式不定义次数。
11
运算：
n
m
f (x) ai xi , g (x) bj x j
i0
j0
加法：如n≥m，为方便，在g(x)中令
，
bn bn1 bm1 0
对于加减法： f (x) g(x)
n
(ai bi )xi
p(x)|f(x). 反过来，如果p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一
定整除它们的线性组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x)
由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大 公因式 d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公因式。
36
定理2 对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x)， 且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。 带余除法 整除 整除的性质
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
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若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
842高等代数考试内容范围
高等代数考试内容范围
1．多项式：数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式；2．行列式：排列，级行列式的概念、性质和计算，行列式按行（列）展开，法则；
3．线性方程组：消元法，维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构；
4．矩阵：矩阵的概念及运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆及分块，初等矩阵，矩阵分块乘法的初等变换及应用；
5．二次型：二次型及矩阵表示，标准型，唯一性，正定二次型；
6．线性空间：集合与映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间及其交与和，子空间的直和，线性空间的同构；7．线性变换：线性变换的定义、运算与矩阵表示，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，标准形；
8．欧几里得空间：欧几里得空间的定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离与最小二乘法；9．双线性函数与辛空间：线性函数，对偶空间，双线性函数。
主要参考教材：
《高等代数》（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳，石生明修订。
高等代数知识点总结
r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B)
r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
交错性 |.........| = 0
备注 行列地位平等 换法变换
齐性 加性
|...k...| = k|.......|
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
精品PPT
运算
行列式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊矩阵
精品PPT
运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
伴随
(kA)*= kn1A*
行列式
秩数
r(A+B)≤r(A)+r(B)
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f a( x x1 )m1
(x
xs )ms
p n1 1
p nt t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
精品PPT
多项式作为函数：
第一章多项式
二、数域P上的一元多项式的运算
设
f x an x an 1 x
n n 1
a0 ai xi .
i 0 m
j 0
n
g x bm x m bm1 x m1 b0 b j x j .
是数域P上的两个多项式且设 m n.
(1) 证：若 f ( x ) 0,
2 2
则
2
x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
i j i 0 j 0 k 0 n m l
现证 f x g x h x f x g x h x
左边 f x g x 中s次项的系数是： ai b j
左边 f x g x h x t次项的系数是：
an x n 称为多项式f(x)的首项， an 称为首项
系数，n称为多项式f(x)的次数，记为：
f x n.
例如
f x 3x 2 2 x 1,
f x 3,
f x 2,
f x 0
注：
数域上的每一个非零多项式有一个唯一确定的次数； 首项是零次项的多项式的次数为0； 零多项式是唯一不定义次数的多项式；
f x 3 ix 5 x 2 是C上多项式。
3 1 x 3x 2 2 3 x , ax , x x 1
都不是多项式。
2 多项式相等与零多项式
高代多项式
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
高等代数 第三版§1.3 整除的概念
０ 9 8i 9 8i
有 f (x) g(x) x2 2ix 5 2i 9 8i.
例２. 把 f ( x) x5 表成 x 1的方幂和．
解: ∵ １ 1 ０ ０ ０ ０ ０ １１１１１
１１ １ １
１１ 2 1
１１4
3
4
5= c1
（整除关系的传递性）
5) 若 f ( x) | gi ( x)，i = 1,2,L ,r
则对 ui ( x) P[ x], i = 1,2,L , r 有
f ( x) | (u1 x g1( x) u2( x)g2( x) L ur ( x)gr ( x))
注：反之不然．如 f ( x) 3x 2, g1( x) x2 1, g2( x) 2x 3,
为 g( x)的倍式． ② g( x)不能整除 f ( x) 时记作： g( x) | f ( x).
③ 允许 g( x) 0，此时有 0 0h( x), h( x) P[x]
即 0 0.
零多项式整除零多项式，有意义．
区别：
00 0
④
当
g(
x0)
|
除数为零，无意义． f ( x) 时， 如果 g( x)
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
和 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
则 q x g x r x q x g x r x
即 q x－q x g x＝r x－r x.
若q x q x，由g x 0, 有r x－r x 0
证： f ( x) | g( x) h1 x 使得 g( x) f ( x)h1 x; g( x) | f ( x) h2 x 使得 f ( x) g( x)h2 x.
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
高等代数-1讲解
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 ai x i
i 0
m
g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 b j x j
j 0
是数域P上的多项式且 n m . 1.多项式相等
f ( x ) g( x ) f (x)与g (x)中，除去系数为零的
f ( x ) g( x )
(a1b0 a0b1 ) x a0b0
anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
其中s次项的系数为
as b0 as 1b1
所以 f ( x ) g( x )
n m s0
a1bs 1 a0bs
二. 数域的性质
任何数域P 都包含有理数域Q. 即有理数域是最小的数域.
§1
数
域
三. 作业
1. 判断下列数集是否为数域.
P1 a bi | a Q , b R , i 2 1 ,
P a b
4
m P2 n m , n Z 2
,
P3 a 5 | a Q ,
a1 x a0
其中 a 0 , a1 ,, a n为数域P中的数， 称 f(x)为系数在数域P中的一元多项式， 或简称为数域P上的一元多项式. 注1 称 ai x 为f(x)的i次项, a i 为i次项系数. 特别， a0 称为f(x)的常数项.
i
§2
一元多项式
n a 0, a x 注2 若 n 称为f(x)的首项, a n 为首项系数, n
n称为f(x)的次数,记为 ( f ( x )) n. 注3 当 n 0, a0 0 时，f(x)= a0 称为零次多项式. 注4 当f(x)的所有系数全为0时，f(x)=0 称为零多项式, 零多项式不定义次数！
第三节 整除的概念
第一章 多项式 Polynomial
第三节 整除的概念
§1.3 整除的概念
一、引入
这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的 数域 P 上的多项式环 P[x] 中进行的. 在一元多项式环中， 可以作加、减、乘三种 运算，但是乘法的逆运算——除法并不是普遍可以
做的. 因此整除就成了两个多项式之间的一种特殊
f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ) , 其中 ui (x) 是数域 P 上任意的多项式. 证明 由 f (x) | g i (x) 得
gi (x) = hi (x) f (x ) , i = 1 , 2 , … , r , 由此即得
§1.3 整除的概念
u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) =(u1 (x) h1(x) + u2 (x) h2(x) + … + ur (x) hr(x)) f (x). 从而 f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ). 证毕
3. 整除的性质
性质 1 如果 f (x) | g(x) , g(x) | f (x) , 那么
f (x) = c g (x) ,
其中 c 为非零常数.
§1.3 整除的概念
证明
由 f ( x ) | g ( x ) , 有 g ( x ) = h 1( x ) f ( x ) ,
又由 g(x) | f (x) , 有 f (x) = h2(x) g(x) . 于是
高等代数最重要的基本概念汇总审批稿
高等代数最重要的基本概念汇总YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】第一章 基本概念数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b ∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么()i 当()()0f x g x +≠时，()()()()()()()()000max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂ ()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
高等代数知识点复习资料整理
f
a
p n1 1
p nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多
项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f
唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
5
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二
次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次
式之积
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f
a ( x x1 ) n1 ( x x t ) nt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
r(AB)≤r(A), r(B) r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
4
• 因式分解唯一定理
高等代数第6章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)≤n-1 ≤ f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)≤n-2 ≤ … … … fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),…, fk(x)的次数渐减 直到小于 的次数渐减,直到小于 … 的次数渐减 直到小于g(x)的次数 的次数
设数域P上的多项式 设数域 上的多项式 f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , … (1) an,an-1,…,a1,a0称为 的系数 系数全为 称为f(x)的系数,系数全为 系数全为0 … 的多项式称为零多项式 记作0. 零多项式,记作 的多项式称为零多项式 记作 (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为 的k次项 k 称为f(x)的 次项 次项,a 称为 称为f(x)的k次项系数 次项系数. 称为 的 次项系数 (3) 零次项 0也称为 零次项a 也称为f(x)的常数项. 的常数项. (4) 若an≠0,称anxn为f(x)的首项,an称为f(x)的 称 的首项 称为 的 首项系数,n称为 称为f(x)的次数,常记作 常记作degf(x). 首项系数 称为 的次数 常记作 (5) 非零常数是零次多项式 非零常数是零次多项式 零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有 只有f(x)≠0, degf(x)才有意义 才有意义. ≠ 才有意义
乘法运算式
例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 设 则 f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2 . ×) 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2 也可仅取系数,但要注意添 注.(1)也可仅取系数 但要注意添 也可仅取系数 但要注意添0. (2)也可按升幂排列 也可按升幂排列. 也可按升幂排列
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又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
j0
加法： 若 n m, 在 g( x) 中令
bn bn1 L bm1 0
f ( x)g( x) 的首项系数 f ( x) 的首项系数× g( x)的首项系数.
3) 运算律 f (x) g(x) g(x) f (x) ( f ( x) g( x)) h( x) f ( x) ( g( x) h( x)) f (x)g(x) g(x) f (x) ( f ( x)g( x))h( x) f ( x)(g( x)h( x))
f ( x)(g( x) h( x)) f ( x)g( x) f ( x)h( x)
f ( x)g( x) f ( x)h( x), f ( x) 0 g( x) h( x)
9
例1 设 f ( x), g( x),h( x) R( x) (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
注： 多项式 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 中，
① ai xi 称为i次项，ai 称为i次项系数． ② 若 an 0, 则称 an xn 为 f ( x)的首项，an 为首项 系数，n 称为多项式 f ( x) 的次数，记作( f ( x))=n.
高等代数
中南大学数学院 高等代数课题组
一、一元多项式的定义 二、多项式环
一、一元多项式的定义 1．定义 设 x是一个符号（或称文字），n 是一
个非负整数，形式表达式 an xn an1 xn1 L a1 x a0
其中 a0 ,a1, an P, 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x), g( x),h( x) 等表示．
所以 q x q x, 从而 r x=r x.
唯一性得证．
例1．求 g x 除 f x的商式和余式
f x 2x5 5x3 8x, g x x2 x 2
§1.3 整除的概念
附： 综合除法
若 f ( x) a0 xn + a1xn-1 + L + an , 则 x a 除 f ( x) 的商式 q( x) b0 xn1 bn1 和余式 r 可按下列计算格式求得：
若q x q x，由g x 0, 有r x－r x 0
q x－q x＋ g x＝ r x－r x max r , r gx
但 q x－q x＋ g x g x, 矛盾．
则称 g( x)整除 f ( x), 记作 g( x) | f ( x). ① g( x) | f ( x)时， 称 g( x)为 f ( x)的因式，f ( x)
为 g( x)的倍式． ② g( x)不能整除 f ( x) 时记作： g( x) | f ( x).
③ 允许 g( x) 0，此时有 0 0h( x), h( x) P[x]
f ( x) q( x)g( x) r( x), 结论成立． 下面讨论 n m 的情形，对 n作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立．
假设对次数小于n的 f ( x)，结论已成立．
现在来看次数为n的情形．
设 f ( x)的首项为 axn , g( x)的首项为 bxm , (n m)
则 b1axnm g x 与 f ( x)首项相同， 因而，多项式 f1( x)= f ( x)- b- 1axn-mg x
的次数小于n或 f1为0．
若 f1 x = 0, 令 q( x) b1axnm ,r( x) 0 即可．
若 f1 x n, 由归纳假设，存在 q1( x),r1( x)
① 求一次多项式 x a 去除 f x的商式及余式． ② 把 f x 表成 x a 的方幂和，即表成
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2．求 g x 除 f x的商式和余式
f x x3 x2 x, g x x 1 2i
nm
(aibj )xi
s1 i js
注: f ( x)g( x) 中s 次项的系数为
asbo as1b1 a1bs1 a0bs aibj .
i js
4．多项式运算性质
1) f ( x)g( x) 为数域 P上任意两个多项式，则 f ( x) g( x), f ( x)g( x) 仍为数域 P上的多项式．
f ( x)=g( x) h( x) 0 (2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x) 0, 则 x(g2( x) h2( x)) f 2( x) 0,
从而 g2( x) h2( x) 0. 于是 ( xg2( x) xh2( x)) ( x(g2( x) h2( x)))为奇数. 但 ( f 2( x))为偶数. x(g2( x) h2( x)) f 2( x), 这与已知矛盾. 故 f ( x) 0, 从而 g2( x) h2( x) 0.
称 q( x)为 g( x)除 f ( x的) 商， r( x为) g( x除) f ( x) 的余式．
证： 先证存在性．
① 若 f ( x) 0, 则令 q( x) r( x) 0. 结论成立． ② 若 f ( x) 0, 设 f ( x), g( x)的次数分别为 n,m, 当 n m 时， 显然取 q( x) 0, r( x) f ( x) 即有
即 0 0.
区别：
00 0
零多项式整除零多项式，有意义．
0 除数为零，无意义．
④ 当 g( x) | f ( x) 时， 如果 g( x) 0, 则 g( x) 除
f ( x) 所得的商可表成 f ( x) . g( x)
2．整除的判定
定理1 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,
n
则 f ( x) g( x) (ai bi )x i .
i0 n
减法： f ( x) g( x) (ai bi )x i
i0
乘法：
f ( x)g( x) anbm xnm (anbm1 an1bm )xnm1
(a1b0 aob1 )x a0b0
即， f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 , g( x) bm xm bn1xm1 b1x b0 ,
f ( x) g( x) m n, ai bi , i 0,1,2, ,n.
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
a a0 a1 a2 L ＋) ab0 ab1 L
b0 a0 b1 b2 L
an1 an abn2 abn1 bn1 r
这里， b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1, L , bn1 an1 abn2 , r an abn1 .
说明： 综合除法一般用于
2) f ( x), g( x) P[x] f ( x) g( x) 0 ① ( f ( x) g( x)) max(( f ( x)),g( x))) ② 若 f ( x) 0, g( x) 0, 则 f ( x)g( x) 0, 且
( f ( x)g( x)) ( f ( x)) ( g( x))
P上的一元多项式环，记作 P[x] . P称为 P[x] 的系数域．
一、带余除法 二、整除
一、带余除法
定理 对 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,
一定存在 q( x),r( x) P[x], 使 f ( x) q( x)g( x) r( x)
成立，其中 (r( x)) (g( x)) 或 r( x) 0, 并且这样的 g( x),r( x) 是唯一决定的．
g( x) | f ( x) g( x) 除 f ( x) 的余式r x 0.
3．整除的性质
1) 对 f ( x) P[x], 有 f ( x) | f ( x), f ( x) | 0; 对 f ( x) P[x], a P, a 0, 有 a | f ( x).