(完整版)高等代数多项式习题解答.doc

第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) .

1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7

x3 2 x2 1 x 3 9

3 3

7 x2 4 x 1

3 3

7 x2 14 x 7

3 9 9

26 x 2

9 9

1

x 7

, r ( x)

26

x

2

q( x)

9 9 .

3 9

2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2

x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1

x4 x3 2x2

x3 2x2 2x

x3 x2 2x

x2 4x 5

x2 x 2

5x 7

q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 .

2.m, p, q 适合什么条件时，有

1）x2 mx 1| x3 px q

x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m

x3 mx2 x

mx2 ( p 1) x q

m x2 m2 x m

(m2 p 1) x ( q m)

当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .

本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q .

因此有 m2 p 1 0, q m .

2）x2 mx 1| x4 px2 q

由带余除法可得

x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 )

当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即

m(2 p m2 ) 0

，即m 0,

或

p m2 2,

q 1 p m2 0 q 1 p, q 1.

本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有

x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1)

x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q.

比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得

m 0, 或p m2 2,

q 1 q 1.

p,

3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) .

1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3;

解：运用综合除法可得

3 2 0 5 0 8 0

6 18 39 11

7 327

2 6 1

3 39 109 327

商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.

2）f ( x)x3x2x, g( x) x 1 2i .

解:运用综合除法得 :

1 2i 1 1 1 0

1 2i 4 2i 9 8i

1 2i 5 2i 9 8i

商为 x2 2ix (5 2i ) ,余式为9 8i .

4.把f ( x)表成x x0的方幂和，即表示成c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 ) 2 的形式 .

1） f ( x) x5 , x0 1 ；

2）f ( x) x4 2x2 3, x0 2;

3）f ( x) x4 2ix 3 (1 i) x2 3x 7 i , x0 1.

分析：假设 f ( x) 为 n 次多项式，令

f (x) c0 c1 (x x0 ) c2 ( x x0 ) 2 c n ( x x0 )n

c0 (x x0 )[ c1 c2 ( x x0 ) c n ( x x0 ) n 1 ]

c0即为x x0 除 f ( x) 所得的余式，商为 q(x) c1 c2 ( x x0 ) c n ( x x0 )n 1.类似可得 c1为 x x0除商 q( x) 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.

解： 1）解法一：应用综合除法得 .

1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4

1 1

2

3

4 5

1 3 6

1 1 3 6 10

1 4

1 1 4 10

1

1 5

f ( x) x5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1) 3 10( x 1) 2 5( x 1) 1 .

解法二：把 x 表示成( x1) 1 ，然后用二项式展开

x5[( x 1) 1]5(x 1)55( x 1) 410( x 1)310( x 1) 25( x 1) 1 2）仿上可得

2 1 0 2 0 3

2 4 4 8

2 1 2 2 4 11

2 8 20

2 1 4 10 24

2 12

2 1 6 22

2

1 8

f ( x) 11 24( x 2) 22(x 2)2 8( x 2) 3 ( x 2)4.

3）因为

i 1 2i 1 i 3 7 i

i 1 1 4i

i 1 i i 4 7 5i

i 0 1

i 1 0 i 5

i 1

i 1 i 1 i

i

1 2i

f ( x) x4 2ix 3 (1 i) x2 3x 7 i

(7 5i) 5( x i ) (1 i )( x i ) 2 2i (x i )3 ( x i ) 4.

5.求f ( x)与g ( x)的最大公因式

1）f ( x) x4 x3 3x2 4x 1, g( x) x3 x2 x 1

解法一：利用因式分解

f (x) x4 x3 3x2 4x 1 (x 1)( x3 3x 1),