高等代数第6章习题解
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数第六章 9第六章课堂练习题 太原理工大学
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解：1) 任取 γ ∈ L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) 设 γ = x1α1 + x2α 2 = y1 β 1 + y2 β 2 , 则有 x1α1 + x2α 2 − y1 β 1 − y2 β 2 = 0,
x1 − x2 − 2 y1 − y2 = 0 2 x1 + x2 + y1 + y2 = 0 即 x1 + x2 − 3 y2 = 0 x − y −7y = 0 1 1 2 x1 = − t 解 (＊) 得 x2 = 4t ＊ y = −3t 1 =t y2
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(＊) ＊
为任意数） （t 为任意数）
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∴ γ = t ( −α1 + 4α 2 ) = t ( β 2 − 3 β 1 )
令 t=1， ， 则得 L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) 的一组基
γ = −α1 + 4α 2 = ( −5,2, 3,4 )
∴ L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) = L(γ ) 为一维的 为一维的.
(Ⅰ)到基(Ⅱ)ε 过渡矩阵为 (Ⅰ)到基(Ⅱ) 2,…,εn,ε1的过渡矩阵为 到基(Ⅱ)
返回题（正确打√，错误打×） 判断题（正确打√ 错误打× 对任何单点集合V={x}，一定可以在其上定义线 ，一定可以在其上定义线 1. 对任何单点集合 性运算，使其成为一个实数域上的线性空间.（ 性运算，使其成为一个实数域上的线性空间 （√ ） 即可.） （如，取V={x}， 规定 ， 规定x+x= x，kx=x 即可 ） ， 2. 由r个向量生成的子空间一定是 维的 （× ） 一定是r维的 个向量生成的子空间一定是 维的.（ 可能这r个向量线性相关.） 个向量线性相关 （可能这 个向量线性相关 ） 3.若向量空间 中任何向量都可由向量组α 3.若向量空间V中任何向量都可由向量组 1,α2,…,αn 若向量空间 线性表示，则α1,α2,…,αn是V的一个基.（ ×） 线性表示， 的一个基 （ 的一个 可能α 线性相关.） （可能 1,α2,…,αn线性相关 ）
高等代数第三版 (王萼芳 石生明 著) 课后答案 高等教育出版社
（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
第 3 页 共 26 页
3
高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答
首都师范大学 数学科学学院 1100500070
28、（ 1）因为 ± 1 都不是它的根，所以 x2 +1在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
1100500070
20、证 因为 f（x）的导函数
所以
于是
从而 f（x）无重根。
21、证 因为
，
，由于 a 是
的 k 重根，故 a
是
的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1 ⇒ s=k+3，即证。
22、证 必要性：设 x0 是 f（x）的 k 重根，从而是
的 k-1 重根，是
33
33
（3）u（x）=-x-1, v(x) = x3 + x2 − 3x − 2
⎧u = 0 ⎧u = −2 7、 ⎨⎩t = 2 或 ⎨⎩t = 3
8、思路：根具定义证明
证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设 ϕ(x) 是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证
ϕ(x) d(x) 。
⎧ p +1+ m2 = 0
⎧⎪m(2 − p − m2 ) = 0 ⎧m = 0 ⎧q = 1
2、（ 1） ⎨⎩q − m = 0
，
（2）由 ⎨ ⎪⎩q
+1−
p
− m2
=
0
得
⎨ ⎩
p
=
q
+
高等代数第6章习题参考答案
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。
又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
高等代数习题答案
高等代数习题答案高等代数习题答案高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、环论等多个分支。
对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践能力的重要途径。
本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好地掌握这门课程。
1. 线性代数1.1 解答题1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。
特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。
例如，对于下面的矩阵：A = [1 2; -2 1]它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。
1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。
特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。
例如，对于下面的矩阵：A = [1 0; 0 -1]它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。
1.2 计算题1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。
答案：首先，计算A的特征多项式：|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。
然后，代入特征值计算特征向量：对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]2. 矩阵论2.1 解答题2.1.1 什么是矩阵的秩？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
它表示矩阵的行（或列）空间的维数。
2.1.2 若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，是否可以得出A=0或B=0？答案：不一定。
若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，不能直接得出A=0或B=0。
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高等代数-6.5线性子空间
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
§6.5 线性子空间
1 (1, 1,0, ,0), 2 (1,0, 1,0, ,0),
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
§6.5 线性子空间
例5 判断下列子集合哪些是Pn的子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
为V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
1,2 , ,m 就是V的一组基. 定理成立．
假设当n－m＝k时结论成立.
§6.5 线性子空间
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
§6.5 线性子空间
同理可得， L(1, 2 , , s ) L(1,2, ,r ) 故， L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
2）设向量组 1,2 , ,r 的秩为 t，不妨设 1,2 , ,t (t r) 为它的一个极大无关组．
因为 1,2 , ,r 与 1,2 , ,t 等价， 所以,
1
3 1
,
1
3
(1 , 2
, 3 ,4
)
3 0 3
,
高等代数 讲义 第六章
则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M = {( x, y) x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} 例2 N＝ {0,1, 2, 3,LL}， 2Z＝ {0, ±2,±4,±6,LL} 例3 M = { x x2 − 1 = 0, x ∈ R} = {−1,1}
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B．
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的一个映射，记作 :σ : M → M'或 M ⎯σ⎯→M' 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
又对∀a ∈ R+，存在
x
=
log
a 2
∈
R
，使
σ
(log
a 2
)
=
2log
a 2
=a
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第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有 （2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有 （3）不是。
因为而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠（5）不是。
因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n nV P⨯=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义()f M MA AM =+证明，f 是V 的一个线性变换。
证明：,,M N V k F ∀∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。
3、设3V R =，(,,)x y z V α=∈，定义证明：f 是V 的一个线性变换。
证明，111222(,,),(,,),x y z x y z k F αβ''∀==∀∈ 所以 f 是V 的一个线性变换。
习题6.21、,f g 是2R 的线性变换，2(,)x y R α=∈使0()(,),()(,)f x y g y x αα=+=-，求2253,,,,,f g f g gf fg f g +-解：0()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x x ααα+=+=++-= 2、设f 是2R 的线性变换，对2R α∈有 求()P f ，其中21()P t t t =++。
解：记e 表示恒等变换，则22()()()()()()P f f f e f f ααααα=++=++3、证明线性变换的算律（1）——（3）、（5）——（8）、（9）——（11）证明：（1）(),()V f g V ααα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（1）有()()()()()()()()f g f g g f g f f g g fαααααα+=+=+=+∴+=+（2）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈由§4.1的向量运算的算律（2）有（3）()V f V αα∀∈⇒∈，定义变换0：00()α=，显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律（3）有（5）()V f V αα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（5）有 （6）,,()V k l F f V αα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（6）有 （7）,,()V k l F f V αα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（7）有 （8）,(),()V k F f g V ααα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（8）有 （9）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈，则[()]()[()()](()())h f g h f g h f g αααα+=+=+（本节定义1）所以 ()h f g hf hg +=+（10）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈，则所以 ()()h fg hf g =（11）,(),()V k F f g V ααα∀∈∈⇒∈，则 所以 ()()k fg kf g =其次 [()]()(())((())()()f kg f kg k f g k fg αααα=== 所以 ()()f kg k fg =4、设f 是2R 的线性变换，123311173(,),(,),(,)ααα===，如果120()(,)f α=，201()(,)f α=，求3()f α。
解：因为12322311173(,)(,)(,)ααα+=+==所以 312122222001()()()()(,)(,)f f f f ααααα=+=+=+5、设()f L V ∈，1110()m m m m P x a x a xa x a --=++++是F 上的多项式，证明1110()()m m m m P f a f a f a f a E L V --=++++∈，称()P f 是线性变换f 的多项式。
证明：由线性变换的乘法定义和性质，对自然数12,,,m ，有2,,,()m f f f L V ∈，再由数乘定义与性质，对110,,,m m a a a a F -∈，有1110,,,()m m m m a f a f a f a E L V --∈再由线性变换的加法定义有1110()()m m m m P f a f a fa f a E L V --=++++∈习题6.31、求矩阵A 的特征根和特征向量：（1）311242113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）110010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）110430100A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解：（1）311202242242113113||E A λλλλλλλλ------=---=---------所以，特征根为2，2，6对于2λ=111111222000111000()E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则线性无关特征向量为对于6λ=得线性无关特征向量3121(,,)η=（2）3110010101||()E A λλλλλ---=-=-- 特征根为三重根1，则010000000()E A λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，线性无关特征向量为12100001(,,),(,,)ηη''==（3）22110430234110||()()E A λλλλλλλλλ+--=-=--+=-- 特征根为0、1、1对于0λ=，线性无关特征向量为1001(,,)η=对于1λ=线性无关特征向量为1121(,,)η=2、设A αλα=，证明(ttA t αλα=是正整数）。
证明：对t 用数学归纳法：t=1显然成立，设命题对1t -成立，则命题对一切自然数都成立。
3、设n 阶方阵A 满足2A A =（此时A 称为幂等矩阵）。
证明A 的特征根是1或0。
证明：设A 的特征根为λ，对应的特征向量为α，那么22()()A A A A A ααλαλαλα====，但2A A =所以有210()λαλαλλα=⇒-=，但0α≠，所以10()λλ-=，从而A 的特征根是1或0。
4、证明A 与A '有相同的特征根。
证明：|||()|||E A E A E A λλλ''-=-=- 所以A 与A '有相同的特征根。
5、设A αλα=，01()m m x a a x a x ϕ=+++，证明()()A ϕαϕλα=，其中01()m m A a E a A a A ϕ=+++。
证明：由习题2及矩阵的运算得：6、设A 是n 阶方阵，A 的特征根为12,,,n λλλ，证明：（1）A 可逆当且仅当0123,,,,,i i n λ≠=；（2）当A 可逆时，求1A -的特征根。
解：（1）由定理12||n A λλλ=，所以A 可逆当且仅当0123,,,,,i i n λ≠=。
（2）1111|||||()|E A AA A A A E λλλλ-----=-=- 因此，如果λ是A 的特征根，那么1λ-是1A -的特征根。
于是1A -的特征根是11112,,,n λλλ---7、设A αλα=，A βλβ=，则对任意数k ，l ，有()()A k l k l αβλαβ+=+ 证明：()()A k l kA lA k l k l αβαβλαλβλαβ+=+=+=+习题6.41、求下列矩阵的特征根和特征向量，并指出哪个矩阵与对角矩阵相似，写出满足相似关系的可逆矩阵和对角矩阵。
（1）120020211A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭；（2）320131571A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）112336224A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭解：（1）212002012211||()()E A λλλλλλ---=-=---特征根为1，2 对于1λ=，020100010010210000()E A λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为1001(,,)η=对于2λ=，线性无关特征向量为1205(,,)η=- A 不能对角化。
（2）232013131107321571||()()()()E A λλλλλλλλ--=-=-+++--+-+特征根为1，2 对于1λ=，220101121011572000()E A λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1111(,,)η=对于2λ=120102111011573000()E A λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1211(,,)η=-A 不能对角化。
（3）特征根为0，2 对于0λ=，线性无关特征向量为12201021(,,),(,,)ηη=-= 对于2λ=，112201356023222000()E A λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1132(,,)η=可以对角化，满足相似关系的可逆矩阵为201023112T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，对应的对角矩阵为：1000000002T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2、设142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求4A ；解：2142034125155043||()()()()()E A λλλλλλλλλ----=+-=--=--+--特征根为1，5，－5。
对于1λ=042010044001042000()E A λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为1100(,,)η=；对于5λ=442202084021042000()E A λ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为2212(,,)η=；对于5λ=-642321101024012012048000000()E A λ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，线性无关特征向量为3121(,,)η=-；令121012021T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则1155T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以 141625625T A T -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、设A 是n 阶方阵，证明：（1）A 可逆当且仅当A 的每个特征根都不等于0；（这是习题6.3的第6题） （2）若A 可逆，λ是A 的特征根，则1λ-是1A -的特征根；（这也是）（3）A 与对角矩阵相似当且仅当1A -亦是。